§5.8复变函数的导数与解析函数

（2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
u
v ，v
u .
x y x y
则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导.
二、解析函数
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导， 则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的 任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。
p Lnz
p ln z2k pi
z e q e q q , 取k 0,1,2, q 1时的q个值
特别，当 1 (n为正整数)时，即为z的n次方根
n
• 对其他的, z 有无穷多值
（2） Lnz取主值ln z时,相应的 z e ln z称为z的主值
(3) 解析性：
对应于Lnz的各个单值分支，z的各个单值分支在除原
如例2 中 的 f (z) z 处处不可导，因而处处不解析。
例3 中 的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而 在 z 0处不解析。
f (z)在z0解析 f (z)在z0可导
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 : 函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析 （1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处可微； （2）u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处满足C R条件：
(2) ez e x 0,(ez ) ez 0 复变函数中无中值定理
2. 对数函数
w Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k ).
(对数函数为指数函数 的 反函数. 设 z e w , w u iv, z rei， 则 euiv rei
r eu , v 2k u ln r ln z , v Argz)
注：（1） Lnz为无穷多值函数。对应于每个固定的k， 可确定的一个单值分支，记为(Lnz)k .当 Argz 取主值 arg z时，相应的对数称为Lnz的主值，记为ln z，即 ln z ln z i arg z Lnz 的主值支
Lnz ln z 2k i (k 1, 2,L )
（2） 正实数的对数主值就是实对数函数 ln x( x 0) (3) “负数无对数”的说法在复变函数中不成立。
u 1, u 0, v 0, v 1 u v , v u
x y x y
x y x y
处处不可导。
例3 证明：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R条件， 但不可导。
定理（ 2 可导的充要条件）
设复变函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D上有定义， 则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导 （1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处可微； （2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
f (z0 )，
u( x, y)，v( x, y)在( x0, y0）连续，
lim
( x , y )( x0 , y0 )
u( x,
y)
u( x0 ,
y0 ),
(
lim
x , y )( x0 ,
y0
)
v(
x,
y)
v(
x0 ,
y0
).
第9节 复变函数的导数与解析函数
一. 复变函数的导数
定义1 设复变函数 f 在 Nz0 内有定义,如果极限
设复变函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D处可导，则二元函数 u( x, y),
v(
x
,
y
)在点
(
x0
,
y0
)
处有偏导数
u x
，u y
，v x
，v y
，且满足
C R条件：u v ，v u . x y x y
如例2中，f (z) z x iy,u(x, y) x,v(x, y) y
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即 x 0,z iy 0时，有
lim f z0 z f z0
ziy0
z
lim
u x0 , y0 y0 iv x0 , y0 y0 u x0 , y0 iv x0 , y0
y0
iy
v i u y y
定理（ 1 可导的必要条件）
u v ， v u . x y x y
此时 f '(z) u i v . x x
推论（可导的充分条件）
设复变函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D上有定义，
且满足
（1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处有一阶 连续偏导数；
如 ln(1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln(1) 2k i (2k 1) i
性质：
（1） 运算性质同实对数：
Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2 , Ln
z1 z2
Lnz1 Lnz2
（理解为二集合相等)
(2) 解析性：
• Lnz在除原点与负实轴外的其它点处连续
内的辐角为主辐角，记为arg z.
Argz arg z 2k , k 0,1,L
arg
z
y arctan
x
arctan y
x
arctan y
x arctan y
x
z在第一象限 z在第二象限
z在第三象限 z在第四象限
简单性质：
z1
z2
z1
z2 ，
z1z2
z1
z2，（
z1 z2
）
z1 z2
例7 求u( x, y) x2 y2 xy的共轭调和函数v( x, y), 并使解析函数 f (z) u iv 满足f (i) 1 i.
四、初等函数 1. 指数函数 w ez e x (cos y i sin y).
性质:（1）e z e x , Arge z y 2k
一个复变函数 二个二元实函数
例如： (1) w f (z) z , u( x, y) x2 y2 , v( x, y) 0
(2) w f (z) z2, u( x, y) x2 y2, v( x, y) 2xy
三、复变函数的极限和连续
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义 复变函数的极限，连续。
zz z 2 ,
z1z2 z1 z2 ,
| z1 | | z1 | , z2 | z2 |
z1 z2 z1 z2 .
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
复数的乘幂：
设 z rei r(cos i sin ),则 z 的n次幂为 z n (rei )n r nein r n (cosn i sin n )
f (z)g z ，
f
z
g
z
f
( z ) g
z
f g2 z
zgzຫໍສະໝຸດ (gz0)，
f ( g(z)) f ( g(z))g z ，
f (z)
1
( w )
(z
(w), w
f (z)互为反函数，
且(w) 0)
需要注意的是，复变函数的导数定义与一元实函数的 导数定义，虽然形式上一样，但在本质上有很大的不 同。因为一元实函数导数定义中的极限是一元实函数 的极限，而复变函数导数定义中的极限对应于二元实 函数的极限。
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
z n nz n1 .
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。
复变函数可导必连续,连续不一定可导
求导公式:
c 0，
z n nz n1，
f z g z f z g z ，
f
z
g
z
f z g(z)
设 w f (z) u( x, y) iv( x, y)
极限
lim
z z0
f
(z)
z0
a
ib
lim u( x, y) a, lim v( x, y) b.
( x , y )( x0 , y0 )
( x , y )( x0 , y0 )
f (z)在 z0连续
lim z z0
f (z)
设 f (z)在 z0 可导，即极限
w
lim z0 z
lim z0
f
z0
z
z
f
z0
存在.
当z沿实轴趋于零，即 y 0, z x 0时，有
lim f z0 z f z0
z x 0
z
lim
u x0 x, y0 iv x0 x, y0 u x0 , y0 iv x0 , y0
复数的方根：
设 z rei r(cos i sin ), 则 z 的n次方根为
n
z
r
1 n
(cos
2k
i sin
2k )
n
n
(k 0,1,2, n 1)
二、复变函数
复变函数 ： f : z x iy w u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f (z) u( x, y) iv( x, y)
例6
已知解析函数f (z)的虚部v
y x2
y2 ,求f (z)。
三、解析函数与调和函数
定理4 若函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析，则 它的实部 u( x, y)与虚部 v( x, y)都是D内的调和函数。 若函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析，则称 虚部 v( x, y)为实部 u( x, y)的共轭调和函数。