双曲线性质之渐近线.
直线与双曲线渐近线问题
直线与双曲线渐近线问题简介本文将讨论直线与双曲线的渐近线问题。
首先，我们将介绍直线和双曲线的基本概念，然后探讨它们的渐近线性质及求解方法。
直线的渐近线直线的渐近线是指该直线与坐标轴无限延伸时趋近的直线。
对于斜率存在的直线，其渐近线就是该直线本身。
然而，对于垂直于坐标轴的直线，其渐近线则是与该直线平行的坐标轴。
在图形上，直线的渐近线可以帮助我们更好地理解直线的性质和方向。
双曲线的渐近线双曲线是二次曲线的一种，具有特殊的形状及性质。
在双曲线中，存在两条渐近线，分别称为水平渐近线和垂直渐近线。
水平渐近线是当双曲线的曲线趋近无穷远时，与水平方向的直线趋于平行。
水平渐近线的方程可以通过对双曲线的极限进行求解得到。
垂直渐近线是当双曲线的曲线趋近无穷远时，与垂直方向的直线趋于平行。
垂直渐近线的方程可以通过对双曲线的渐近线斜率的极限进行求解得到。
求解方法要求解直线和双曲线的渐近线，可以使用以下方法：1. 对于直线，直接根据直线本身的性质判断渐近线是直线本身还是与之平行的坐标轴。
2. 对于双曲线的水平渐近线，可以通过对双曲线的极限进行求解，找出当曲线趋近无穷远时与水平方向趋于平行的直线。
3. 对于双曲线的垂直渐近线，可以通过求解双曲线的渐近线斜率的极限，找出当曲线趋近无穷远时与垂直方向趋于平行的直线。
结论直线和双曲线的渐近线是用来描述图形趋近无穷远时与坐标轴的关系。
对于直线，其渐近线可以通过直线本身的性质来判断。
对于双曲线，水平渐近线和垂直渐近线可以通过求解双曲线的极限和斜率的极限来求得。
理解直线和双曲线的渐近线性质及求解方法，有助于我们更深入地研究和应用这些曲线的特性。
双曲线的性质离心率渐近线
与抛物线关系比较
离心率的特性
01
抛物线的离心率e=1，处于椭圆和双曲线之间。
焦点和准线
02
抛物线有一个焦点和一条准线，而双曲线有两个焦点和两条渐
近线。
对称性
03
抛物线和双曲线都关于其对称轴对称。
不同圆锥曲线间转换条件
焦点位置变化
随着焦点位置的变化，圆锥曲线的形状也会发生变化。当 焦点沿实轴移动时，双曲线可以转换为椭圆或抛物线。
渐近线与双曲线位置关系
渐近线与双曲线无限接近但永不相交 。
双曲线上的点无限接近于渐近线，但 永远不会落在渐近线上。
利用渐近线判断双曲线开口方向
01 当$a > b$时，双曲线的开口方向沿着$x$轴方向。 02 当$a < b$时，双曲线的开口方向沿着$y$轴方向。 03 可以通过观察渐近线的斜率来判断双曲线的开口
渐近线
双曲线的渐近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。当x趋近于无穷大 时，双曲线趋近于这两条直线。
离心率与形状
离心率越大，双曲线开口越宽 ；离心率越小，双曲线开口越
窄。
02 离心率及其意义
离心率定义与计算公式
定义
离心率是双曲线的一个重要参数 ，用于描述双曲线与其焦点之间 的距离关系。
对于标准方程 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，若a>b，则焦点在y轴上；若 a<b，则焦点在x轴上。
结合图像进行直观判断
观察双曲线图像，若图像关于y轴对称且开口方向沿x轴，则焦点在x轴上。
观察双曲线图像，若图像关于x轴对称且开口方向沿y轴，则焦点在y轴上。 以上判断方法可以帮助我们快速确定双曲线在坐标系中的位置，进而研究 其性质和特点。
焦点在x轴的双曲线的渐近线方程
焦点在x轴的双曲线的渐近线方程1.引言双曲线是二次曲线的一种，其形状特征为两条分离的曲线臂，因此双曲线的渐近线也有其独特的性质和方程。
本文将重点讨论焦点在x轴的双曲线的渐近线方程的推导和应用。
2.双曲线的定义和性质2.1 双曲线的数学定义双曲线是平面解析几何中的一种二次曲线，其数学定义为平面上满足以下方程的点集：$x^2/a^2 - y^2/b^2 =1$或$y^2/b^2 -x^2/a^2 = 1$。
其中，a和b为正实数。
2.2 双曲线的性质双曲线有许多重要的数学性质，如焦点、准线、渐近线等。
焦点是双曲线的一个重要性质，对焦点的研究有助于理解双曲线的特征。
3.焦点在x轴的双曲线的特点当双曲线的焦点在x轴上时，其数学方程为$y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1$。
这种双曲线的特点包括焦点在x轴上、准线在y轴上、两支曲线分别在x轴的两侧延伸等。
4.双曲线的渐近线4.1 渐近线的定义在数学中，渐近线指的是一个曲线的某些直线方向上的极限位置。
对于双曲线而言，其渐近线有特定的方程形式。
4.2 焦点在x轴的双曲线的渐近线方程当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线可以表示为两条直线：y=±(b/a)x。
这两条直线分别与双曲线的两支曲线在极限位置相切，是双曲线的渐近线。
5.推导焦点在x轴的双曲线的渐近线方程5.1 坐标变换对于焦点在x轴上的双曲线，可以通过适当的坐标变换将其转化为标准形式，从而更容易地推导渐近线方程。
5.2 斜率的极限根据渐近线的定义，我们可以通过求取双曲线上一点处的斜率的极限来推导渐近线的方程。
5.3 推导渐近线方程通过求取双曲线上一点处的斜率的极限，并结合双曲线的定义和性质，可以推导出焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
6.焦点在x轴的双曲线的渐近线方程的应用焦点在x轴的双曲线的渐近线方程在数学建模和解决实际问题中有着重要的应用，例如在工程设计、经济学分析等领域。
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
与双曲线渐近线有关的结论
与双曲线渐近线有关的结论双曲线是一种经典的数学曲线，它的形状独特，有着多种有趣的性质。
其中与双曲线渐近线有关的结论尤为重要，本文将就此为读者深入解析。
双曲线的定义是：平面直角坐标系中，满足 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的曲线叫做双曲线。
其中 $ a $ 和 $ b $ 都是正实数。
当 $ a = b $ 时，双曲线就变成了形状相似的两个平面直角坐标轴。
由于双曲线的形状独特，因此它的渐近线也特别有趣。
双曲线的两条渐近线分别是 $ x = \pm \frac{a}{e} $，其中$ e $ 是双曲线的离心率。
渐近线的定义是：如果一条直线与曲线的距离趋向于零，并且斜率无限趋近于某个定值，那么称这条直线为曲线的一条渐近线。
根据定义可知，双曲线的两条渐近线满足上述条件。
事实上，一般的函数曲线也可以有渐近线，但不是所有曲线都有。
对于一些特殊的曲线，如 $ y = e^x $，它本身就是无限逼近于 $ y= x $ 的曲线，因此并没有渐近线。
而对于双曲线这种拥有渐近线的曲线来说，渐近线有着非常重要的几何性质。
首先是双曲线与渐近线的交点。
因为双曲线的两条渐近线的斜率趋于正负无穷，因此双曲线的曲线段与两条渐近线所包围的区域是有限的。
在这个区域内，双曲线与渐近线可能在某个点相交。
如果相交，那么这条切线的斜率就可以用渐近线的斜率来逼近。
这个结论在计算斜率时非常方便，因为渐近线的斜率可以直接求得。
其次是双曲线的局部形态。
由于双曲线与渐近线的几何关系，当双曲线的 $ x $ 趋近于渐近线位置时，双曲线的形状也会逐渐逼近于一条直线。
这种局部形态的逼近性质可以帮助我们更好地理解双曲线的性质。
总之，双曲线的渐近线是研究双曲线性质的重要工具，它为我们更好地理解和计算双曲线提供了帮助。
对于对数函数等有关数学概念的学习，了解双曲线的渐近线理论不失为一种有价值的手段。
双曲线的渐近线又叫极限切线或假性切线
(一)2222:1y xa bΓ−=為左右型的雙曲線,中心為(0,0)試証:02222=−by a x 即1:00x y bL bx ay y x a b a−=⇔−=⇔= 與2:00x y bL bx ay y x a b a−+=⇔+=⇔=為雙曲線的兩條漸近線1:pf 用課本方法令00(,)P x y 在雙曲線上面,則必2200221x y a b −=成立又220022222222001x y abb x a y a b −=⇒−=22222200||b x a y a b ⇒−=⇒220000||||bx ay bx ay a b −+=2222a b a b ⇒=+ 即221222(,)(,)a b d P L d P L a b =+i (常數)又當P 點在雙曲線Γ上且在第一象限向右上方延伸時,則2(,)d P L 一定越來越大所以2222211(,)(,)0a b d P L a b d P L •+=•→所以1L 為雙曲線在第一象限的漸近線NOTE：此種證法為課本的證明方法,可說是不清不楚。
2:pf 在第一象限時,鉛直線x=α(a α≥)一定與雙曲線及直線by x a=均有一個交點 (1)鉛直線x α=與b y x a =的交點坐標為1(,)(,)b P P y aααα=(2)鉛直線x α=與12222=−by a x 的交點坐標為2(((,)Q Q Q y ααα==由1b y a α==2y =⇒11221y y y y >⇔> (第一象限時雙曲線在直線by x a=之下方)(b a PQ α==(),f a αα=≥則必(),f a αα≥為漸減函數,,其函數值由b 減少到0+3:pf (Q x ,,(,)bx P x a其中x a ≥則必Q 點在P 點的下方且(Q x 為雙曲線2222:1y x a bΓ−=在第一象限上的動點又:0ba L y x bx ay =⇔−=則必(,)d Q L x ===(),h x x a =≥則必(),h x x a ≥減少到0+note:至於第二,三,四象限,利用雙曲線本身及兩漸近線均對稱於x 軸,y 軸,便一目了然矣。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2 (7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即 bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即 by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成 Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴双曲线方程为x2－4y2＝4．∴双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．实用标准文档精彩文案。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程- ＝1与- ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为- ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为- ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线- ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x 轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4；(2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
四：双曲线渐近线的常用性质
四：双曲线渐近线的性质前言：渐近线在高考中的考题一般以中等题目为主，对于其性质只做简单介绍1:2----x 坐标法（因为渐近线是过原点直线，计算难度不大）渐近线问题：几何法利用渐近线和轴夹角构造三角形以下性质的证明和高考实例模拟实例主要采取上去两种思路性质一：x a（把方程中nx （把方程中注1：双曲线可渐近线不是一一对应的------------一个双曲线只有一对渐近线，一对渐近线可以有无数双曲线。
222222x y2x y2-=1a>0,b>0-=a>0,b>0a b a b ，（）,，（）具有共同渐近线2：渐近线无限接近不相交的解释222222222y x x -a b =-1=y=x -a b a aa222222b b b abx-x -a =x-x -a =a a a x+x -a x+0AB AB （），3:平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点的解释22222x-=1a bx y2-=1a b byx a a 整理得二次项系数为一个交点。
2=b DG定值2=b DG定值利用坐标证明即可，此处略2=a +b AC利用坐标证明即可（同下题），此=AC4PE证明：证明过程中采用了切线方程的结论和齐次化的方法，具体的实例（不含这么多字母）会简单很多,b b a a2OB，2OD在曲线上，但不涉及焦点。
而渐近线夹角不好用，所以选择坐标法去证明，自己动手试一下，通过下面的练习来体会两种方法如何选择高考典例：【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32直接坐标法，或几何法由面积为8得到ab=8，在求22c a b 的最小值即可【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率是 32． 主要考察双曲线渐近线定义，送分题附件：双曲线渐近线专项练习16道（高考版） 模拟典例：（利用几何法的2道例题）例1．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点为1F 、2F ，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是________．设()2,0F c 关于渐近线by x a=的对称点为N ，其中垂足为M ， 由对称性知12FON F OM NOM ∠=∠=∠, 所以260F OM ∠=︒， 所以渐近线by x a=倾斜角为60︒，所以tan 60ba=︒=所以双曲线的离心率为2e ==．例2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ∠=︒，则双曲线的C 的渐近线方程为——3y x =±解：连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥， 则在12Rt PF F 中，1212F O c F P ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos a PON c∠=， 又ON a =，则由余弦定理得：2222cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠， 解得PN b =，由222OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥， 所以在Rt PMN 中，tan MN MPN PN∠=，即2a b =3b a =，所以所求渐近线方程为：3y x =±.附件：双曲线渐近线专项练习（高考版）1．（2011·湖南高考真题（文））设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．（2010·全国高考真题（文））中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC ．2D3．（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．4．（2010·辽宁高考真题（理））设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．√3+12 D ．√5+125．（2015·重庆高考真题（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．1±D ．6．（2018·全国高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．47．（2018·天津高考真题（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=8．（2015·重庆高考真题（理））设双曲线22221x y a b -=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．((0,2)D ．(,(2,)-∞+∞9．（2010·浙江高考真题（文））（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F=60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为A ．B y=0C ．="0" D ±y=010．（2013·江苏高考真题）双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.11．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y=1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 12．（2017·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．13．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是________．14．（2017·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．15．（2015·上海高考真题（文））已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .16．（2008·江西高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．10参考答案1．由双曲线的几何性质可得，双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±，又因为渐近线方程为320x y ±=，即32y x =±，故2a =，选C ．2．D 由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-bax,∴-2=-b a×4,∴a=2b.设b=k,则∴e=c a=2k.3．A由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=， 又P在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 4．D 设该双曲线方程为x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0），可得它的渐近线方程为y =±ba x ，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为k FB =0−b c−0=−b c ，∵直线FB 与直线y =b a x 互相垂直，∴−b c ×ba=−1，∴b 2=ac,∵b 2=c 2−a 2，∴c 2−a 2=ac，∴e 2−e −1=0,∴e =1±√52∵双曲线的离心率e ＞1，∴e=√5+12,故选：D5．C 试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，6．B 分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N ，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和y x =联立，求得3(,22M N -，所以3MN ==，故选B.7．A 详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.8．A 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC的距离小于a，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．9．D 不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=则2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅=所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP ，所以1272F P F POP +== 故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327c a a -=故22237b a a +=，解得b = 所以双曲线的渐近线方程为0x a =0y ±=，故选D 10．34y x 令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 11．32双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x=，即2b a a =⇒=，所以3c===，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：3212如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=2b，∴=设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tanθ=||||APOP=．又tan θ=ba，ba=，解得a2=3b2，∴==13．2详解：因为双曲线的焦点(c,0)F到渐近线,by xa=±即0bx ay±=的距离为,bcbc==所以b=，因此22222231,44a cbc c c=-=-=1, 2.2a c e== 14．x==y x=，设P，则Q，1(F，2F，则S==．15．【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上， 设的方程为，所以，所以的方程为.16．223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.。
与双曲线渐近线有关的结论
与双曲线渐近线有关的结论
1.双曲线渐近线与曲线的形状有关，双曲线渐近线的存在与双曲线的离心率有关。
2. 对于一条双曲线，若它的离心率大于1，则它存在两条渐近线，分别与双曲线的主轴平行，且距离双曲线的中心无限接近。
3. 若双曲线的离心率等于1，则它不存在渐近线。
4. 对于一条双曲线，若它的离心率小于1，则它也不存在渐近线。
5. 另外，对于一条双曲线的渐近线，若它的斜率存在，则它的斜率等于双曲线的离心率。
6. 若双曲线的渐近线不存在，则可以通过双曲线的表达式及其导数进行推导，求得它的渐近线方程。
7. 双曲线的渐近线可以用来描述双曲线的性质，如其渐近线的斜率可以用来确定双曲线的离心率，从而推导出双曲线的长轴、短轴等性质。
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专题5双曲线的渐近线-学生版
专题5双曲线的渐近线说明：双曲线的渐近线是双曲线所特有的，要掌握渐近线与双曲线方程的联系，另外重点掌握双曲线特有性质，对于解题非常方便。
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程:22mx ny λ-=220mx ny ⇒-=; ②若焦点在x 轴上，渐近线为x aby ±=； 若焦点在y 轴上，渐近线为x ba y ±=。
秒杀题型二：有共同渐近线双曲线方程的设法：秒杀思路：222222221x y x y a b a bλ-=⇒-=。
秒杀题型三：已知渐近线方程设双曲线方程： 秒杀思路：220()()ax by ax by λ±=⇒-=。
秒杀题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：秒杀思路：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长()b 。
秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、单选题 1．双曲线x 24−y 29=1的渐近线方程是（ ）A ．y =±23xB ．y =±49xC ．y =±94xD ．y =±32x2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±3．若双曲线22221x y a b-= ）A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为20x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A ．5或54B C D ．5或535．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22xD ．y =±√32x6．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C和2C 2C 的渐近线方程为（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=7．已知双曲线C:222210,0x y abab ,以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A B 2 C ．a D ．b8．双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．√3B ．2C ．3D ．69．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163-=x y11．双曲线2214x y -=的顶点到渐近线的距离等于（ ）A B ．45C ．25D 12．双曲线x 24−y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2√3B ．2C ．√3D ．113．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A B ．3C mD ．3m14．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A B ．C ．3D ．515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=16．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．417．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A B C ．2D二、填空题18．设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 .19．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.20．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 .21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 .22．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________． 23．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.三、解答题24．求与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-3，的双曲线方程.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
如何才能学好双曲线的渐近线
如何才能学好双曲线的渐近线在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。
那么，如何才能学好双曲线的渐近线呢？以下几点请同学们在学习时务必要1 .必须明确双曲线的渐近线是怎样的两条直线过双曲线实轴的两个端点作虚轴的平行线，再过虚轴的两个端点作实轴的平行线，这四条直线所围成的矩形的两条对角线所在直线即为该双曲线的渐近线.画双曲线时，应先画出它的渐近线.2.要正确理解“渐进”两字的含义当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线(渐近线)逐渐接近, 接近的程度是无限的，即当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。
3.能根据双曲线的标准方程求出它的渐近线的方程把双曲线的标准方程中等号右边的1换成0,便得此双曲线的渐近线方程，这是根据双曲线的标准方程求出它的渐近线的方程的最简单且实用的方法.一般地，对于中心不在坐标原点的双曲线，其渐近线方程也可利用这种方法求得，即先将双曲线的方程化成标准型(平方差为常数), 再将标准型方程中的常数换成0即得此双曲线的渐近线方程.4.能根据双曲线的渐近线方程求出该双曲线的方程.(1)求以直线Ax—By=0(AB^0)为渐近线的双曲线方程时，有以F 两种方法:方法1:①当双曲线的焦点在 x 轴上时，可设双曲线的方程为 ^^-y 2=i (a>0,b>0),则由渐近线方程为y =，可得 V ，再由其 a b a a B 它条件列出一个关于a,b 的方程，将所得两方程联立即可求解.②当双曲线的焦点在y 轴上时，可设双曲线的方程为它条件列出一个关于a,b 的方程，将所得两方程联立即可求解.方法2: •••当A 盼0时，Ax_By 二"-_^=o,将两方程两边分别相B A2 2乘，得笃-％=0，由此可以看出：渐近线就是退化了的双曲线，因此,B 2 A 2以直线Ax_By=0( AB M 0)为渐近线的双曲线方程可表示为(Ax+By)(Ax-By)= ( =0)，即 A 2x 2-B 2y 2=・(=0),特别地，以两 条相交直线l 1 :A i x+B i y+C i =0与l 2：A 2X+B 2y+C 2=0为渐近线的双曲线系 方程可表示为(A i x+B i y+C i )(A 2X+B 2y+C 2)='(，工 0).2 2(2)与双曲线x 2—y 2=i ( a>0,b>0 )有共同渐近线的双曲线系方a b2 2程为笃七=-( '半0)(*)a bb 2 ■ >0,此时方程表示中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =±^^x=±b x ,与双曲线令-§=〔的渐近线相同a 4 a a b2y 2 a b 2= i(a>0,b>0),则由渐近线方程为 --b x ，可得氏，再由其 事实上，①当>0时，方程(*) 可变形为 占-存=i,其中 a ' b '2 2②当・<0时，方程(*)可变形为_2亍一工亍=1,其中-a^ 0,—b '• ‘；- a --b 2- >0,此时方程表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y= _b— x= _b x，与双曲线㊁-£=1的渐近线相同。
双曲线与渐近线有关
双曲线与渐近线有关：对称性、二倍角、角平分线面积结论：过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点做切线，与两渐进性的交点为A 、B,则△ABO 的面积为定值ab 。
距离之积结论：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点到两渐近线距离之积为2222b a b a +。
例1（2017全国卷）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线的渐近线C 的一条渐进性交于M 、N 两点，若∠MAN=60°则C 的离心率为________。
例2（2018全国卷）已知双曲线1322=-y x ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐进性交于点M 、N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN|=例3（2019全国卷）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐进性交于点A 、B 两点，若0,211=⋅=B F B F AB A F ·则C 的离心率为_________例4已知F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，AF 延长线与双曲线交于点B ，若FB=2AF ，则双曲线C 的离心率是例5（2008全国卷）双曲线的中心为O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别是21,l l 经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交21,l l 于A 、B 两点，已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且BF 与FA 同向，求双曲线的离心率________例6（南京一模第7题）设)0,0(1,222221>>=-b a by a x F F 是的左，右焦点，圆1F 与双曲线的渐近线相切，过2F 与圆1F 相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为__________例7.已知双曲线12222)0,0(1:F b a by a x C 的左焦点为>>=-，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线||||1PF PO C =的渐近线平行，且,O 为坐标原点，则双曲线的离心率为________例8已知双曲线F b a by a x C 的左焦点为)0,0(1:2222>>=-，过点F 做双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足H,垂线l 与双曲线的另一渐近线相交于点P ，O 为坐标原点，若△POF 为等腰三角形，则双曲线的离心率为_______。
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y b
作法：过双曲线实轴的两个 端点与虚轴的两个端点分别 作对称轴的平行线，它们围 成一个矩形，矩形的两条对 角线所在的直线即为双曲线 的渐近线
B2
A1
o
A2
a
x
B1
b y x a
2018/10/6
b y- x a
3、渐近线方程的求法： 1）定焦点位置，求出 a、b，由两点式 求出方程
（
y
b
-a
标准
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互动探究
探究一：由双曲线求渐近线方程
y 例1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像：
x2 y2 1). 1 9 4
x2 y2 2). 1 9 4
2 y x 3
2 y x 3
0
x
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变式练习：求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, (2)25x2－4y2=100.
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x2 y2 C的方程为 202 52 1 .
2．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并且 双曲线过点 M (4, 5 ) 求双曲线方程。
解： 渐近线方程可化为 设双曲线方程为
2
x y 0 2
，
x y 2 ( 0) 4
∵点 M (4, 5 ) 在双曲线上 42 2 （ 5 ） ，得 -1，双 ∴ 4 2 x 曲线方程为 y 2 1 。
x2 y2 1 9 16 有共同的渐近线，且经
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例3．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点M (4, 3 ) 求双曲线方程。
解： 渐近线方程可化为 设双曲线方程为
2
x y 0 2
，
x y 2 ( 0) 4
∵点 M (4, 3) 在双曲线上 42 2 （ 3 ） ，得 1 ，双 ∴ 4 2 x 曲线方程为 y2 1 。
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类比归纳
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
B
1
y
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图象
P(a,b )
A2
y
A1
P(b,a )
B2x
A1
o B2
x
B
1
o
A2
渐近线
b y x a
a y x b
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变式练习： 1、（2012 湖南高考） 已知双曲线C 的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， 则C的方程为（ ）
x2 y2 A．202 52 1 x2 y2 2 1 2 ： a b
B.
x2 y2 1 2 2 5 20 x2 y2 2 1 2 20 80
y＝
b x a
结论：
x y x y 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
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2
2
2
2
小结： 由双曲线方程求渐近线方程的方法： (1) 定焦点位置，求出 a、b，由两点式求出方程 (2) 令双曲线方程的常数项为零即可求出方程
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4
小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线是y＝ x. a b a y 2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是y＝ x. a b b
2x±3y=0
5x±2y=0
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探究二：由渐近线求双曲线方程 2 2
x y 例2、求与双曲线 9 16 1 有共同的渐近线，且
经过点M（-3, 2 3 ）的双曲线方程。
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探究二：由渐近线求双曲线方程
例2、求与双曲线 过点M（-3, 2 3 ）的双曲线方程。
渐近线理解：渐近线是双曲线所特有 的性质。“渐近”两字的含义，当双 曲线的各支向外延伸时，与这两条直 线逐渐接近，接近的程度是无限的。 也可以这样理解：当双曲线上的动点N 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时， 点N到这条直线的距离逐渐变而无限 趋近于0。
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问题引导，自我探究
1、焦点在x轴的双曲线渐近线方程为
b x ____________________________ a y
焦点在y轴的双曲线渐近线方程为
a y x b ____________________________
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2、渐近线的画法
双曲线
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 的渐近线 a b
若渐近线方程为 mx ±ny = 0，则双曲线方程 2 x 2 －n 2 y 2 = k ( k ≠ 0 ) m 整式 为 ____________________________
x2 y 2 2 k (k 0) 2 n m 或 ____________________________
主备：丁文华 集备：李银珍 罗映波 陈树兴 授课班级：高144班
学习目标 1、知识与技能： 1）、正确理解双曲线的渐近线的定义，能利 用双曲线的渐近线来画双曲线的图形． 2）、掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求 双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析 问题和解决问题的能力． 2、过程与方法： 通过双曲线的渐近线相关知识学习，使学生能 正确理解双曲线的渐近线的定义，并能利用双曲线 的渐近线来画双曲线的图形；掌握由双曲线求其渐 近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应 用。 2018/10/6
o
-b
P(a,b )
a
x
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能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？
(2) 令双曲线方程的常数项为零即可求出方程
双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
C.
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x2 y2 1 2 2 80 20
D.
x y 的半焦 解：设双曲线C ： 2 2 1 a b
2
2
距为c，则2c=10,c=5. 又 C 的渐近线为
b y x ，点P （2,1） a
在C 的渐近上，
2 2 2
b 1 2 a
,即a=2b.
a 2 5, b 5 c a b ， 又，