北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

第10章双线性函数与辛空间

10.1复习笔记

一、线性函数

1．定义

设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足

（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），

（2）f（kα）＝kf（α），

式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．

2．性质

（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．

（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．

3．矩阵的迹

A是数域P上一个n级矩阵．设

则A的迹

Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn

是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．

4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．

二、对偶空间

1．L（V，P）的加法和数量乘法

（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：

f＋g称为f与g的和．

（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．

2．L（V，P）的性质

（1）对V中任意向量α，有

而对L（V，P）中任意向量f，有

（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．

3．对偶空间

（1）定义

L（P，V）称为V的对偶空间．由

决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质

（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．

（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．

（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．

结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．

三、双线性函数

1．定义

V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；

（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．

其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．

2．常用结论

（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；

（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则

f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V

是V上的一个双线性函数．

（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．

3．度量矩阵

（1）定义

设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵

称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．

（2）性质

①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．

②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．

③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．

4．非退化

设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．

双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．

5．对称双线性函数

（1）定义

f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．

这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．

（2）性质

（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有

（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的

一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有

（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足

前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．

6．二次齐次函数

对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．

设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．

7．反对称双线性函数性质

（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε