用一元二次方程解决问题(一)
一元二次方程解决实际问题
一元二次方程实际问题传播问题：例1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A.8人B.9人C.10人D.11人1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )A.10只B.11只C.12只D.13只2.某种植物的主干长出a 个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为_____.3.有人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信？握手问题例2：有一组人进行握手，每个人都与其他人握手一次，某组共握手21次，如果设该组共有x 人，那么依题意，可列出的方程是( )A. x(x+1)=21B. x(x-1)=21C. 2x(x-1)=21D. x(x-1)=21 1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 应满足( )A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D.x(x-1)=282.“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是( )A.x(x+1)=210B.x(x-1)=210C.2x(x-1)=210D.x(x-1)=210 3.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A.4个B.5个C.6个D.7个212121214.是否存在一个凸多边形共有27条对角线，若存在，求这个多边形的边数；若不存在，请说明理由.数字问题例3：一个两位数个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为_____，若交换两个数位上的数字，得到的新两位数为_____.1.两个连续偶数的和为6，积为8，则这两个连续偶数是_____.2.一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？3.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )A.a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4B.a2+(a+4)2=10a+a-4-4C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4D.a2+(a-4)2=10a+(a-4)-44.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.增长率问题若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为_____，第二次增长(或降低)后的数量为_____，即_____.例4：某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )A.144(1-x)2=100B.100(1-x)2=144C.144(1+x)2=100D.100(1+x)2=1441近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2011年的月退休金为1 500元，2013年达到2 160元.设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为( )A.2 016(1-x)2=1 500 B .1 500(1+x)2=2 160C.1 500(1-x)2=2 160D.1500+1500(1+x)+1 500(1+x)2=2 1602.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为x，根据题意所列方程是_____.3.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____.4某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则( )A.50(1+x2)=196B.50+50(1+x2)=196C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=1965.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.经济问题例5：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A.(3+x)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=151.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价为多少时，可使顾客更实惠？几何问题、例6：用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为( )A.x(20+x)=64B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64D.x(40-x)=641.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=62.有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高线长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得( )A.x2+2x-35=0B.x2+2x-70=0C.x2-2x-35=0D.x2-2x+70=03.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.4.如图，某单位准备在图书馆直角墙角处搭建一个面积为450平方米的矩形堆物场，其中两边可以利用图书馆的墙角，并利用已有总长60米的铁围栏，并且中间要用铁围栏分隔为两块，求AB的长度.设AB的长为x米，则可列方程为_____.5.如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽.如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )A.(20-x)(32-x)=540B.(20-x)(32-x)=100C.(20+x)(32-x)=540D.(20-x)(32+x)=5406.如图所示,某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB垂直,另一条与AB平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度.。
一元二次方程的应用问题
一元二次方程的应用问题一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。
它的求解方法可以使用因式分解、配方法以及求根公式等。
一元二次方程在数学中的应用非常广泛，涉及到许多实际问题的求解。
在以下的篇幅中，我将详细介绍一元二次方程在几个具体问题中的应用。
应用问题一：抛物线的应用抛物线是一种常见的曲线，其方程通常可以表示为y = ax^2 + bx + c。
在实际问题中，抛物线的模型可以用来描述许多现象，如抛物线的运动轨迹、天然气的损耗、溅落物体的运动等。
举例来说，假设一枚炮弹沿着抛物线轨迹飞行，如果已知炮弹离地面一个点的高度（y轴坐标）、炮弹的初速度、抛射角度等信息，我们可以通过一元二次方程来计算出炮弹的落点、飞行时间、最高点的高度等相关信息。
应用问题二：最值问题一元二次方程还可以用来解决一些求最值的问题。
例如，假设我们要在一边长为L的正方形内构造一个面积最大的矩形，矩形的一边与正方形的一条边平行。
我们可以用变量x表示矩形的宽度，那么矩形的长度可以表示为L - 2x（因为矩形的宽度占用了正方形的两条边），矩形的面积可以表示为A = x(L - 2x)。
这个问题可以通过求解一元二次方程来找到最大的面积。
应用问题三：质量问题一元二次方程还可以用来解决关于质量的问题。
例如，假设我们有一瓶含有某种草药的溶液，溶液中含有一定浓度的草药。
我们知道溶液中某一时间点的草药质量，但是我们想要知道溶液初始的草药质量。
我们可以建立一个质量均匀变化的模型，用一元二次方程来解决这个问题。
这个问题可以描述为：初始时刻的草药质量为x，过了一段时间后，溶液中的草药质量变为y。
假设溶液以等速率流出，流出的速率为a，草药的浓度为b，那么根据质量守恒定律，我们可以建立如下一元二次方程：y = bx + a(x - y)。
通过求解这个一元二次方程，我们可以得到溶液初始的草药质量x。
解一元二次方程用一元二次方程解决问题1 苏科版
用一元二次方程解决问题（1）【基础巩固】1．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分，一个队踢了14场比赛，负5场共得19分，那么这个队胜了（ ）()A 3场； ()B 4场； ()C 5场； ()D 6场。
2．用一块长80㎝、宽60㎝的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为x ㎝的小正方形，然后做成底面积为1500㎝2的没有盖的长方体盒子，为求出x ，根据题意列方程并整理后得（ ）（A ）0825702=+-x x（B ）0825702=-+x x （C ）0825702=--x x （D ）0825702=++x x3．梯形的下底比上底长3，高比上底短1，面积为26，如果设上底为x ，那么可列出的方程______________。
4．把棱长为30mm 的正方体钢材锻压成半径为x mm ，高为100mm 的圆柱形零件毛坯，那么可列出的方程是_________________________________。
5．一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，若设个位数字为x ，列出求这个两位数的方程______________。
6．一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。
若两个正方形的面积和等于160cm 2，则这两个正方形的边长分别为 _____________________7．（1）初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片, 设共有x 位学生，则可得方程________________________（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次, 设共有x 人参加聚会，则可得方程________________________（3）学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，则有___________个队参加了报名.（4）乒乓球超级联赛采用主客场制循环赛（每两个队要比赛两场），共要进行156场比赛，则参加联赛的球队有__________个.【能力拓展】8．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大6，把这个两位数十位上的数字和个位上的数字调换后，再乘以原来的两位数，就得到3627。
如何应用一元二次方程解决实际问题
如何应用一元二次方程解决实际问题2023年了，科技的进步让我们生活变得越来越便利，但是，这并不意味着我们可以忽略数学的重要性。
我相信，你有时会感觉到，自己学习的数学知识似乎与现实生活脱离很远，但实际上，数学无处不在，特别是一元二次方程这样的高中数学知识，可以在我们日常生活中实际应用。
一、解决物理问题在实际生活中，我们经常会遇到需要计算物理问题的情况，如汽车加速、弹射物的运动等等。
这些问题的解决涉及到大量数学计算，其中往往就包含了一元二次方程。
例如，当我们要计算一名物体从山顶滑落到地面所需要的时间时，就需要用到一元二次方程来解决。
假设物体滑落的距离为d（米），山顶到地面的距离为h（米），物体的初始速度为v（米/秒），由于物体只受到重力的作用，所以物体在下落的过程中受到的力可以表示为mg（牛），即物体质量m（千克）乘以重力加速度g（米/秒²）。
根据牛顿第二定律，物体所受的力等于其质量乘以加速度，即F=ma。
因此，物体的加速度可以表示为g=mg/m=a。
物体在下落的过程中，其速度随时间递增，加速度不变，因此，可以表示为v(t)=v+at。
当物体从山顶滑落到地面的时候，其速度为0，即v(t)=0。
那么，t可以表示为：t=(-v+sqrt(v²+2gd))/g。
由此，我们就可以通过一元二次方程来计算这个时间。
二、解决金融问题随着社会的发展，投资和理财已经成为越来越多人的关注点。
对于许多人来说，理财不仅仅是理财，还关系到生活的方方面面。
而投资的一个关键是考虑回报率。
在这个问题上，一元二次方程也发挥了重要作用。
假设你投资了一个项目，希望在三年内获得10%的回报率，如果初始投资金额为X元，那么三年后得到的金额就可以表示为：A=X （1+r）³。
其中，r是回报率。
我们可以通过解一元二次方程来计算出最终金额和初始投资金额之间的关系。
例如，如果我们知道最终金额和回报率，就可以反推出初始投资金额。
1.4用一元二次方程解决问题1
(2)如图，有一面积为130m2的矩形仓库，仓 库的一边靠墙，另三边用铁丝网围成，并在 与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围 成32m长的铁丝， ②如果墙长为16m，求仓库的长与宽．
(2)如图，有一面积为130m2的矩形仓库，仓库的 一边靠墙，另三边用铁丝网围成，并在与墙平行 的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的铁 丝，
初中数学
1.4用一元二次方程解决问题（1）
问题1．如图，在宽为20m，长为32m的 矩形地面上，修筑两条同样宽的且互相 垂直的道路，余下的部分作为耕地，要 使耕地的面积为540m2，道路的宽应为 多少米？
变题：如图，某小区规划在一个长40m，宽 26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的 道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若每一块草坪的面积 都为144m2，求道路的宽度．
问题2．⑴用一根22㎝长的铁丝． ①能否围成面积是30 cm2的矩形？若能，请 求出这个矩形的长与宽．
②能否围成面积为32cm2的矩形？并说明理 由．
(2)如图，有一面积为130m2的矩形仓库，仓 库的一边靠墙，另三边用铁丝网围成，并在 与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围 成32m长的铁丝， ①求仓库的长与宽．
一元二次方程的实际应用题
一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
利用一元二次方程解决实际问题
(利用一元二次方程解决实际问题) 一元二次方程是一个形式如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
它的解可以通过使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。
利用一元二次方程，我们可以解决许多实际问题，如求解物体的运动轨迹、解决几何问题等等。
下面将通过几个实际问题的例子来说明如何利用一元二次方程解决实际问题。
例1：一个石头从100米高的地方自由落下，求石头落地时的速度和落地时间。
解：根据物体自由落体运动的规律，石头落地时的速度可以通过一元二次方程求解。
设石头落地时的速度为v，落地时间为t，则有以下等式：100 = 0.5 * g * t^2 （物体自由落体的位移公式）v = g * t （物体自由落体的速度公式）其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2。
将第二个等式代入第一个等式中，得到：100 = 0.5 * (v/t) * t^2200 = v * t将上述方程组代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：t^2 - (200/v) * t + 0 = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：t = (200/v)/2 = 100/v将t代入第二个等式中，得到：v = g * (100/v)v^2 = 100 * gv = √(100 * g) ≈ 31.3 m/s所以，石头落地时的速度约为31.3 m/s，落地时间为t = 100/v ≈ 3.2 s。
例2：一个花瓶从楼顶上掉下来，从花瓶掉到地面的时间为5秒，求楼顶的高度。
解：根据物体自由落体运动的规律，花瓶掉到地面的时间可以通过一元二次方程求解。
设楼顶的高度为h，则有以下等式：h = 0.5 * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2，t为花瓶掉到地面的时间，取5秒。
将上述方程代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：0.5 * g * t^2 - h = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：h = 0.5 * g * t^2 = 0.5 * 9.8 * 5^2 = 122.5 m所以，楼顶的高度为122.5米。
一元二次方程的应用求解物理问题
一元二次方程的应用求解物理问题一元二次方程是数学中非常重要的概念和工具，它在各个领域中都有广泛的应用。
尤其在物理问题中，一元二次方程被广泛用于解释和求解与运动、力学、光学等相关的实际问题。
本文将通过几个例子，展示一元二次方程在物理问题中的应用和解决方法。
例一：自由落体运动自由落体运动是物理学中最基础的运动模型之一。
当一个物体从静止状态开始自由下落时，可以利用一元二次方程来描述其位置随时间的变化。
给定一个物体从某一高度h自由落下，忽略空气阻力的影响，加速度为重力加速度g。
设物体落地所需的时间为t，我们可以通过一元二次方程来求解t的值。
根据物体的运动学公式，物体下落的高度h与时间t的关系可以表示为：h = (1/2)gt^2其中，h代表高度，g代表重力加速度，t代表时间。
将上面的方程改写为一元二次方程的标准形式：(1/2)gt^2 - h = 0通过求解这个一元二次方程，可以得到自由落体运动中物体落地所需的时间t的值。
进而可以计算出物体的落地速度、动能等相关信息。
例二：抛体运动抛体运动是另一个常见的物理问题，它描述了一个物体在水平方向上具有初速度的情况下，受到重力作用下的轨迹。
假设一个物体以初速度v0沿着水平方向抛出，同时受到重力加速度g的作用。
物体的抛体运动可以用一元二次方程来描述其竖直方向上的运动轨迹。
根据物体的运动学公式，物体在竖直方向上的位置y与时间t的关系可以表示为：y = v0t - (1/2)gt^2其中，y代表高度，v0代表初速度，g代表重力加速度，t代表时间。
将上面的方程改写为一元二次方程的标准形式：(1/2)gt^2 - v0t + y = 0通过求解这个一元二次方程，可以得到物体在抛体运动中到达某一高度y所需的时间t的值。
进而可以计算出物体的最大高度、飞行时间等相关信息。
例三：光学问题光学问题中，一元二次方程也经常用于求解光线的折射、反射等问题。
例如，当光线从一种介质射入另一种介质中时，会发生折射现象。
用一元二次方程解决问题(含答案)
4.3用一元二次方程解决问题（1）目标导航：知识要点：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．学习要点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．基础巩固题1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．37B．5 C．38D．74、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm26、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？九 年级 练数 学 习同步9、如图，在ΔABC 中，∠B=90º，AB=4cm ，BC=10cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1？AB P C思维拓展题10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。
一元二次方程的应用解决运动问题
一元二次方程的应用解决运动问题一元二次方程在数学中有着广泛的应用，特别在解决运动问题上起到了重要的作用。
本文将通过几个实际的例子，介绍一元二次方程在运动问题中的应用。
例1：物体自由落体问题假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力。
我们希望计算物体下落所需要的时间以及下落的距离。
首先，设物体从高度h开始下落，并且取向下为正方向。
物体下落的加速度a可以采用地球的重力加速度9.8 m/s²。
根据运动学的公式，物体的下落距离可以表示为：s = ut + (1/2)at²其中，s表示下落距离，u表示起始速度，t表示时间。
由于物体自由落体，其起始速度为0，因此上式可以简化为：s = (1/2)at²要求物体下落所需的时间t，我们可以列出以下的方程：h = (1/2)at²接下来，我们将这个方程转化为一元二次方程的形式。
将h代入上式并整理，得到：(1/2)at² - h = 0这是一个一元二次方程，其中a = 1/2a，b = 0，c = -h。
我们可以使用一元二次方程的求解公式来求解该方程。
根据求解公式，我们得到：t = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a代入具体的数值后，我们就可以得到物体下落所需的时间。
例2：抛体运动问题抛体运动也是常见的运动问题之一。
假设一个物体以一定的初速度u和角度θ被斜抛出，我们希望计算物体的飞行时间、最大高度以及落地点的水平距离。
首先，我们可以将物体的水平速度和竖直速度分解为两个分量。
水平速度恒定，记作v_x = u * cosθ。
竖直速度随时间变化以受到重力的影响，记作v_y = u * sinθ - gt，其中g是重力加速度。
物体的运动轨迹可以被抽象为一个抛物线。
当物体达到最大高度时，其竖直速度为0。
我们可以根据这一点，求解物体的飞行时间和最大高度。
首先，等式v_y = 0可以转化为如下的方程：u * sinθ - gt = 0解这个方程，可以得到物体达到最大高度时的时间t。
用一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题（1）陈跃进学习目标1.进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型。
2.通过对实际问题的解决过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在。
学习重点：认识不等式学习难点：文字语言转化为数学不等式教学过程一、情境引入：围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2. 求这个公园的长与宽.二、探究学习：1．尝试：通常用一元一次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2．概括总结．用方程解决实际问题的一般步骤为：找相等关系，设未知数，列方程，解方程，检验，答题。
3.典型例题：例1、我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元，如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。
甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？例2、两个连续奇数的积是323，求这两个数。
4.巩固练习：（1）在三位数345中，3，4，5是这个三位数的什么？（2）如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？（3）有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
（4）已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个是（5）求x:(x-1)=(x+2):3 中的x.（6）三个连续整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个数。
三、归纳总结：1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2、解的取舍情况.【课后作业】1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为（）A、10%B、20%C、120%D、180%2、若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )A、±15B、15C、-15D、113、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是。
初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例
初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，学习和掌握它对于解决实际生活中的问题具有重要意义。
以下将介绍几个一元二次方程在实际应用中的案例。
例一：抛物线的应用 - 抛物线喷泉在公园中，常常可以看到美丽的喷泉景观。
这些喷泉往往呈现出一个高高上升的水柱然后再逐渐下落，形成一个美丽的抛物线形状。
喷泉的高度和时间之间的关系可以由一元二次方程来表示。
设喷泉的高度为h（单位：米），时间为t（单位：秒）。
研究显示，喷泉的高度随时间的变化关系可以用以下一元二次方程表示：h = -5t^2 + 20t在这个方程中，-5t^2代表了喷泉高度随时间的递减，并且t^2项的系数-5表示了递减的速率。
喷泉的初始高度是20米，因为方程的常数项20表示了t=0时的高度。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到喷泉的高度在不同时间点的具体数值，以及它在不同时间点的高低变化趋势。
这样的分析有助于公园管理者进行喷泉景观的设计和维护。
例二：运动轨迹的预测 - 投掷运动一元二次方程也可以在物体的投掷运动中应用。
当我们投掷物体时，它的运动轨迹往往呈现出一个抛物线形状。
通过建立一元二次方程，我们可以预测物体的运动轨迹和到达目标所需的时间。
假设有个人以初速度v（单位：米/秒）将一个物体投掷出去，物体的运动轨迹可以由方程h = -5t^2 + vt + h0表示，其中h代表物体的高度，t代表时间，h0代表投掷时的高度。
通过解方程，我们可以计算出物体到达地面时所需的时间以及它的落点坐标等信息。
这对于进行远程投掷比赛、预测投掷物下落位置等都非常有用。
例三：经济学中的应用 - 成本与利润一元二次方程在经济学中也有应用，特别是在成本、利润等方面的分析中。
假设某公司的生产成本与产量之间的关系可以用一元二次方程进行表示。
设生产成本为C（单位：元），产量为x（单位：个），则可以用方程C = 2x^2 - 10x + 100来表示。
一元二次方程的应用(1)
教案教学内容一元二次方程——一元二次方程的应用（一）一、学习目标：1．会列出一元二次方程解应用题；2.学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；3.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、知识回顾：1．解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；（4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）验：检验方程的解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）．三、新知讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：认真审题，分析题意，弄清已知量、未知量及它们之间的等量关系；（2）设：设未知数，用一个字母来表示题目中的未知量，有直接设未知数和间接设未知数两种方法；（3）列：根据题目中的数量关系列出一元二次方程；（4）解：指解方程，即求出所列方程的解；（5）验：必须检验求出的每个节是否符合题意，不符合题意的应舍去；（6）答：书写答案，注意题目中的单位．注意：（1）设未知数时，必须写清单位，用对单位；（2）列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位；（3）一定要检验根是否符合实际意义。
2．列一元二次方程解应用题的常见题型传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、数字问题、营销问题、利息问题等．（1）传播问题：传播问题要抓住两点：一是传播源；二是传播速度。
若传播源是a，传播速度是x，则一轮传染后，被传染的总数是a+ax；二轮传染的传染源是a+ax，传染速度是x，被传染总数为a+ax+x(a+ax)，即a（1+x）2；注意：每轮的传染源数量改变，传染速度不变。
（2）平均增长率问题与平均降低率问题：1、平均增长率是指增长数与基数的比。
一元二次方程应用题分类
x(18 x)81 化简得，x21x88 10
(x9)2 0 x1x29
答:应围成一个边长为9米的正方形.
列一元二次方程解应题
小结：解决这类问题的关键是掌握常见 几何图形的面积体积公式，并能熟练计 算由基本图形构成的组合图形的面积．
18.5一元二次方程应用（2）
开启 智慧
整理得x2 5x 6 0.
解 得 x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这 两 个 数 为32或 23.
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中
间一个数的平方大332，求这三个连续偶数. 1、偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2、奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间 一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x，则其 余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自然数，可 设中间一个自然数为x，则其余两个自然数分别为(x1) 和(x 1).
答 : 这个两位数为25,或36.
快乐学习 2
数字与方程
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数, 两个两位数的积为736.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
x x 解方程,得
_1_0
1
_
___-,1_2 2
_(.不_合_题_意,舍去)
答:平均一个人传染了____1_0___个人.
提出问题理清关系,解决问题获得新知——以《一元二次方程应用(1)》为例
2020年第10期馥学教学10-9提出问题理清关系，解决问题获得新知以《一元二次方程应用（1）》为例汪萍（浙江省杭州市萧山区瓜沥镇第二初级中学，浙江杭州311241）教育教学活动应该是教师、学生、教材三者之间共同生长.然而在实际教学中，教师往往顾虑教学任务不能完成，担心课堂教学中学生的思维过于发散而难以把控，因此教师在上课之前都会精心设计问题，学生在课堂中就是不断的解决教师预先设计好的问题.实质上,这样的教学教师在课堂中还是占据绝对的主宰地位.“问题提出”的课堂教学是指教师给定问题情境，学生观察、分析相关数学信息，思考、联结已有知识，提出数学问题并表达,让学生解决自己或同伴所提的问题，在解决问题过程中又产生新的质疑、困惑，再提出问题，最终完成教学任务,达成教学目标•“问题提出”能让学生在提出问题过程中理清信息中蕴含的数量关系，在解决问题的过程中获得新知，因此“问题提出教学”不仅是一个生动的、主动的、富有个性的教学方法，也是顺应时代要求的新型教学手段或方法.1课题分析1-1内容分析一元二次方程的应用在初中数学教学中占有重要的地位,不仅与之前的一元一次方程及应用相关，又为今后学习二次函数奠定基础•数学知识应用的教学需要学生在生活实际中提炼出数学关系，一元二次方程的应用中的数量关系相对复杂,对于许多学生而言还是比较难的.1-2学生分析学生已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的应用,对于方程应用题的解题方法有一定的基础.《一元二次方程的应用（1）》这一课中包含了销售问题和增长率这两类题型，以往教学中，通常是先后给出一种类型的例题，由学生独立思考，然后老师讲解方法•虽然学生有一定的基础，但是一元二次方程的应用无论是题目的阅读量还是数量关系都比前面所学的方程的应用更为复杂.因此，这类课堂学生的学习状态往往有三类：一部分学生看到篇幅长又读不懂的题目，就直接放弃;一小部分学生能独立完成例题,但学生思维受限制，很难有新的发现;剩下的大部分学生就是认真仔细听老师讲，反复模仿、记忆老师讲解的过程与方法.这类课的课堂中教师教的很吃力，学生两极分化的现象也很严重.基于以上原因，笔者在这类课上尝试用“问题提出”进行教学实践,根据教学目标设计符合学生认知或感兴趣的生活情境，并且语句尽可能的简短明确，鼓励学生根据自己已有的知识经验提出数学问题,这样让基础差一些的学生愿意阅读，也能读懂.让学有余力的学生不局限于这一个问题，从而提高学生的学习兴趣,提高学生在课堂中的参与度，因材施教构建学生自己的学习.2教学过程2.1课前准备本班一共36位学生，课前按座位就近原则以六人为一组进行分组，共有六个小组.因为这样学生之间相对更熟悉一些，避免组员出现过于自卑沉默寡言或过于强势一人发言的现象•选择一位组长负责记录、整理，呈现组员提出的问题•组长不评论问题的好坏，只分辨是不是相同问题，若是相同问题则只记录一次•这样能更好地鼓励所有学生积极参与问题提出.2.2二次开发教材，创设“问题提出”情境教材中例1：10-102020年第10期某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？图1在原有的背景下改为：很多人都会在家中养殖一些盆栽植物，给居室增添不少生机.今天我们以美丽的盆栽为背景学习新的数学知识.某花圃用花盆培育某种花苗，有以下一些信息：①一盆花可以植入1株，也可以植入多株;②经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系：每盆植入3株时，平均单株盈利3元;③以同样的栽培条件，若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.师：给大家10分钟时间，请阅读并根据以上信息提出一个简单的和一个难的数学问题.【设计意图】：如果按课本例题直接给出，大部分学生感到无从下手•但是该例题的实际背景是学生在日常生活中比较熟悉的，因此将原题的关键语句提炼为三小点，给岀三条信息,这样有利于学生理解题意.每个学生的认知程度不同，将不同层次的学生提出的简单和难的问题综合以后，可以分为简单、中等、难三类.提出简单的问题相当于是审题，提出中等难度的问题基本能达成教学目标，提出难的问题就是对该类型例题的拓展延伸.学生分组讨论提出问题，教师巡视后发现许多小组提出的问题雷同，因此选取了比较清楚又具有代表性的三个小组提出的问题，以投影的形式展示如下：第一小组：简单的问题：(1)这个盆有多大？最多能栽几株植物？(2)是不是栽9株,植物养不活？难的问题：(1)每盆栽10株，是不是要倒贴钱？(2)设毎盆增加了力株，用含％的代数式表示单株盈利？第三小组：简单的问题：(1)每盆栽5株，单株盈利是多少？(2)每盆增加到9株，单株的盈利情况？难的问题：(1)增加了3株后，盈利减少了多少元？(2)根据以上材料，写出增加的株数与单株的盈利的函数关系式.(3)写出增加的株数与总盈利的函数关系式.第六小组：简单的问题：(1)当每盆栽4株时，每株盈利多少元？每盆盈利多少元？栽5株又是多少呢？(2)当每盆栽多少株时，是亏本的？(3)当盈利10元时，每盆栽多少株？难的问题：(1)每盆栽多于3株时，请列出函数关系式.(2)当每盆植物多于3株时，增加的株数为多少时，盈利最大？师：同学们提出了许多问题，给大家7分钟时间想想怎样归类更有利于我们解决这些问题？为什么这样归类？生：这个盆有多大？栽3棵植物能活吗？这个盆有多大，最多能栽几棵植物？是不是我栽9棵，植物就养不活了？这类我认为是没有用的问题，因为这类问题与数学课堂没什么关系，属于与课堂教学无关的问题.生：“每盆栽4株时，单株盈利是多少元?2020年第10期10-11每盆栽5株时，单株盈利是多少？每盆栽10株,是不是要倒贴钱？”这是一类问题，这些问题有具体数据，我都能口答，是简单问题.种4株的单株盈利是3-0.5=2.5,种5株时是3-1=2.“每盆栽多于3株时，请列出函数关系式？根据以上材料，写出增加的株数与单株的盈利的函数关系式.写出增加的株数与总盈利的函数关系式”这些为一类，因为这些都与函数有关，属于难的问题•“当植物多于3株时，增加的株数为多少时盈利最大？”这个问题不是函数问题，想不出用什么方法算最大盈利，所以这个也是属于难题.剩下的归为一类，就算中等难度问题吧.师：其他同学有不同的归类吗？学生们纷纷表示差不多是这样归类的.师：你们的归类居然跟老师的想法是一样的，非常棒！那么我们一起从简单问题开始逐一解决，刚才这位同学已经把每盆栽4株、5株后单株的盈利口算出来了，那么单株盈利与哪个量有关？生：增加的株数.师：增加％株，单株盈利是多少？生：3—0.5%.师：有了单株盈利，那么我们就可以解决哪些问题了？请你选择一个问题解答.第二位同学先点评前面同学是否正确，再选择一个问题解答.生：增加了3株后，每株盈利减少了多少元？（0.5x3= 1.5元）生：他的解答是正确的.我选择“每盆栽310株，是不是要倒贴钱？”.（yy+3=9,需倒贴钱）生：他的回答是对的•我选择“当每盆株数是多少时，是亏本的？”.（每盆大于9株时是亏本的）生：前面的同学回答正确.然后我选择“当每盆盈利10元时，每盆几株?”.（先设每盆增加％株，（3+x）（3-0.5x）=10,解得x,=1,◎=2,也就是每盆4株或5株时盈利10元）师：你是根据怎样的等量关系列出这个方程的？生：根据“每盆盈利=株数x每株盈利”.因为增加尤株时，单株盈利是（3-0.5x）元，共有（3+x）株，方程就列出了.师：非常好！那么我们再回顾整个过程，解一元二次方程应用题的一般方法是什么？（1）审：理清数量关系.（我们在提出问题的过程中，就整理分析问题情境中的数量关系）（2）设：找到关键量.（在解决简单的问题时，获得了关键量）（3）列：根据等量关系列出方程.（利用所学的一些常用等量关系如：行程问题，销售问题，面积问题等）师：此时我们已经成功解决问题，当然我们也不能忘记对方程的根进行检验，也=1, x2=2不仅要满足方程也要符合现实实际，检验完毕后写上结论.师：“当植物多于3株时，增加的株数为多少时盈利最大？”你们认为它是属于哪一类问题呢？（很多学生表示不知该如何算最大盈利）师：那么我们先研究剩下你们认为较难的问题：（1）当植物多于3株时，列出每株盈利与株数之间函数关系式.生：设每株盈利y元，每盆增加％株（％> 3）,贝'J y=3-0.5%.师：它们的关系是我们学过的一次函数.（2）根据以上的材料，写出增加的株数与每盆总盈利的函数关系式.师：我们可不可以类比前面列一次函数的方法列出这个函数关系式？生：设每盆总盈利为y元，每盆增加％株. y=（3+x）（3-0.5x）.师：这个函数与我们所学的一次函数有区别，这就是以后要学的二次函数，大家把二次函数的问题也解决了，非常厉害.（一片笑声，学生很有成就感，而且对今后二次函数的学生更有信心）师：最后那个看似不像函数又不知道该怎么解决的问题“当植物多于3株时，增加的株数为多少时盈利最大？”，以后我们正式学习二次函数求最值后，此题很快就能解决.【设计意图】：这个环节中，让学生对这些10-122020年第10期问题进行归类，因为在归类的过程中学生需要逐个分析这些问题，这样能帮助学生进一步理解题意•在解决问题的过程中帮助他们再次理清各个量之间的关系，从而得出解决一元二次方程销售应用题的一般方法.【对比小结】：以往教学中，解实际应用问题的基本步骤：审一设一列一解一检一答.紧接着利用表格的形式，抛出问题：每盆植入株数单株盈利增加1株下降0.5元/株增加2株下降？元/株(生：1元)增加”株下降？元/株(生：0.5’元)此时共有：？株单株盈利？元/株生：3+%3—0.5x师生共同回答问题后便列出方程(3+x)(3-0.5x)=10,并求出解.传统教学中例1主要是通过教师由浅入深地设计好问题，再由学生逐个解决问题，获得解题方法.而“问题提出”的教学，是由学生自己分析信息，分析数量关系，提出问题•能提出问题，说明已有解决问题的思路，教师适当的总结，让学生的思路由模糊到清晰，最终获得解题方法.此外，学生所提问题有涉及二次函数的问题，可以让同学们初步体会一元二次方程与二次函数的联系与区别，为日后二次函数的学习打下良好的基础.2.3追加练习，巩固新知练习1：某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均可多售出20箱.若要尽可能多售出并且使每天销售的饮料获利1400元.则每箱应降价多少元？生1：毎箱每降价1元，平均可多售出20箱.得出降％元多售20%箱，则有(100+20%)箱.每箱的利润为(12-x)元.销售量x每箱利润=总利润，得出(100+20x)(12-1；)=1400,解得：%!=2,龙2=5.生2：是不是还需检验解？生3：与例题对比此题多了“尽可能多售出”这个条件，是不是应选择售出多的那个解？同学们点头表示肯定.师：在解一元二次方程应用题后，要注意检验应用题有无增根，又要检验是否符合题意.师：解一元二次方程应用时，还有一个重要的步骤：“检”是指解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意.【设计意图】：改变问题背景，一是巩固所学新知，二是一元二次方程应用题中根的检验既要符合生活实际情况又要符合题意.【对比小结】：以往的教学中，学生看到此题第一反应就是模仿教师讲解开始列表，列表对于学生而言并不简单,超过一半的学生还不能独立的将上述表格列出，还需反复训练才能完全掌握方法•问题提出教学中，呈现出截然不同的情况，学生能自主分析,个别同学遇到疑问时，也能提出问题与同伴交流.2.4给定方程式，提出问题师：例1与练习中的两个方程只是问题的背景改变，方程式的结构不变.接下来，老师给出一个如下形式的一元二次方程(a±bx)(c±dx)=A:(其中a,b,c,d, k为常数)，这里a,b,c,d,/c都是常数，也就是你们可以通过计算自己选择数据.根据这个方程，给大家10分钟时间，编一个与此方程式相关的数学问题.(将每个小组编的数学问题拍照并投影展示)【设计意图】：通过一、二环节，学生经历“问题提出”并解决问题这一过程.整个过程由易到难层层递进，在这个过程中学生理清了各个量之间的数量关系，最终对利润问题有了较为深刻的体验.这个环节是为了触发学生对前面知识的逆向思考.由于给定的方程是积的形式，学生容易类比迁移到环节一中的利润问题，设计这一环节的目的是让学生再次认识利润问题中每一个量的意义的同时，还希望学生可以跳出利润问题的框架，构建新的背景，从多角度来给这个方程赋予实际意义.学生把生活背景改一下，有买书、买矿泉水等等•选了三个比较完整的问题设计展示：2020年第10期欽学获学10-13(1)某超市销售台灯,每个台灯售价为60元，成本价为40元，每星期卖出300个，为了促销决定降价，市场调查反映：每降价1元,每星期可多卖30个.在顾客得实惠的前提下，该超市想获利6480元，应将每个定价为多少元？(2)班级组织学生去杭州乐园游玩，票价标准：如果不超过10人，每张票价200元，每增加1人，票价降低5元，共支付2625元，有多少同学参加了活动？(3)某小店销售一种饮料，每瓶进价9元，每瓶售价每增加0.5元，每天销售量减少40瓶，已知售价为每瓶12元，每天销售量是400瓶，售价定为多少元时，每天获利1280元？师：大家都提出了很好的问题，事实上我还看到了有同学提出了这样的问题：将一个长为40,宽为25的长方形截去角上4个小正方形，折成无盖纸盒.纸盒底面积是450,纸盒高是多少？师：这个还是销售问题吗？生：这个是和面积有关的问题.销售问题是“单价X数量=总数”这个数量关系.长方形面积是“长x宽”，与这个(a±6x)(c±dx)代数的形式相同.五分钟后又有一些学生提出了新的问题：(1)如图3,在一块长方形绿地长40m,宽25m,在绿地开辟两条宽度相等的道路.绿地面积缩小到原来的80%,求小路宽？图3(2)某农场要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠长为18m的墙，另三边用木栏围成，木栏长为32m.鸡场的面积能围成120m2吗？能围成130m2吗？师：由于课堂时间有限，这个我们可以在课后继续研究.老师这里再给出一种动点问题：^/\ABC中，AB=90°,4B=40cm,BC= 25cm,D点以1cm/s的速度从4点向B点移动，E点从C点以2cm/s的速度向B点运动，经过几秒HBDE的面积为450cm2?师：同学们分类非常棒！事实上这类方程的形式可以大致分为以下三类：(1)销售问题：单价X数量=总数.学生通过类比迁移，将种植植物、销售矿泉水问题情境改成购票、房间分配等问题情境.(2)几何图形面积问题.长x宽=长(a±bx)矩形面积宽(c土如二＞底X*X T=三角形面积(3)动态几何问题【设计意图】：给出一元二次方程的一般形式，让学生根据方程的特点提出实际问题,这对于学生而言要求比较高,需要通过计算找到一些数量，这些数量既要符合生活实际又要符合方程.因此在短暂的时间内，学生通常只能模仿例题提出问题.教师提前应有一些预设，如面积问题、动点问题都是教师事先预设,目的就是让学生不局限于销售问题，感悟提出这类问题的关键是分析出方程的结构特征.这样能让学生体会初中阶段所学的方程的应用题的类型相似，只是问题情境不同而已，增强10-142020年第10期学生解题信心.【对比小结】：这个环节中，教材中例2是增长率问题.以往的教学是利用前面解题经验，自主分析解决另一类题型的问题.在问题提出教学中，没有选用课本中的例2,而是选择了一个具有典型特征的一般方程式，让学生根据方程式的特征及新知，给方程式赋予数学背景或生活情境的方式提出问题.同学们用同一个方程式创设了许多不同数学问题，解释了一元二次方程应用题的共同特点，发展了学生的核心素养.2-5回顾反思，分层作业，完善结构课堂小结：1.解一元二次应用题的一般思路？2.销售问题、面积问题及几何动点问题中，所列方程的结构基本相同.一个方程式创设了许多不同数学问题，因此一元二次方程的应用题只是换了背景，方法是共通的.分层作业：请编一道用x2-8%+7=0解决的实际问题.【设计意图】在环节一、二之下，学生对于给定的一元二次方程，已经能赋予方程实际意义•在课堂中只是对单一类型的方程（a±/）（c土弘）=权其中a,b,c,d,k为常数）进行编题,那么将特定类型改成一般形式的方程让学生编题，学生的思维进一步打开，也为下一课增长率问题做好铺垫，也能让学生经历从特殊到一般的过程.3教学实践后反思3-1整合优化教学内容，揭示数学的内在联系初中阶段一元一次方程、一次函数、一元二次方程与二次函数之间都存在着关联性和互化性.教材中一元二次方程的应用有两节课，涉及的知识是：销售问题，增长率问题和面积问题•销售问题、面积问题及分配问题中，所列方程的结构是相同的.因此教师将销售、分配与面积问题放在同一节课中，将例1改为问题提出的信息背景，通过学生提出问题、解决问题提炼出新课的知识•再利用一个典型的方程式做为问题情境，让学生在提出问题过程中发现一元二次方程的应用题其结构是相同的，只是基于不同的问题背景而已•也有同学提出了有关二次函数的问题,事实上二次函数的应用（九年级上学期）中也会出现这些问题，因此存在本质联系.3.2“顺”“逆”并存，拓宽学生思维学生在平时练习或考试中，都是从习题中探寻数量关系•本堂课既让学生从给定的信息中理清数量关系从而提出数学问题，又让他们从给定的方程中寻找方程的特征，再赋予实际背景提出数学问题.一个是顺向思维一个是逆向思维，使学生不单纯的局限于解决课本上的销售问题•这不仅可以让学生获得解决一元二次方程的方法，而且对整个初中阶段的应用型的解题方法及其题型的一致性有更深感悟.既拓宽了学生的思维,也增加了解题信心.3.3本课例教学的不足本堂课最大遗憾就是内容比较多导致时间比较紧张，每一个环节都比较匆忙,虽然学生有一定的思考，但依然不够充分，存在提出的问题基本停留在与课后练习类似的情况.正是时间的原因，教师在各个环节并没有完全放开让学生充分表达他们的想法•教师在今后课堂需不断尝试，设计的教学任务更精简，给学生充分的时间发挥展示.问题提出的教学设计必须基于本堂课学生的学习目标,即学生需要掌握的基本知识、基本技能和解决问题能力，据此设计提出问题的背景信息•设计的信息背景需贴近学生的认知，给定的信息需要有一定层次•在问题提岀的课堂教学过程中,学生对自己或同伴提出的问题特别在意，这样就使得他们在课堂中的参与度、关注度都比以往的教学有很大的提高,学生也很喜欢这样的教学方式，表示这样的课堂特别有成就感.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社,2011.[2]王卫标，鲍建立.初中数学提出问题教学研究[M].北京：北京师范大学出版社, 2012.[3]陈晶,潘红玉.核心素养指向的“重难点突破”创新教学微课点评（二）[J].中学数学教学参考,2019（17）：8.。
一元二次方程的应用题
一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
解设这两个月的平均增长率是x。
，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。
答这两个月的平均增长率是10%。
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。
对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答需要进货100件，每件商品应定价25元。
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。
三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。
（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。
一元二次方程解决问题
一元二次方程解决问题一元二次方程是数学中重要的概念之一，它可以用来解决各种实际问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数常数，x是未知数。
解这个方程就是找到满足方程的x值，使得等式成立。
一元二次方程可以应用于多个领域，例如物理、经济、工程等。
下面将介绍一些实际问题，如何使用一元二次方程来解决这些问题。
1. 抛物线轨迹问题：假设一个物体以抛物线的轨迹从地面上抛出，问题是求出物体的最高点高度以及飞行的最远距离。
通过建立一元二次方程来解决这个问题。
首先，通过实验或已知条件得到物体的速度和角度。
然后，利用物体在竖直方向上的运动轨迹建立方程，得到物体的最高点高度。
接着，利用物体在水平方向上的运动轨迹建立方程，解出物体的飞行时间，进而求得最远距离。
2. 经济利润最大化问题：假设某公司生产并销售一种产品，已知每个产品的生产成本和售价，问题是确定每个产品的售卖数量，使得公司的利润最大化。
通过建立一元二次方程来解决这个问题。
首先，根据售卖数量和成本、售价的关系建立利润方程。
然后，通过求解方程的最大值来确定最佳的售卖数量，以达到利润最大化。
3. 桥的设计问题：假设要设计一座跨越河流的桥，问题是确定桥的最佳高度和长度，以便使得桥的建设成本最小。
通过建立一元二次方程来解决这个问题。
首先，根据桥高度和长度的关系建立建设成本方程。
然后，通过求解方程的最小值来确定最佳的高度和长度，以达到建设成本的最小化。
上述只是一些应用一元二次方程解决问题的例子，实际上，一元二次方程可以应用于更多的实际问题。
通过建立恰当的方程，并运用解方程的方法，我们可以解决各种实际问题，从而提高问题解决的效率和准确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4 用一元二次方程解决问题(一)
1. 用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出 、设 、列 、解方
程、 、写出 答案的过程.
2. 用一元二次方程解决问题的关键是 .
3. 从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是482m ，则原来这块木
板的面积是（ ）
A. 1002m
B. 642m
C. 1212m
D. 1442m
4. 如图，在长为100m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 2m ，则道路的宽应为多少米? 设道的宽为x 米，则可列方程为 （ ）
A. 10080100807644x x ⨯--=
B. (100)(80)27644x x x --+=
C. (100)(80)7644x x --=
D. 10080356x x +=
5. 如图，对一块长60 m 、宽30 m 的长方形荒地进行改造，要在其四周留一条宽度 相等的人行道，中间部分建成一块面积为1 000 m “的长方形绿地，求人行道的宽度.
6. 如图，某养殖场要用防护网围成长方形养鸡场地，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2m 宽的门.现有防护网的长度为91 m ，场地的面积需要1080 2m ，若墙长50 2m ，求场地的长和宽.
（1） 一变:若墙长46 m ，求场地的长和宽；
（2） 二变:若墙长40 m ，求场地的长和宽；
（3） 通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？
7. 从正方形的铁片上截去8 cm 宽的一条长方形，余下部分的面积是48 2cm 时，则原来
的正方形铁片的面积为（ ）
A. 8 2cm
B. 16 2cm
C. 64 2cm
D. 144 2cm
8. 要用一条长为30 cm 的铁丝围成一个斜边长为13cm 的直角三角形，则两条直角边长分别为 （ ）
A. 5 cm 和10 cm
B. 8 cm 和9 cm
C. 5 cm 和12 cm
D. 8. 5cm 和8. 5 cm
9. 从一块长80 cm 、宽50 cm 的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周的宽度相同，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，设长方框四周的宽度为x cm ，根据题意可列方程为 （ ）
A. (802)(502)40002x x --=÷
B. (802)(502)4000x x --=
C. (80)(50)40002x x --=÷
D. (80)(50)4000x x --=
10. 小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58 2cm ，小林应该怎么剪?
(2) 小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 2cm ”他的说法对吗?请说明理由.
11.某新建火车站前广场需要绿化的面积为46 000 2m ，施工队在绿化了22 000 2m 后，将每天的工作量增加为原来的1. 5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1) 该项绿化工程原计划每天完成多少平方米?
(2) 该项绿化工程中有一块长为20 m ，宽为8m 的矩形空地，计划在其中修肉块相同
的矩形绿地，它们的面积之和为562m ，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图)，人行通道的宽度是多少米?。