用一元二次方程解决传播问题含答案

用一元二次方程解决传播问题

基础题

知识点1传播问题

1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B)

A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81

C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100

B．x(1＋x)＝100

C．1＋x＋x2＝100

D．x2＝100

3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？

解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得

1＋x＋x2＝111.

解得x1＝10，x2＝－11(舍去)．

答：每个支干长出10个小分支．

知识点2 握手问题

4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C)

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．

解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28．

整理，得x 2－x －56＝0．

解得x 1＝8，x 2＝－7．

合乎实际意义的解为x ＝8．

答：应邀请8支球队参赛．

6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值．

解：由题意，得12n(n －1)＝45.

解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)．

答：n 等于10.

知识点3数字问题

7．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是98．

8．若两个连续整数的积是56，则它们的和是±15．

9．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？

解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3)，由题意，得

x2＝10(x－3)＋x.

解得x1＝6，x2＝5.

当x＝6时，x－3＝3；

当x＝5时，x－3＝2.

答：这个两位数是36或25.

中档题

10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(B)

A．4个B．5个

C．6个D．7个

11．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席

了这次交易会？

解：设有x 家公司出席了这次交易会，根据题意，得12x(x －1)＝78.

解得x 1＝13，x 2＝－12(舍去)．

答：有13家公司出席了这次交易会．

12．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和是多少？

解：设最小数为x ，则最大数为x ＋16，根据题意，得x(x ＋16)＝192. 解得x 1＝8，x 2＝－24(舍去)．

故这9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24.

所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.

13．(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人，则

1＋x＋x(x＋1)＝64.

解得x1＝7，x2＝－9(舍去)．

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．

(2)64×7＝448(人)．

答：第三轮将又有448人被传染．

综合题

14．(1)6位新同学参加夏令营，大家彼此握手，互相介绍自己，这6位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6＝30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手66次；

(2)我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？

(3)在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题；(4)请运用解决上述问题的思想方法，探究一个多边形的对角线的条

数可能为20条吗？一个多边形的对角线的条数可能为28条吗？ 解：(2)每一条直线最多与其他19条直线相交，20条直线相交有20×19＝380个交点，但每两条直线相交2次，因此这20条直线相交，

最多有20×192＝190个交点．

(3)答案不唯一，如：现有12个乒乓球队参加乒乓球循环赛(每个队都要与其他队比赛1场)，共需比赛多少场？

(4)若这个n 边形的对角线条数为20条，则有

n （n －3）2

＝20. 解得n 1＝8，n 2＝－5(舍去)．

故一个多边形的对角线的条数可能是20条．

若这个n 边形的对角线条数为28条，则有

n （n －3）2

＝28. 整理，得n 2－3n －56＝0.

因为Δ＝32＋4×1×56＝233，

所以n ＝3±2332.

因为233为无理数，而对角线的条数是有理数，

所以不存在一个多边形的对角线的条数为28条．