一实数与整式

一、实数与整式符学建苏州新区第一中学【课标要求】1、有理数（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）.（4）理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.（5）能运用有理数的运算解决简单的实际问题.（6）能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.2、实数（1）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.（2）能用有理数估计一个无理数的大致范围.（3）了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，知道计算器进行实数计算的一般步骤，能按问题的要求对结果取近似值.3、代数式（1）在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义.（2）能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.（3）能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.（4）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.4、整式（1）了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数.(2)了解整式的概念，会进行简单的整式加、减、乘、除运算.(3)会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；(a±b)2=a2±2ab+b2，能用图形的面积解释乘法公式，并会用乘法公式进行简单计算；了解乘法公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；(a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3．【课时分布】实数与整式在第一轮复习时大约需3课时下表为内容及课时安排（仅供参考）另外：根据学生掌握的情况可安排一课时对学生进行实数与整式的运算的强化训练．2、基础知识（1）实数的概念与分类 ①无理数的概念及实数的分类． ②数轴的概念。

明确实数与数轴上的点一一对应（数形结合）． ③相反数：当a 与b 互为相反数时有a +b =0．④绝对值：实数a 的绝对值的意义为⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a aa 是非负实数,它在数轴上表示数a 的点与原点的距离．⑤倒数：当a 与b 互为倒数时有ab =1． （2）实数的大小比较 （3）实数的运算①运算法则．②运算定律：交换律、结合律、分配律．③运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的．④科学记数法：若N 是大于10的整数，记成N=a n10⨯，其中1≤a<10，n=整数位数－1；若0<N<1，记成N= a n10⨯，其中1≤a<10，n 为一个负整数（有效数字前0的个数的相反数）．⑤近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，从左边第一位非零数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字． （4）代数式 ：代数式的意义及代数式的值. （5）整式①定义：单项式和多项式统称整式．②单项式的定义，明确单独一个数字或字母也是单项式，单项式的系数和单项式的次数．③多项式的定义及将它按某个字母升降幂排列．④同类项的定义． （6）整式的运算①整式的加减法——先去括号，再合并同类项． ②整式的乘法．幂的运算法则：整式乘法都以幂的运算法则和运算律为基础的，要熟练掌握整式乘法的计算． 乘法公式：332222222))((,2)(,))((b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a ±=+±+±=±-=-+μ ③整式的除法：除法是乘法的逆运算，要熟练掌握单项式除以单项式及多项式除以单项式的运算法则．3、能力要求例1将下列各数填入相应的集合内，并用“<”号将下列各数连接起来．21--，2,8-,3π,︒30sin ,4-有理数集合 无理数集合【分析】实数的分类关键是要理解相关概念;实数的大小比较可借助大小比较发则进行比较,并能估计无理数的大致范围.【解】有理数集合 无理数集合 8- ，3π…8-<4-<21--<︒30sin <3π<2.【说明】①实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式；如︒30sin =21,4-=2-,21--=21-.②实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较. 例2已知：23(2)30a b a -++==0，求ba 11+的相反数的倒数. 【分析】两个非负数的和为零，即组成算式的每一部分均为零，由此可求出a 、b 的值. 【解】 由题意得 2a -b =0 解得a =-3, b =-63+a =0∴b a 11+=-216131-=-，它的相反数为21. 它的相反数的倒数是2.【说明】完全平方式和绝对值均为非负数，要充分理解其意义，并运用这一特征解题， 本题涉及到的概念较多，有相反数、倒数、绝对值等. 例3计算（1）)5.1(21)32()211()32(222-÷----⨯； （2）0112007212-30cos 3）（）（-⨯+--︒． 【分析】（1）式中因为94)5.1(1)32()32(222=-=-=，所以可提取94再进行运算； （2）式中将各部分分别求值，再将他们求和． 【解】（1）)5.1(21)32()211()32(222-÷----⨯ 2,︒30sin ,21--,4-…43414()92929431(1)9224(2)989=⨯--+⨯=⨯--+=⨯-=-（2）0112007212-30cos 3）（）（-⨯+--︒2512121233=⨯++⨯=【说明】正确进行实数的运算是基本要求，其中涉及到实数的运算法则、幂的运算、特殊三角函数值的计算等．例4计算⑴)3)(3(c b a c b a -+-++-； ⑵22211111()()()42424x x x x x -++-+． 【分析】（1）中可将b a 3+-看作一个整体，先用平方差公式,再用完全平方公式进行运算；⑵中先将412-x 化为)21)(21(-+x x ，再用乘法公式运算更加方便，“先退后进”是一种思想方法．【解】⑴原式=2222296)3(c b ab a c a b -+-=--．⑵原式=)4121)(21)(4121)(21(22+-+++-x x x x x x=641)81)(81(633-=+-x x x ．【说明】整式运算时要注意能灵活运用乘法公式．例5（1）若代数式7322++x x 的值为8，求代数式9642-+x x 的值；（2）若x 为实数，说明代数式8632+-x x 大于0.【分析】（1）中由条件可知的1322=+x x 值，可将1322=+x x 作为整体求x x 642+的值，就可得9642-+x x 的值．（2）中运用配方法可确定代数式值的正负．【解】（1）∵7322++x x =8， （2）8632+-x x∴1322=+x x 23(21)38x x =-+-+∴x x 642+=2 5)1(32+-=x9642-+x x =-7 ． ∵x 为实数，∴23(1)5x -+≥05>．【说明】①注意整体思想在代数式求值中的运用；②配方法是常见的数学方法，在验证代数式的值、根的判别式、二次函数化成顶点式等情形中有较为广泛的运用．例6图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2；再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（图1） （图2） （图3）⑴ 将下表填写完整：⑵ 在第n 个图形中有________个三角形(用含n 的式子表示)．【分析】根据题目中的解题信息找规律是近年较流行的一类考题．解决这类问题，首先要从简单的情形入手，其次抓住“编号”，“序号”等与其他数量之间的关系，从而寻找出规律．本题中每一次连结最中间的三角形各边的中点，就多出四个小三角形区域．【解】⑴⑵4n一3【说明】本题还可从函数的角度去考虑，因为三角形个数y随着图形编号x的变化而变化，可猜想他们之间存在一次函数关系，可设y=kx+b用待定系数法求k、b，再选出其他组数的值代入验证，若猜想不成立，可再尝试用二次函数或反比例函数关系式。

（当两个变量的积为常数时）【复习建议】1、基本概念的掌握要到位，如相反数、绝对值、倒数、实数、科学计数法、幂的意义等不仅要理解更要会运用，并保证较高的正确率。

2、明确重难点重点：实数与整式运算法则的正确应用，确保万无一失。

难点：实数运算的符号法则的正确应用，整式运算的准确性、乘法公式的灵活应用。

3、要求学生运算时要步骤完整，不要跳步，要做到步步有理，处处有据，耐心、细心、，计算结束后应再回过去检查是否有错。

4、复习时应要求学生先观察后动手，先观察运算是哪一类运算？有无简便方法，没有简便方法时，可将复杂运算转化成部分运算，逐一求值。

5、要注意: ①数形结合的思想在绝对值化简和实数大小比较中的应用；②配方法及整体思想在整式求值中的应用；③函数思想及待定系数法在寻求规律问题中的应用。