第15讲-等腰三角形

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人教版2020中考数学第一轮复习--第十五讲等腰三角形(无答案)

第十五讲等腰三角形【知识框架】【知识梳理】知识点1等腰三角形的概念与性质1.定义：有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底．2.性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴．（2）等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)．（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．知识点2 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)．针对练习1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°2．如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )A．40°B．35° C．25° D．20°第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠ADB＝______，∠BAC＝_______，∠C＝______．5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则AC的长为_____．6．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______．第6题图知识点3 等边三角形1.定义：三边相等的三角形是等边三角形．2.性质：（1）等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______．（2）等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴．（3）等边三角形每边上的______ 、______ 和该边所对内角的 ______互相重合．3.判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．针对练习1．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )A．9 B．8 C．6 D．122．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a－b|＋c－b＝0，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定3．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝______．4．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距海里 ______．第1题图第3题图第4题图知识点4 线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线．2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________．3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________ 上．归纳：线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合．针对练习1.如图，△ABC 的周长为30 cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE ＝4 cm ，则△ABD 的周长是( A ．22 cm B ．20 cm C ．18 cm D ．15 cm2．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于点D ，AC 的中垂线交BC 于点E ，则△ADE 的周长等于__________．第2题图第3题图3.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB•的垂直平分线MN•分别交BC 、AB 于点M 、N ，求证：CM=2BM ．4．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线，交BC 的延长线于点F ，连结AF ．求证：∠BAF=∠ACF ．【巩固练习】一．选择题1．一个等腰三角形一边长为4 cm ，另一边长为5 cm ，那么这个等腰三角形的周长是( ) A ．13 cmB ．14 cmC ．13 cm 或14 cmD ．以上都不对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，若AB ＝13，AD ＝12，则BC 的长为( ) A ．5B ．10C ．20D ．24第2题图第3题图第5题图第6题图NM CBAA FE DC3．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( ) A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°4．在△ABC 中，其两个内角如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是( ) A ．∠A ＝40°，∠B ＝50° B ．∠A ＝40°，∠B ＝60° C ．∠A ＝20°，∠B＝80° D ．∠A ＝40°，∠B ＝80°5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( ) A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( ) A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°7．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点D 为BC 的中点，DE ∥AB 交AC 于点E,过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F ，则图中长度为1的线段有( ) A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条第7题图第8题图第10题图第11题图二．填空题8．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，若∠B＝36°，则∠D 的大小为______． 9．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是______．10．如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于______． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE ＝a ，AE ＝b ，则用含a ，b 的代数式表示△ABC 的周长为______．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为______．13．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ______．14.如图， ∠DEF =36°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠A=______．三．解答题15．如图，已知：在△ABC 中，∠C ＝∠ABC，BE ⊥AC ，△BDE 是正三角形．求∠C 的度数．FE D CBA16．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD。

2022年七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十五讲等腰直角三角形新人教版

DACBD A M EC B DA M CB 第十五讲：等腰直角三角形如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 根本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=12BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.第一局部【能力提高】一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.〔1〕求证：MD=ME ；其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④12ABCADME S S四.〔2〕如图，假设D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变，请完成图形并探究〔1〕中的结论.二、如图，点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ．〔1〕求证：DE 平分∠BDC；〔2〕假设点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．DAE C B A NM P E CB D E AC B图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. 〔1〕求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；〔2〕如图2，假设AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB的垂线BE.〔1〕求证：AD=DE ；E B D A C C A D B E图2图3CA DB EEBDA CCADBE 图4图5图6〔2〕拓展变化一：图形的演变〔纵深演变〕如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；〔3〕拓展变化二：条件的演变〔横向演变〕如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.A CPA CPA CP第二局部【综合运用】五、〔1〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°；〔2〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，求证：∠APB=90°；〔3〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，求证：∠APB=90°〔∠APC=∠BPC=45°〕；ACP ACPACHP B〔4〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；〔5〕如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；〔6〕如图，在〔1〕～〔5〕的条件下，过C作CH⊥AP于点H.求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；ACHPDACBEODACBM EN〔7〕如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同〔1〕～〔6〕的条件、结论，进行探究.六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、CD交于点O.〔1〕求证：BE=CD；〔2〕求∠BOC的度数；〔3〕连接AO，求证：AO平分∠DOE；〔4〕M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.。

等腰三角形的性质及应用讲义

初二数学讲义等腰三角形的性质及应用等腰三角形的性质：性质1▲等腰三角形的两个底角相等。

（简写成: 等边对等角. ）性质2▲等腰三角形的、底边上的、底边上的互相重合。

（简写成:等腰三角形的“三线合一”）性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．用几何符号语言表达：性质1性质2注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ）等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )A ．4.8cmB ．9.6cmC ．2.4cmD ．1.2cm3.若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒∵AB ＝AC∴∠B ＝∠C （等边对等角）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”）∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠CBD的度数．【例2】在ABC∆中，AB AC=，BC BD ED EA===．求A∠的度数．【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数．【例4】如图所示，已知ABC∆中，D、E为BC边上的点，且AD AE=，BD EC=，求证：AB AC=．AB CD E例题精讲【例5】ABC ∆中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，求三角形三个内角的度数．2. 如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=，DE 垂直平分AC ，求BCD ∠的度数.3. 如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE 。

1等腰三角形(提高)知识讲解及其练习含答案

等腰三角形（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

等腰三角形

等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．3. 分类讨论的类型： ①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等． ③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点： ①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．O EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．AED3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．AF4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．GEBFC A5.（1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．B30°lA13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．AB C三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）2.10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）3.证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）4.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）5.（1）-11，13 （2）4 （3）1，-36.120°或20°7. 28.1cm或5cm9.65°或115°10. 8cm 11. 8cm 或163cm 12. 作图略 13. 作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD 交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-52．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠F AD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ） FGEDA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．求证：DE=DF．15.已知：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：BM=ME．16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．M DAF DAE求证：BD=CD．AFE17.若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．18.在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．19.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．20.已知一等腰三角形的三边分别是5x 3，3x+3，27，则x=__________．21.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．22.已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．23.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．l【参考答案】1.证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）2.证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”证明∠DBE=∠E=30°）3.证明略（提示：证明AD=DC，AD=BD）4.±165. 1cm 或9cm6. 80°或40°7. 6或88. 60°或120°9. 10cm 或6cm 10. 点C 有5个，作图略等腰三角形（讲义）一、知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________．二、精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．ABC DABDC第2题图第3题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE 垂60°108°BA C ABC A BCA直平分AC ，交AC 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若 ∠BAE :∠BAC =1:5，则∠C =_____．5. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ．（1）若∠ADE =80°，则∠DEB =________．（2）若F 为BE 中点，则DF 与BE 的位置关系是________．C DAB EF6. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM ⊥BC 于M ．求证：M 是BE 的中点．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使AE =AD ，连接DE ．求证：DE ⊥BC ．E DCAECMAD B8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为_____________．11. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．13. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．14.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、知识点睛1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形．2.等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．3.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边．4.三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是60°．1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.108°4.40°5.（1）40°；（2）DF⊥BE6.提示：连接BD，由三线合一得∠DBC=∠E=30°，从而得到BD=ED，△BDE是等腰三角形，利用三线合一可以知道底边BE上的高DM也是BE边上的中线，所以M是BE的中点．7.提示：延长ED与BC交于点F，根据已知条件可以知道△AED和△ABC是等腰三角形，设∠E=α，可以表示出∠CDF=α，∠BAC=2α，∠C=90 α，得到∠EFC=90°，所以DE⊥BC．8.提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE．9.3cm10.5cm或353cm11.40°或100°12.50°或130°13.这样的点有4个14.这样的点有2个等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．DC2. 等腰三角形的周长为28cm ，其中一边长为10cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．E DCB A【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得到BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD ．等腰三角形（作业）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且BD =BE ．若∠A =84°，则∠DEC =______．E DC BA2. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．DCB AN MEA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（） A ．6B ．7C ．8D ．94. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ．DB A5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．DBAP6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．AB CD E7. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为________． 8. 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则这个三角形的顶角的度数为_____________．9. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．1.78°2.36°3. D4.提示：过点A作AE⊥BC于E，可证Rt△ADC≌Rt△AEB（HL），从而得到∠ACD=∠B．5.提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC．6.提示：根据等边对等角可以得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可以得到∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可以得到BD=CE．7.208.80°或40°9.共有4个，图略．。

人教版八年级数学上册等腰三角形的性质讲义

等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

第15讲等腰三角形与直角三角形

高中线和底边上的_____ 平分线、底边上的_______ （4）顶角的________ 互相重合，简称“三线合一”.
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2018·泸州中考
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补充练习
2.等腰三角形的判定（1）两条边相等的三角形为等腰三角形. （2）两个角相等的三角形为等腰三角形.
3.等边三角形的性质
60° 都相等，三内角________ 都相等且每一个内角都是（1）三边________ ________. 三条对称轴. （2）它是轴对称图形，有____
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4.等边三角形的判定（1）三条边相等的三角形为等边三角形. （2）三个角相等的三角形为等边三角形. 60° 的等腰三角形为等边三角形. （3）有一个角是______
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9.（2017·广安）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6， AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE 6 的面积是______.
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变式训练 1.（2017·台州）如图，△ABC中，AB=AC，若以点B 为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( C )
A.AE=EC
C.∠EBC=∠BAC
B.AE=BE
D.∠EBC=∠ABE

第15讲最短路径与等腰三角形

【答案】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CD＝DA， ∴∠C＝∠DAC， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°．
A
B
D
C
变 3．如图，若 B、D、F 在 AN 上，C、E 在 AM 上，且 AB＝BC＝CD＝ED＝EF，∠A ＝20°，则∠FEM＝________．
作法
l1
Q P l2
在直线 l1、l2 上分别求
点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小．
分别作点 Q、P 关
于直线 l1、l2 的对
称点 Q′和 P′连接 P＇Q′与两直线交点即为 M，N．
图形
原理
P'
l1
M
两点之间线段最短．
P
PM＋MN＋PN 的最
N
l2 小值为线段 P′P″的长．
P''
图形
与 l 交于点 C，则在 C 处饮水所走路程最短．
A
B
B l
A
l C A′
变 1．如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．
【答案】作 P 关于 BC 的对称点 P1，连接 QP1，交 BC 于 M，再连接 MP．最短路线 P--Q--M--P．
A
【答案】12
MO B
N C
变 5．如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，且 PD∥AB，PE∥AC，BC ＝5，求△PDE 的周长．
A
【答案】解：∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，

人教版贵州贵阳市中考数学一轮培优：第4单元第15讲等腰三角形和直角三角形

例4 已知Rt△ABC.
二、直角三角形的性质和判定
(1)若∠A＝90°,AB＝3,AC＝2,则BC＝________；13
(2)若AB＝3,AC＝2,则BC＝_____1_3_或_；5
【解法提示】当BC是斜边时,BC＝ 22＋32＝ 1；3
当AB是斜边时,BC＝ 32－22＝ 5.
(3)如图①,若∠BAC＝90°,AB＝12,BC＝13,则
EF的长是( )
B
A. 3
B. 2
C. 3
D. 1
第1题图
2. (2011贵阳7题3分)如图,△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,∠B＝30°,点P是BC边上的动点,
则AP长不可能是( )
D
A. 3.5
B. 4.2
C. 5.8
D. 7
第2题图
3. (2016贵阳15题4分)已知△ABC,∠BAC＝45°,AB＝8,要使满足条件的△ABC唯一确定,那么BC边长度x的取值范围为______________．x＝4 2 或x≥8
2
12Βιβλιοθήκη 面积计算公式：S= 2 a2,a是三角形的腰长(直角边）
1.具有等腰三角形的所有性质
等边三角形性质 2.三条边都相等,AB=AC=BC=a 3.三个内角相等,且每个内角都等于60°
4.是轴对称图形,有3条对称轴
数量关系：h= 3 a,S= a1h= a32,a是三角形任意一边的长
2
24
返回思维导图
个三角形是直角三角形
返回思维导图
直角三角形
面积计算公式
S= 1 ab= 1 ch,其中a、b为两个直角边,c为斜边,h为斜边上的高
22
公式应用：一般已知直角三角形的三边,求斜边上的高时,常用等面积法,利用公式h＝进行ab求解

2013版中考总复习数学(人教版全国通用)基础讲练第15讲等腰三角形(含答案点拨)

第15讲等腰三角形考纲要求命题趋势1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．4．掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.知识梳理一、等腰三角形1．等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．3．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．二、等边三角形的性质与判定1．等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．2．等边三角形的判定(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．三、线段的垂直平分线1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．四、角的平分线1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．自主测试1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________．3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为() A．8 B．10C．8或10 D．不能确定考点一、等腰三角形的性质与判定【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC，∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF.又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.(3)不一定成立．当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图．方法总结1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．考点二、等边三角形的性质与判定【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小．分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质．全等是解决这类问题最常见的方法．解：(1)如图甲．图甲∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD＝OC＝OB＝OA，∠1＝∠2＝60°，∴∠4＝∠5.又∵∠4＋∠5＝∠2＝60°，∴∠4＝30°.同理，∠6＝30°.∵∠AEB＝∠4＋∠6，∴∠AEB＝60°.(2)如图乙．图乙∵△DOC和△ABO都是等边三角形，∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°.又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4＝∠5，∠6＝∠7.∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠AOC＝∠2＋∠3，∴∠DOB＝∠AOC.∵∠4＋∠5＋∠DOB＝180°，∠6＋∠7＋∠AOC＝180°，∴2∠5＝2∠6，∴∠5＝∠6.又∵∠AEB＝∠8－∠5，∠8＝∠2＋∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.方法总结1．等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等．2．等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心．(四心合一)触类旁通2 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．考点三、线段的垂直平分线【例3】如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是()A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC 的周长为30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm.答案：A方法总结1．线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段．2．线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题．触类旁通3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．考点四、角的平分线【例4】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OE＝OD.∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，∴△OEC≌△ODB.∴OB＝OC.(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∴△OEC≌△ODB.∴OE＝OD.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴OA平分∠CAB.∴∠1＝∠2.方法总结在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线．触类旁通4 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP1．(2012贵州铜仁)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为()A．6 B．7 C．8 D．92．(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是()A．20°B．50°C．60°D．80°3．(2012浙江宁波)如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．4．(2012广东广州)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为________．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE.1．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A．2 B．3 C．4 D．52．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在()A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点3．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为()A．9 B．8 C．7 D．64．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝()A．125°B．130°C．90°D．120°5．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．6．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝__________度．7．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．8．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．参考答案导学必备知识自主测试1．4或6如果腰长为4，则底边长为14－2×4＝6；如果底边长为4，则两腰分别为5,5.2．3∵在Rt△ADC中，CD＝AD2－AC2＝3，∴D点到AB的距离＝CD＝3.3．8或10或3104．B解方程x－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4，当腰为2时，2＋2＝4(舍去)，当腰为4时，周长为4＋4＋2＝10.探究考点方法触类旁通1．证明：(1)∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠D ＝∠C ＝90°.在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴△ACB ≌△BDA (HL)． ∴BC ＝AD .(2)由△ACB ≌△BDA 得∠CAB ＝∠DBA . ∴△OAB 是等腰三角形．触类旁通2．证明：(1)∵BF ＝AC ，AB ＝AE ，∴F A ＝EC . ∵△DEF 是等边三角形，∴EF ＝DE . 又∵AE ＝CD ，∴△AEF ≌△CDE .(2)由△AEF ≌△CDE ，得∠FEA ＝∠EDC .∵∠BCA ＝∠EDC ＋∠DEC ＝∠FEA ＋∠DEC ＝∠DEF ，△DEF 是等边三角形， ∴∠DEF ＝60°，∴∠BCA ＝60°. 同理可得∠BAC ＝60°. ∴△ABC 中，AB ＝BC . ∴△ABC 是等边三角形．触类旁通3．解：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD . ∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∠B ＝∠BAD . ∴∠CAD ＝∠BAD ＝∠B . ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴∠CAD ＋∠DAE ＋∠B ＝90°. ∴∠B ＝30°. 触类旁通4．D 品鉴经典考题1．D ∵∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点E ， ∴∠MBE ＝∠EBC ，∠ECN ＝∠ECB .∵MN ∥BC ，∴∠EBC ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECB ，∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECN ，∴BM ＝ME ，EN ＝CN . ∴MN ＝ME ＋EN ，即MN ＝BM ＋CN . ∵BM ＋CN ＝9，∴MN ＝9，故选D. 2．B 因为等腰三角形的顶角为80°，所以底角＝(180°－80°)÷2＝50°. 3．40 ∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC . ∵∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝∠BAC ＝70°，∴∠B ＝∠40°. ∵AE ∥BD ，∴∠EAB ＝∠B ＝40°.4．2 在等边三角形ABC 中，AB ＝6，∴BC ＝AB ＝6.∵BC ＝3BD ，∴BD ＝13BC ＝2.∵△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴CE ＝BD ＝2. 5．证明：∵AE 平分∠DAC ，∴∠1＝∠2.∵AE ∥BC ，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC .6．证明：(1)在△ABD 和△ACD 中， ∵D 是BC 的中点，⎭⎪⎬⎪⎫∴BD ＝CD ∵AB ＝AC AD ＝AD⇒△ABC ≌△ACD (SSS)． (2)由(1)知△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ，即∠BAE ＝∠CAE .在△ABE 和△ACE 中，⎭⎪⎬⎪⎫AB ＝AC∠BAE ＝∠CAD AE ＝AE ⇒△ABE ≌△ACE (SAS)．∴BE ＝CE .研习预测试题1．C 因为x 轴负半轴有一个点，x 轴正半轴有三个点，所以符合条件的动点P 的个数为4.2．A3．A ∵BF 平分∠ABC ，如图，∴∠ABF ＝∠CBF . ∵CF 平分∠ACB ， ∴∠ACF ＝∠BCF . ∵DF ∥BC ，∴∠DFB ＝∠CBF ，∠EFC ＝∠BCF . ∴∠ABF ＝∠DFB ，∠ACF ＝∠EFC . ∴BD ＝DF ，EF ＝CE .∴DE ＝DF ＋EF ＝BD ＋CE ＝9. 4．D5．8 因为△ADE 的周长＝AD ＋DE ＋AE ＝BD ＋DE ＋EC ＝8. 6．157．52＜x ＜5 由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧10－2x <2x ，10－2x >0，解得52＜x ＜5.8．解：(1)①③；②③. (2)①③.证明：∵∠EBO ＝∠DCO ，∠EOB ＝∠DOC ，BE ＝CD ， ∴△BEO ≌△CDO .∴OB ＝OC .∴∠OBC ＝∠OCB .∴∠EBO ＋∠OBC ＝∠DCO ＋∠OCB ，即∠ABC ＝∠ACB .∴AB ＝AC . ∴△ABC 为等腰三角形．。

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。

本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。

以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。

1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。

(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。

(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。

3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。

(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。

4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。

因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。

相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。

(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

(讲课用)等腰三角形的性质

如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在 BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
E
A
F
B
D
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
A
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
A
B
D
C
评析：此题是一道探究性试题，让学生能够大胆地猜想并证明自己的猜想，培养学生分析问题和解决问题的能力，此题结果中 ①② ③④ 运用等腰三角形的“三 ①③ ②④ 线合一”性质 ①④ ②③ ②③ ①④ 运用全等三角形的判定 ②④ ①③ 和性质（不能运用“三线合③④ ①② 一” ）
等腰三角形的性质
A
若改为90°呢？
在等腰三角形中，我们只要知道任一个角，就可以求出另外两个角！
B
C
评析：此类题的重点是运用等腰三角形“等边对等角”这一性质和三角形的内角和，突出顶角和底角的关系。等腰三角形在没有明确顶角和底角时，应分类讨论。由此得出，等腰三角形中已知一个角可以求出另两个角（顶角和底角的取值范围：0°＜顶角＜180°, 0°＜底角＜90°）。
E
C A B D F N
巩固提高
如图，AOB是一钢架，且 ∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FG、GH……，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根。
MA G Ｅ O F H B
已知在等腰三角形ABC中，A=36° ，B=72° ，C=72° ，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？

等腰三角形(基础)知识讲解

等腰三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、（2015春•张家港）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C 度数．【答案与解析】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】（2015•威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（）E B A D CF A ．13 B ．12 C ．15 D ．20【答案】选B ．解：∵EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠CBD ，∴∠EDB=∠EBD ，∴BE=ED ，同理DF=CF ，∴△AEF 的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°.【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠， ∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD ∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 90BEC ∠=︒.∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．类型四、等边三角形5、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【答案与解析】解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°∴△ODE是等边三角形；（2）答：BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC．【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．。

八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪

《等腰三角形》一、说教材分析：1．教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。

通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系，并且对轴对称图形特征的直观反映（三线合一）,对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。

2、教学目标：(1)认知目标：要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征，使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法；(2)能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力；使学生初步学会分析几何证明题的思路，从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力；(3)情感目标：通过亲自动手，发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征，对学生进行数学美育教育。

3、教学重难点:(1)教学重点：等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。

(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。

4、教具准备:为了使学生了解这堂课，本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。

二、说教学方法：由于八年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及八年级学生刚刚学习轴对称图形，对轴对称图形的分析相对比较好，再加上八年级学生思维的感官性，所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察，采用教具直观教学法，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。

教学过程中注意师生之间的情感交流，培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。

对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征，通过让学生动手操作，让学生翻折不同的等腰三角形，如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形，以及一般三角形的模版，从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。

等腰三角形的判定PPT课件

4:1
13. (易错题)用粗细均匀的电热丝烧水，通电10 min可烧
开一壶水，若将电热丝对折起来接在原来的电路中,
知1－讲
1.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.
知2－练
1
(中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线
于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给
出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC；④AC＝3BF，
其中正确的结论共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
三角形是等腰三角形”来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”来证明．
1.必做: 完成教材P138 T2 2.补充: 请完成《点拨》剩余部分习题
第十五章电能与电功率
15.4 探究焦耳定律
第1课时认识焦耳定律
(1)图乙是等质量的水和煤油温度随加热时间变化的图象，为了使图甲中温度计示数变化更明显，则烧瓶内的液体
电流大小
9．在如图所示的电路中，电阻丝R1＝R3＝10 Ω，R2＝R4 ＝5 Ω，电源电压相等且不变。闭合开关S1、S2后，电路都正常工作，则在相同时间内产生热量最少的电阻丝是_____。若电阻丝R1、R2都由同种材料制成且长度相同R，2 则电阻丝_____比较细。

等腰三角形教案

等腰三角形教案一、教学目标1. 理解等腰三角形的定义和性质。

2. 能够识别等腰三角形，并能够使用等腰三角形的性质解决问题。

3. 发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学内容1. 等腰三角形的定义和性质。

2. 等腰三角形的边和角的关系。

3. 等腰三角形的分类。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以利用实物或图片展示等腰三角形，向学生提问：“你在这个图形中看到了什么规律？”引导学生发现等腰三角形的特点。

2. 知识讲解（15分钟）教师向学生详细讲解等腰三角形的定义和性质。

强调等腰三角形的两边相等，并且两等长边所对的两个角也相等。

3. 案例分析（20分钟）教师给学生提供一些实际问题，让学生运用等腰三角形的性质来解决。

例如：“一个房顶是等腰三角形，两边长为6米，底边长为10米，求房顶的高度是多少？”通过这样的案例分析，学生可以意识到等腰三角形的性质在实际问题中的应用。

4. 练习与巩固（25分钟）学生进行一些练习题，巩固等腰三角形的知识和应用能力。

教师可以设计一些填空、选择或计算题目，加深学生对等腰三角形的理解。

5. 拓展（10分钟）教师向学生介绍其他类型的三角形，如直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，并与等腰三角形进行比较。

通过比较不同类型三角形的性质，学生可以加深对等腰三角形的理解。

6. 归纳总结（5分钟）教师与学生一起归纳总结等腰三角形的定义和性质，并鼓励学生自主思考和提问。

四、教学评价教师可以通过观察学生在练习和案例分析中的表现，以及学生提问和参与讨论的情况来进行评价。

同时，教师可以设计一些小测验或考试来检验学生对于等腰三角形的理解和应用能力。

五、教学延伸为了进一步提高学生对等腰三角形的认识和运用能力，教师可以组织学生进行团队合作的小组活动，让学生通过多种方式解决问题。

同时，教师还可以引导学生自主学习，探究等腰三角形的其他性质和应用场景。

六、教学反思等腰三角形是初中数学中重要的基础概念之一。

通过本节课的教学，学生能够通过实例理解等腰三角形的定义和性质，并能够运用等腰三角形的性质解决实际问题。

初中数学知识点精讲精析等腰三角形的性质定理

2.3 等腰三角形的性质定理学习目标1.经历利用等腰三角形的性质加深对轴对称的认识。

2.经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质。

知识详解1.等腰三角形性质1（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便。

（3）适用条件：必须在同一个三角形中。

（4）应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.（5）推论：等边三角形的各个内角都等于60°。

2.等腰三角形性质2（1）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质。

（2）含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛。

（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。

（4）应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC（或AD⊥BC）．“三线合一”的应用：因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活。

【典型例题】例1：等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°例2：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（）A．62º B．38º C．28º D．26º【答案】C【解析】在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，又∠AED＝62º,∴∠EAC=62º- 45 º=17 º,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=17 º, ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.例3：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A、30ºB、40ºC、45ºD、36º【答案】D【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xº,则∠ABD= xº, ∠C=∠ABC=∠BDC=2 xº, 在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36，故∠A=36º【误区警示】易错点1：线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是【答案】50°【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°易错点2：等腰三角形的性质2.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．【答案】45【解析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°【综合提升】针对训练1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=3.如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是1.【答案】30°【解析】∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC ， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD =70°﹣40° =30°2.【答案】18°【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°． ∵BD ⊥AC 于点D ， ∴∠CBD=90°﹣72°=18°3.【答案】60°【解析】∵将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC的中点E 的对应点为F ， ∴旋转角为60°，E ，F 是对应点，则∠EAF 的度数为：60°【中考链接】（2014年盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A ． 40°B ． 50°C ． 60°D ． 70°【答案】D【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180402︒-︒ =70°课外拓展黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。

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