大学物理练习参考答案

练习一1-8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21t 2+3t -4.式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s解：（1） j t t i t r)4321()53(2-+++=m(2)将1=t ,2=t 代入上式即有 j i r 5.081-= m j j r4112+=mj j r r r5.4312+=-=∆m(3)∵ j i r j j r 1617,4540+=-= ∴ 104s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v (4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i trv 则 j i v 734+= 1s m -⋅(5)∵ j i v j i v73,3340+=+= 204s m 1444-⋅==-=∆∆=j v v t v a (6) 2s m 1d d -⋅==j tva这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12234c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c故 2234t t v += 又因为 2234d d t t t x v +==分离变量， t t t x d )234(d 2+= 积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 521232++=t t x 所以s 10=t 时 m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v1-11 一船以速率1v ＝30km ·h -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v ＝40km ·h -1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有1221v v v-=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)题1-11图由图可知 1222121h km 50-⋅=+=v v v方向北偏西 ︒===87.3643arctan arctan21v v θ (2)小船看大船，则有2112v v v-=，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得5012=v 1h km -⋅方向南偏东o87.362-9 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y v ＝0．求当t ＝ 2 s (1)位矢；(2)解： 2s m 83166-⋅===m f a x x ，2s m 167-⋅-==m f a y y (1) ⎰⎰--⋅-=⨯-=+=⋅-=⨯+-=+=20101200s m 872167s m 452832dt a v v dt a v v y y y x x x于是质点在s 2时的速度 1s m 8745-⋅--=ji v(2) m874134)167(21)4832122(21)21(220j i j i jt a i t a t v r y x --=⨯-+⨯⨯+⨯-=++= 2-14 一质量为m 的质点在xOy j t b i t a rωωsin cos +=求质点的动量及t ＝0 到ωπ2=t解: 质点的动量为 )cos sin (j t b i t a m v m pωωω+-==将0=t 和ωπ2=t 分别代入上式，得 j b m pω=1,i a m p ω-=2 , 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(12j b i a m p p p I+-=-=∆=ω2-17 设N 67j i F -=合．(1) 当一质点从原点运动到m 1643k j i r++-=时，求F 所作的功．(2)如果质点到r 处时需0.6s ，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化．解: (1)由题知，合F为恒力，(76)(3416)W F r i j i j k =⋅=-⋅-++合J 452421-=--= (2) 4575w 0.6W P t ===∆ (3)由动能定理，45J k E W ∆==-3-13 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝50kg ，2m ＝200 kg,M ＝15 kg, r ＝0.1 m解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有a m T g m 222=- ① a m T 11= ②对滑轮运用转动定律，有α)21(212Mr r T r T =- ③又， αr a = ④联立以上4个方程，得 2212s m 6.721520058.92002-⋅=++⨯=++=M m m g m a题3-13(a)图 题3-13(b)图3-14 如题3-14图所示，一匀质细杆质量为m ，长为l ，可绕过一端O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过θ角时的角速度.解: (1)由转动定律，有 α)31(212ml mg = ∴ lg23=α(2)由机械能守恒定律，有 22)31(21sin 2ωθml l mg =∴ lg θωsin 3=5-10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为g 0.1的物体时，伸长为cm 9.4．用这个弹簧和一个质量为g 0.8的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开cm 0.1后 ，给予向上的初速度10s cm 0.5-⋅=v ，求振动周期和振动表达式．解：12311m N 2.0109.48.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-12020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)又 s 26.12,51082.03===⨯==-ωπωT m k 即 m 102)5100.5()100.1()(22222202---⨯=⨯+⨯=+=∴ωv x A45,15100.1100.5tan 022000πφωφ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )455cos(1022π+⨯=-t x5-11 图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．解：由题图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==ππωT 故 m )23cos(1.0ππ+=t x a由题图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x01=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯= ∴ πω65= 故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=6-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差．解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=可知：波振幅为A ，频率πυ2B =，波长C πλ2=，波速C B u ==λυ，波动周期BT πυ21==． (2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -= (3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=∆λπφ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得 Cd =∆φ． 6-14 如图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P 点的振动方程为P y =A cos(0ϕω+t ) (1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程2)写出距P 点距离为b 的Q 点的振动方程． 解: (1)如题6-14图(a)，则波动方程为 ])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b)，则波动方程为 ])(cos[0φω++=uxt A y(2) 如题6-14图(a)，则Q 点的振动方程为: ])(cos[0φω+-=ubt A A Q如题6-14图(b)，则Q 点的振动方程为 ])(cos[0φω++=ubt A A Q 6-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz 变到了1000 Hz ，设空气中声速为330m ·s -1，求汽车的速率．解: 设汽车的速度为s v ，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 01υυsv u u-=汽车驶离车站时，车站收到的频率为 02υυsv u u+=联立以上两式，得 12112120010003303012001000uυυυυυ--==⨯=++1s m -⋅9-8 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如9-8图在圆上取 ϕRd dl =ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 20π4d d RR E εϕλ=方向沿半径向外 则 ϕϕελϕd sin π4sin d d 0R E E x ==， ϕϕελϕπd cos π4)cos(d d 0RE E y -=-=积分R R E x 000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰，0d cos π400=-=⎰ϕϕελπRE y ∴ RE E x 0π2ελ==，方向沿x 轴正向．9-17 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功 解: 如题9-16图示0π41ε=O U 0)(=-RqR q 0π41ε=C U )3(R qR q -Rq 0π6ε-= ∴ Rqq U U q W o C O 00π6)(ε=-=补充习题、一个半径为R 的金属球球带电量为Q ，电荷均匀分布在球面（设介电常数等于真空中的介电常数0ε）．试求：(1) 金属球内、外的场强；(2) 金属球内、外的电势；解: 利用高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E S（2分）(1)球内)0(R r <<场强：303234344r R Q r E πεππ⨯=⨯，得到：30π4R r Q E ε =内 （2分）球外)(R r >场强：024επQr E =⨯，得到：30π4rrQ E ε=外 （2分） (2)球外)(R r >电势：rQE U 0rπ4r d ε=⋅=⎰∞ 外 （2分） 球内)0(R r <<电势：⎰⎰∞⋅+⋅=RRrr d E r d E U 外内RQr R R Q 02230π4)(π8εε+-=)3(π82230r R R Q -=ε （2分）练习七10-8 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度．解：如题图所示，O 点磁场由AB 、C B、CD 三部分电流产生．其中AB 产生 01=BCD 产生RIB 1202μ=，方向垂直向里CD 段产生 )231(2)60sin 90(sin 24003-πμ=-πμ=︒︒R I R I B ，方向⊥向里 ∴)6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向⊥向里． 10-17 题图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a ,b ，导体内载有沿轴线方向的电流I ，且I 均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率0μμ≈，试证明导体内部各点)(b r a << 的磁感应强度的大小由下式给出：r a r a b IB 22220)(2--=πμ 解：取闭合回路r l π2= )(b r a <<则 ⎰π=⋅lr B l B 2d2222)(ab Ia r I ππππ--=∑ ∴ )(2)(22220a b r a r I B --=πμ10-18 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b ,c )构成，如题9-16图所示．使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r ＜a ),(2)两导体之间(a ＜r ＜b )，（3）导体圆筒内(b ＜r ＜c )以及(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小 解：⎰∑μ=⋅LI l B 0d(1)a r < 2202R Ir r B μπ= 202RIr B πμ=(2) b r a << I r B 02μπ= rIB πμ20=(3)c r b << I b c b r I r B 0222202μμπ+---= )(2)(22220b c r r c I B --=πμ (4)c r > 02=r B π 0=B10-20 如题图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力．解： ⎰⨯=ABAB B l I F d 2daI I d I aI F AB πμπμ22210102== 方向垂直AB 向左 ⎰⨯=CAAC B l I F d 2 方向垂直AC 向下，大小为⎰++πμ=πμ=ad d AC dad I I r I rI F ln22d 210102 同理 BC F 方向垂直BC 向上，大小 ⎰+πμ=a d d Bc r I l I F 2d 102∵ ︒=45cos d d rl ∴ ⎰++πμ=︒πμ=ad aBC d ad I I r r I I F ln 245cos 2d 210120练习八11-5 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U - ．解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时0d =m Φ∴ 0=MeNM ε即 MN MeN εε=又∵ 0cos d ln 02a bMN a b Iv a b vB l a bμεππ+--==<+⎰ 所以MeN ε沿NeM 方向，大小为 ba b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即b a b a Iv U U N M -+=-ln 20πμ 11-14 磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当tB d d ＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向． 解： ∵ bc ab ac εεε+=tB R B R t t ab d d 43]43[d d d d 21=--=-=Φε =-=tab d d 2Φεt B R B R t d d 12π]12π[d d 22=-- ∴ t B R R acd d ]12π43[22+=ε ∵ 0d d >tB ∴ 0>ac ε即ε从c a →12-7 在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m ，试求：(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长；(2)相邻两明条纹间的距离．解: (1)由λk dD x =明知，λ22.01010.63⨯⨯=， ∴ 3106.0-⨯=λmm oA 6000= (2) 3106.02.010133=⨯⨯⨯==∆-λd D x mm 12-12 在折射率1n =1.52的镜头表面涂有一层折射率2n =1.38的Mg 2F 增透膜，如果此膜适用于波长λ=5500 oA 的光，问膜的厚度应取何值?解: 设光垂直入射增透膜，欲透射增强，则膜上、下两表面反射光应满足干涉相消条件，即 λ)21(22+=k e n ),2,1,0(⋅⋅⋅=k ∴ 222422)21(n n k n k e λλλ+=+= )9961993(38.14550038.125500+=⨯+⨯=k k o A 令0=k ，得膜的最薄厚度为996oA ．当k 为其他整数倍时，也都满足要求．13-13 如题12-13图，波长为6800o A 的平行光垂直照射到L ＝0.12m 长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被直径d =0.048mm 的细钢丝隔开．求：(1)两玻璃片间的夹角=θ?(2)相邻两明条纹间空气膜的厚度差是多少?(3)相邻两暗条纹的间距是多少?(4)在这0.12 m 内呈现多少条明条纹?题12-13图解: (1)由图知，d L =θsin ，即d L =θ故 43100.41012.0048.0-⨯=⨯==L d θ(弧度)(2)相邻两明条纹空气膜厚度差为7104.32-⨯==∆λe m(3)相邻两暗纹间距641010850100.421068002---⨯=⨯⨯⨯==θλl m 85.0= mm (4)141≈=∆lL N 条14-14 波长6000=λo A20.0sin =ϕ与30.0sin =ϕ处，第四级缺级．求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度；(3)在90°＞ϕ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数．解：(1)由λϕk b a =+sin )(式对应于20.0sin 1=ϕ与30.0sin 2=ϕ处满足：101060002)(20.0-⨯⨯=+b a101060003)(30.0-⨯⨯=+b a得 6100.6-⨯=+b a m(2)因第四级缺级，故此须同时满足 λϕk b a =+sin )(λϕk a '=sin解得 k k b a a '⨯='+=-6105.14取1='k ，得光栅狭缝的最小宽度为6105.1-⨯m(3)由λϕk b a =+sin )( λϕsin )(b a k +=当2πϕ=，对应max k k =∴ 10106000100.6106max =⨯⨯=+=--λb a k 因4±，8±缺级，所以在︒︒<<-9090ϕ范围内实际呈现的全部级数为9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 共15条明条纹(10±=k 在︒±=90k 处看不到)．。