3.3.正方格子的布里渊区p10
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
布里渊区通俗理解
布里渊区通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述布里渊区是一个在物理和数学领域中具有重要意义的概念，它主要用来描述在给定条件下某一物体或物体集合的邻域。
布里渊区的概念源于法国物理学家亚历山大·布里渊的研究成果，他发现了一种描述物体在空间中的局部特性的方法。
布里渊区的概念不仅在物理学领域中被广泛应用，同时也在计算机图形学、材料科学、生物学等领域中具有重要作用。
在本文中，我们将深入探讨布里渊区的概念、应用以及重要性，希望能够对读者有所启发和帮助。
通过了解布里渊区的相关知识，我们可以更好地理解物体在空间中的局部结构和特性，为我们探索和应用这些知识提供了理论基础。
在日常生活中，布里渊区的概念也有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解世界的复杂性，促进科学技术的发展和创新。
展望未来，布里渊区的研究和应用将会不断深化和拓展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论布里渊区的通俗理解。
在引言部分，我们将简要介绍布里渊区的概念、文章结构和撰写本文的目的。
在正文部分，我们将详细探讨布里渊区的概念，其在实际应用中的情况以及在各领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结布里渊区的作用，讨论其在日常生活中的意义，并展望未来布里渊区的发展方向。
通过这样的结构安排，读者可以系统地了解布里渊区的相关知识，并深入理解其在现实生活中的应用和意义。
1.3 目的2.正文2.1 布里渊区的概念布里渊区（英文名为Boulevard区）是一种在计算机科学领域中常用的概念，用于描述一种数据结构的布局方式。
布里渊区是指内存中的一段连续地址空间，通常用来存储程序代码、全局变量和静态变量。
在操作系统中，布里渊区还可以用于存放动态链接库和共享库的代码段和数据段。
布里渊区的特点是具有一定的大小和位置，可以在运行时被操作系统动态地分配和回收。
布里渊区的概念主要用于优化内存管理和提高程序的执行效率。
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
23布里渊区
将任一布里渊 区的各部分平移适 当的位矢就可合并 成第一布里渊区
D
O A
C
B
由于倒格子的周期性，很多时候我们 只需关心第一布里渊区
2
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2. 衍射条件的布里渊区诠释
2k G G 2
D
GD
k1
1 1 2 k G G 2 2
体心立方
x
a3
Ω a1 (a2 a3 ) 1 3 a 2
Ω b1 (b2 b3 )
*
4π a
2( 2 π ) 3 / a 3
5
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
倒格矢可以表示为
G v1b1 v2b2 v3b3 4π 2π [(v2 v3 )i (v3 v1 ) j (v1 v2 )k ] a a
最短的倒格矢是以下12个矢量
2π 2π 2π ( j k ); ( k i ); (i j ) a a a
第一布里渊区由上述12个矢量的 垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
体心立方晶格的布里渊区中一些 具有较高对称性的点或轴的坐标
其中
2π X: (1,0,0) a 2π 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2 2π 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 1 3 0 1, 0 , 0 2 4
10
k2
O
GC
C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射 条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含 了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k
布里渊区
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
30 布里渊区的知识
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
固体物理 讲习题参考答案
解：（1）由平衡条件
∂U ∂r
r0
=
mα r m+1
−
nβ r n+1
=
0 ，得
1
平衡间距
r0
=
nβ mα
n−m
（2）将 U(r)理解为晶体中所有其他原子对某一个原子的相互作用
则系统总的内能为对所有原子求和
U
total
2
r0 ∝ q1−n
，
U0
∝
q2 r0
当 q → 2q ，
r0′
=
4−
1 n−1
r0
因为晶格常数 a ∝ r0 ，故晶格常数满足相同的变化规律
n
结合能 W ′ = −U0′ = 4n−1W0
2.3．若一晶体的相互作用能可以表示为
U (r) = − α + β rm rn
试求（1）平衡间距 r0 （2）结合能 W（单个原子的） （3）体弹性模量 （4）若 m=2,n=10,r0=3A,W=4eV，求α,β值。
1.11
证明六角晶体的介电常数张量为
0
ε2
0
0 0 ε2
证
1：六角晶体，设介电常数为
ε ε
xx yx
ε xy ε yy
ε ε
xz yz
，取坐标架如图示
ε zx ε zy ε zz
选电场方向在 x 轴方向，有
Dx ε xx
Dy
0
− sin 60
，可得
ε yy
= ε zz
cos 60
第六讲
2.2．讨论使离子电荷加倍所引起的对 NaCl 晶格常数及结合能得影响。（排斥势看作不变） 解：NaCl 为离子晶体，系统内能可写为
简约布里渊区定义
简约布里渊区定义布里渊区是一种数学概念，它在函数分析和特别是测度论中扮演着重要的角色。
布里渊区是指由笛卡尔坐标系中的一个原点围成的、具有一些特殊性质的平面区域。
它是由布里渊基矢量所生成的晶格的一个基本单元。
为了更好地理解布里渊区的定义，我们需要回顾一些基础知识。
在晶体学中，布拉伐格子是一个周期性排列的点阵，用来描述晶体的结构。
而布里渊区就是由布拉伐格子所生成的晶格的倒格子所围成的区域。
布拉伐格子中的每个点都对应着倒格子中一个向量，这个向量被称为布里渊基矢量。
倒格子中相邻两个基矢量之间的距离被称为布里渊格矢。
简约布里渊区是指由布里渊基矢量所生成的布里渊格点再经过一系列的简约操作得到的最小重复单元。
简约操作包括平移、合并、旋转等操作，通过这些操作可以得到一个具有最小对称性的区域。
简约布里渊区具有许多重要的性质，如对称性、体积等，这些性质对于研究材料的电子结构等问题非常关键。
在实际应用中，布里渊区的定义对于理解材料的能带结构、光学性质等起着重要的作用。
以固体电子学为例，能带结构是描述材料中电子的能量与动量关系的重要概念。
通过布里渊区的划分，我们可以将整个能带结构分割成一些小的区域，这些区域被称为能带。
布里渊区对于分析和理解能带结构中的各种物理现象非常有帮助。
另外，布里渊区还在光学中发挥着重要的作用。
在光学中，布里渊区和能带结构密切相关，通过布里渊区的划分，我们可以得到材料在不同频率下的光学性质。
布里渊区的对称性也决定了材料对不同频率光的响应情况，这对于光学器件的设计和制造非常重要。
总结起来，简约布里渊区定义了由布里渊基矢量所生成的布里渊格点经过一系列简约操作得到的最小重复单元。
布里渊区在函数分析和测度论中具有重要的地位，它对于理解材料的能带结构、光学性质等起着关键作用。
通过对布里渊区的研究，我们可以更好地理解材料的物理性质，并应用于材料科学和工程等领域。
§6.2布里渊区
32
二维长方晶格的布里渊区
33
六角密积结构的第一和第二布里渊区
六角密积结构的第一布里渊区是上下底面为正六边形 的多面体。图(a)即是第一布里渊区； 图(b)是第二布里渊区的外表面。它与其内的第一布里
渊区边界之间的区域是第二布里渊区。
34
倒格矢的长度(基矢)为:
2 3 Kn a
离原点最近的八个倒格点中垂面所围成的八面体的体积大 于倒格子原胞得体积，必须考虑次近邻的六个倒格点。
28
4. 次近邻的倒格点
2 2 2 2 ,0 ,0 0， 2 ,0 0， 2 0， a a a
倒格矢的长度为:
4 K n a
次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的 六个角，形成一个截角八面体(实际是十四面体)
29
八个面是
正六边形,
六个面是
正四边形
30
2 3 Kn a 4 K nຫໍສະໝຸດ aΓΧΚ
L
2 2 2 3 3 2 1 1 1 0 ,0 ,0 1,0 ,0 波矢k , ,0 , , a a a 4 4 a 2 2 2 31
2b1 , 2b2 2b1 , 2b2
垂直平分线和第二布里渊区边界
边界所围成第三布里渊区大小
2 2 ( ) a
8
第一、第二和第三布里渊区
9
5.正方格子其它布里渊区的形状
10
每个布里渊区经过
适当的平移之后和
第一布里渊区重合
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上 能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
布里渊区
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
倒格子与布里渊区
B
6、倒格矢Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比
d h1h2 h3
a1 K h a1 .(h1b1 + h2 b2 + h3b3 ) 2π = . = = h1 K h h1 K h Kh
三、布里渊区
1、布里渊区的定义
布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域 称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。 （2）在第一布里渊区的外面， 由若干块对称分布且不相连的 较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。 只要晶体的布拉维格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区 的形状就一样。 同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒 格子原胞体积*=(2)3/ 。 简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到 简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。
（4）各布里渊区的大小相 同，且都与倒格子原胞大 小相等。
4、简单立方格子的布里渊区
（1）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的 倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子原胞仍为简单立方， 原胞大小为(2/a)3。 （3）简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围 成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点。
2、一维格子的布里渊区
一维晶格
基矢a=ai
一维倒格子空间 基矢b=(2/a)i
各布里渊区分布情况
3、二维正方格子的布里渊区
(1)二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj，则对应的倒格子基矢 为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子原胞仍为正方形，原胞大 小为(2/a)2。 （3）由原点O作最近邻、 次近邻等倒格点连线垂直 平分线，得到各布里渊区。
布里渊区的几何定义
布里渊区的几何定义稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊那个有点神秘但其实也挺有趣的“布里渊区”的几何定义。
你知道吗？布里渊区就像是晶体结构里的一个独特小天地。
想象一下，晶体中的原子们排排站，它们形成的晶格就像一个大迷宫。
而布里渊区呢，就是这个迷宫里划分出来的特别区域。
比如说，它可以看作是在倒格子空间里的一些区域。
倒格子听起来是不是有点晕？别担心，其实就是一种数学上的表示啦。
简单来讲，布里渊区就像是给晶格中的各种波动，比如电子的运动，划分了不同的“领地”。
在每个领地内，这些波动都有自己独特的性质。
比如说，在这个区域里，电子的能量可能会有特定的范围和变化规律。
这就好像每个布里渊区都是电子的一个“专属俱乐部”，只有符合条件的才能进去玩耍。
而且哦，布里渊区的形状和大小，是由晶体的结构决定的。
不同的晶体结构，就有不同形状和大小的布里渊区。
怎么样，是不是觉得布里渊区也没那么难理解啦？稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来探索一下布里渊区的几何定义，准备好了吗？咱们先想象一下，晶体是一个超级大的城市，原子们就是城市里的居民。
而布里渊区呢，就像是城市里划分出来的不同街区。
那它到底是怎么划分出来的呢？这就得提到倒格子啦。
倒格子就像是给这个城市画了一幅特别的地图。
在这张地图上，布里渊区就是那些有特殊意义的区域。
比如说，它们能告诉我们晶体中电子的运动情况。
每个布里渊区都有自己的边界，就像街区有自己的围墙一样。
这些边界可不是随便定的，是根据晶体的对称性和周期性来的。
而且哦，布里渊区的大小和形状能反映出晶体的很多特性。
如果布里渊区比较大，可能说明晶体中电子的活动范围比较广；要是形状比较特别，那也暗示着晶体有独特的性质。
再想想，当我们研究晶体的各种物理性质时，布里渊区就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多秘密的大门。
是不是觉得布里渊区挺有意思的？其实只要多想想，这些看似复杂的概念也能变得很简单有趣哟！。
布里渊区
的Wigner-Seitz原胞给出。
金刚石结构的Si、Ge和闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族半导体等, 都具有面心立方Bravais格子, 因此都具有体心立方的倒格子, 从而也都具有相同形状的第一Brilouin区, 为截角八面体(即是由6个正方形和8个正六边形构成的14面体)。
3布里渊区的特殊k点采样问题研究介绍在各种周期性边界条件的第一原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。
如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。
这使得计算的效率非常低下。
因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。
而这些k点被称之为“平均值点”（Baldereschi）或者“特殊点”（Chadi, Cohen）。
[1]基本思想Chadi和Cohen最早提出了这种特殊点的数学基础[1]。
考虑一个光滑函数，我们可以将其展为傅立叶级数：假设另有一个拥有体系全部对称性（对称性用对称群表示）的函数，满足条件，则我们可以将用展开如下：其中是对称群的阶数。
设，将上式的求和顺序重新组合可以得到其中是距离原点第近邻的球半径，按升序排列，且。
需要注意的是限制条件具有球对称性，也即高于的对称性，所以满足限制条件的格点集合并不一定都是等价的——或说可以通过中的操作联系起来的——格点。
方程(3)中的函数满足下列条件：上式中是倒格矢，是满足条件的格点数。
五个方程分别表明函数在第一布里渊区内成奇函数、具有正交性、周期性、体系对称性和完备性。
对于特殊点法而言，前两条更为重要。
注意到上面公式中的求和从1开始，因此需要对的情况进行单独定义。
我们定义，则函数的平均值为：那么该如何得到呢？注意方程(3)，如果存在这样的特殊点，使其满足：>那么立刻可以得到，这样的点被称为“平均值点”。
但是普遍的讲，满足上述条件的点并不存在。
布里渊区
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
高二物理竞赛布里渊区与能带课件
波矢只能取分立的数值，具有量子数的作用，描述 晶体中共有化运动的量子状态。
6
带隙的由来： 晶体中电子波的布拉格反射——周期势场的必然结果
视角1：近自由电子近似
对布里渊区边界两侧的电子态（k 和k + ）做简并微扰处理
15
1 2a
1 2a
1 2a
外电场作用下部分填充的能带中电子按能量分布的变化
电子分布将向轴的正向移动，由于散射作用，最终达到一个 稳定的不对称分布，正向运动电子数增加，电流部分抵消， 产生宏观电流。
部分填充能带中的电子才能起导电作用
13
14
导带
Eg
价带
价带：0K条件下被电子填充的能量的能带 导带：0K条件下未被电子填充的能量的能带 带隙：导带底与价空间
k空间内环绕原点的一个有限区域，一般称为简约 布里渊区，允带出现在以下几个区（布里渊区）
第一 ： 1 k 1
2a
2a
第二 ： 1 k 1 ,
a
2a
第三 ： 3 k 1 ,
2a
a
1 k1
2a
a
1k 3
a
2a
能量
E k 2k2
2m0
E(k)随晶体中周期性变化 势场影响形式复杂
9
模型
零级近似：N个电子环绕N个格点，它们具有相 同的能量，即N重简并。势场：V(r-Rm)
微扰：U(r)-V(r-Rm)，U(r)是周期性平均势场
布洛赫波函数+简并微扰计算
能量本征值 近邻 Es (k ) Esat J0 J eik (Rn Rs ) Rn
常用结构的布里渊区
常用结构和布里渊区(参考书： C.J. Bradley, A.P. Cracknell, “The Mathematical Theory of Symmetry in Solids: Representation Theory for Point Groups and Space Groups”, Oxford, Clarendon Press, 1972)1. 简单立方: Cubic Primitive, c Γ , m3m (O h )正格子：（a,0,0），（0,a,0），（0,0,a ）， 正格体积 a 3倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2a π，倒格体积 338aπ 布里渊区： Fig. 3.13Γ=(0, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), M=(1/2, 1/2, 0), R=(1/2, 1/2, 1/2) [注：以上各高对称点单位为： ),,(321b b b , 图上的i i b g=]2. 面心立方: Cubic Face-centred, c f Γ , m3m (O h )正格子：（0,a/2,a/2），（a/2,0,a/2），（a/2,a/2,0）， 正格体积 a 3/4即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2)(2)(2321j i a a i k a a k j a a（下同）倒格子： )1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，倒格体积 3332aπ 即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a b k j i a b k j i a bπππ （下同） 布里渊区：Fig. 3.14Γ=(0, 0, 0), X=(1/2, 0, 1/2), L=(1/2, 1/2, 1/2), W=(1/2, 1/4, 3/4),K=U=(3/8, 3/8, 3/4)3. 体心立方: Cubic Body-centred, c v Γ , m3m (O h )正格子：)1,1,1(2-a ，)1,1,1(2-a , )1,1,1(2-a , 正格体积 a 3/2 倒格子： )1,1,0(2a π，)1,0,1(2a π，)0,1,1(2a π，倒格体积 3316a π 布里渊区：Fig. 3.15Γ=(0,0,0), H=(1/2,－1/2, 1/2), P=(1/4, 1/4, 1/4), N=(0, 0, 1/2)4. 简单六角: Hexagonal primitive, h Γ , 6/mmm (D 6h )正格子： )0,,0(a -，)0,21,23(a a ，),0,0(c ， 正格体积 c a 223 即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=k c a j a i a a j a a3212123 原胞图：？重要！： 倒格子： )0,1,31(2-a π，)0,0,32(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 23316π 布里渊区： Fig.3.12Γ=(0, 0, 0), M=(0, 1/2, 0), A=(0, 0, 1/2), L=(0, 1/2, 1/2),K=(－1/3, 2/3, 0), H=(－1/3, 2/3, 1/2)5. 简单四角: Tetragonal primitive, q Γ, 4/mmm (D 4h )正格子： (a, 0, 0)，（0, a, 0），（0, 0, c ）， 正格体积 a 2c倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 238π 布里渊区： Fig. 3.9Γ=(0, 0, 0), M=(1/2, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2), A=(1/2, 1/2, 1/2),R=(0, 1/2, 1/2), X=(0, 1/2, 0)6. 简单正交: Orthorhombic primitive, o Γ, mmm (D 2h )正格子： (0,-b, 0)，（a,0, 0），（0, 0, c ）， 正格体积 abc倒格子： )0,1,0(2-b π，)0,0,1(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 abc38π 布里渊区： Fig. 3.5Γ =(0, 0, 0), Y=(－1/2, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2),U=(0, 1/2, 1/2), T=(－1/2, 0, 1/2), S=(－1/2, 1/2, 0), R=(－1/2, 1/2, 1/2)通常大家遇到的就是以上这些。
固体物理(第16课)布里渊区
简约布里渊区：正十二 面体 2 V 2 V倒易原胞 a
3
布里渊区示意图3-1
6.3 布里渊区*
1. 三维情况下近自由电子近似的计算结果
2 2 ˆ ( r ) E ( r ) ( r ) H k V ( r ) k ( r ) E k k k k 2m iG n r V ( r ) V ( r Rn ) V ( r ) Vn e V0 V ( r ) Gn n1b1 n2 b2 n3b3 1 iGn r dr Vn V ( r )e
a1 ai a2 aj
a2 a3 b1 2 a a a 1 2 3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
2 a 2 a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
简约布里渊区：十四面 体 2 V 4 V倒易原胞 a
3
作
业
1. 有一二维晶格，其原胞 基矢分别为 a1 2i ，a 2 4 j （a1、a 2的长度均以 A为单位），试画出该二 维晶格的 第一和第二布里渊区， 并计算它们 的面积。
示意图
j 倒易点阵仍为简立方晶 格 k
b. 体心立方晶格
示意图
倒易点阵为 面心立方晶格
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 2π a a2 (i j k ) b2 (i k ) 2 a a a3 (i j k ) b3 2π (i j ) 2 a
浅谈布里渊区的结构和性质概要
本科毕业论文题 目 浅谈布里渊区的结构及性质学生姓名 王 丁专业名称 物理学指导教师 杨志怀2015年4月28日教学单位 物理与光电技术学院学生学号 201191014104编 号 WL2015WLX104浅谈布里渊区的结构及性质摘要：能带理论是目前固体电子理论的最重要的理论，而布里渊区的引入是对于能量学习的重要补充，其在半导体，激光，超导等现代科学研究方面取得了重大突破。
只有将理论转化为生产力，才能带动整个现代信息科学技术群的迅速发展。
通过查阅相关的书籍，对比整理，使得对布里渊区的认识达到新的面貌，形成系统的框架。
从而实现对能带理论更加清晰的高度，为材料研制和工程技术提供更加可靠的理论指引。
关键字:晶格；布里渊区；能带。
Discussion on the structure and properties of Brillouin zone Abstract: Brillouin zone as the basic content and the research of the physics of solids lattice can bring important knowledge points. Band theory is the most important theory of the solid electronic theory, and the brillouin zone were introduced for energy learning important supplement, its in the semiconductor, the laser, superconductor, achieved a major breakthrough in modern scientific research. Only convert theory into productivity, can drive the rapid development of modern information science and technology group. Through access to books,contrast, to achieve a new understanding of the brillouin area, form a system framework. So as to realize more clear height of band theory, for research and engineering technology materials provide more reliable theoretical guidance.Keywords: Lattice ；Brillouin zone ；Energy band.目录一论文正文1 晶格性质及布里渊区 (1)1.1 晶格及分类 (1)1.2 一维单原子链 (1)1.3 一维双原子链 (3)2 布里渊区 (4)2.1 布里渊区 (4)2.2 布里渊区的界面方程 (4)2.3 布里渊区的图像 (4)2.3.1 简单立方格子 (5)2.3.2 体心立方 (5)2.3.3 面心立方体 (6)3 布里渊区与能带 (6)3.1 能带的性质 (6)3.2 能带的表示 (7)3.2.1 简约布里渊区图式 (7)3.2.2 周期图示 (8)3.2.3 扩展布里渊区图示 (8)3.3 三维晶格的能带与布里渊区 (9)3.3.1 能带的周期性 (9)3.3.2 能带的对称性 (9)3.3.3 能带的宏观对称性及与布里渊区的联系 (9)4 总结 (10)4.1 布里渊区的基本特征 (10)4.2 布里渊区的重要性 (10)参考文献 (11)谢辞 (12)二附录1 开题报告 (13)2 结题报告 (14)3 答辩报告 (15)1 晶格性质及布里渊区1.1 晶格[1]及分类晶体内部原子是有规律排列的。
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—— 3n个线性齐次方程
—— 系数行列式为零条件，得到3n个 j ( j 1, 2, 3, 3n)
长波极限
3个
——
趋于一致
—— 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 —— 3支声学波
—— 3n－Байду номын сангаас支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相 对运动 —— 3n－3支光学波
结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和 3n－3支光学波
第三布里渊区 由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
第一、第二和第三布里渊区
正方格子其它布里渊区的形成
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
二维斜格子的第一布里渊区
二维斜格子其它布里渊区的形成
二维斜格子其它布里渊区的形状
三维晶格中的波矢
波矢
—— 3个系数
—— 波矢空间的3个基矢 —— 倒格子基矢
采用波恩－卡曼边界条件
波矢
q
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
波矢空间一个点占据的体积
—— 倒格子原胞体积
状态密度
N v0 *
N b1 (b2 b3)
Nv0
(2 )3
V
(2 )3
波矢的取值_ h1h2h3 —— 原子振动波函数
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3.4 三维晶格的振动 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子
原子的质量 晶体的原胞数目 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置
各原子偏离格点的位移
第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
将方程解代回3n个运动方程
]i
(
q)
i (q) —— 晶格振动能量量子
—— 声子_Phonon
二维布里渊区 —— 正方格子的布里渊区 正方格子的基矢
倒格子原胞基矢
第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
—— 第一布里渊区 大小
第二布里渊区 由4个倒格点
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
波矢改变一个倒格矢
—— 不同原胞之间位相联系
—— 原子振动状态一样
k的取值限制在一个倒格子原胞中 —— 第一布里渊区
——
个取值
对应于一个波矢q 3支声学波和3n－3支光学波
总的格波数目 N (3 3n 3) 3nN
—— 晶体中原子的坐标数目
晶格振动总的能量
E
3nN
[ni (q)
i 1
1 2