椭圆与双曲线离心率专题

教学内容：

一、直接利用椭圆、双曲线的方程式和离心率公式计算。

二、利用三角形三边的关系建立不等关系(但要注意可以取到等号成立)

三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

三、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系

余弦定理：

四、利用圆锥曲线中x、y 的范围建立不等关系22

例1：双曲线x2 y2 1(a 0,b 0)的两个焦点为F1, F2 ，若P为其上一点，且PF1 2 PF2 ，则ab

双曲线离心率的取值范围是( )

A．(1,3) B ．(1,3] C ．(3, ) D ．[3, )

归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线

x 2

y

2

x

2

y

2

x 2y

2 1的左支上则x a；若点p在双曲线x2y2 1的右支上则x a 。

a b a b

五、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系

例2、已知双曲线x2y2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为F1( c,0),F2(c,0) ．若双曲线上存在ab

22

点P 使sin PF1F2 a，则该双曲线的离心率的取值范围是sin PF2F1 c

六、利用判别式建立不等关系

2

例5、已知双曲线x2 y2 1(a 0)与直线l：x y 1交于P、Q 两个不同的点，求双曲线离心a 率的取值范围

七、利用均值不等式建立不等关系

均值不等式：

22

例6、已知椭圆x2y2 1(a> b> 0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠ F1PF2=60°则椭ab 圆离心率 e 的取值范围

练习2、已知点P在双曲线x2y2 1(a 0,b 0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，| PF1 |最 a b |PF2 | 小值是8a ，则双曲线离心率的取值范围

八、利用二次函数的性质建立不等关系

22

例7、设a 1，则双曲线x2y2 1的离心率 e 的取值范围是( )

a2 (a 1)2

Ａ．( 2,2) Ｂ．( 2, 5) Ｃ．(2,5) Ｄ．(2, 5)

1、设 F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足∠ F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值

范围是（ ）

A ．[ 23 ，1）

B.（ 23 ，1）

C.（0 ， 23）

D.（0 ， 23 ]

2 2 2 2

22

2、设点 P 在双曲线 x 2 y 2 1（a 0,b 0）的右支上，双曲线两焦点 F 1、F 2 ，| PF 1 | 4|PF 2 |，求 a 2 b 2

双曲线离心率的取值范围。

22

3、一个圆经过椭圆 x y 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为

16 4

22

4、已知方程 m 2x

+n –3m 2y

–n =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是

（）

（A ）（ –1,3）

（B ）（ –1, 3）

（C ）（0,3） （D ）（0, 3）

x 2 2 5、已知 M （x 0，y 0）是双曲线 C ：x

y 1上的一点， F 1、F 2是 C 上的两个焦点， 若 MF 1 MF 2 <

2

0，则 y 0的取值范围是（ ）

（C ）（

，

） （ D ）（ ，）

3 3 3 3

6、 已知 F 是双曲线 C ：x 2 my 2 3m （m 0）的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为

（）

A. 3

B.3

C. 3m

D. 3m

22

7、已知双曲线 E 1： x 2 y 2 1（a >0，b >0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB ，CD 的中点

ab

为 E 的两个焦点，且 2| AB|=3| BC| ，则 E 的离心率是 ___ .

22

8 、 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 ， 双 曲 线 C 1: x 2 y 2 1（a 0,b 0） 的 渐 近 线 与 抛 物 线

a

1 2 3 4 b 2

为 .

9、已知抛物线 C ： y 2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个交

点，

若 FP 4FQ ，则 |QF |=（

）

75

A. 7

B. 5

C.3

D.2

22

2

10、在直角坐标系 xoy 中，曲线 C ：y=x 与直线 y kx a （ a >0）交与 M, N 两点，当 k=0时，分

4

B ）（- 3

， 3

6，6

C 2 : x 2 2 py （ p 0交） 于 点 O,A,B ， 若 O A B 的 垂 心 为 C 2 的 焦 点 ， 则 C 1 的 离 心 率 2 2 2 2

11、已知 a b ，椭圆 C 1的方程为

x 2 y 2 1

，双曲线 C 2的方程为 x 2 y 2 1，C 1与C 2的离心率 a b a b

之积为 3 ，则C 2的渐近线方程为（ ） 2

（A ） x 2y 0

（B ） 2x y 0

（C ） x 2y 0

（D ） 2x y 0

12、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于 D ，E 两点.已知| AB|= 4 2，

| DE|=2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（

） （ A ） 2

（B ）4

（C ）6

（ D ） 8

22

13、已知双曲线

x 2 y

2 1（a 0,b 0）

的两条渐近线均和圆 C: x 2 y 2 6x 5 0相切，且双曲线 ab

的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）

x 2

y 2

x 2

y 2

x 2

y 2

x 2

y 2

A. 1

B. 1

C. 1

D. 1

5

4

4 5 3 6 6 3

14、已知圆 O 的半径为 1，PA 、PB 为该圆的两条切线， A 、B 为两切点，那么 PA PB 的最小值

为 （）

A 4 2

B 3 2

C 4 2 2

D 3 2 2

15、已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ， 且 BF 2FD ，则 C 的离心率为

.

22

3、一个圆经过椭圆 1x 6 y 4 1的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为