高中数学《平面向量》单元测试

即 a2 k2b2 0
因为 a 2 5 ， b2 10 ，所以
18.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|= 7 .
(1)求 a 与 b 的夹角;
(2)求|2a+3b|的大小.
【答案】(1) ；(2) 3
19
【详解】(1)设 a 与 b 的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即 9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此 9+4-12cos θ=7,
·(
OB
OA
)
=
1
OB·OB
3
OA·OA
1
OA·OB
4
4
2
= 1 ×22- 3 ×42+ 1 ×4×2× 1 =-9.
44 2
2
2
20.如图,M 是矩形 ABCD 的边 CD 上的一点,AC 与 BM 交于点 N,BN= BM.
3
(1)求证:M 是 CD 的中点;
(2)若 AB=2,BC=1,H 是 BM 上异于点 B 的一动点,求 AH·HB 的最小值.
这样定义的:若 OP =xe1+ye2(其中 e1,e2 分别为 x 轴、y 轴同方向的单位向量),则点 P 的斜坐标
为(x,y). (1)若点 P 在斜坐标系 xOy 中的斜坐标为(2,-2),求点 P 到原点 O 的距离. (2)求以原点 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程. 22.如图，已知正方形 ABCD 中,E,F 分别是 CD,AD 的中点,BE,CF 交于点 P.求证：
(1)求 a 与 b 的夹角;
(2)求|2a+3b|的大小.
19.如图，在 OAB 中，已知 P 为线段 AB 上的一点， OP x OA y OB .
(1)若
BP
PA
，求
x
，
y
的值；
(2)若 BP
3PA ，
OA
4，
OB
2 ，且 OA 与 OB 的夹角为 60 时，求 OP AB 的值.
∴
2 3 2 3
m
1-n, n,
解得
m
n
1, 2 1. 3
∴
CM
=m
CD
1 2
CD
,即
M
是
CD
的中点.
(2)∵AB=2,BC=1,M 是 CD 的中点,
∴MB= 2 ,∠ABM=45°,
∴ AH·HB =( AB BH )· HB =-( AB BH )· BH =- AB·BH -| BH |2
()
1
A.λ<
2 9.在 ABC 中，
则 AO BC ( )
1
B.λ<2
C.λ>
D.λ>2
2
，若 O 为 ABC 内部的一点，且满足 OA OB OC 0 ，
1
2
1
1
A.
B.
C.
D.
2
5
3
4
10.在△ABC
中,设
2 AC
2 AB
=2
AM·BC
,那么动点
M
的轨迹必通过△ABC
的(
若 x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( )
2π
π
π
A.
B.
C.
D.0
3
3
6
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
第 2 页 共 11 页
13.已知向量 a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b 与 c 共线,则实数λ的值为_____.
A.1
B.2
【答案】B
C. 2 7 7
第 5 页 共 11 页
D. 2 D. 7
7
6.如图，过点 M (1，0) 的直线与函数 y sin πx 0 x 2 的图象交于 A，B 两点，则
OM (OA OB) 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
7.已知△ABD
是边长为
2
的等边三角形,且
(1)若
BP
PA
，求
x
，
y
的值；
(2)若 BP
3PA ，
OA
4，
OB
2 ，且 OA 与 OB 的夹角为 60 时，求 OP AB 的值.
【答案】(1) x y 1 ;(2) 3 . 2
【详解】(1)∵ BP PA ,
∴ BO OP PO OA ,即 2 OP OB OA ,
AB
1 2
AD
AC
,则|
CD
|等于(
A. 3 2
B. 3
3
C.
3
2
)
D.2 3
【答案】B
8.已知△ABC 是正三角形,若 a= AC -λ AB 与向量 AC 的夹角大于 90°,则实数λ的取值范围是
()
1
A.λ<
2
【答案】D
9.在 ABC 中，
则 AO BC ( )
B.λ<2
1
C.λ>
A.
3
AB
-
1
AC
C.
4 3
AB
+
4 1
AC
44
B.
1
AB
-
3
AC
D.
4 1
AB
+
4 3
AC
44
【答案】A
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12.设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成.
(1)BE⊥CF; (2)AP=AB.
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数学必修 4 第二章《平面向量》测试答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 如 图 所 示 ,A,B,C 是 圆 O 上 的 三 点 , 且 三 等 分 圆 周 , 若 OC =x OA +y OB , 则
【答案】 1 π
14.已知向量 a=(1,m),b=(3, 3 ),若向量 a,b 的夹角为 3 ,则实数 m 的值为_____.
【答案】 3 3
15.已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠DAB=60°, EC =2 DE ,则 AE·DB 的值为________.
【答案】 a2
3
16.在四边形 ABCD 中, AB DC 1,1 ,且
2
D.λ>2
，若 O 为 ABC 内部的一点，且满足 OA OB OC 0 ，
1
2
1
1
A.
B.
C.
D.
2
5
3
4
【答案】C
10.在△ABC
中,设
2 AC
2 AB
=2
AM·BC
,那么动点
M
的轨迹必通过△ABC
的(
)
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
【答案】C
11.在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB =
数学必修 4 第二章《平面向量》单元测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 如 图 所 示 ,A,B,C 是 圆 O 上 的 三 点 , 且 三 等 分 圆 周 , 若 OC =x OA +y OB , 则
()
1
A.x=y=-1
B.x=y=1
C.x=y=
2
2.已知向量 a, b 满足 | a | 1 ， a b 1，则 a (2a b)
()
A.x=y=-1
B.x=y=1
1
C.x=y=
2
【答案】A
2.已知向量 a, b 满足 | a | 1 ， a b 1，则 a (2a b)
1
D.x=y=-
2
A.4
B.3
C.2
D.0
【答案】B
3.已知集合 M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则 M∩N 等于( )
)
A.垂心
B.内心
C.外心
11.在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB =
A.
3
AB
-
1
AC
C.
4 3
AB
+
4 1
AC
44
B.
1
AB
-
3
AC
D.
4 1
AB
+
4 3
AC
44
D.重心
12.设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成.
1
D.x=y=-
2
A.4
B.3
C.2
D.0
3.已知集合 M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则 M∩N 等于( )
A.{(1,1)}
B.{(1,1),(-2,-2)}
C.{(-2,-2)}
D.⌀
4.如图，正方形
ABCD 中，
M
是
BC
1
π