第十二章 加试计算题8 动量和能量观点的综合应用

取向右为正方向，对C根据动量定理有：－F·Δt＝－mCvC′－mCvC
mCvC′＋vC 解得：碰撞过程中 C 所受的撞击力大小：F＝ ＝1 200 N. Δt 答案 1 200 N
解析答案
(2)为使物块A不滑离木板B，木板B至少多长？ 解析 C与A碰撞过程，根据动量守恒定律有：mCvC＝－mCvC′＋mAvA mCvC′＋vC 解得：碰后 A 的速度 vA＝ ＝2 m/s mA
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A、B物块分离过程中，由动量守恒定律得：3mvA＝mvB A物块减速运动到停止，由动能定理得
1 －3μmgs＝0－2×3mvA 2
图9
R 联立以上各式解得：s＝8μ. R 答案 8μ
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课时训练
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1.如图1，光滑水平地面上有一具有光滑曲面的静止滑块B，可视为质 点的小球A从B的曲面上离地面高为h处由静止释放，且A可以平稳地由 B的曲面滑至水平地面.已知A的质量为m，B的质量为3m，重力加速度 为g，试求：
系统的动量守恒.
mv0＝(M＋m)v m 解得 v＝ v0 m＋M 代入数据得木块A的速度v＝2 m/s.
答案 2 m/s
解析答案
图2
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图2 (2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能.
解析 木块A压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大.
由能量关系，最大弹性势能
1 1 2 Ep＝2mv0 －2(m＋M)v2－μmgL
cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2) 图6
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(1)在沿斜面下滑的整个过程中，P球电势能增加多少？ 解析 在沿斜面下滑的整个过程中，电场力对P球做功为：
qEh W＝ ＝－ 90 J tan θ
ΔE＝－W＝90 J
答案 90 J
解析答案
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(2)小球P运动到水平面时的速度大小. 解析 根据受力分析可知，斜面对P球的支持力为：
图1
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(1)A从B上刚滑至地面时的速度大小；
解析 设A刚滑至地面时速度大小为v1， B速度大小为v2 由水平方向动量守恒得：mv1＝3mv2 1 1 2 由机械能守恒得：mgh＝2mv1 ＋2×3mv2 2 1 1 由以上两式解得：v1＝2 6gh，v2＝6 6gh 1 答案 2 6gh 图1
图8
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(1)子弹穿出木块时物块的速度大小； 解析 设子弹穿过物块后物块的速度为v， v0 由动量守恒得 mv0＝m· ＋Mv 2
①
mv0 解得 v＝ 2M
答案 mv0 2M
②
解析答案
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(2)此过程中系统损失的机械能；
1 1 v0 2 1 2 2 解析 系统损失的机械能为 ΔE＝2mv0 －2m( 2 ) －2Mv 3M－mmv02 由②③式得 ΔE＝ 8M
答案 0.5 m
方法感悟 解析答案
[题组阶梯突破]
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3.如图5所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小 滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点.现将A无初速度释放， A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动.已知圆弧轨道光滑，半径R ＝0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数 μ＝0.2. 取重力加速度g＝10 m/s2.求：
速度v0向B滑行，经过时间t时，与B相碰．碰撞时间极短，碰后A、B粘在
一起运动．滑块均可视为质点，与平面间的动摩擦因数均为μ，重力加速
度为g.求：
图1
(1)碰后瞬间，A、B共同的速度大小； 解析 设A、B质量均为m，A刚接触B时的速度为v1，碰后瞬间共同的速 度为v2，从P到O过程，由动量定理得：－μmgt＝mv1－mv0 以A、B为研究对象，碰撞瞬间系统动量守恒，以向左为正方向，由动量 1 守恒定律得：mv1＝2mv2，解得：v2＝ (v0－μgt)； 2 1 答案 2(v0－μgt)
图5
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(1)碰撞前瞬间A的速率v； 解析 设滑块的质量为m
1 2 根据机械能守恒定律 mgR＝2mv
得碰撞前瞬间 A 的速率 v＝ 2gR＝2 m/s
图5
答案 2 m/s
解析答案
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(2)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′； 解析 根据动量守恒定律mv＝2mv′
1 得碰撞后瞬间 A 和 B 整体的速率 v′＝2v＝1 m/s 答案 1 m/s
答案 3M－mmv0 8M
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③
④
解析答案
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(3)此后物块落地点离桌面边缘的水平距离.
解析 设物块下落到地面所需时间为 t，落地点距桌面边缘的水平距 ⑤ 1 2 离为 s，则 h＝2gt
s ＝v t
mv0 由②⑤⑥式得 s＝ M h 2g
⑥
mv0 答案 M
h 2g
解析答案
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6.如图9所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段
光滑，cde段是以O为圆心、R为半径的一小段圆弧.可视为质点的物块A
和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍.两物块在足够大的内
力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动.B运动到d点时速度 3 沿水平方向，此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的 .A与ab段的 4 动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
A恰好滑至木板B右端并与其共速时，所求B的长度最小. 根据动量守恒定律：mAvA＝(mA＋mB)v mAvA 解得 A、B 的共同速度 v＝ ＝1.5 m/s mA＋mB 1 1 2 根据能量守恒定律：μmAgx＝ mAvA － (mA＋mB)v2 2 2
mAvA 2－mA＋mBv2 解得：木板 B 的最小长度 x＝ ＝0.5 m. 2μmAg
图1
解析答案
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2.如图2所示，固定的光滑圆弧面与质量为6 kg的小车C的上表面平滑 相接，在圆弧面上有一个质量为2 kg的滑块A，在小车C的左端有一个 质量为2 kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点.现使滑块A从距小车的 上表面高h＝1.25 m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运 动，最终没有从小车C上滑出.已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均 为μ＝0.5，小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g＝10 m/s2.求：
定端D所对应的滑板上表面光滑.小木块A以速度v0＝10 m/s由滑板B左端
开始沿滑板B表面向右运动.已知木块A的质量m＝1 kg，g取10 m/s弹簧被压缩到最短时木块A的速度大小； 解析 弹簧被压缩到最短时，木块A与滑板B具有相同的速度，设为v，
从木块A开始沿滑板B表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，A、B
代入数据得Ep＝39 J. 答案 39 J
解析答案
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2.(2016· 河南六市一联)如图3所示，质量为m1＝0.2 kg的小物块A，沿水平 面与小物块B发生正碰，小物块B的质量为m2＝1 kg.碰撞前，A的速度大 小为v0＝3 m/s，B静止在水平地面上.由于两物块的材料未知，将可能发 生不同性质的碰撞，已知A、B与地面间的动摩擦因数均为 μ＝0.2，重力 加速度g取10 m/s2，试求碰后B在水平面上滑行的时间.
图7
①B球第一次到达地面时的速度；
解析 设 B 球第一次到达地面时的速度大小为 vB， ①
由运动学公式有 vB＝ 2gh
将h＝0.8 m代入上式，得vB＝4 m/s 答案 4 m/s
②
图7
解析答案
②P点距离地面的高度.
图7
方法感悟 解析答案
[题组阶梯突破]
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5.如图8，一质量为M的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度 v0 为h.一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度 射出.重 2 力加速度为g.求：
(3)A和B整体在桌面上滑动的距离l.
解析 1 根据动能定理2(2m)v′2＝μ(2m)gl
图5
v′2 得 A 和 B 整体沿水平桌面滑动的距离 l＝ 2μg ＝0.25 m. 答案 0.25 m
解析答案
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4.一质量为m＝6 kg、带电荷量为q＝－0.1 C的小球P自动摩擦因数μ＝0.5、
倾角θ＝53°的粗糙斜面顶端由静止开始滑下，斜面高h＝6.0 m，斜面底
解析答案
(2)若A、B压缩弹簧后恰能返回到O点并停止，求弹簧的最大压缩量； 解析 碰后A、B由O点向左运动，又返回到O点，设弹簧的最大压缩量为 x，由能量守恒定律得：
1 μ(2mg)2x＝2(2m)v2 2， 1 解得：x＝16μg(v0－μgt)2 1 答案 16μg(v0－μgt)2
解析答案
(3)整个过程中滑块B对滑块A做的功． 解析 对滑块A，由动能定理得：
很短为Δt＝10－2s，之后小球C反弹所能上升的最大高度h＝0.2 m.已知A、
B间的动摩擦因数μ＝0.1，物块与小球均可视为质点，不计空气阻力，
取g＝10 m/s2.求：
(1)小球C与物块A碰撞过程中所受的撞击力大小； 1 2 解析 C下摆过程，根据动能定理有： mCgL＝2mCvC 解得：碰前 C 的速度大小 vC＝ 2gL＝4 m/s 1 C 反弹过程，根据动能定理有：－mCgh＝0－2mCvC′2 解得：碰后 C 的速度大小 vC′＝ 2gh＝2 m/s
解析答案
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(2)若A到地面后与地面上的固定挡板 P碰撞，之后以原速率反弹，
则A返回B的曲面上能到达的最大高度为多少？
解析 从A与挡板碰后开始， 到A追上B并到达最大高度h′， 两物体具有共同速度v， 此过程系统水平方向动量守恒：mv1＋3mv2＝4mv 1 2 系统机械能守恒：mgh＝2×4mv ＋mgh′ 1 由以上两式解得：h′＝4h. 1 答案 4h