矩阵的运算PPT课件

4
5
3

B-31
3
5-41 3
6 7- 7
例15 利3用6 下清 列 57 模空 型验223 证单464位37 矩54阵143 的性质.
单击
乘位
积矩
矩阵
阵-的2195的性某质334一3:0
A元21素417 39，
可E 3-得22133该
元5素
65
的
清
计4
3 4
算
空
过
程
单
位
矩
2阵-352的01*8
设
引
有
例
三
2
组
变量
总收
x入1 ,
与x 2
总, x
3利,
x润4
、
y1
, y2
, y3 、
z1
,
z2
，
它们之间的关系分别为 设某地区有甲、乙、丙
三
个
工
厂
,
每
个
工
厂
都
生 产 Ⅰ 、 Ⅱx1 、 Ⅲa1、1 yⅣ1 4a1种2 y产2 品 a.已13 知y 3每, 个 工 厂 的 年
产 量 (单位x:2 个 )a如21 下y1 表 所a 2示2 y:2 a 23 y 3 ,
例例 设设
AA


22 11 33
707055 ,,
BB


33 44 33
929255 ,,
CC 9494
5533..
((11 )) 问问三三 个个 矩矩 阵阵 中中哪哪些些能能进进行行加加法法运运算算,, 并并 求求
第二节 矩阵的运算
主要内容
矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 方阵的幂
矩阵矩阵乘积的意义 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵
一、矩阵的加法
1. 定义 定义 2 设 A＝ (aij)m×n 与 B＝ (bij)m×n 是 两个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C ＝ (aij + bij)m×n 为 矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为 A＋B． 若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩 阵. 显然有 A + (-A) = O. 由此可定义矩阵的差为
00 11
33 00
2211,, BB121211
11 00 33
143143,,
解 因 为 A 是 2× 4 矩 阵 , B 是 4× 3 矩 阵 , A
的列数等于 B 的行数,所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其 乘 积 AB = C 是 一 个 2× 3 矩 阵 , 由 矩 阵 乘 积 的 定义有
记作
C = AB.
注意: 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积. 矩 阵 乘 法 模 型 之 ： A2 2 B2 2
矩
阵
乘
23
积
模
2
型
之
:
1
A2
-39
B3

3
15 -197
矩
阵
乘3
积
模41
型
之2-:4
A
3
二、数与矩阵相乘
1. 定义
定义 3 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
称矩阵
ka11
（k aij）mn

k a21
k
am1
k a12 k a22

k am2
ka1n ka2n kamn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
(1)
2. 定义
定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
C = (cij)m×n , 其中
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
p
aikbkj , i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, …, n
k 1
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,
A - B = A + (-B) .
2. 运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, 其中 O 是与 A 同型矩阵; (4) A + ( -A ) = O .
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则
(1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩 3 32 2 1 10 0 ,, B B 2 22 2 1 2 12 ,,
且且 22AA33XXBB, , 求求 矩矩 阵阵 XX ..
解 在 2A 3X B, 两端同加上 2A
得
3X 2A B

(

2)

3 2
0 1



2 2
1 2



8 6
1 0
,
三、矩阵的乘法
1. 引例
引例 1 线性变换的乘积
4 6

16


其其 和和 ,, 哪哪 些些 不不 能能 进进 行行加加法法运运算算,, 说说 明明 原原 因因;;
((22 )) 求求 CC 的的 负负 矩矩 阵阵..
解 (1) A 与 B 能 进 行 加 法 运 算 ; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算,因为它们不是同型矩
阵 , A 和 B 都 是 3× 2 矩 阵 , C 是 2× 2 矩 阵 .
性( -3质798263):3
666
+E2322353*
5A
3 1=
3-
1
90
7
0
双
击
乘
积
矩- 2阵514
的 3某6051一
元2036素4
，
可10
0
得
该清21元 素空- 90的
01
计
算
过
程
例例 44 已已 知知
44 11 00
AA1212 求求 AA BB .
例例 55 求求 矩矩 阵阵
AA1122 4422,,BB 22334466
的的 乘乘 积积 AA BB 及及 BB AA .
解 由定义有
模
型
之
：
AAB2
2
1B22

4
2
2

2 3