数学竞赛中的无理函数最值问题
九年级数学竞赛题：代数最值
九年级数学竞赛题：代数最值数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：1．利用配方法求最值；2．运用不等式或不等分析法求最值；3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4．构造二次函数模型求最值；5．构造图形求最值．例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a（1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值；（2） 求||||||c b a ++的最小值．例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为23321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为__________．3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．（1）若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。
无理函数最值探求的几种策略
无理函数最值探求的几种策略无理函数的最值是中学数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题中感到很困惑，本文就一类形如的无理函数最值的解法作一次探求，寻求解决问题求解的多种策略，以便熟练和灵活地运用一些方法去解决问题，以达到举一反三的效果。
例题：求函数的最值一、巧用三角代换求函数最值根据三角函数的特征和性质，在无理函数中巧妙的进行三角换元，使无理问题三角化，从而达到快速求解无理函数最值的目的，显然设元的技巧很关键。
1、解：的定义域，，故可设则。
二、熟用平方判别式求函数最值无理函数的最大特征是含有根号，而平方是去根号的重要手段之一，将无理函数转化为关于的二次方程的函数，利用判别式求函数的最值是常见的方法，但要注意函数定义域对函数最值的制约作用。
解：函数的定义域，显然两边平方得移项再平方整理可得由得又，另外由及，。
三、善用导数求函数最值导数是高中数学新教材中增加的内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题上成为高中数学解题一道靓丽的风景线，要重视导数在解决一些比较复杂函数最值上的作用，善于运用它，体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁、完美的解决。
解：对原函数求导可得：令得又由此可得，四、妙用构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重特性，用向量方法解决代数问题的关键是善于观察问题的外貌结构，挖掘代数结构的向量模型，巧妙构造向量，把原有的问题转化为向量问题求解。
它是一种重要的数学思维方法，是数形结合思想的一个有效载体。
解：原函数变形为可设则得令与的夹角为，，则，如图1，向量的终点在以原点为圆心，为半径的的圆周上，则两向量夹角，当，即，即时，当，即即时，，本文对一类形如的无理函数的最值作了一次多角度，多层次的分析和探求，如果对它加以深入探究当然有更多类型的无理函数的最值值得我们去思考和研究。
通过从特殊到一般的数学思维，寻求到解决问题的不同策略，对培养学生的创造性思维能力，完善学生的认知结构，提高学生的数学素养定有积极的作用。
初中数学竞赛题型分析
初中数学竞赛题型分析在初中数学的学习领域中，数学竞赛无疑是对学生综合能力的一场大考。
它不仅要求学生具备扎实的基础知识，更需要有出色的思维能力、解题技巧和创新意识。
竞赛题型丰富多样，每一种都有其独特的特点和解题思路。
接下来，我们就对常见的初中数学竞赛题型进行一番深入分析。
首先，代数类题型是竞赛中的常客。
其中，方程与不等式的问题常常让学生们绞尽脑汁。
这类题目通常会设置复杂的数量关系，需要学生通过巧妙设元、灵活变形来求解。
例如，给出一些关于未知数的条件，然后要求解出未知数的取值范围或者具体值。
在解决这类问题时，需要熟练掌握方程的性质、不等式的解法以及消元、换元等方法。
函数类题型也是重点之一。
一次函数、二次函数、反比例函数等，常常以综合题的形式出现。
可能会要求根据给定的条件确定函数的解析式，或者利用函数的性质来解决最值问题、图象交点问题等。
这就需要学生对函数的概念、图象和性质有深入的理解，能够将实际问题转化为函数问题，并通过绘制图象、分析代数表达式等手段来找到解题的关键。
几何类题型更是充满了挑战和乐趣。
三角形、四边形、圆等几何图形的相关问题常常让学生们眼前一亮。
比如三角形中的全等与相似证明，需要学生熟练运用各种定理和性质，通过严谨的推理和逻辑思维来完成证明过程。
四边形中的平行四边形、矩形、菱形、正方形等，可能会涉及到性质的综合运用以及面积计算等问题。
而圆的相关题目，则常常与圆心角、圆周角、切线等知识相结合，要求学生具备较强的空间想象力和图形分析能力。
数论类题型虽然在日常教学中涉及较少，但在竞赛中却时有出现。
例如质数与合数、因数与倍数、整除性等问题。
这类题目往往需要学生运用数学的基本原理和规律，通过推理和尝试来找出答案。
组合数学类题型也不容小觑。
像排列组合问题、抽屉原理等，需要学生具有较强的抽象思维和分类讨论能力。
例如计算从若干个元素中选取若干个元素的排列或组合数，或者通过抽屉原理来证明某个结论的存在性。
2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷及试卷解析
2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一、解答题（共13小题，满分0分）1．已知：（1）a＞0（2）当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1；（3）当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2．求常数a、b、c．2．在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI．3．在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至少出现n次，在某一列中也至少出现n次，那么，n 的最大值是多少？并证明你的结论．4．已知=8，则2x+4y﹣z+6=．5．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为实数，那么，a+b的最小值是．6．已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A=．7．某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A 类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有种．8．已知方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解，则整数m的值为．9．在边长为1的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA 上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是．10．已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°．那么∠OAD=．11．代数式++达到最小值时，x、y的值分别为 ．12．如果2006个整数a 1，a 2，…a 2006，满足下列条件：a 1=0，|a 2|=|a 1+2|，|a 3|=|a 2+2|，…，|a 2006|=|a 2005+2|，那么，a 1+a 2+…+a 2005的最小值是 ．13．一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成．一栋面积为Nm 2的房子的地上部分费用与N 成正比，基础部分费用与成正比．已知一栋3600m 2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%，那么，要建造若干栋相同的住房，使面积为8000m 2的总造价最小，则每栋住房的面积的平方米数应是 ．2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共13小题，满分0分）1．已知：（1）a＞0（2）当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1；（3）当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2．求常数a、b、c．【分析】由已知：a＞0，ax+b有最大值2，就知道ax+b是一个升函数，当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2，就可以求出a+b的值为2，然后根据当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1，就可以求出c的值，最后根据x的范围确定二次函数的最小值为﹣1，这样由二次函数的顶点坐标公式就可以求出b值，从而求出常数a、b、c的值．【解答】解：当a＞0时，ax+b的值随着x取值的增大而增大，所以x=1时，ax+b有最大值a+b，即：a+b=2令x=0，则|c|≤1，即：﹣1≤c≤1令x=1，则|a+b+c|≤1，即：|2+c|≤1，所以﹣3≤c≤﹣1故c=﹣1．令y=ax2+bx+c，则抛物线y=ax2+bx+c必过（0，﹣1）因为当﹣1≤x≤1时，﹣1≤ax2+bx+c≤1，所以该二次函数的最小值是﹣1，∴∴4ac﹣b2=﹣4a∵c=﹣1﹣4a﹣b2=﹣4a∴b=0∴a=2所以a=2，b=0，c=﹣1．【点评】本题是一道二次函数的综合题，考查了一次函数的图象特征，用不等式组求解的特殊方法的运用以及二次函数的顶点公式的运用．2．在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI．【分析】因I是内心，故，=．又因AB=8，BC=6，CA=4，所以AC+AB=2BC，故AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又DC=DI（内心性质），故AD=2DI．从而即可证明．【解答】证明：∵I是内心，∴，=．又∵AB=8，BC=6，CA=4∴AC+AB=2BC，∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又∵DC=DI（内心性质），∴AD=2DI．而O是外心，∴OI⊥AI．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质．3．在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至少出现n次，在某一列中也至少出现n次，那么，n 的最大值是多少？并证明你的结论．【分析】通过举例首先猜想n的最大值是3，然后通过做标记实验的方法得当某数在某一行至少出现3次，在某一列至少出现3次．【解答】解：1 2 34 5 67 8 9每一格表示3×3的方格，如图的特例中的数字，得到n≤3，猜想：n的最大值为3．只需要证按条件填好的81个数后一定存在一个数，这个数在某一行至少出现3次，在某一列也至少出现3次．若某数在某行至少出现3次，就在该数上打“√”作上记号，则每行至少有5个“√”（不打“√”号的最多有4个），因此表格中至少有45个，同理，若某数在某列至少出现3次，就在该数上打“0”作上记号，则表格中至少有45个“0”．由于45+45=90，所以至少有一格既打“√”，又打“0”，即这个数在某一行至少出现3次，在某一列至少出现3次．【点评】本题考查了规律探究题，解决此类问题的关键是仔细的观察数据之间的关系并发现其中的规律，从而解决问题．4．已知=8，则2x+4y﹣z+6=6．【分析】先把原方程去分母，再去括号化简，得到（4x2+16xy+16y2）﹣（4xz+8yz）+z2=0即：（2x+4y）2﹣2•（2x+4y）•z+z2=0，从而得出2x+4y﹣z=0，再求答案就容易了．【解答】解：由题意得：（2x+z）2=8（x+y）（﹣2y+z），∴4x2+4xz+z2=﹣16xy+8xz﹣16y2+8yz，∴4x2﹣4xz+z2+16xy+16y2﹣8yz=0，∴（4x2+16xy+16y2）﹣（4xz+8yz）+z2=0即：（2x+4y）2﹣2•（2x+4y）•z+z2=0，∴（2x+4y﹣z）2=0，∴2x+4y﹣z=0，∴2x+4y﹣z+6=0+6=6．故答案为6．【点评】本题考查了代数式求值，考查了整体代入的思想，此题比较繁琐，计算时要细心才行．5．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为实数，那么，a+b的最小值是﹣17．【分析】由2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，即可得：2﹣3 3 （1﹣3﹣1）××1 5 1 （3﹣1﹣3）则可求得a与b的可能取值，继而求得a+b的最小值．【解答】解：∵2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，∴2﹣3 3 （1﹣3﹣1）××1 5 1 （3﹣1﹣3）∴a=5，b=12或a=7，b=﹣4或a=﹣5，b=﹣12或a=﹣7，b=4，∴a+b的最小值是﹣5+（﹣12）=﹣17．故答案为：﹣17．【点评】此题考查了因式定理的应用．注意形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二次三项式：a1c1f1××a2c2f2如果有：a1•c2+a2•c1=b，a1•f2+a2•f1=d，c1•f2+c2•f1=e，那么：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+c1y+f1）（a2x+c2y+f2）．6．已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A=±．【分析】先通分，分母n2（n+1）2是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式，从而即可得解．【解答】解：1++=，分子：n2（n+1）2+（n+1）2+n2=n2（n+1）2+n2+2n+1+n2，=n2（n+1）2+2n（n+1）+1，=[n（n+1）+1]2，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A=±．故答案为：±．【点评】本题考查了完全平方式，先通分，然后把分子整理成完全平方公式的形式是解题的关键，难度较大，灵活性较强．7．某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A 类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有7种．【分析】首先设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意即可得不等式组：，解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．【解答】解：设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意得：，∴3≤x≤6，2≤y≤，∴当x=3，y=2时，60x+70y=320，当x=3，y=3时，60x+70y=390，当x=3，y=4时，60x+70y=460，当x=4，y=2时，60x+70y=380，当x=4，y=3时，60x+70y=450，当x=4，y=4时，60x+70y=520（舍去），当x=5，y=2时，60x+70y=440，当x=5，y=3时，60x+70y=510（舍去），当x=5，y=4时，60x+70y=580（舍去），当x=6，y=2时，60x+70y=500，当x=6，y=3时，60x+70y=570（舍去），当x=6，y=4时，60x+70y=640（舍去），∴不同的选购方式共有7种．故答案为：7．【点评】此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．8．已知方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解，则整数m的值为8．【分析】根据方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解可知：△=[2（m ﹣13）]2﹣4×6×（12﹣m）=4×[（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）]应该是一个完全平方式，令令（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）=y2，把该式转化成m2﹣20m﹣y2+97=0，即（m﹣10）2﹣y2=3，于是列出m和y的二元一次方程组，求出m的值，最后验证m是否符合题意．【解答】解：由题意知：△=[2（m﹣13）]2﹣4×6×（12﹣m）=4×[（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）]应该是一个完全平方式，所以（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）是一个完全平方式，令（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）=y2（y是正整数），则m2﹣20m﹣y2+97=0，即（m﹣10）2﹣y2=3，∴（m﹣10+y）（m﹣10﹣y）=3×1=（﹣3）×（﹣1），∴或或或，解得m=12或8，当m=12时，原方程即6x2﹣2x=0，解得x=0或，不符合题意，当m=8时符合题意，整数m的值为8，故答案为8．【点评】本题主要考查一元二次方程的整数跟和有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握跟的判别式和完全平方式的知识，此题难度不大．9．在边长为1的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是．【分析】作点M关于直线BC的对称点M′，过P作关于直线CD的对称点P′，根据两点间线段最短，及勾股定理即可求解．【解答】解：作点M关于直线BC的对称点M′，过P作关于直线CD的对称点P′，连M′P′交BC，CD于N，O，所以M′N=MN，OP=OP′MN+NO+OP=NM′+ON+OP′=M′P′此时MN+NO+OP有最小值，由作法，得BM′=BM=，所以AM′=3/2，DP′=3/4，AP′=1+3/4=7/4在直角三角形AM′P′中，M′P′2=AM′2+AP′2=，所以M′P′=．故答案为：．【点评】考查了正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题，熟知正方形的性质是解答此题的关键．10．已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°．那么∠OAD=26°．【分析】如图，延长AO、AD分别交⊙O于E、F，连接EF，BF，根据圆周角定理及其推论可以分别得到∠CBF=∠CAF，∠AEF=∠ABF，∠AFE=90°，然后利用∠OAD=180°﹣∠AFE﹣∠AEF即可求解．【解答】解：如图，延长AO、AD分别交⊙O于E、F，连接EF，BF，∴∠CBF=∠CAF，∠AEF=∠ABF，∠AFE=90°，而∠OAD=180°﹣∠AFE﹣∠AEF=90°﹣∠AEF=90°﹣∠ABF=90°﹣（∠ABC+∠CBF）=90°﹣（∠ABC+∠CAF）而AD为BC上的高，∴∠CAF=90°﹣∠ACB，∴∠OAD=90°﹣（∠ABC+90°﹣∠ACB）=∠ACB﹣∠ABC=180°﹣∠BAC﹣2∠ABC=26°．故答案为：26°．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心的性质，同时也利用了圆周角定理及其推论，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的性质才能很好解决问题．11．代数式++达到最小值时，x、y的值分别为，．【分析】将原式化为++，根据两点间的距离公式可知：可以看成是坐标轴上A（0，3）与B（3x，1）两点的距离，可看成是B（3x，1）与C（2y，0）的距离，则为C（2y，0）与D（4，2）的距离，继而利用轴对称﹣最短路线问题求解即可．【解答】解：原式=++，根据两点间的距离公式可知：可以看成是坐标轴上A（0，3）与B（3x，1）两点的距离，可看成是B（3x，1）与C（2y，0）的距离，则为C（2y，0）与D（4，2）的距离，在坐标轴上找出A、B、C和D四点的位置如下所示，点B在直线y=1上，点C 在x轴上，作点D（4，2）关于x轴对称到点E（4，﹣2），后连接DE两点，其与直线y=1的交点即是代数式达到最小值时的B点，与x轴的交点即是代数式达到最小值时的C点，可以算出此时B点的坐标为：（，0），解得x=；此时C点的坐标为：（，0），解得y=．故答案为：，．【点评】本题考查了利用轴对称﹣最短路径的知识求解无理函数的最值，找出A、B、C和D四点的位置是解答此题的关键，有一定的技巧性．12．如果2006个整数a1，a2，…a2006，满足下列条件：a1=0，|a2|=|a1+2|，|a3|=|a2+2|，…，|a2006|=|a2005+2|，那么，a1+a2+…+a2005的最小值是﹣2004．【分析】可以把2006个数分为502个小组（a1，a2，a3，a4）（a5，a6，a7，a8）…（a2001，a2002，a2003，a2004）（a2005，a2006），分别求出这些组的最小值，然后求和即可．【解答】解：可以把2006个数分为502个小组（a1，a2，a3，a4）（a5，a6，a7，a8）…（a2001，a2002，a2003，a2004）（a2005，a2006），第一组，取a1=0，a2=2，a3=﹣4，a4=﹣2 其和最小=﹣4，第二组，取a5=0，a6=2，a7=﹣4，a8=﹣2 其和最小=﹣4，…倒数第2组，取a2001=0，a2002=2，a2003=﹣4，a2004=﹣2．其和最小=﹣4，最后一组，取a2005=0，a2006=﹣2．∴这些数的和最小为501×（﹣4）+0=﹣2004，故答案为﹣2004．【点评】本题主要考查函数最值问题和整数问题的综合运用的知识点，解答本题的关键是对这些数进行分组，此题有一定难度．13．一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成．一栋面积为Nm2的房子的地上部分费用与N成正比，基础部分费用与成正比．已知一栋3600m2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%，那么，要建造若干栋相同的住房，使面积为8000m2的总造价最小，则每栋住房的面积的平方米数应是500．【分析】根据题意先设出每栋住房的面积的平方米应是y，共建了x栋相同的住房，总价值为S，得出xy=8000，S=（αy+β）x，再根据题意得出S=α•xy+βx（其中α、β为比例常数），再根据统一列出式子，得出结果进行讨论，即可求出答案【解答】解：设每栋住房的面积的平方米应是y，共建了x栋相同的住房，总价值为S，则xy=8000，S=（αy+β）x，=，其中α、β为比例常数，于是有S=α•xy+βx=α•8000+5000•α••x=5000α（+）α•2•=105•8α≥105，由于上式等号成立，因此=，x=16，y=500．所以每栋住房的面积的平方米数应是500．故答案为：500．【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，其中根据已知条件构造房屋总造价的函数解析式，将实际问题转化为函数的最值问题是解答本题的关键．。
第8无理函数
无理函数的值域问题求无理函数的值域问题是初等数学的难点,因该类问题内涵丰富,灵活多变,涉及多个知识点,技巧性、综合性较强,解法灵活多样,因此成为数学竞赛的热点.本文通过对各种解法进行对比研究,试图寻找解决各种类型问题的最佳方法.1.单调性质法[例1]:(2010年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=5-x -x 324-的值域是 .[解析]:[评注]:一个函数我们直接或作一些变形就能判断函数的单调性,用单调求值域是一种比较快捷的方法.无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 同号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 相等)型等,可判断函数单调性,均可用此法.用单调性质法求无理函数的值域时,必须注意到函数隐含的正负性特征和定义域.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)函数y=1+x -x 525-的值域是 .2.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2+x -2-x ( ) (A)是非单调函数,没有反函数 (B)有反函数,且反函数是增函数 (C)有反函数,且反函数是减函数 (D)有反函数,且反函数是非单调函数3.(原创题)求函数y=27+x +x -13-x 的最大值和最小值.4.(原创题)求函数y=27+x +x -14-x -13的最大值和最小值.2.平方分析法[例2]:(2005年全国高中数学联赛试题)使关于x 的不等式3-x +x -6≥k 有解的实数k 的最大值是 .[解析]:[评注]:求无理函数值域的难点是解析式中含有的根式,而平方法是去掉根式的根本方法.无理函数f (x)=b ax ++ax d -(a>0,b>0,d>0)型,或f (x)=ax+b ±q px x a ++22型等,可使用平方法分析求解.用平方法求无理函数的值域时,必须注意到平方前函数中隐含的非负性特征和定义域.[类题]:1.(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)函数y=x -1994+1993-x 的值域是_____.2.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=232+-x x +232x x -+的最大值是 ,最小值是 .3.(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若x 2+y 2=169,则函数f(x,y)=3381024+-x y +3381024++x y 的最大值是 .4.(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .3.代数换元法[例3]:(2006年江苏高考试题)设a 为实数,设函数f(x)=a21x -+x +1+x -1的最大值为g(a).(Ⅰ)设t=x +1+x -1,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t); (Ⅱ)求g(a); (Ⅲ)试求满足g(a)=g(a1)的所有实数a. [解析]:[评注]:此法适用于函数f(x)=ax+b+md cx +,一般令t=d cx +,将原函数转化为t 的二次函数,当然也适用于函数f(x)=ax 2+b+m d cx +2、f(x)=ax 2+bx+k+m d cx +、f(x)=qpx cbx ax +++等.用代数换元法求无理函数的值域时,必须注意到换元后的新变元的取值范围.[类题]:1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))函数y=x-x -1的值域为 . 2,(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)函数y=2x-5+x 311-的最大值是 . 3.(原创题)函数f(x)=x 2+21x -的值域为 .4.(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . 4.三角换元法(Ⅰ)[例4]:(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x)=2x-24x x -的值域是_________.[解析]:[评注]:若|x|≤R,则可作代换x=Rcos α,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式是22)(a x R --的形式.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.如作代换x=Rsin α,则α∈[-2π,2π],使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=212+-x x 的值域是 . 2.(典型题)函数y=x 21x -+x 2的值域是 .3.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数y=)56)(96(22-+-+-x x x x ,那么它的值域是__________．4.⑴(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数f(x)=9102-+-x x +184502-+-x x 的最大值为 . ⑵(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))已知函数f(x)=232-+-x x +652-+-x x ,则函数f(x)的最大值与最小值之差是________.5.三角换元法(Ⅱ)[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=3-x +x 312-的值域为 .[解析]:[评注]:若x ∈[a,b],则可作代换x=(b-a)sin 2α+a,且α∈[0,2π],或x=2a b -cos α+2b a +,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式的定义域为[a,b]的函数.如无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=ax 2+bx+c+ m t qx px ++2(a<0,q 2-4pr>0)型.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2008年重庆高考试题)(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数y=x -1+3+x 的最大值为M,最小值为m,则Mm的值为 .2.(2010年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设函数f(x)=x -4+2+x 的最大值为M,最小值为m,则M 与m 的乘积为 .3.(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数y=43+x +x 34-的最大值与最小值之和为 .4.(典型题)函数y=x+2+23102-+-x x 的值域是________.6.三角换元法(Ⅲ)[例6]:(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . [解析]:[评注]:若无理函数f(x)中的无理式是c b x a ++2)((a>0,c>0)的形式,可作代换x+b=actan α,且α∈(-2π,2π),则c b x a ++2)(=αcos c.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(原创题)函数f(x)=212+-x x 的值域为 .2.(200年全国高考试题改编题)若函数f(x)=12+x -ax(a>0)在[0,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .3.(原创题)函数f(x)=5422+-x x -x 的值域为 .4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数f(x)=x21(1-x+2221x x +-),x ∈[2,4],则该函数的值域是_____. 7.距离分析法[例7]:(2008年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x ∈R,则函数f(x)=12+x +16)12(2+-x 的最小值为 .[解析]:[评注]:对于有些无理函数的值域问题,巧妙地应用平面上两点间的距离公式,可以起到化难为易,化繁为简的作用,同时借助几何直观,使问题得到顺利解答.[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=222++x x +222+-x x 的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=522+-x x +1342+-x x ,则f(x)的最小值为 . ⑶(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)522+-x x +2582+-x x 的最小值为______. ⑷(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数f(x)=50102+-x x +252+x 的值域是 .2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a 是正数,若f(x)=22106a ax x +-+2252a ax x ++(x ∈R)的最小值为10, 则a= .3.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=222++x x -332+-x x 达到最大值时,x 的值是 .⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x ∈R 时,函数y=1022++x x -102+-x x ( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值 4.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=136324+--x x x -124+-x x 的最大值是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=106324+-+x x x -52324++-x x x 的最大值是 .8.曲线分析法[例8]:(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .[解析]:[评注]:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为距离或截距的范围问题.数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法,运用图形的直观性,通过数形结合使抽象问题直观化,复杂问题简单化,综合问题浅显化,充分训练发散思维.[类题]:1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=2-x +x -5的最大值是 ,最小值是 .2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值是 .3.(典型题)函数y=4x+223x x -+的值域为 .4.(数学奥林匹克高中训练题(73))函数y=212x x -+-2215x x --的值域为 .9.向量分析法[例9]:(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值. [解析]:[评注]:根据向量的数量积的定义ab =|a ||b |cos<a,b>⇒(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒(ab )2≤|a |2|b |2,等号当且仅当a ∥b 时成立.如求函数f(x)=m x a -+n b x -的最值,可令a =(m,n),b =(x a -,b x -),由(x a -)2+(b x -)2=a-b,f 2(x) =(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒<a,b>∈[0,θ],tan θ=n/m,或cot θ=n/m ⇒cos<a,b>∈[t,1],其中t=min{22nm n +,22nm m +}⇒f 2(x)∈[(m 2+n 2)t,(m 2+n 2)(a-b)].[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值为 .2.(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219. 10.不等式法[例10]:(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219.[解析]: [类题]:1.(数学奥林匹克高中训练题(147))设0≤x ≤8则函数f(x)=1)8)(8(2+-+x x x x 的值域为 .2.(《中等数学》2006年笫6期.数学奥林匹克高中训练题(1))设x ∈R +,则函数y=211x++2xx+1的最大值为 . 3.(数学奥林匹克高中训练题(126))函数f(x)=x(x +1+x -1)的值域为 . 4.(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值.无理函数的值域问题求无理函数的值域问题是初等数学的难点,因该类问题内涵丰富,灵活多变,涉及多个知识点,技巧性、综合性较强,解法灵活多样,因此成为数学竞赛的热点.本文通过对各种解法进行对比研究,试图寻找解决各种类型问题的最佳方法.Ⅰ.解法分析1.单调性质法[例1]:(2010年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=5-x -x 324-的值域是 .[解析]:函数f(x)的定义域为[5,8],且函数y=5-x 在定义域[5,8]内单调递减,y=x 324-在定义域[5,8]内单调递增⇒f(x)在定义域[5,8]内单调递增⇒f(x)的值域是[f(5),f(8)]=[-3,3].[评注]:一个函数我们直接或作一些变形就能判断函数的单调性,用单调求值域是一种比较快捷的方法.无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 同号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 相等)型等,可判断函数单调性,均可用此法.用单调性质法求无理函数的值域时,必须注意到函数隐含的正负性特征和定义域.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)函数y=1+x -x 525-的值域是 .2.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2+x -2-x ( ) (A)是非单调函数,没有反函数 (B)有反函数,且反函数是增函数 (C)有反函数,且反函数是减函数 (D)有反函数,且反函数是非单调函数 解:y=2+x -2-x =224-++x x 在[-2,2]上单调递减⇒有反函数,且反函数是减函数.3.(原创题)求函数y=27+x +x -13-x 的最大值和最小值. 解:函数的定义域为[0,13],y=27+x -x =xx ++2727在[0,13]上单调递减⇒函数y=27+x +x -13-x 在[0,13]上单调递减⇒x=13时,y min =210-13,x=0时,y max =33+13. 4.(原创题)求函数y=27+x +x -14-x -13的最大值和最小值. 解:函数的定义域为[-27,,13],y=x -14-x -13=xx -+-14131在[-27,13]上单调递增⇒y=27+x +x -14-x -13在[-27,13]上单调递增⇒2.平方分析法[例2]:(2005年全国高中数学联赛试题)使关于x 的不等式3-x +x -6≥k 有解的实数k 的最大值是 .[解析]:令y=3-x +x -6,3≤x ≤6,则y 2=3+2)6)(3(x x --(或用二次函数)≤3+[(x-3)+(6-x)]=6,实数k 的最大值是6.[评注]:求无理函数值域的难点是解析式中含有的根式,而平方法是去掉根式的根本方法.无理函数f (x)=b ax ++ax d -(a>0,b>0,d>0)型,或f (x)=ax+b ±q px x a ++22型等,可使用平方法分析求解.用平方法求无理函数的值域时,必须注意到平方前函数中隐含的非负性特征和定义域.[类题]:1.(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)函数y=x -1994+1993-x 的值域是_____.2.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=232+-x x +232x x -+的最大值是 ,最小值是 .解:令x 2-3x=t,y=2+t +t -2.3.(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若x 2+y 2=169,则函数f(x,y)=3381024+-x y +3381024++x y 的最大值是 .解:f 2(x,y)=48y+676+222)10()33824(x y -+=48y+676+22222210169338338242)1024(⨯-+⨯⨯++y y ,y=13,x=0时,f(x)max=1026.4.(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .解:y=x+232+-x x ⇒y-x=232+-x x ≥0⇒(y-x)2=x 2-3x+2⇒(2y-3)x=y 2-2⇒y ≠23,x=3222--y y ⇒y ≥3222--y y ⇒1≤y <23,或y ≥2. 3.代数换元法[例3]:(2006年江苏高考试题)设a 为实数,设函数f(x)=a21x -+x +1+x -1的最大值为g(a).(Ⅰ)设t=x +1+x -1,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t); (Ⅱ)求g(a); (Ⅲ)试求满足g(a)=g(a1)的所有实数a. [解析]:(Ⅰ)t 2=2+221x -∈[2,4]⇒t ∈[2,2],f(x)=m(t)=21at 2-a+t; (Ⅱ)①当a=0时,m(t)=t ⇒g(a)=m(2)=2;②当a>0时,函数m(t)过定点(2,2),对称轴t=-a1⇒g(a)=m(2)=a+2;③当a<0时,函数m(t)过定点(2,2),对称轴t=-a1. 综上[评注]:此法适用于函数f(x)=ax+b+md cx +,一般令t=d cx +,将原函数转化为t 的二次函数,当然也适用于函数f(x)=ax 2+b+m d cx +2、f(x)=ax 2+bx+k+m d cx +、f(x)=qpx cbx ax +++等.用代数换元法求无理函数的值域时,必须注意到换元后的新变元的取值范围.[类题]:1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))函数y=x-x -1的值域为 . 解:令x -1=t,则t ≥0,且x=1-t 2,则y=1-t 2-t ≤1.2,(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)函数y=2x-5+x 311-的最大值是 . 解:令x 311-=t,则t ≥0,且x=31(11-t 2),则3y=-2t 2+3t+7≤865⇒y 的最大值是2465. 3.(原创题)函数f(x)=x 2+21x -的值域为 .解:令21x -=t,则t ∈[0,1],且x 2=1-t 2,y=1-t 2+t.4.(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . 解:令x-1=t,则f(x)=tt 1)1(2++.当t>0时,f(x)=2221t t ++>1;当t<0时,f(x)=-2221t t ++=-21)211(22++t ≤-22. 4.三角换元法(Ⅰ)[例4]:(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x)=2x-24x x -的值域是_________.[解析]:f(x)=2x-24x x -=2x-2)2(4--x ,设x-2=2cos α,α∈[0,π],则y=4cos α-2sin α+4=25cos(α+φ)+4,其中cos φ=52,φ为锐角,所以当α=0时,y max =8,当α+φ=π时,y min =4-25.[评注]:若|x|≤R,则可作代换x=Rcos α,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式是22)(a x R --的形式.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.如作代换x=Rsin α,则α∈[-2π,2π],使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=212+-x x 的值域是 . 解:设x=cos α,且α∈[0,π].则y=2cos sin +αα,作P(cos α,sin α),A(-2,0),k AP =2cos sin +αα∈[0,33].2.(典型题)函数y=x 21x -+x 2的值域是 .解:设x=sin α(|α|≤2π),则y=sin αcos α+sin 2α=21+22sin(2α-4π),故所求函数值域为[21-22,21+22]. 3.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数y=)56)(96(22-+-+-x x x x ,那么它的值域是__________． 解:f(x)的定义域为[1,5],令x-3=2cos α,α∈[0,π],y=])3(4[)3(22---x x =αα22cos sin 16=2|sin2α|∈[0,2]. 4.⑴(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数f(x)=9102-+-x x +184502-+-x x 的最大值为 . 解:f(x)=22)5(4--x -22)25(21--x ,令x-5=4cos α,x-25=21cos β,α,β∈[0,π],4cos α-21cos β=20,f(x)=4sin α+21sin β,f 2(x)+202=(4sin α+21sin β)2+(4cos α-21cos β)2=16+441-168cos(α+β)⇒f 2(x)=57-168cos(α+β)⇒cos(α+β)=-1时,f(x)max =16857+=15.⑵(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))已知函数f(x)=232-+-x x +652-+-x x ,则函数f(x)的最大值与最小值之差是________. 解:f(x)=2)23(41--x +2)25(41--x ,令x-23=21cos α,x-25=21cos β,α,β∈[0,π],cos α-cos β=2⇒f(x)=21(sinα+sin β)⇒4+4f 2(x)=2-2cos(α+β)≤4⇒f(x)=0.5.三角换元法(Ⅱ)[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=3-x +x 312-的值域为 .[解析]:f(x)的定义域为[3,4],令x=(4-3)sin 2θ,θ∈[0,2π],则f(x)=sin θ+3cos θ=2sin(θ+3π),3π≤θ+3π≤65π⇒21≤sin(θ+3π)≤1⇒f(x)=3-x +x 312-的值域为[1,2].[评注]:若x ∈[a,b],则可作代换x=(b-a)sin 2α+a,且α∈[0,2π],或x=2a b -cos α+2b a +,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式的定义域为[a,b]的函数.如无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=ax 2+bx+c+ m t qx px ++2(a<0,q 2-4pr>0)型.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2008年重庆高考试题)(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数y=x -1+3+x 的最大值为M,最小值为m,则Mm的值为 . 2.(2010年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设函数f(x)=x -4+2+x 的最大值为M,最小值为m,则M 与m 的乘积为 .3.(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数y=43+x +x 34-的最大值与最小值之和为 .4.(典型题)函数y=x+2+23102-+-x x 的值域是________.解:由-x 2+10x-23≥0⇒5-2≤x ≤5+2,令x=2cos α+5,α∈[0,π],则y=2cos α+7+2sin α=2sin(α+4π)+7,由 α∈[0,π]⇒α+4π∈[4π,45π]⇒sin(α+4π)∈[-22,1]⇒y ∈[7-2,9]. 6.三角换元法(Ⅲ)[例6]:(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . [解析]:令x=tan α,α∈(-2π,2π),α≠4π,f(x)=ααcos sin 1-=)4sin(21πα-,α-4π∈(-43π,4π)⇒sin(α-4π)∈[-1,0)∪(0,22)⇒f(x)∈(-∞,-22]∪(1,+∞).[评注]:若无理函数f(x)中的无理式是c b x a ++2)((a>0,c>0)的形式,可作代换x+b=actan α,且α∈(-2π,2π),则c b x a ++2)(=αcos c.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(原创题)函数f(x)=212+-x x 的值域为 .解:令x=2tan α,α∈(-2π,2π),则f(x)=22(sin α-cos α)=sin(α-4π)∈[-1,22). 2.(200年全国高考试题改编题)若函数f(x)=12+x -ax(a>0)在[0,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .解:令x=tan α,α∈(-2π,2π),则f(x)=αcos 1-atan α=ααcos sin 1a -=a ααcos sin 1-a ,取单位圆上的点P(cos α,sin α),A(0,a 1),-k PA =ααcos sin 1-a ,f(x)递减⇔k PA 递增⇔a 1≤1⇔a ≥1. 3.(原创题)函数f(x)=5422+-x x -x 的值域为 . 解:f(x)=3)1(22+-x -12+x ,令x-1=26tan α,α∈(-2π,2π),则f(x)=αcos 3-26tan α-1=26ααcos sin 2--1,取单位圆上的点P(cos α,sin α),A(0,2),-k PA =ααcos sin 2-,k PA ≤-1⇒-k PA ≥1⇒f(x)≥26-1.4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数f(x)=x21(1-x+2221x x +-),x ∈[2,4],则该函数的值域是_____. 解:f(x)=x 21(1-x+2221x x +-)=21(x1-1+2212+-xx)=21[x 1-1+1)11(2+-x ],令1-x 1=tan α∈[21,43],则y=f(x)=21(-tan α+αcos 1)=21ααcos sin 1-,取单位圆上的点P(cos α,sin α),A(0,1),-k PA =ααcos sin 1-,k OA 递增,ααcos sin 1-递减,当tan α=21时,sin α=55,cos α=552⇒f(x)max =415-;当tan α=43时,sin α=53,cos α=54⇒f(x)min =41.7.距离分析法[例7]:(2008年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x ∈R,则函数f(x)=12+x +16)12(2+-x 的最小值为 .[解析]:[评注]:对于有些无理函数的值域问题,巧妙地应用平面上两点间的距离公式,可以起到化难为易,化繁为简的作用,同时借助几何直观,使问题得到顺利解答.[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=222++x x +222+-x x 的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=522+-x x +1342+-x x ,则f(x)的最小值为 . ⑶(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)522+-x x +2582+-x x 的最小值为______. ⑷(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数f(x)=50102+-x x +252+x 的值域是 .2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a 是正数,若f(x)=22106a ax x +-+2252a ax x ++(x ∈R)的最小值为10,则a= .3.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=222++x x -332+-x x 达到最大值时,x 的值是 . ⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x ∈R 时,函数y=1022++x x -102+-x x ( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值4.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=136324+--x x x -124+-x x 的最大值是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=106324+-+x x x -52324++-x x x 的最大值是 .8.曲线分析法[例8]:(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .[解析]:取点P(x-23,232+-x x ),则点P 在x 2-y 2=41(y ≥0)上,u=x+y+23,直线x+y=u-23在x 轴上的截矩u-23满足-21≤u-23<0,u-23≥21⇔u ∈[1,23)∪[2,+∞). [评注]:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为距离或截距的范围问题.数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法,运用图形的直观性,通过数形结合使抽象问题直观化,复杂问题简单化,综合问题浅显化,充分训练发散思维.[类题]:1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=2-x +x -5的最大值是 ,最小值是 . 解:取点P(2-x ,x -5),点P 在四分之一圆弧C:x 2+y 2=3(x ≥0,y ≥0)上,u=x+y,直线x+y=u 在x 轴上的截矩u 满足:3≤u ≤6.2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值是 .解:取点P(5-x ,x -8),点P 在四分之一圆弧C:x 2+y 2=3(x ≥0,y ≥0)上,u=x+3y,直线x+y=u 在x 轴上的截矩u 满足:3≤u ≤23.3.(典型题)函数y=4x+223x x -+的值域为 .解:取点P(x,223x x -+),点P 在半圆圆弧C:(x-1)2+y 2=4(0≤y ≤2)上,u=4x+y,直线4x+y=u 在x 轴上的截矩u 满足:-1≤41u ≤217+1⇒-4≤u ≤4+217. 4.(数学奥林匹克高中训练题(73))函数y=212x x -+-2215x x --的值域为 . 解:f(x)的定义域为[-3,3],设y 1=212x x -+(y 1≥0),y 2=2215x x --(y 2≥0),则(x-21)2+y 12=(27)2,(x+1)2+y 22=42, 作此两圆,如图: B y 设直线x=t 与半圆C 1,C 2分别相交于A,B 两点,则有向线段BA 的数量, A即为x=t 时的函数值. C 2 C 1 显然,当x=-3时,y 取得最小值-23;当x=3时,y 取得最大值6. -5 -3 x=t O 3 4 x9.向量分析法[例9]:(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值.[解析]:设a =(31,21,1),b =()13(3x -,x 2,27+x ),则|a |=666,|b |=66,ab =27+x +x -13+x ,其中0≤x ≤13,由(ab )2≤|a |2|b |2得y ≤66666=11,当且仅当a ∥b ,即x=9时,等号成立;又因()13(3x -)2+(x 2)2+(27+x )2=66⇒当且仅当b =(39,0,33),即x=0时,cos<a ,b >≥113313+⇒27+x +x -13+x =ab =|a ||b |cos<a ,b >≥13+33.[评注]:根据向量的数量积的定义ab =|a ||b |cos<a,b>⇒(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒(ab )2≤|a |2|b |2,等号当且仅当a ∥b 时成立.如求函数f(x)=m x a -+n b x -的最值,可令a =(m,n),b =(x a -,b x -),由(x a -)2+(b x -)2=a-b,f 2(x) =(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒<a,b>∈[0,θ],tan θ=n/m,或cot θ=n/m ⇒cos<a,b>∈[t,1],其中t=min{22nm n +,22nm m +}⇒f 2(x)∈[(m 2+n 2)t,(m 2+n 2)(a-b)].[类题]:Y.P.M 数学竞赛讲座 71.(2005年全国高中数学联赛试题)使关于x 的不等式3-x +x -6≥k 有解的实数k 的最大值是 .2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值为 .3.(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219. 解:设a =(2,1,1),b =(1+x ,32-x ,x 315-),则|a |=6,|b |=13,ab =21+x +32-x +x 315-=|a ||b | cos<a ,b >=613cos<a ,b >.当b =(25,0,221),即x=23时,cos<a ,b >取得最大值⇒21+x +32-x +x 315-最大值=225+221<219. 10.不等式法[例10]:(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219.[解析]:由(x 1+x 2+…+x n )2=x 12+x 22+…+x n 2+2x 1x 2+2x 1x 3+…+2x n-1x n ≤x 12+x 22+…+x n 2+(n-1)(x 12+x 22+…+x n 2)=n(x 12+x 22+…+x n 2)⇒x 1+x 2+…+x n ≤n22221n x x x +⋅⋅⋅++,当且仅当x 1=x 2=…=x n 时取等号.21+x +32-x +x 315-=1+x +1+x +32-x +x 315-≤214+x ≤219,而等号不能成立.柯西不等式:(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2),当且仅当a 1:x 1=a 2:x 2=…=a n :x n 时等号成立; (21+x +32-x +x 315-)2=(m1m mx 44++n1n nx 32-+k1kx k 315-)2≤(m 1+n 1+k1)[(4mx+4m)+(2nx-3n)+ (15k-3kx)],令4m+2n=3k,y 5≤(m 1+n 1+k1)(4m-3n+15k),取[评注]: [类题]:1.(数学奥林匹克高中训练题(147))设0≤x ≤8则函数f(x)=1)8)(8(2+-+x x x x 的值域为 .解:f(x)=1)8)(8(2+-+x x x x =1)8)(8(22+-+x x x x ≤)1(2)8()8(22+-++x x x x =4,当且仅当x=2时等号成立,值域为[0,4].2.(《中等数学》2006年笫6期.数学奥林匹克高中训练题(1))设x ∈R +,则函数y=211x++2xx+1的最大值为 . 解:设t=x1(t>0),y=21t t ++t+12≤2)1(2t t ++t+12=t t +12+t +12=2-t +12+t +12=2-2(t+11-22)2+22≤ 2+22=223,当且仅当t+11=22,即t=1时等号成立. 3.(数学奥林匹克高中训练题(126))函数f(x)=x(x +1+x -1)的值域为 .解:函数f(x)的定义域为[-1,1],且为奇函数,设21x -=t,0≤t ≤1,f 2(x)=x 2(2+221x -)=2(1-t 2)(1+t)=(1+t)(1+t)(2-2t)≤[3)22()1()1(t t t -++++]3=2764,当且仅当1+t=2-2t,t=31时等号成立⇒f max (x)=938⇒值域为[-938,938]. 4.(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值.解:函数的定义域为[0,13],y=27+x +x -13+x =27+x +)13(213x x -+≥27+13=33+13,当且仅当x=0时等号成立;又由柯西不等式:(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2),当且仅当a 1:x 1=a 2:x 2=…=a n :x n 时等号成立;y 2= (27+x +x -13+x )2=(m1m mx 27++n1nx n -13+k1kx )2≤(m 1+n 1+k1)[(mx+27m)+(13n-nx)+kx],令m+k=n,且m1:m mx 27+=n 1:nx n -13=k 1:kx ⇒m 2x+27m 2=13n 2-n 2x=k 2x ⇒x=22222713m n m n +-=22213k n n +∈[0,13],取m=1⇒k=2,n=3,则y 5≤(m 1+n 1+k1)(27m+13n)=112.x=9时等号成立;Ⅱ.类型分析1.函数f(x)=ax+b+m dcx +2.函数f(x)=3.函数f(x)=nbax ++mdcx +4.函数f(x)=ax+b+m t qx px ++25.函数f(x)=6.函数f(x)=7.函数f(x)=8.函数f(x)=9.函数f(x)= 10.函数f(x)=3.函数f(x)=n b ax ++m d cx ++k q px +4.f(x)=ax+b+m t qx px ++25.f(x)=ax 2+bx+c+m t qx px ++26.f(x)=n c bx ax ++2+m t qx px ++27.f(x)=qpx cbx ax +++4.(原创题)函数f(x)=5422+-x x -12+x 的值域为 . 解:设y 1=5422+-x x ,y 2=12+x ⇒。
数学初中竞赛函数最值专题训练(含答案) (1)
数学初中竞赛函数最值专题训练一．选择题1．当三个非负实数x、y、z满足关系式x+3y+2z＝3与3x+3y+z＝4时，M＝3x﹣2y+4z的最小值和最大值分别是（）A．B．C．D．2．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p＝+++，则（）A．p＞5 B．p＝5C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定3．已知y＝+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2 4．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最小值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．代数式的最小值是（）A．0 B．C．D．6．设x是实数，y＝|x﹣1|+|x+1|．下列四个结论：Ⅰ．y没有最小值；Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；Ⅲ．有有限多个x（不止一个）使y取到最大值；Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ7．方程|x﹣1|+|y﹣1|＝1确定的曲线所围成的图形面积为（）A．4 B．3 C．2 D．18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A．64 B．8C．8 D．二．填空题9．代数式的最小值为．10．a，b是正数，并且抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是．11．当|x|≤4时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是：．12．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+b+c+d的最大值是．13．函数f（x）＝λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．14．代数式的最小值是．15．函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|，当x在实数范围内取值时，y的最小值是．16．a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1．设m＝3a+b﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy＝．三．解答题17．当﹣1≤x≤2时，函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2有最小值2．求a所有可能取的值．18．已知非负实数x，y，z满足，记W＝3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．19．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？20．阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．解：y＝2x+≥＝4．当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．21．设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．22．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．23．已知：实数x，y，z满足：x+y+z＝0，xy+yz+zx＝﹣3，求z的最大值．参考答案一．选择题1．解：由得：，代入M的表达式中得，M＝3x﹣2y+4z＝3x﹣（1﹣x）+4（2x﹣1）＝﹣，又因x、y、z均为非负实数，所以，即≤x≤1，当x＝时，M有最小值为﹣，当x＝1时，M有最大值为7．故选：B．2．解：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，∴必有0＜a，b，c，d＜1∵p＝+++，事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）＝的图象，显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y＝x+1，∴可以发现在（0，1）上恒有＞x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，∴还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．所以我们有：＞a+1，＞b+1，＞c+1，＞d+1，以上四式相加得p＝+++＞a+b+c+d+4＝5，即有P＞5．故选：A．3．解：∵y＝+，∴y2＝4+2＝4+2×，∵1≤x≤5，当x＝3时，y的最大值为2，当x＝1或5时，y的最小值为2，故当x＝1或5时，y取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值2，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选：D．4．解：由已知得：y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，整理得：u＝2x2﹣6x+18，而x≥0，y＝6﹣2x≥0，则0≤x≤3，u＝2（x﹣）2+，当x＝0或x＝3时，u取得最大值，u max＝18，当x＝时，u取得最小值，u min＝．故选：A．5．解：由题意得：，解得x≥0，又∵、、都是随x的增大而增大，∴当x＝0时，代数式取得最小值，此时式（）min＝+＝1+．故选：B．6．解：从数轴上可知，区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2．所以函数y＝|x﹣1|+|x+1|当﹣1≤x≤1时，取得最小值2．Ⅰ、y在区间[﹣1，1]上取得最小值2；故本选项错误；Ⅱ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；故本选项错误；Ⅲ、y在区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2，且无限大，所以y在区间[﹣1，1]之外的点没有最大值；故本选项错误；Ⅳ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为最小值2，所以有无穷多个x使y取到最小值．故本选项正确；故选：D．7．解：先考虑简单的情况：当|x|+|y|＝1时：当x＞0，y＞0时，x+y＝1，当x＞0，y＜0时，x﹣y＝1，当x＜0，y＞0时，y﹣x＝1，当x＜0，y＜0时，x+y＝﹣1，∴四条直线与坐标轴的交点分别为（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），∴正方形边长为：＝，∴正方形面积为：×＝2．∵|x﹣1|+|y﹣1|＝1的在坐标系内的图象只不过是将|x|+|y|＝1的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，∴其面积依然为2．故选：C．8．解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；②当b＝1时，b+1取得最小值2；③当c＝1时，c+1取得最小值2；又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：求代数式，即+的最小值，实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，即＝13．故答案为：13．10．解：由题设知a2﹣8b≥0，4b2﹣4a≥0．则a4≥64b2≥64a，∵a，b是正数，∴a3≥64，∴a≥4，b2≥a≥4．∴a2+b2≥20．又∵当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x 轴有公共点，∴a2+b2的最小值是20．故答案为：20．11．解：∵|x|≤4，∴，∴当x＝﹣4时，y取最大值18，当x＝2时，y取最小值2．则最大值与最小值的差是18﹣2＝16．故答案为：16．12．解：∵a+b＝c，①b+c＝d，②c+d＝a，③由①+③，得（a+b）+（c+d）＝a+c，∴b+d＝0，④b+c＝d；⑤由④+⑤，得∴2b+c＝b+d＝0，∴c＝﹣2b；⑥由①⑥，得∴a＝c﹣b＝﹣3b，⑦由④⑥⑦，得∴a+b+c+d＝（a+c）+（b+d）＝a+c＝﹣5b；∵b是正整数，∴b≥1，∴a+b+c+d≤﹣5，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．故答案为：﹣5．13．解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）＝λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）＝λ3+（λ﹣3）λ+1＝1﹣，解得：λ＝1（舍去）或λ＝﹣，将λ＝﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．14．解：若代数式有意义，则，解得：x≥2，∵，，是增函数，∴当x＝2时，代数式的值最小，即＝2+1+0＝3．故答案为3．15．解：设y1＝|x﹣1|+|x﹣10|，则y1可以看作数轴上点x到点1与10的距离和，即可得当x＝＝5.5时，y1取最小值，同理：设y2＝|x﹣2|+|x﹣9|，y3＝|x﹣3|+|x﹣8|，y4＝|x﹣4|+|x﹣7|，y5＝|x﹣5|+|x﹣6|，∴当x＝5.5时，y2，y3，y4，y5取最小值，∴当x＝5.5时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|取最小值，最小值为：y＝|5.5﹣1|+|5.5﹣2|+…+|5.5﹣10|＝4.5+3.5+2.5+1.5+…+0.5+0.5+1.5+2.5+3.5+4.5＝25．故答案为：25．16．解：由3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1得⇒，∴可得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，由a、b、c是非负数得：⇒≤c≤，又m＝3a+b﹣7c＝3c﹣2，故﹣≤m≤﹣，于是可得x＝﹣，y＝﹣，故xy＝﹣×（﹣）＝．三．解答题（共7小题）17．解：y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2图象的对称轴为：x＝a，①当﹣1≤a≤2时，函数在x＝a处取得最小值2，故﹣a2+2a+2＝2，即a2﹣2a＝0，解得：a＝0或2，②当a＜﹣1时，函数在x＝﹣1处取得最小值2，代入函数式得2+4a+a2+2a+2＝2，即：a2﹣6a+2＝0，解得：a＝﹣3±，取a＝﹣3﹣，③当a＞2时，函数在x＝2处取得最小值2，代入函数式得：8﹣8a+a2+2a+2＝2，即a2﹣6a+8＝0，解得：a＝2或4，取a＝4．故a所有可能的值为：﹣3﹣，0，2，4．18．解：设＝k，则x＝2k+1，y＝﹣3k+2，z＝4k+3，∵x，y，z均为非负实数，∴，解得﹣≤k≤，于是W＝3x+4y+5z＝3（2k+1）﹣4（3k﹣2）+5（4k+3）＝14k+26，∴﹣×14+26≤14k+26≤×14+26，即19≤W≤．∴W的最大值是35，最小值是19．19．解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，依题意有：7+x1﹣x2＝11+x2﹣x3＝3+x3﹣x4＝14+x4﹣x5＝15+x5﹣x1＝50÷5＝10，所以，x2＝x1﹣3，x3＝x1﹣2，x4＝x1﹣9，x5＝x1﹣5，设调动的电脑的总台数为y，则y＝|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，并由上面所得结论知：当x1＝＝3时，y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|＝12，即调动的总台数为12．因为x1＝3时，x2＝0，x3＝1，x4＝﹣6，x5＝﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．20．解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．∴y＝x×（+）＝（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x＝90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x＝90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．21．解：由于x1、x2、x3、x4、x5在式中对称，故不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，并令S＝x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．则S≤5x5，即t＝x1x2x3x4≤5；那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．①当t＝5时，由于t＝1×5，故令x1＝x2＝x3＝1，x4＝5，代入S 可得x5＝2，与x4≤x5相矛盾，故x5＝2不合题意；②同理，当t＝1或4时均不合题意．当t＝3时，x5＝3，符合题意；③当t＝2时，由于t＝1×2，令x1＝x2＝x3＝1，x4＝2，代入S可得x5＝5，符合题意；综上所述，故x5的最大值为5．22．解：设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台．∵共有40台彩电，平均每校10台，∴15﹣x1+x4＝10，8﹣x2+x1＝10，5﹣x3+x2＝10，12﹣x4+x3＝10，∴x4＝x1﹣5，x1＝x2+2，x2＝x3+5，x3＝x4﹣2，x3＝（x1﹣5）﹣2＝x1﹣7，x2＝（x1﹣7）+5＝x1﹣2．本题即求y＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|的最小值，其中x1是满足﹣8≤x1≤15的整数．设x1＝x，并考虑定义在﹣8≤x≤15上的函数：y＝|x|+|x﹣2|+|x ﹣7|+|x﹣5|，当2≤x≤5时，y取最小值10，即当x1＝2，3，4，5时，|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|取到最小值10．从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：23．解：∵x+y+z＝0，∴x+y＝﹣z，①∵xy+yz+zx＝﹣3，∴xy＝﹣3﹣（yz+zx）＝﹣3﹣z（x+y）＝﹣3﹣z（﹣z），即xy＝﹣3+z2，②由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（﹣3+z2）＝0的两实根，则判别式△＝z2﹣4（﹣3+z2）≥0，化简得：z2≤4，∴﹣2≤z≤2，∴z的最大值是2．。
高中数学竞赛专题---代数极值
代数极值很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.一、条件极值问题例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++=,求1221311111nn nn a a a a a a a a a a -+++++++++++++的最小值.解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++用常数1代换,得1212111()21122n n a a a a a a a a +++++==+++--,同理,21322112na a a a a +=++++-,……, 112112n n n a a a a -+=+++-,令111nini i jj a y a a ===-+∑∑,则12222222ny n a a a +=+++---. 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221n ni i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111(21)(2)22nn ni i i ii in a a a ===-=-⋅--∑∑∑ 221n i n =⎛⎫= ⎝….∴2221n y n n +-…,即222121n n y n n n -=--….当且仅当 121n a a a n ====时,上式等号成立.从而,y 有最小值21nn -. 评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.例2 设1xy =,且0x y >>.求22x y x y+-的最小值.解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则2222()2()2x y x y xy y x y x y y+-+∆+==--∆….当且仅当y ∆=即x y ==.因此22x y x y +-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111212121a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +===∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭2()x y z ++….从而,2()1222[(2)(2)(2)]y z x x y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++…,即1111212121a b c +++++….当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明23222333121aa ab c+++…而得到最小值.二、多元函数极值问题例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值.解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =.评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法. 例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足112ni i x =∑…,求121(,,,)(1)nn i i f x x x x ==-∏的最小值.解:当1221,,,,n n n x x x x x --+都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+=, ①则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------…其中121212n n x x x x x x '''+++=+++….再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)(1)1()2n n x x x x x x --->-+++…,其中等号当1231,02n x x x x =====时取得.∴所求最小值为12. 评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.例6 给定实数25a >.对于满足条件55111i i i ix a x==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求{}{}1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.解:由对称性,设12345x x x x x 剟剟,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,2342342341111(,,)(1)(1)a fx x x x xx u u x x x ==++++++++2111++++…,3,10u-,.另一方面,将34,x x看作常数,23422(,,)(,,0)a f x x x xxβαγαβγ==⋅++>.2x>时,f为凸函数,在21x=或2x u=时取得最大值.同理,f在34,1x x=或u时取得最大值.设f取得最大值时,234,,x x x中有k个为u,3k-个为1,0,1,2k=.此时,1(31)(31)kf ku k u ku u=+-+++-++=222(1)3(1)(4)(41)u u u uk ku u u--++-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为32k=,故1k=或2时,f取得最大值.23421(,,)(23)(3)6()13a f x x x u uu u∴=++=++ (21)=+,u∴={}{}1234512345max,,,,min,,,,x x x x xx x x xx22,⎡⎤⎛⎢⎥∈⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、无理函数极值问题例7求函数()f x=的最大值.解:由于()f x==.令2(3,2),(0,1),(,)A B P x x,则()f x PA PB=-.于是,问题转化为在抛物线2y x=上求一点P,使PA PB-最大.因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组2121030y xyx⎧=⎪⎨--=⎪--⎩确定,消去y,得2330x x--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()f x有最大值AB=评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB-例8求函数()2f x x=.解:由于()22f x x x ==+,可令1sin ,[,]2222x ππθθ-=∈-,则12x θ=.于是5()()11sin()2f x g θθθθϕ==+=++,其中ϕ=. 因为[,]22ππθ∈-,故]22ππθϕ+∈+,从而sin()[θϕ+∈,即7()[1]2g θ∈,故min max 7()1()2f x f x ==. 评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.例9 求函数y 的最小值．解：先求定义域(,0][2,)-∞⋃+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min min{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．评注:运用单调性,简单巧妙.例10 求函数y =解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和，故min y =．解法二:y =≥=≥0x =时，两等号同时成立，故min y =．例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=． 解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-． 126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u (1)．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（2）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，686)6(8)(-+-=---=x x x x x x x f ，x -8 ，61-+x x在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求2222xy yzx y z+++的最大值. 解:)222xy yz ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭222222*********a a x y by z x b y z a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….令1122a b a b =+=,解得5a b ==.所以2222()2xy yz x y z +++….当且仅当105x z ==时等号成立. 故2222xy yzx y z+++评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.例13 对所有,,a b c R +∈,+.解:作代换x y z ===,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2228a x a bc =+,即22181bcx a =-.同理,222218181,1ac ab y b z c -=-=.将以上三式相乘, 得222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故222222222111(1)(1)(1)111x y z x y zx y z ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222[()]x x x y z 2->∑∏222[()(2)]y z x y z x y z +++=∏512=.矛盾.所以1x y z ++….从而,当a b c ==时,所求最小值为1.评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.例14 已知,,a b c R +∈,求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216461612a x y zb x y zc x y z =-++=-+=+-. 故914191496138432861648a b c y x z x z y b c c a a b x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由均值不等式得 上式1116147461286164848⨯+⨯+⨯-=….当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,所求最小值为4748.评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求222223111p a b c =-++++的最大值. 解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,)2παβγ∈.由abc a c b ++=,得1a cb ac+=-,即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++2cos 21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+22sin sin(2)3cos γαγγ=++22102sin 3cos 33sin 2sin 3γγγγ+=-+剟.因此,当12,sin 23παγγ+==,即,24a b c ===时,max 103p =. 评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.。
例说最优化方法解实际问题
决） 显然 一 一２ 或
ｒ 的值域．
． “ 一 一 １ 。 ．
【 ６ 求 函 数 Ｙ一 例 】
， 一 ７ ３
＋￣ ／ ，
的最值．
＋ 、 ／ ， ， 函
解析 ： 由已知 函数得 一
数 的定义域为［ ，］ 一２ ８ ，
设“ 一 ， 一
ｏ ．。 ）． ． 一√ “ ， ３ ＋口
问题 转 化 为 直 线 族 ｙ一
＜０ｂ 、２为常数 ） ，１ｂ 时．
＼０ ／ Ｏ 、 ｌ
【 ５ 求 ＝ ￣ｚ ＋ ５ 例 】 ／ 一３ 一ｚ的最值． 解析 ： 设 一“ 、 ，／ ， 一口 “ ， 有 “ ， 、≥Ｏ 则
√ “ 与 圆弧 相交 时在 纵 轴 ３＋
数是 ３ 个 ， 甲车间生产 Ｂ型零件 为（ Ｏ Ｏ 故 ３ — ） 同 个．
样设 乙车间生产 Ａ 型零 件 ｙ个 ， 乙车 间生产 Ｂ型 则
零件为（ ０ ） ． ３ 一 个 于是可 以建 立工厂 获利 的 目标 函
数 为
一１３ ＋ ③ ９０ ．
ｇ ｚ ， ， ） ｌ ＋ ｂ （ ） 当 （ 一ｎ ｚ ｌ且 ｇ（ 一ａ Ｘ ２ａ ０ ） ２ ＋ｂ （ ｌ， － ２
化方法． 即首先构造一个 目标 函数 ， 然后 在限制 条件 下求 目标 函数 的最大最小值 ， 下面举 例说 明．
【 １ 某厂有 甲， 例 】 乙两个车间同时生产 Ａ， Ｂ两 种型号的零件． 假设 每生 产 １个 Ａ 型零 件 甲车 间获 利 ３（ ２ 单位 ： 百元 ， 同） 乙车 间获利 ２ ， 下 ， ７ 而每 生产 １ 个 Ｂ型零 件甲车 间获 利 ４ ， Ｏ 乙车 间获 利 ３ ． ６ 现有 Ａ
数学竞赛辅导 第三讲 中值定理
CUP
x3 (x ( x 4 ) x ) Taylor sin 3! lim x 0 x x3
sin lim 1 x 0 x
x3 (x ( x 4 ) x ) sin 1 3! lim 3 x 0 x x 6
CUP
Taylor 求极限、无穷小阶数的估计
f ( x ) f (a ) 又 f ( a ) lim 0, x a xa
[ 证 ]： f ( a ) f ( b ) 0 ,不妨设f ( a ) 0 , f ( b ) 0
根据保号性，存在 1 0 ,当x ( a , a 1 ), 有f ( x ) f ( a ). 同理，存在 2 0 ,当x ( b 2 , b ),有f ( x ) f ( b ).
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
( n 1 )
f ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1 ( 在 x0 与 x 之间) ( n 1)!
例3-6 设函数f ( x )在[0,1]上三阶可导，且有f (0) f (1) 0,
设F ( x ) x 3 f ( x ), 试证明在(0,1)内至少存在一个 , 使得 F ( ) 0
CUP
常用函数的麦克劳林公式
x3 x5 x 2 n1 sin x x ( 1) n o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)!
2n x2 x4 x6 n x cos x 1 ( 1) o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
初中数学竞赛：几何的定值与最值(附练习题及答案)
初中数学竞赛：几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变⌒思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．⌒注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．专题训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。
几类无理函数最值的求法(数学竞赛讲稿)
专题1: 一类无理函数最值的求法若A、B为平面内的两个定点，P为一个动点，那么1. 当P在线段AB上时，最小。
2. 当P在线段AB 的延长线上时，最大。
利用以上原理，结合解析几何知识可巧妙地求形如的最值问题。
例1. 求的最小值。
分析：可看作是求x 轴上的点到点A（0，2）和点B（12，-3）距离之和的最小值。
如图1，当点P在线段AB上时，有最小值例2. 求的最大值。
分析：因为可看作是求x轴上的点P（x，0）到点A和点B（3，1）距离之差的最大值。
如图2，当点P 在线段AB的延长线上时，有最大值例3. 若，求的最大值。
分析：因为，所以只考虑的情况即可。
当时，可以看作是x轴上的点P（x，0）到点和点距离之差的最大值。
如图3，当P 在线段AB的延长线上时，有最大值一般地，可以理解为横轴上的点P（x，0）到A（a，b）和B（c，d）的距离之差。
当点P在线段AB的延长线上时，。
P 点的横坐标由直线AB与x轴的交点决定，当AB 不垂直于x轴时，AB的方程令。
当AB垂直于x轴时，，AB的方程为；当AB与x轴平行时，不存在点P ，使最大，即y无最大值。
用以上思想可以解更一般的求最值问题。
例4.求的最小值。
分析：可看作是求抛物线上的点到点A （-1，3）和点B（3，2）距离之和的最小值。
如图4，抛物线与线段AB有交点，所以专题2: 三角法专题3:复数法专题4:求一类无理函数值域的新视角形如y=u)(xg+v)(xf，其中g(x)+f(x)=c(常数),u,v>0类型的无理函数值域问题，要求y=u)(xg+v)(xf的值域，可构造向量a=（u,v）,b=()(xg,)(xf)，则原函数等价于y=><=⋅bababa,cos||||，此式中||||,ba都为定值，于是只须求出cos<>ba,的范围即可，而<>ba,的大小情况可结合ba,的几何意义来得到。
例1求y=x x -++2213的值域。
人教版初中数学竞赛专题复习第17章 几何不等式与极值问题(含答案)
第17章 几何不等式与极值问题17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值． 解析考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90︒≥,故有()490360n -⨯︒<︒（严格小于是由于4个钝角的外角和大于0︒）,因此8n <,n 的最大值是7．易构造这样的例子。
如果恰好有k 个钝角,则n 的最大值是3k +.17.1.2★ 在ABC △中,AB AC >,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-.PCDB A解析易知AB AC PB PC +>+,又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-,故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值．CB ODA解析易知ABO BCOADO DCOS S BO S DO S ==△△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.从而12ABO CDO S S +△△≥,且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()22BC h AB AC ++-. 解析()()22BC h AB AC +-+222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅,由条件,知242ABC BC h S AB AC ⋅==⋅△,且222AB AC BC +=, 于是()()22236BC h AB AC h +-+==.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5★ 设矩形ABCD ,10BC =,7CD =,动点F 、E 分别在BC 、CD 上,且4BF ED +=,求AFE △面积的最小值．B FCED A解析设 BF x=,()4DE y x ==-,则()()()117101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+⎡⎤⎣⎦△△△。
中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容
1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件
2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法
3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛
4.
函数项级数的收敛域与和函数的概念
5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数
2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系
.
3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数
4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系
5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算
6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分.
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
6. 广义积分
7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积
及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．
四 常微分方程
1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数
5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理
6. 洛必达(L'Hospital)法则与求未定式极限
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘
求函数最值问题常用的10种方法
1 最大值与最小值之差为2，则 a＝________.
分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函 数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
解析 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增 函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为
又两边平方，得y2＝4＋2 1－x· x＋3
＝4＋2 (1－x)(x＋3).
所以当x＝－1时，y取得最大值M ＝2 2；当x＝－3或
1时，y取得最小值m
m ＝2，∴
M
＝
22.故选C.
分析 对于形如y＝ a－cx＋ cx＋b的无理函数的最 值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b) ＋2 (a－cx)(cx＋b)的最值问题，这只需利用二次函 数的最值即可求得．
七、判别式法
把函数转化为 x 的二次方程 F (x，y)＝0，通过方程
有实根，判别式 Δ≥0，从而求得函数的最值．判
ax2＋bx＋c
别式法多用于求形如 y＝
(a，d 不同时为 0)
dx2＋ex＋f
的分式函数的最值．
x2－3x＋4
【例 7】求函数 y＝
的最大值和最小值．
x2＋3x＋4
分析 本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 点评 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量 的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置 关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时 要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据 不同情况分类解决．
无理函数最值问题求解举例
无理函数最值问题求解举例武延霞摘要：无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法，如换元法，微分法，几何法，复数法，向量法等等。
关键词：无理函数最值 复数法 向量法数学中的函数最值问题求解是常见的，在日常生产生活、科研中都会遇到。
解决方法也是很多，如图象法，均值不等式法，换元法，向量法等等，到大学的课程中我们常用的是求导法，这些方法在实际运用中灵活多变。
而无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法。
1 换元法：根据函数表达式的特点，将某一部分看作一个整体用一个新的变元来代替，以达到简化表达式、变为熟悉且易于求解的形式。
例1：求12412--+=x x y 的最小值。
解：函数的定义域为),21(+∞，令)0(12≥=-u u x ，则212+=u x .∴2)2(2441212222--=+-=-++=u u u u u y ,∴ 当2=u 即25=x 时，y 取最小值2-。
2 微分法：若)(x f 在区间I 上可导，0x 是)(x f 的唯一稳定点，并且0x 是)(x f 的极值点，则当0x 是极大（小）值点时，)(0x f 就是)(x f 在I 上的最大（小）值。
例2：求C x x y 2414321++-=的最小值)0(≥x 。
解： y 在[)+∞,0上可导， 所以224132*********xxx x x y ++-=++-='. 令0='y 得稳定点2210±=x （舍负）。
又2210x ≤ 时，0 y '，221x 时，0 y '.∴ y 的最小值为42)221(4143221212=++-=y . 3 几何法：运用数形结合的思想将最值问题转化成几何图形的性质问题，通过几何的有关知识求解。
A B =y 又y则)0,(x P ，)5.1,0(1Q ，)1,3(2Q ，原问题就转化为求x 轴上一点P 到21两点距离和的最小值问题。
含无理式最值问题的解法梳理
例 1.求函数 y=x+ 姨x（1-x）的最值.
解：将 y=x+ 姨x（1-x）移项变形，得 y-x= 姨x（1-x） 两边平方整理，得 2x2-（2y+1）x+y2=0.
疫x沂R，亦驻=（2y+1）2-8y2逸0，解得
1-
姨 2
2
臆y臆
1+
姨 2
2
.
解：由 x逸1 及不等式 x-2姨x-1 逸0 得，函数定义域为［1，+肄）， 两边平方得
y = 43;1）2+1 = 姨［x-（-1）］2+（0-2）2 +
姨［x-（-1）］2+（0-1）2 令 P（x，0），A（-1，2）B（-1，1）则 y= A P + BP ，当且仅当点
P 的坐标为（-1，0）时，ymin=2+1=3 （五）构造法：通过构造向量数量积等将函数最值转化为三角
例 4.求函数 y=x+ 姨x+2 姨x-1 +姨x-2 姨x-1 的最小值.
函数的最值，这要用到向量数量积的定义和坐标表示相关知识.
解：由x逸1 及不等式 x-2姨x-1 逸0 得，函数定义域为［1，+肄），
例 8.求函数 y= 姨2x-1 +姨5-2x 的最值.
原函数可变形为
y= 姨x+2 姨x-1 +姨x-2 姨x-1
的最值.
解：令
滋=（f x），（滋沂［
3 8
，49
］），则 y=滋+ 姨1-2滋
.
令 t= 姨1-2滋
，（t沂［
1 3
，12
］），则
滋=
1 2
（1-t2）.
数学竞赛中的无理函数最值问题
数学竞赛中的无理函数最值问题无理函数是一类特殊的函数，其最值(或值域)的求法大多涉及到化归思想，能较好的考查学生分析问题解决问题的能力，因此受到数学竞赛命题人的青睐，时常出现在数学竞赛中，本文结合近几年全国数学联赛中的一些试题，总结这类问题的解法，并给出相应练习供参考：一、利用函数单调性求无理函数的最值若无理函数函数的单调性比较容易确定，常借助其单调性求最值。
例1（2010全国高中数学联赛）.函数x x x f 3245)(---=的值域是 .解析：该题是一道基础题，易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，x=5时)(x f 取到最小值-3，x=8时)(x f 取到最大值3，所以)(x f 的值域为]3,3[-.练习1：函数12)(2+-+-=x x x x f 的最小值是 .（3） 二、利用代数换元求无理函数的最值例2.（2011全国高中数学联赛山西预赛）函数25113y x x =-+-的最大值是 ．解析：令113x t -=，则6123061134(113)611314y x x x x =-+-=--+-+223656546142244t t t ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，则6524y ≤，当34t =，即16748x =取得等号， 所以25113y x x =-+-的最大值是2465. 例 3.（2011全国高中数学联赛四川初赛）已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．解析：令mx t -=100，则mt x 2100-=，∴4100)2(110022mm m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(mm m g +=． ∴10410024100)(=⨯≥+=mm m m m g ，等号当且仅当20=m 时成立， ∴当20=m 时，)(m g 有最小值10．评析：对于形如“y m x n a x b=++±”的无理函数，一般可通过令t a x b =+，将原函数转化为关于t 的二次函数，通过配方求最值，本法同样适用于形如“y m x n a x b=++22±”的函数。
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数学竞赛中的无理函数最值问题
无理函数是一类特殊的函数，其最值(或值域)的求法大多涉及到化归思想，能较好的考查学生分析问题解决问题的能力，因此受到数学竞赛命题人的青睐，时常出现在数学竞赛中，本文结合近几年全国数学联赛中的一些试题，总结这类问题的解法，并给出相应练习供参考：
一、利用函数单调性求无理函数的最值
若无理函数函数的单调性比较容易确定，常借助其单调性求最值。
例1（2010全国高中数学联赛）.函数x x x f 3245)(---=的值域是 . 解析：该题是一道基础题，易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，x=5时)(x f 取到最小值-3，x=8时)(x f 取到最大值3，所以)(x f 的值域为]3,3[-.
练习1：函数12)(2+-+-=x x x x f 的最小值是 .（3）
二、利用代数换元求无理函数的最值
例2.（2011全国高中数学联赛山西预赛）函数25113y x x =-+-的最大值
是 ．
解析：令113x t -=，则6123061134(113)611314
y x x x x =-+-=--+-+ 2
23656546142244t t t ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝
⎭，则6524y ≤，当34t =，即16748x =取得等号， 所以25113y x x =-+-的最大值是24
65. 例 3.（2011全国高中数学联赛四川初赛）已知0>m ，若函数
mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．
解析：令mx t -=100，则m
t x 2
100-=， ∴4
100)2(110022m m m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2
m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(m m m g +=． ∴104
10024100)(=⨯≥+=m m m m m g ， 等号当且仅当20=m 时成立，
∴当20=m 时，)(m g 有最小值10．
评析：对于形如“y m x n a x b
=++±”的无理函数，一般可通过令
t a x b =+，将原函数转化为关于t 的二次函数，通过配方求最值，本法同样适用于形如“y m x n a x b
=++22±”的函数。
练习2： 函数1412--+=x x y 的最小值是 ．(1).
三、利用三角换元求无理函数的最值
例4（2011全国高中数学联赛四川初赛） 函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ） A 、3 B 、3 C 、32 D 、33
解析：本题显然由例1改编，一个运算符号的差别，导致解法的不同，因为3)8()5(22=-+-x x ,所以可设x-5=θsin 3，8-x=θcos 3(0≤2π
θ≤)，
则x x 3245-+-=θsin 3+θcos 3=)3
sin(32πθ+≤32,所以选C. 评析：对一些无理函数进行适当的三角换元，可去掉根式，转化为三角函数求最值，一般来说，若函数式中含有21x -、21x +、12-x 可分别令θsin =x 、θtan =x 、θsec =x ，从而脱去根式,再借助三角函数有界性求最值.
例5．（2011全国高中数学联赛）.函数1
1)(2-+=x x x f 的值域为 ．
解析：设422tan π
θπ
θπ
θ≠<<-=且，x ，
则1tan cos 1
)(-=θθx f =）（4
sin 21cos sin 1πθθθ-=-， 由422πθπθπ≠<<-且得)1,0()0,2[)4
sin(2 -∈-πθ， 所以），（，（）（∞+-∞-∈-1]224sin 21
πθ， 所以11)(2-+=x x x f 的值域为），（，（∞+-∞-1]2
2 . 练习3:(2011全国高中数学联赛内蒙古初赛)
18450910)(22-+-+-+-=x x x x x f 的最大值为 ．(15)
四、利用柯西不等式求无理函数最值
我们以上面的例4为例，来分析柯西不等式的应用：因为51≤≤x ，由柯西不等式得3285315.352=-+-+≤-+-x x x x
评注：利用柯西不等式：2222y x b a by ax +⋅+≤+能够快速求得这类无理函数的最大值
五、利用距离模型求无理函数最值
例 6.(2008全国高中数学联赛江西预赛)设x R ∈，
则函数()()2
211216f x x x =++-+的最小值为 .
解析：如图，取A 为数轴原点，12AB =，再作AB 垂线,AC BD ，使1,4AC BD ==,在数轴上取
点P ，使 AP x =，则()f x CP DP =+，当,,C P D 共线时，
)(x f 值最小，此时.13512||||)]([22min =+===AE CD x f
例7.求函数842222+-++-=x x x x y 的最小值.
解：842222+-++-=x x x x y 22222)2(1)1(+-++-=x x ， 故几何意义为：在直角坐标系下，函数值为x 轴上的点)0,(x 与)2,2(),1,1(-B A 的 距离之和，如图所示，从而可知10||=≥AB y ，即三点共线时，函数最小值为10. 练习4:函数()424236131f x x x x x x =--+--+的
最大值是_______。
六、利用斜率模型求无理函数最值
例8.求函数()2112
x f x x -+=+的最小值。
解:令21x y -=,则()()1,2
y f x g x y x +==+且()2210x y y +=≥，于是问题转化为:
当点(),P x y 在上半个单位圆()2210x y y +=≥上运动时,求()2,1A --与(),P x y 的连线AP 的斜率的最值(如图).显然,当点P 与点()1,0B 重合时,直线AP 的斜
率最小,此时13
AB K =.当直线AP 与上半个单位圆()2210x y y +=≥相切时,直线AP 的斜率最大.
P E
D
C B A
设AP K K =,则直线AP 的方程为()12y K x +=+ 直线AP 与上半个单位圆()2210x y y +=≥相切 ()2221
11OP K d K -∴==+- 解得 0K =(舍去)或43K = 综上可得,直线AP 的斜率的最值为: min 13AB K K ==
， max 43
AP K K == ()min 13f x ∴=⎡⎤⎣⎦ ， ()max 43f x =⎡⎤⎣⎦ 练习5：函数x
x x f -+-+=4132)(的最大值是_______。