第三章 控制系统的能控性和能观测性
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授课接点
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使系统 x (t1 ) ，则称系统是状态 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的容许控制
(对于一个实际的控制问题，输入控制的u（t）的取值必定要受一定条件的约束。 满足约束条件的控制作用u（t）的一个取值对应于r维空间的一个点，所有满足条件的控 制作用u（t）的取值构成r维空间的一个集合，记为Ω，称之为容许控制集。凡是属于容 许控制集Ω的控制，都是容许控制。)。
定理3-7 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。
WC [t0 , t1 ] (t0 , t ) B(t ) BT (t ) T (t0 , t ) d t
t0
t1
（14）
定义：M k 1 (t ) A(t ) M k (t ) d M k (t )
-2 1 1 x Ax Bu x u 1 -2 0
y Cx 1 1x
系统状态转移矩阵为
t 3t e e 1 e At t 3t 2 e e
e t e 3t e t e 3t
系统状态方程的解为
例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x1 uC1 ， x2 uC 2 ，电路的输出 y 为C2上的电压， 变量，即： 即 y x2 ，则电路的系统方程为
2 1 1 x Ax bu x 1u 1 2
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电 例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，λ1、λ2 、
l 2 重、 λ3 、…、 λk 分别为 l1 重、 l3 重、…、l k 重。
且
l
i 1
k
i
n ， λi λ j ，(i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵
J1 x 0
J2
0 x Bu Jk
5.
对偶原理
问题的提出
这是由于在经典控制理论中，只限于讨论控制作用（输入）对输出的 控制。输入与输出这两个量的关系，唯一地由系统的传递函数所确定， 只要系统是稳定的，系统就是能控的。另一方面，系统的输出量本身 就是被控量，对于一个实际的物理系统来说，它当然是可以观测到的， 所以在经典控制理论中没有必要涉及能控性和能观性。 然而在现代控制理论中，是把反映系统内部运动状态的状态向量作为 被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则 是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量 到状态量 的能控性问 题和从输出量 到状态量 的能观测性问题。 最优控制（optimal control）在满足一定约束条件下，寻求最优控制 策略，使得性能指标取极大值或极小值。 最优估计（optimum estimate ）即滤波（是将信号中特定波段频率 滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。）方法的优化。
定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。
QC [ B AB
A2 B An1 B]
（6）
（7）
rankQC n
证明
应用凯-哈定理，有
e Aτ a0 ( τ ) I a1 ( τ ) A an1 ( τ ) An-1 ai ( τ ) Ai
（16）
…
定理3-8 如果线性时变系统的 A(t ) 和 B(t ) 的元是(n－1)阶连续可微 的。如果存在一个有限的 t1 t0，使得
x(t ) e x(0) e A(t τ ) bu(t τ ) d τ
At 0 t
为了简便起见，令 u(t ) 0
则
x(t ) e At x(0)
y(t ) C e At x(0) [ x1 (0) x2 (0)]e3t
从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差 值 [ x1 (0) x2 (0)] 。当 x1 (0) x2 (0) ，则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。
6. 7. 8. 9. 10.
能控标准形和能观测标准形 能控性、能观测性与传递函数的关系 系统的结构分解 实现问题 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性
3.1
引言
首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。
例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 uC 为状态变量， u(t ) x 。 uC 电桥平衡时，不论输入电压 如何改变， 即： x(t ) uC不随着 u(t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u(t ) 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。
0 7 2 x 0 u （1） x 5 1 0 9 0 7 0 1 （2） x 4 0u x 5 1 0 7 5
解 根据定理3-4， 系统（1） 不能控 ； 系统（2）能控。
3.2.2 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为
A(t ) x B(t )u x
x (t0 )
（13）
定理3-6 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得函数矩阵 (t0 , t1 ) B(t ) 的n个行在 [t1 , t0 ] 上线性无关。 （证明略）
对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。 两个例子的分析结论是：能控与A,B阵有关；能观与A,C阵 有关。
3.2
1. 能控性定义
能控性及其判据
3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统的状态方程为
Ax Bu x
上式代入（3）式
n 1 i 0
x(0) A B ai ( τ )u( τ ) d τ
i t1 i 0 0
n 1
（8）
βi1 β t1 i2 a ( τ ) u ( τ ) d τ i 0 i βir
(i 0,1,, n 1)
λi Ji 0
1 λi
0 1 λi
（12）
则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中与每一个约当子块最下面 一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
（10）
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λi 互异，
0 λ1 λ 2 x Bu （11） x 0 λ n 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
解
根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。） 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。
第3章 控制系统的能控性和能观测性
[参考书1，p.79：阅读一段文字] 在多变量控制系统中，能控性(controllability)和能观测性 （observability）是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控 制理论中最重要的基本概念。 1. 2. 3. 4. 本章的内容为： 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性
（2）
给定系统一个初始状态 x (t0 ) ，如果在 t1 t0 的有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使 x (t1 ) 0 ，则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1） 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）
y Cx 0 1x
系统状态转移矩阵为
0 如果初始状态为 x (0) 0
t 3t e e 1 e At t 3t 2 e e
e t e 3t e t e 3t
系统状态方程的解为 1 t (t τ ) x(t ) e u(τ ) d τ 1 0 可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x1 x2
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu(τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）
（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）
定理3-3 （PBH判别法） （2）式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[ λi I A B] n (i 1,2,, n) （证明略）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值
于是
x (0) [ B
β0 β AB An-1 B ] 1 β n 1
（9）
百度文库
如果系统能控，必能够从（9）式中解得 样就要求
0 ， 1 ， … ， n1 。这
rankQC rank[B AB A2 B An1 B] n
2. 能控性判据
定理3-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩
WC (0, t1 )
t1
0
e
Aτ
BB e
T
AT τ
dτ
（5）
（这个定理为能控性的一般判据，所谓满秩就是每个状态能控。但 是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍 的判据。）
dt M0 (t ) B(t )
k 0,1,, n 1 （15）
当 k 0
k 1 k2
d M1 (t ) A(t ) M 0 (t ) M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M1 (t ) M1 (t ) dt d M 3 (t ) A(t ) M 2 (t ) M 2 (t ) dt
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使系统 x (t1 ) ，则称系统是状态 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的容许控制
(对于一个实际的控制问题，输入控制的u（t）的取值必定要受一定条件的约束。 满足约束条件的控制作用u（t）的一个取值对应于r维空间的一个点，所有满足条件的控 制作用u（t）的取值构成r维空间的一个集合，记为Ω，称之为容许控制集。凡是属于容 许控制集Ω的控制，都是容许控制。)。
定理3-7 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。
WC [t0 , t1 ] (t0 , t ) B(t ) BT (t ) T (t0 , t ) d t
t0
t1
（14）
定义：M k 1 (t ) A(t ) M k (t ) d M k (t )
-2 1 1 x Ax Bu x u 1 -2 0
y Cx 1 1x
系统状态转移矩阵为
t 3t e e 1 e At t 3t 2 e e
e t e 3t e t e 3t
系统状态方程的解为
例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x1 uC1 ， x2 uC 2 ，电路的输出 y 为C2上的电压， 变量，即： 即 y x2 ，则电路的系统方程为
2 1 1 x Ax bu x 1u 1 2
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电 例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，λ1、λ2 、
l 2 重、 λ3 、…、 λk 分别为 l1 重、 l3 重、…、l k 重。
且
l
i 1
k
i
n ， λi λ j ，(i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵
J1 x 0
J2
0 x Bu Jk
5.
对偶原理
问题的提出
这是由于在经典控制理论中，只限于讨论控制作用（输入）对输出的 控制。输入与输出这两个量的关系，唯一地由系统的传递函数所确定， 只要系统是稳定的，系统就是能控的。另一方面，系统的输出量本身 就是被控量，对于一个实际的物理系统来说，它当然是可以观测到的， 所以在经典控制理论中没有必要涉及能控性和能观性。 然而在现代控制理论中，是把反映系统内部运动状态的状态向量作为 被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则 是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量 到状态量 的能控性问 题和从输出量 到状态量 的能观测性问题。 最优控制（optimal control）在满足一定约束条件下，寻求最优控制 策略，使得性能指标取极大值或极小值。 最优估计（optimum estimate ）即滤波（是将信号中特定波段频率 滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。）方法的优化。
定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。
QC [ B AB
A2 B An1 B]
（6）
（7）
rankQC n
证明
应用凯-哈定理，有
e Aτ a0 ( τ ) I a1 ( τ ) A an1 ( τ ) An-1 ai ( τ ) Ai
（16）
…
定理3-8 如果线性时变系统的 A(t ) 和 B(t ) 的元是(n－1)阶连续可微 的。如果存在一个有限的 t1 t0，使得
x(t ) e x(0) e A(t τ ) bu(t τ ) d τ
At 0 t
为了简便起见，令 u(t ) 0
则
x(t ) e At x(0)
y(t ) C e At x(0) [ x1 (0) x2 (0)]e3t
从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差 值 [ x1 (0) x2 (0)] 。当 x1 (0) x2 (0) ，则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。
6. 7. 8. 9. 10.
能控标准形和能观测标准形 能控性、能观测性与传递函数的关系 系统的结构分解 实现问题 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性
3.1
引言
首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。
例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 uC 为状态变量， u(t ) x 。 uC 电桥平衡时，不论输入电压 如何改变， 即： x(t ) uC不随着 u(t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u(t ) 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。
0 7 2 x 0 u （1） x 5 1 0 9 0 7 0 1 （2） x 4 0u x 5 1 0 7 5
解 根据定理3-4， 系统（1） 不能控 ； 系统（2）能控。
3.2.2 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为
A(t ) x B(t )u x
x (t0 )
（13）
定理3-6 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得函数矩阵 (t0 , t1 ) B(t ) 的n个行在 [t1 , t0 ] 上线性无关。 （证明略）
对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。 两个例子的分析结论是：能控与A,B阵有关；能观与A,C阵 有关。
3.2
1. 能控性定义
能控性及其判据
3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统的状态方程为
Ax Bu x
上式代入（3）式
n 1 i 0
x(0) A B ai ( τ )u( τ ) d τ
i t1 i 0 0
n 1
（8）
βi1 β t1 i2 a ( τ ) u ( τ ) d τ i 0 i βir
(i 0,1,, n 1)
λi Ji 0
1 λi
0 1 λi
（12）
则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中与每一个约当子块最下面 一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
（10）
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λi 互异，
0 λ1 λ 2 x Bu （11） x 0 λ n 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
解
根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。） 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。
第3章 控制系统的能控性和能观测性
[参考书1，p.79：阅读一段文字] 在多变量控制系统中，能控性(controllability)和能观测性 （observability）是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控 制理论中最重要的基本概念。 1. 2. 3. 4. 本章的内容为： 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性
（2）
给定系统一个初始状态 x (t0 ) ，如果在 t1 t0 的有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使 x (t1 ) 0 ，则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1） 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）
y Cx 0 1x
系统状态转移矩阵为
0 如果初始状态为 x (0) 0
t 3t e e 1 e At t 3t 2 e e
e t e 3t e t e 3t
系统状态方程的解为 1 t (t τ ) x(t ) e u(τ ) d τ 1 0 可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x1 x2
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu(τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）
（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）
定理3-3 （PBH判别法） （2）式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[ λi I A B] n (i 1,2,, n) （证明略）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值
于是
x (0) [ B
β0 β AB An-1 B ] 1 β n 1
（9）
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如果系统能控，必能够从（9）式中解得 样就要求
0 ， 1 ， … ， n1 。这
rankQC rank[B AB A2 B An1 B] n
2. 能控性判据
定理3-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩
WC (0, t1 )
t1
0
e
Aτ
BB e
T
AT τ
dτ
（5）
（这个定理为能控性的一般判据，所谓满秩就是每个状态能控。但 是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍 的判据。）
dt M0 (t ) B(t )
k 0,1,, n 1 （15）
当 k 0
k 1 k2
d M1 (t ) A(t ) M 0 (t ) M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M1 (t ) M1 (t ) dt d M 3 (t ) A(t ) M 2 (t ) M 2 (t ) dt