2021年指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

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高考数学指数函数对数函数与幂函数对数与对数函数对数函数的性质与图像对数函数的性质与图像

高考数学指数函数对数函数与幂函数对数与对数函数对数函数的性质与图像对数函数的性质与图像

, -2<x<2
所以函2 数 fx(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称.
解法一: f(-x)=ln
12/12/2021
2 =②x
2 -x
=-f(x),
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所以函数f(x)=ln 2是- x 奇函数.
2 x
解法二: f(x)+f(-x)=ln +2 l-nx =③2 x
2 x
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内容(nèiróng)总结
第四章 指数函数、对数函数与幂函数。易错辨析:忽视对数函数对系数、底数(dǐshù)、真数的要求致误.。b的取值范围是(3,+∞),故选C.。所以
y=log2(x2+4)≥log24=2.。即函数y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).。3.(1)(变条件)把本例(1)①中的函数变成“y= ”,结果如何。因为对数函数的图像过点
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探究(tànjiū)三 对数函数的定义域、值域问题
例3 (1)求下列函数的定义域:
①y= ;lg (2-x)
②y=log(2x-1)(-4x+8). (2)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo (3+2x-x第四章 指数函数(zhǐ shù hán shù)、对数函数与 4.2 对数与幂对函数数函数
4.2.3 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
第1课时 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
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情境导学
问题(wèntí):已知细胞的分裂个数y与分裂次数x满足函数y=2x,那么反过来,x是不是关于

幂函数、指数函数与对数函数(解析版))

幂函数、指数函数与对数函数(解析版))

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数,其定义域为R ,值域为(0,+∞).当0<a <1时,y =a x 是减函数,当a >1时,y =a x 为增函数,它的图像恒过定点(0,1).二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R ,图像过定点(1,0).它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数,所有性质均可由指数函数的性质导出.当0<a <1时,y =log a x 为减函数,当a >1时,y =log a x 为增函数.四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义);(2)log a (MN )=log M a +log a N ;(3)log a MN=log a M -log a N ;(4)log a M n =n log a M ;(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式).由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论:1)log a mb n =n m log a b ;2)log a b =1log b a.典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根,x 2是方程x +10x =10的根,求x 1+x 2的值.【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2,表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标,x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标.因为y =lg x 与y =10x 互为反函数,其图像关于y =x 对称,由y =10-x y =x 得,x =5y =5 ,所以x 1+x 22=5,所以x 1+x 2=10.【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ,由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10,x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10,则f 10x 2 =10,于是f x 1 =f 10x 2 ,又f (x )为(0,+∞)上的增函数,故x 1=10x 2,x 1+x 2=10x 2+x 2=10.【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2,两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2.若x 1+x 2-10>0,则1010-x 1-10x 2>0,得10-x 1>x 2,矛盾;若x 1+x 2-10<0,则1010-x 1-10x 2<0,得10-x 1<x 2,矛盾;而当x 1+x 2=10时,满足题意.【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法,解法2巧妙地利用了函数的单调性,解法3巧妙地利用了反证法的技巧.2已知a >0,b >0,log9a =log 12b =log 16(a +b ),求ba的值.【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ,则a =9k ,b =12k ,a +b =16k .由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2,解得:b a =1+52(负根舍去).【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ,则a =9k ,b =12k ,a +b =16k .b a =12k 9k =43 k ,而9k +12k =16k,故1+12k 9k =16k 9k ,即43 k 2-43 k -1=0,故b a =43 k =1+52(负根舍去).【评注】对数运算和指数运算互为逆运算,有关对数的运算和处理,往往可以转化为指数的运算和处理.3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x,试解不等式f x x -12 >12.【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合.初看不易解决,但可以发现该函数在其定义域内单调递减,这是本题的解题关键.【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数.并且f (1)=12,所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 .【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法.4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根,求k 的取值范围.【分析】本题要注意函数的定义域.【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根,对方程③使用求根公式,得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4.当k <0时,由方程③,得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1,x 2同为负根.又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1.当k =4时,原方程有一个解x =k2-1=1.当k >4时,由方程③,得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1,x 2同为正根,且x 1≠x 2,不合题意,舍去.综上所述可得k <0或k =4为所求.【解法2】由题意,方程kx =(x +1)2,也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根,以下分两种情况讨论:(1)当k >0时,k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根,则有k =4;(2)当k <0时,k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根,则有k <0.综上可得k <0或k =4为所求.【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题.5解不等式:log 12(x +3x )>log 64x .【分析】若考虑到去根号,可设x =y 6(y >0),原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ,即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ,陷入困境.原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ,设t =log 2x ,则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3,同样陷入困境.下面用整体代换y =log 64x .【解】设y =log 64x ,则x =64y,代人原不等式,有log 128y +4y >y ,8y +4y >12y,23 y +13 y >1,由指数函数的单调性知y =log 64x <1,则0<x <64.故原不等式的解集为(0,64).6已知1<a ≤b ≤c 证明:log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c .【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c.【证法2】设log b a =x ,log c b =y ,则log a c =1xy ,于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ,即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2,即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0,也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0,由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1,所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0,得证.因为1<a ≤b ≤c ,所以ln a ln b ln c >0,(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ,y =ln b ,z =ln c 则原不等式等价于:设0<x ≤y ≤z ,求证:x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2.7设函数f (x )=|lg (x +1)|,实数a ,b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2,f (10a +6b +21)=4lg2,求a 、b 的值.【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解.【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ,所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以,a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1,又因为a <b ,所以a +1≠b +2,所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2,于是0<a +1<1<b +2,所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1,从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2,又f (10a +6b +21)=4lg2,所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2,故6(b +2)+10b +2=16.解得b =-13或b =-1(舍去).把b =-13代故(a +1)(b +2)=1,解得a =-25.所以,a =-25,b =-13.同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根,则a +b =().A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C .【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43,即11+log 3x +1+log 3x 3=-43.令1+log 3x =t ,则1t +t 3=-43,解得t 1=-1,t 2=-3.所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3,方程的两根分别为19和181,所以a +b =1081.故选C .2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数,a >1),且f lglog 81000 =8,则f (lglg2)的值是().A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B .【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8,又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12,令F (x )=f (x )-6,则有F (-x )=-F (x ).从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8,即知F (lglg2)=-2,f (lglg2)=F (lglg2)+6=4.3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364,则使f (x )<0的x 的取值范围为().A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B .【解析】显然x >0,且x ≠1.f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x .要使f (x )<0.当x >1时,38x <1,即1<x <83;当0<x <1时,38x >1,此时无解.由此可得,使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83.应选B .4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ,则a 的取值范围是().A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D .【解析】由题目条件可知,(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ,故Δ=(-2a )2-4a ≥0,解得a ≤0或a ≥1.选D .二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ,则满足f (x )≥0的x 的取值范围是.【答案】[3,4].【解析】定义域(0,4].在定义域内f (x )单调递增,且f (3)=0.故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4].6设0<a <1,0<θ<π4,x =(sin θ)log asin θ,y =(cos θ)log atan θ,则x 与y 的大小关系为.【答案】x <y .【解析】根据条件知,0<sin θ<cos θ<1,0<sin θ<tan θ<1,因为0<a <1,所以f (x )=log a x 为减函数,所以log a sin θ>log a tan θ>0,于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ,则不等式f x x -12<15的解集为.【答案】1-174,0 ∪12,1+174.【解析】原不等式即为f x x -12<f (0).因为f (x )的定义域为(-1,1),且f (x )为减函数.所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174.8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ,则f (x )+f 1x =.【答案】3.【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3.三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x ),而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称.(1)求函数y =g (x )的解析式;(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义,求a 的取值范围.【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1),得f -1(x )=log a (x -3a ).又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称,则g (a +x )=-f -1(a -x ),于是,g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a ),(x <-a ).(2)由(1)的结论,有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a ).要使F (x )有意义,必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0,故x >3a .由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义,所以a +2>3a ,即a <1.于是,0<a <1.10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a ),其中a >0且a ≠1.若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立,求a 的取值范围.【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24.由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ,由题意知a +3>3a ,故a <32,从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0,故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增.若0<a <1,则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减,所以f (x )在区间[a +3,a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 .在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立,等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立,从而2a 2-9a +9≥a ,解得a ≥5+72或a ≤5-72.结合0<a <1,得0<a <1.若1<a <32,则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增,所以f (x )在区间[a +3,a +4],上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 .在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立,等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立,从而2a 2-12a +16≤a ,即2a 2-13a +16≤0,解得13-414≤a ≤13+414.易知13-414>32,所以不符合.综上所述,a 的取值范围为(0,1).11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3,(其中x ,y ∈R * .【解析】两边取对数,则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②,得(x +y )2lg x =36lg x ,所以(x +y )2-36 lg x =0.由lg x =0,得x =1;代入式①,得y =1.由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6.代入式①得lg x =2lg y ,即x =y 2,所以y 2+y -6=0.又y >0,所以y =2,x =4.所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ,x 2=4y 2=2 .12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x .(1)解方程f (x )=0;(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数.【解析】(1)任取0<x 1<x 2,则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2,因为x 1+1x 2+1>x 1x 2,所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2.故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9,因为0<lg9<1,lg x 1x 2<0,所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0,f (x )为(0,+∞)上的减函数,注意到f (9)=0,当x >9时,f (x )<f (9)=0;当<x <9时,f (x )>f (9)=0,所以f (x )=0有且仅有一个根x =9.(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ,所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4.13已知a >0,a ≠1,试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围.【解析】由对数性质知,原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立,则式(3)必成立,故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时,式(4)无解;当k ≠0时,式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ,代人式(2),得1+k 22k>k .若k <0,则k 2>1,所以k <-1;若k >0,则k 2<1,所以0<k <1.综上所述,当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时,原方程有解.14已知0.301029<lg2<0.301030,0.477120<lg3<0.477121,求20001979的首位数字.【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2).所以6532.736391<lg20001979<6532.73837.故20001979为6533位数,由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3,得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5.15已知3a +13b =17a ,5a +7b =11b ,试判断实数a 与b 的大小关系,并证明之.【解析】令a =1,则13b =14,5+7b =11b ,可见b >1.猜想a <b .下面用反证法证明:若a ≥b ,则13a ≥13b ,5a ≥5b ,所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ,即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1,而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数,且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b ).所以a <1,b >1.这与a ≥b 矛盾,故a <b .16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 .【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 .由于y =log 2x 为单调递增函数,于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2,两端同时除以x 6,并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ,则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数.于是以上不等式等价于1x2>x 2+1,即x 2 2+x 2-1<0,解得x 2<5-12.故原不等式的解集为-5-12,5-12.。

指数,对数,幂函数的图像和性质

指数,对数,幂函数的图像和性质

指数函数的图像是一条向上开口的曲线,通常表示为y=a^x(a>0,a≠1)。

指数函数的性质有:
1.在y 轴上的截距为1。

2.对于不同的指数函数,它们的图像形状是相同的,只有位置不同。

如果改变指数函数的
指数,则会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移。

3.对于相同的指数函数,如果改变函数的系数,则会改变函数的尺度,即函数图像会发生
伸缩。

对数函数的图像是一条向右开口的曲线,通常表示为y=loga(x)(a>0,a≠1)。

对数函数的性质有:
1.在y 轴上的截距为0。

2.对于不同的对数函数,它们的图像形状是相同的,只有位置不同。

如果改变对数函数的
底数,则会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移。

3.对于相同的对数函数,如果改变函数的系数,则会改变函数的尺度,即函数图像会发生
伸缩。

幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线,也可以是一条向右开口的曲线,通常表示为y=x^n(n为常数)。

幂函数的性质有:
1.当n>0 时,幂函数的图像是一条向上开口的曲线。

2.当n<0 时,幂函数的图像是一条向右开口的曲线。

3.当n=0 时,幂函数的图像是一条水平直线。

4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。

5.对于不同的幂函数,它们的图像形状是相同的,只有位置不同。

如果改变幂函数的指数,
则会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移。

6.对于相同的幂函数,如果改变函数的系数,则会改变函数的尺度,即函数图像会发生伸
缩。

中考重点幂函数指数函数与对数函数的像与性质

中考重点幂函数指数函数与对数函数的像与性质

中考重点幂函数指数函数与对数函数的像与性质中考重点幂函数、指数函数与对数函数的像与性质幂函数、指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数类型。

它们在中学数学教学中有深入的研究,对于中考也是必考知识点。

了解它们的像与性质对于学生理解数学概念、解题能力的提升至关重要。

本文将分别介绍幂函数、指数函数和对数函数的像与性质,帮助学生更好地掌握这些知识。

I. 幂函数的像与性质幂函数是指形如 $f(x)=ax^b$ 的函数,其中 $a$ 和 $b$ 是常数,$a\neq 0$。

幂函数的图像通常呈现出一条曲线,其性质主要有以下几点:1. 当 $a>0$ 且 $b>0$ 时,函数 $f(x)$ 的图像位于第一象限,并且随着 $x$ 的增大而增大。

2. 当 $a>0$ 且 $b<0$ 时,函数 $f(x)$ 的图像位于第一象限,并且随着 $x$ 的增大而趋近于零(但不会等于零)。

3. 当 $a<0$ 且 $b$ 为正偶数时,函数 $f(x)$ 的图像位于第二和第四象限,关于 $y$ 轴对称,并且随着 $x$ 的增大而增大。

4. 当 $a<0$ 且 $b$ 为正奇数时,函数 $f(x)$ 的图像位于第二和第四象限,关于原点对称,并且随着 $x$ 的增大而减小。

综上所述,幂函数的性质主要取决于 $a$ 和 $b$ 的值,不同的参数组合会导致不同的图像特点。

II. 指数函数的像与性质指数函数是指形如$f(x)=a^x$ 的函数,其中$a$ 是正数且不等于1。

指数函数的图像呈现出单调递增或单调递减的特点,其性质主要有以下几点:1. 当 $0<a<1$ 时,函数 $f(x)$ 的图像单调递减并且在 $+\infty$ 趋近于零。

2. 当 $a>1$ 时,函数 $f(x)$ 的图像单调递增并且在 $-\infty$ 趋近于零。

3. 当 $a>1$ 时,函数 $f(x)$ 的图像上任意两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的斜率等于常数 $a^{x_1}$。

幂函数指数函数与对数函数的性质与计算

幂函数指数函数与对数函数的性质与计算

幂函数指数函数与对数函数的性质与计算幂函数、指数函数与对数函数是数学中常见的函数类型,它们具有一些独特的性质以及特定的计算方式。

在本文中,我们将探讨这些函数的基本概念、性质以及如何进行计算。

一、幂函数的性质与计算幂函数是形如y=x^n的函数,其中n为实数。

幂函数的性质如下:1. 幂函数的定义域为实数集R,值域则取决于n的值。

- 当n为正奇数时,f(x)为增函数,值域为R+(正实数集);- 当n为正偶数时,f(x)为非负且有最小值0,值域为[0, +∞);- 当n为负数时,f(x)有正负之分,值域为R+和R-(负实数集),且在不同的定义域上具有不同的增减性;- 当n为0时,0的0次方没有定义。

2. 幂函数的图像特点:- 当n为正数时,随着x的增大,函数值也随之增大,图像呈现递增趋势;- 当n为负数时,随着x的增大,函数值递减,图像呈现递减趋势。

3. 幂函数的计算方法:- 幂函数的运算法则遵循指数运算法则,如x^m * x^n = x^(m+n),x^m / x^n = x^(m-n),(x^m)^n = x^(m*n)等。

二、指数函数的性质与计算指数函数是形如y=a^x的函数,其中a为常数且a>0且a≠1。

指数函数的性质如下:1. 指数函数的定义域为实数集R,值域为正实数集R+。

2. 指数函数以a为底,随着自变量x的增大,函数值呈现指数增长的特征。

3. 指数函数的计算方法:- 当a为正数时,指数函数的运算法则与幂函数相似,如a^m *a^n = a^(m+n),a^m / a^n = a^(m-n)等。

- 当a为负数时,指数函数的运算方法可以通过转化为幂函数的形式进行计算。

三、对数函数的性质与计算对数函数是指数函数的逆运算,以b为底,记作y=logₐx。

对数函数的性质如下:1. 对数函数的定义域为正实数集R+,值域为实数集R。

2. 对数函数以b为底,将正实数x映射到实数y,即b^y=x。

3. 对数函数的计算方法主要包括:- 同底数的对数乘法法则:logₐ(x * y) = logₐx + logₐy;- 同底数的对数除法法则:logₐ(x / y) = logₐx - logₐy;- 对数的换底公式:logₐx = log_bx / log_ba,其中a、b为正实数且a≠1,b≠1。

(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式 (1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa n n ;②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q). ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈Q)。

③(ab )r=a r b s(a 〉0,b>0,r ∈Q )。

. 3.指数函数的图象与性质n 为奇数n 为偶y=a xa 〉1 0〈a<1图象定义域 R值域 (0,+∞)性质(1)过定点(0,1) (2)当x 〉0时,y>1。

x 〈0时,0<y<1(2) 当x>0时,0<y 〈1。

x<0时, y>1(3)在(—∞,+∞)上是增函数(3)在(—∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b ,c,d 与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1〉d 1>1〉a 1>b 1,∴c>d 〉1>a 〉b 。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数:y=f(x)=a^x03a>0时,函数图像过一三象限;a<0时,函数图像过二四象限。

指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域:R a>1时,函数为单调递增函数;0<a<1时,函数为单调递减函数奇偶性:当a>0时,为奇函数;当a=0时,既不是奇函数也不是偶函数;当a<0时,为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时,函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快;当0<a<1时,函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。

a>1时,函数为单调递增函数,图像位于一三象限;0<a<1时,函数为单调递减函数,图像位于二四象限。

当a>1时,函数的最大值无限趋近于正无穷大;当0<a<1时,函数的最小值无限趋近于0。

02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数:以数学常数e为底数的对数,记作ln(x)。

常用对数:以10为底数的对数,记作lg(x)。

底数为任意正数的对数,记作log(x)。

对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b);log(a/b)=log(a)-log(b);log(a^n)=nlog(a)。

对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b);log(a^n)=nlog(a)。

对数的运算律如果a>0且a不等于1,M>0,N>0,那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N;log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N;log(a)M^n=nlog(a)M。

•对数函数的图像与性质:图像与x轴交点为1,当x>1时,函数值大于0;当0<x<1时,函数值小于0。

指数函数对数函数幂函数的图像与性质

指数函数对数函数幂函数的图像与性质

如果孩子在实践活动中遇到了危险情况,应该怎么处
理呢
如果孩子在实践活动中遇到了危险情况,家长和带领者需要迅速、冷静地处理,以确保孩子的安全。

以下是一些具体的处理方式:
首先,如果孩子遭遇突发疾病或意外伤害,应立即联系急救人员,如拨打120电话,同时实施紧急救援措施,如止血、心肺复苏等,给予伤者精神安慰并等待急救人员的到来。

此外,要确保活动现场的安全,疏散围观人员,为急救人员提供足够的操作空间。

其次,如果发生交通事故,应立即拨打120和110电话,组织抢救受伤人员,并保护好现场,指挥师生撤离至安全地点。

同时,要迅速报告校领导,调动应急车辆赶到事发现场,视伤情确定立即送医院还是紧急处理后送医。

再者,如果孩子走失,应立即通知领队或其他责任人员,组织全体教师和志愿者协助寻找孩子。

在周围区域广播并寻求帮助,若无法找到孩子,应立即报警并通知家长。

此外,对于其他类型的危险情况,如火灾、地震等,应提前制定应急预案,并进行演练,确保孩子和带领者都熟悉应急逃生路线和自救方法。

在危险发生时,要迅速组织孩子疏散,确保他们的安全。

在处理危险情况时,家长和带领者要保持冷静、沉着,不要惊慌失措。

同时,要密切关注孩子的情绪变化,给予他们必要的心理支持和安慰,避免给他们留下心理阴影。

总之,孩子的安全是第一位的。

在实践活动中,家长和带领者要时刻保持警惕,关注孩子的安全状况。

遇到危险情况时,要迅速、冷静地处理,确保孩子的生命安全。

同时,也要加强安全教育,提高孩子的安全意识和自我保护能力。

幂函数指数函数对数函数的图像和性质

幂函数指数函数对数函数的图像和性质

幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中,幂函数,指数函数和对数函数是一类十分重要的函数,它们在各种领域都有着重要的应用,它们之间也有着千丝万缕的联系,而本文的主要重点就是分析它们的关系,以及它们的图像和性质。

首先,对于幂函数而言,它的定义域为实数集,值域也为实数集,其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数,当a>1时,函数图像呈现出递增趋势,而当a<1时,函数则呈现出递减趋势。

此外,还可以确定的是,幂函数是一种可导函数,其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。

接下来,我们来看看指数函数及其图像和性质,它的定义域也为实数集,值域也为实数集,其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数,当a>1时,函数图像呈现出递增趋势,而当a<1时,函数则呈现出递减趋势。

此外,还可以确定的是,指数函数也是一种可导函数,其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出,指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。

最后,我们再来看看对数函数及其图像和性质,它的定义域也为实数集,值域也为实数集,其函数多项式形式为$f(x)=ln x$,可以看出,对数函数的图像呈右斜线形,它是一个单调函数,且为可导函数,其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。

接下来,我们来看看三种函数之间的关系,第一,它们之间有着联系,即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数,其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$,即从一个函数求另一个函数,从而将三种函数联系在一起;第二,它们之间也存在着双射,可以实现函数的双向转换;第三,它们的应用场景类似,都是应用于数量的变化趋势分析中,以及特定概率的分析等领域。

以上,就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容,它们在数学中都有着重要的应用,因此,理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。

指数函数对数函数幂函数图像与性质

指数函数对数函数幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念2).两个重要公式an 为奇数①na na(a 0)|a|n 为偶数a(a 0)② (na)na (注意 a 必须使na 有意义)。

2.有理数指数幂(1)幂的有关概念注: 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质① a ra s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q)。

② (a r)s=a rs(a>0,r 、s ∈ Q)。

①正数的正分数指数幂m:a n na m(a 0,m 、n N ,且n 1)。

②正数的负分数指数幂m n 1 1 :a nm(a 0,m 、 n N , 且 n 1) mn m an a③0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r ∈ Q)。

. 3.指数函数的图象与性质注: 如图所示,是指数函数( 1) y=a x,(2) y=b x,( 3),y=c x( 4) ,y=dx的图象,如何确 定底数 a,b,c,d与 1 之间的大小关系?提示:在图中作直线 x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念(1)对数的定义如果 a xN (a 0且a 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x log a N,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。

(2)几种常见对数2、对数的性质与运算法则1 a log N N1)对数的性质(a 0,且a 1):① log a10,② log a a1,③a loga N ,④ log a aN N 。

1,②log ablog 1b a。

(完整)六大基本初等函数图像及其性质

(完整)六大基本初等函数图像及其性质

标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中C 为常数);常数函数(C y =)≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=,x 是自变量,α是常数;1.幂函数的图像:2.幂函数的性质;性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点(1,11,1))xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α,他们的图形都经过原点,并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm 时,时,n n 为偶数时函数的定义域为(为偶数时函数的定义域为(0, +0, +0, +∞),∞),∞),n n 为奇数时函数的定义域为(为奇数时函数的定义域为(--∞,+,+∞),函数的图形均经过原点和(∞),函数的图形均经过原点和(∞),函数的图形均经过原点和(1 ,11 ,11 ,1););4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;轴对称;m m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,)当α为负有理数时,n n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。

理解对数的概念及其运算性质。

理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。

了解指数函数y=a x 与对数函数log x a y =互为反函数(0,1a a >≠且)。

了解幂函数的概念。

结合函数y=x ,y=x 2,y=x 3,1y x=,12y x =的图象,了解它们的变化情况。

指数函数、对数函数在高中数学中占有十分重要的地位,是高考重点考查的对象,热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用.同时考查分类讨论思想和数形结合思想;多以选择、填空题的形式出现,有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。

(一)指数与指数函数(1)根式的概念(2).两个重要公式①<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn;②a a nn =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

最全指数函数概念、对数函数概念、幂函数概念的图像与性质完整版.doc

最全指数函数概念、对数函数概念、幂函数概念的图像与性质完整版.doc

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ;②a a nn =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log Na x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

(2)几种常见对数2、对数的性质与运算法则(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②l og 1aa =,③lo g Na a N =,④lo g N a aN =。

幂函数指数函数与对数函数的像与变换

幂函数指数函数与对数函数的像与变换

幂函数指数函数与对数函数的像与变换幂函数、指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念,它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍幂函数、指数函数与对数函数的定义、性质以及它们的像与变换。

一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^n的函数,其中x是自变量,n是常数指数。

常见的幂函数有平方函数、立方函数等。

幂函数的图像特点:1. 当n为正数时,幂函数关于y轴对称,且有一个最小值0,图像逐渐增大;2. 当n为负数时,幂函数关于x轴对称,有一个最大值0,图像逐渐减小;3. 当n为偶数时,幂函数的图像更加接近x轴,当n为奇数时,幂函数的图像更加接近y轴。

二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数,其中a是常数,x是自变量。

常见的指数函数有2^x、e^x等。

指数函数的图像特点:1. 当0<a<1时,指数函数递减,且无穷趋近于x轴;2. 当a>1时,指数函数递增,且无穷趋近于正无穷;3. 当a=1时,指数函数为常数函数y=1。

三、对数函数的定义与性质对数函数是指形如y = loga(x)的函数,其中a是底数,x是自变量。

常见的对数函数有以10为底的常用对数函数log(x)和以自然数e为底的自然对数函数ln(x)。

对数函数的图像特点:1. 当底数a>1时,对数函数递增,对应的反函数是指数函数;2. 当0<a<1时,对数函数递减,对应的反函数是指数函数;3. 对数函数的定义域为正实数集合,值域为实数集合。

四、像与变换幂函数、指数函数与对数函数在函数图像的变换中具有一定的规律:1. 幂函数的变换:通过改变指数n值的正负、奇偶,可以实现图像关于x轴、y轴的对称以及图像的平移、伸缩;2. 指数函数的变换:通过改变底数a的大小,可以实现图像在x轴方向的压缩和拉伸,以及图像在y轴方向的上升和下降;3. 对数函数的变换:通过改变底数a和对数函数的系数,可以实现图像在x轴方向的压缩和拉伸,以及图像在y轴方向的上升和下降。

五种基本函数图像和性质

五种基本函数图像和性质

五种基本函数图像和性质1、幂函数形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

(1)图像几个常见的幂函数图像:注:画幂函数图像时,先画第一象限的部分,在根据函数奇偶性完成整个图像。

(2)性质:•幕函数的图像最多只能同时出现在两个象限,且不经过第四象限;如图与坐标轴相交,则交点一定是坐标原点•所有幕函数在(0,+00)上都有定义,并且图像都经过点(1,1)。

•当a≤-1且a为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数•当a≤-1且a为偶数时,函数在第二象限为增函数•当a=0且x不为0时,函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)•当a=1时,函数图像为过(0,0),(1,1)且关于原点对称的射线•当0<a<1时,函数是增函数•当a≥1且a为奇数时,函数是奇函数•当a≥1且a为偶数时,函数是偶函数(3)规律:把a看成分数•当分母为偶数时,函数为非奇非偶函数,图像只在第一象限•当分母为奇数时,分子为偶数,函数为偶函数,图像在一、二象限,图像关于Y轴对称•当分母为奇数时,分子为奇数,函数为奇函数,图像在一、三象限,图像关于原点对称2、指数函数函数y=a^x(a>0且a≠1)叫做指数函数,自变量x叫做指数,a叫做底数函数的定义域是R.(1)图像(2)性质•指数函数y=a^x(a>0且a≠1)的函数值恒大于零,定义域为R,值域为(0,+00)•指数函数y=a^x(a>0且a≠1)的图像经过点(0,1)•指数函数y=a^x(a>1)在R上递增,指数函数y=a^x(0 <a< 1)在R上递减•函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

•函数总是通过(0,1)这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b))•指数函数无界•指数函数是非奇非偶函数•指数函数具有反函数,其反函数是对数函数3、对数函数一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质之欧阳治创编

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质之欧阳治创编

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ;②a a n n=)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mna a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂:n 为奇数n 为偶数1(0,,1)m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3.指数函数的图象与性质y=a x a>10<a<1图象定义域 R值域 (0,+∞)性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1(2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质之欧阳术创编

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质之欧阳术创编

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ;②a a n n=)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进n 为奇数n 为偶数行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象定义域R值域(0,+∞)性质(1)过定点(0,1)(2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数1、对数的概念(1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质之老阳三干创作(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

(2)有理数指数幂的性质n 为奇数n 为偶数①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质y=ax a>1 0<a<1 图象定义域R值域(0,+∞)性质(1)过定点(0,1)(2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx (4),y=dx的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数1、对数的概念(1)对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log Nax=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质欧阳光明(2021.03.07)(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念(2).两个重要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a nn ;②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。

n 为奇数n 为偶数(2)有理数指数幂的性质①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象定义域R值域(0,+∞)性质(1)过定点(0,1)(2)当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数1、对数的概念(1)对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log Nax=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

(2)几种常见对数对数形式 特点记法一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a 常用对数 底数为10 lg N自然对数底数为eln N2、对数的性质与运算法则(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②log 1a a =,③log Na a N =,④log Na a N =。

(2)对数的重要公式:①换底公式:log log (,1,0)log N Na b baa b N =>均为大于零且不等于; ②1log log b a ab =。

(3)对数的运算法则:如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M NMa a alog log log -=;③)(log log R n M n M a n a ∈=; ④b mnb a n a mlog log =。

3、对数函数的图象与性质图象1a >01a <<性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)当x=1时,y=0即过定点(1,0) (4)当01x <<时,(,0)y ∈-∞;(4)当1x >时,(,0)y ∈-∞;注:确定图中各函数的底数a ,b ,c ,d 与1的大小关系提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称。

(三)幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象注:在上图第一象限中如何确定y=x 3,y=x 2,y=x ,12y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0;当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x ,12y x=, y=x -1;当0<x 0<1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x -1,12y x =,y=x , y=x 2,y=x 3。

3、幂函数的性质y=x y=x 2y=x 312y x =y=x -1定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0,+∞)R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0,+∞)时,增;x ∈(,0]-∞时,减增增x ∈(0,+∞)时,减;x ∈(-∞,0)时,减定点 (1,1)三:例题诠释,举一反三 知识点1:指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A)(1)计算:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;(2)化简:5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数):(1);)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--(2).)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识点2:指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=,下列五个关系式:①0<b <a;②a <b <0;③0<a <b;④b <a <0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个变式:(2010华附A )若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值范围是_______. 知识点3:指数函数的性质例 3.(2010省实B )已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数。

(Ⅰ)求b 的值;(Ⅱ)判断函数()f x 的单调性;(Ⅲ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.变式:(2010东莞B )设a >0,f(x)=xx a ae e +是R 上的偶函数.(1)求a 的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.知识点4:对数式的化简与求值 例4.(2010云浮A )计算:(1))32(log 32-+(2)2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;(3)21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式:(2010惠州A )化简求值. (1)log 2487+log 212-21log 242-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).知识点5:对数函数的性质例5.(2011深圳A )对于01a <<,给出下列四个不等式:①1log (1)log ();a a a a a +<+②1log (1)log (1)a a a a+>+;③111;aaaa++<④111;aaaa++>其中成立的是()(A )①与③(B )①与④(C )②与③(D )②与④变式:(2011韶关A )已知0<a <1,b >1,ab >1,则log a bb b ba1log ,log,1的大小关系是 ( ) A.log a b b b b a 1log log 1<< B.bb b b a a 1log 1log log << C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.(2010广州B )已知函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1),如果对于任意x ∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a 的取值范围.变式:(2010广雅B )已知函数f (x )=log 2(x 2-ax-a)在区间(-∞,1-3]上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.知识点6:幂函数的图象及应用 例7.(2009佛山B)已知点(22),在幂函数()f x 的图象上,点124⎛⎫- ⎪⎝⎭,,在幂函数()g x 的图象上.问当x 为何值时有:(1)()()f x g x >;(2)()()f x g x =;(3)()()f x g x <.变式:(2009揭阳B )已知幂函数f(x)=x 322--m m (m ∈Z )为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F (x )=a)()(x xf bx f -的奇偶性.四:方向预测、胜利在望 1.(A )函数41lg)(--=x xx f 的定义域为( ) A .(1,4)B .[1,4)C .(-∞,1)∪(4,+∞) D .(-∞,1]∪(4,+∞)2.(A )以下四个数中的最大者是( )(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23(B )设a>1,函数f(x)=log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为,21则a=( )(A)2 (B )2 (C )22 (D )44.(A )已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( )(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<5.(B )设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为( ) (A)(1,2)⋃(3,+∞) (B)(10,+∞)(C)(1,2)⋃(10,+∞)(D)(1,2)6.(A )设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则( ) A.R Q P <<B.P R Q <<C.Q R P <<D.R P Q << 7.(A)已知c a b 212121log log log <<,则( )A .c a b 222>>B .c b a 222>>C .a b c 222>>D .b a c 222>>8.(B )下列函数中既是奇函数,又是区间[]1,1-上单调递减的是( )(A )()sin f x x = (B) ()1f x x =-+(C) 1()()2x x f x a a -=+ (D)2()2xf x lnx-=+9.(A )函数y =的定义域是:()A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ,且点A 的横坐标为2,则k ( )A .41- B .41 C .21- D .2111.(B )若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限,则一定有( )A .010><<b a 且B .01>>b a 且C .010<<<b a 且D .01<>b a 且12.(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=( ) A.42B.22C. 41D.21 13.(A)已知0<x <y <a <1,则有( ) (A )0)(log <xy a (B )1)(log 0<<xy a(C )2)(log 1<<xy a (D )2)(log >xy a14.(A )已知x x f 26log )(=,那么)8(f 等于( ) (A )34(B )8(C )18(D )21 15.(B )函数y =lg|x| ( )A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 16.(A )函数3)4lg(--=x x y 的定义域是____________________________.17.(B )函数1(01)x y a a a -=>≠,的图象恒过定点A ,若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上,则11m n+的最小值为 . 18.(A )设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19.(B )若函数f(x) = 1222--+a ax x 的定义域为R ,则a 的取值范围为___________.20.(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数,则a =. 21.(B)已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数)(x f 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 参考答案:三:例题诠释,举一反三 例1. 解:(1)92,(2)2a变式:解:(1)1, (2).4514545)(452323212331361abab ab b a b a b a -=⋅-=⋅-=÷-=----- (3)110 例2. 解:B变式:解:)21,0(;例3. 解:(Ⅰ)1=b (Ⅱ)减函数。

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