实验五、数学形态学
数学形态学的基本运算及仿真结果
数学形态学的基本运算一. 引言随着计算机技术的发展，图像及信号处理技术越来越为大众所需求。
经典的信号处理方法主要是基于线性系统的理论、传统的信号与系统的概念及Fourier 分析，并广泛地运用于不同的科学与技术领域中。
然而，对于图像的形态特征和几何结构等非线性因素的分析和描述却由于系统的线性特征而受到限制。
近几十年发展起来的数学形态学[1]从理论和方法上弥补了这一缺憾，数学形态学不仅提供了描述和分析图像几何及形状特征的多种技术和方法，同时它对于经典的信号处理技术也产生了极大的影响并扩展了原有的技术。
基于数学形态学的图像处理技术是一种采用集合的概念表示图像、非线性叠加方式描述图像的非线性系统技术，称之为形态系统[2]，它广泛地应用于生物医学和电子显微镜图像的分析以及数字图像处理和计算机视觉等领域，并已发展成为一种新型的图像处理方法和理论。
用于图像处理的形态系统，具有完备的结构和理论体系，是进行非线性性态分析和描述的有力工具。
二. 形态学的相关理论1.图像的表示方法如同信号处理中线性时不变系统的建立和描述基于信号的多频表示一样，形态系统的描述和分析方法的建立则是基于图像的集合表示以及相应的集合变换。
用R 和Z 分别表示实数集合和整数集合，E=R d 或Z d (d=1、2、…)分别表示连续的或离散的d 维空间，则一个d 维图像可表示为E 上的一个函数，其取值范围为R 或Z 。
如果函数仅取两个不同的值，则图像可用E 中的集合表示。
如二值图像可表示为取值为1和0的函数)(x f ，图像的前景可表示为}1)(:{==x f x X ，背景可表为余集}0)(:{==x f x X c ，或简单地用X 的特征函数来表示。
对于多值（灰度）图像)(x f 可以通过阀值变换[1，2]获得其二值图像，采用阀值的方法还可以实现对于灰值图像的集合表示。
为此，若引入图像)(x f 的阀集： ,},)(:{)(+∞≤≤-∞≥=a a x f x f T a这里幅值a 取值于R 或Z ，取决于f(x)是模拟还是数字图像。
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一种新兴的研究领域，它旨在分析几何图形的结构，形状和功能之间的关系。
它的研究，使用广义的概念，为许多不同的问题提供解决方案，其中包括拓扑、图像处理、科学可视化、结构生物学和信号处理等。
数学形态学是一个综合性的学科，它运用多种数学工具和科学原理来描述和分析图形学中出现的复杂形状，是形状和几何的综合科学。
它的本质是把复杂的形状分解成不同的形状元素，再利用数学中的手段将这些元素组合起来，以描述和揭示形状结构之间的联系。
数学形态学是一门基于计算机的学科，它使用计算机技术，通过对几何图形和形状的像素分析，捕捉形状中各种特征，分析不同形状间的关系，建立并匹配形状，以及重建和综合形状信息。
同时，它也旨在将计算机技术与形状分析结合起来，用于解决计算机的实际应用问题，如机器视觉和图像处理。
数学形态学广泛地应用于各种领域，如机器人系统，空间科学，图形学，地理和空间信息，甚至分子生物学等。
它还可以用于将几何图形可视化，以及应用于工程设计，以更直观的方式表示几何形状，并为设计者和设计家提供视觉上的参考。
数学形态学的研究不仅仅局限于几何图形，同时也研究自然现象中出现的结构，并尝试描述和表述自然界中出现的复杂形状。
从自然现象中抽象出来的形状，往往能够帮助科学家们更好地理解现象，并最终基于研究结果，为实际应用研发有效的算法或具备一定属性的形
状。
总的来说，数学形态学是一种立足于数学的研究领域，它涉及到多层次的形状分析，以及形状和空间之间的关系，研究和分析丰富多彩的形状属性。
它旨在更好地理解形状，并为许多实际问题提供解决方案，同时也为计算机视觉和机器人系统提供支撑及应用。
数学形态学及其应用
数学形态学及其应用数学形态学及其应用数学形态学是一种数学方法和理论，最早由法国数学家乌戈尔·乔尔丹（Ugo Cerletti）在20世纪60年代提出。
它基于拓扑学、代数学和概率论等学科的基本原理，研究对象是图像和信号等离散数据的形状和结构，并利用数学统计的方法对它们进行分析和处理。
随着计算机技术的发展和应用需求的增加，数学形态学已经成为图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中的重要工具。
数学形态学的基本概念包括结构元素、腐蚀、膨胀、开运算和闭运算等。
结构元素是一个小的图像或信号，用来描述和刻画对象的特征。
腐蚀和膨胀是两种基本的形态学操作，它们可以对图像或信号进行形状的变化和结构的调整。
开运算和闭运算是由腐蚀和膨胀组合而成的操作，用来改善图像的质量和特征。
在数学形态学的基础上，还发展了很多衍生的操作和算法，如基本重建、灰度形态学和形态学滤波等。
数学形态学在图像处理中的应用非常广泛。
例如，在图像分割中，可以利用数学形态学的方法提取目标的边界和内部结构；在图像增强中，可以利用形态学处理方法去除图像中的噪声和不规则部分；在模式识别中，可以利用形态学算法提取和描述对象的特征；在计算机视觉中，可以利用形态学方法实现图像的匹配和配准等等。
数学形态学的应用不仅仅局限在图像领域，它还可以应用于信号处理、文本分析、医学影像等其他领域。
以图像分割为例，数学形态学可以通过结构元素的逐步腐蚀或膨胀操作来准确地提取目标的轮廓。
首先，选择合适的结构元素，使其大小和形状适应目标的尺寸和形态特征。
然后，通过不断的腐蚀操作，可以逐渐消除目标周围的无关细节，最终得到目标的边界。
类似地，通过不断的膨胀操作，可以填补和连接目标内部的空洞，并得到目标的内部结构。
通过这种方式，数学形态学可以实现对复杂图像的准确分割，为图像识别和分析提供了可靠的基础。
总之，数学形态学是一种重要的数学方法和理论，它在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中具有广泛的应用和深远的意义。
数学形态学及其应用
摘要论文研究了数学形态学理论，对基本形态学算子的几何意义与性质进行了归纳与总结，阐述了数学形态学用结构元素“探测”信号的本质。
论文对数学形态学的应用进行了研究，主要成果是：（１）将数学形念学应用于纺织工业纱线疵点检测中，提出了数学形态学广义结构元素的概念，并构造了形态学“梯形塔式”广义结构元素，丰富了数学形态学理论。
广义结构元素的概念和构造广义结构元素的方法是本文的创新点；（２）研究了数学形态学在红外序列图象弱小目标自动检测中的应用，提出了基于狄值形态重构丌的红外序列图象弱小目标自动检测算法，并利用形态学运算进行红外图象增强，进～步提高了算法的硷测性能，丰富了数学形态学在红外目标检测中的应用知识；（３）提出了应用数学形态学对闭环控制系统反馈信号进行滤波的方法，并成功地应用于实际系统巾．填补了数学形态学在这一应用领域中的空白。
以上应用算法无论在理论研究还址实际应用方面都具有重要价值。
论文研究了形念金字塔理论，主要成果是：（１）构造出了可以精确重构的多Ｊｔ度平形态闭会字塔，并成功地将其应用于图象的多分辨率分割。
该分割算法可以区别暗背景中的亮成分与亮背景中的暗成分，这对遥感等图象领域处理具有重要意义。
（２）构造了多尺度平形态混合金字塔，并成功地应用于扫描图象的滤波Ｉ—ｐ。
以上研究对形态金字塔理论和应用研究都具有很高的参考价值。
论文研究了形态小波理论，主要成果是：（１）首次详细论述了非线性形念Ｈａａｒ小波构造方法，并将形态Ｈａａｒ小波成功地应用于图象分解中。
形态Ｈａａｒ小波具有非线性、尺度信号的取值范围同原始信号相同、信号局部最大（小）很好地保留在多个分辨率空怕Ｊ和可保证精确重构等优点，更适合应用于压缩编码、模式识别等领域；（２）提出了一种新的基于更新提升构造非冗余的、可完备重构的形态小波的方法，首次提出了广义更新算子的概念，阐述了构造了广义更新算子的方法，进一步发展了数学形态学理论。
广义更新算子的概念和广义更新算予的孛ｆ＝Ｊ造办法是本文的创新点；（３）提出了一种更新提升小波闽值去噪算法，对比实验表明该，Ｊ法比传统小波闽值去噪算法具有明显的优势，峰值信噪比提高２～５ｄＢ，信噪比约提高４～７ｄＢ，尤其在低信噪比情况下性能更加优越。
matlab数字图像处理实验报告
《数字图像处理实验报告》实验一图像的增强一.实验目的1.熟悉图像在MATLAB下的读写、输出；2.熟悉直方图；3.熟悉图像的线性指数等；4.熟悉图像的算术运算和几何变换。
二.实验仪器计算机、MATLAB软件三.实验原理图像增强是指根据特定的需要突出图像中的重要信息，同时减弱或去除不需要的信息。
从不同的途径获取的图像，通过进行适当的增强处理，可以将原本模糊不清甚至根本无法分辨的原始图像处理成清晰的富含大量有用信息的可使用图像。
其基本原理是：对一幅图像的灰度直方图，经过一定的变换之后，使其成为均匀或基本均匀的，即使得分布在每一个灰度等级上的像素个数．f=H等或基本相等。
此方法是典刑的图像空间域技术处理，但是由于灰度直方图只是近似的概率密度函数，因此，当用离散的灰度等级做变换时，很难得到完全平坦均匀的结果。
频率域增强技术频率域增强是首先将图像从空间与变换到频域，然后进行各种各样的处理，再将所得到的结果进行反变换，从而达到图像处理的目的。
常用的变换方法有傅里叶变换、DCT变换、沃尔什-哈达玛变换、小波变换等。
假定原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。
频率域增强就是选择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像。
四.实验内容及步骤1.图像在MATLAB下的读写、输出；实验过程：>> I = imread('F:\image\');figure;imshow(I);title('Original Image');text(size(I,2),size(I,1)+15, ...'', ...'FontSize',7,'HorizontalAlignment','right');Warning: Image is too big to fit on screen; displaying at 25% > In imuitools\private\initSize at 86In imshow at 1962.给定函数的累积直方图。
数字图像处实验指导书_openCV版
4
实验二 点处理
一、实验目的 掌握灰度直方图分析图像的灰度分布。 掌握常用的点处理方法和原理，调解灰度变换参数
二、实验内容 1．直方图均衡化
#include "stdafx.h" #include "cv.h" #include "cxcore.h" #include "highgui.h" int main( int argc, char** argv ) {
return 0;
}
return -1;
}
4．一个简单的图像处理例子，求图像的边界。
#include "stdafx.h"
#include "cv.h"
#include "cxcore.h"
#include "highgui.h"
int main( int argc, char** argv )
{ //声明 IplImage 指针
IplImage* pImg = NULL;
IplImage* pCannray
if((pImg = cvLoadImage("c:\\lena.jpg", 0)) != 0 )
{ //为 canny 边缘图像申请空间
pCannyImg = cvCreateImage(cvGetSize(pImg),
5%E4%B8%8E%E9%85%8D%E7%BD%AEOpenCV1.0 2. 利用 OpenCV 读入一个图像文件，并将其显示到屏幕上
#include "stdafx.h"
#include "cv.h"
数学形态学原理
它的定义为
X S = {x| S+x∪x≠ }
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原因。
6.2.6 由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的， 根据 腐蚀和膨胀运算的代数性质，我们不难得到下面的性质。
1） 对偶性 (XC○S)C = X●S ， (XC●S)C = X○S
2）扩展性（收缩性） X○S X X●S
即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大
3） 单调性 如果X Y，
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它 具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本 的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集 图像的信息，当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各 个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。
X S {x|Sx X }
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。
换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的
原点位置的集合。
对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B 腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且 比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因
二值 图像
腐蚀
膨胀
图 腐蚀与膨胀示意图
6.2.4 １．开运算
先腐蚀后膨胀称为开 对图像X及结构元素S，用符号X○S表示S对图像X作开运算
数学形态学
三：基本概念
集合关系：设 A 和 B 为R2的子集，A 为物体区域， B为某种结构元素，则 B 结构单元对 A 的关系有三类：
a) B 包含于A,
B⊂ A b) B 击中（hit）A, B I A! = Φ c) B 击不中(miss)A， BI A=Φ
A B A B A B
图2 包含、击中和击不中示意图
板,则 A B 由在平移模板的过程 中,所有可以添入 A 内部的模板 的原点组成.
A
A B B
腐蚀类似于收缩
一般,如果坐标 原点在结构元素内部, 则腐蚀后的图像为输 入图像的子集;如果 坐标原点不在结构元 素的内部,则腐蚀后 的图像可能不在输入 图像的内部，但输出 形状不变.
A
A B
B
腐蚀不是输入图像的子图像
THE END
谢谢大家
( f Θg )( x) = max{ y : g x + y << f }
其中 g x 表示在点x处的结构元素，y 表示腐蚀值
g
f
fΘg
t
0.5
t
利用半圆形结构元素的腐蚀
从几何学角度看，求图像被结构元素在点x腐蚀的 结果，就是在空间滑动结构元素，是结构元素的原点与 点x重合，然后从负无穷大向上推结构元素，对结构元 素仍处于图像下方所能达到的最大值是结构元素的原点 做标记，该标记点为该点腐蚀结果。其效果相当于半圆 形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画 出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素 必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形 结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘 从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义 为：
数学形态学发展及应用
摘要摘要数学形态学兴起于20世纪60年代，是一种新型的非线性算子，它着重研究图像的几何结构，由于视觉信息理解都是基于对象几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析，这类相互作用由两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。
为了跟踪国际前沿，发展我国的非线性信号处理技术，进一步研究形态学理论和应用技术及非常必要而有实际意义的。
本文首先深入地讨论了数学形态学的基本理论，详细介绍了数学形态学的起源、发展；从二值形态学推广到灰度形态学，并分析和介绍了数学形态学在图像处理中的具体应用,并对数学形态学的现状和未来发展方向进行总结。
具体论述步骤分为以下几个方面：1>学习和总结了数学形态学的基本理论。
2>研究了二值形态学、灰度形态学、彩色形态学的算法理论。
3>列举并总结数学形态学在图像分割、边缘检测及图像滤波等方面的应用。
4>对两种图像的边缘检测进行简单的MATLAB实现。
5>对数学形态学的现状及发展方向进行总结和展望。
关键词：数学形态学二值图像灰度图像彩色形态学边缘检测图像分割形态滤波ABSTRACTABSTRACTMathematics morphology rose in the sixties of the 20th century, it was a kind of new-type non-linear operator.It studies the geometry structure of the image,because vision information is comprehended based on geometry characteristics of the target,so it is suitable for the information processing and analyse of the vision.This kind of interaction is accomplished by two kinds of basic operation; erosion and dilation. In order to follow the international front and develop the non-linear signal processing technology of our country, study the morphology theory and application technology are very necessary and have actual meaning further.Above all in this paper the basic theory of mathematical morphology is discussed,then we introduce origin of mathematics morphology from binary morphology to gray morphology and extensively study lts diffent operators and quality. Its application in image processing is analysed and introduced as well. Then it tally up the present condition and develop direction of the mathematics morphology. Concrete discuss a step to is divided into a few aspects as follows：1>Study and summary the basic theories of mathematics morphology.2>Investigate the theories of binary morphology. grayscale morphology and color morphology.3>Enumerate and tally up the applied in image segmentation. edge detection and morphological filter.4>Carry out the edge detection of two kinds of image with matlab.5>Summary and outlook the present condition and developing direction of mathematics morphology.Keywords：Mathematics morphology. Binary image. Grayscale inage. Color morphology. Edge detection. Image segmentation. Morphological filter.目录i目录第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 数学形态学发展简史 (1)第二章数学形态学基本理论 (5)2.1 引言 (5)2.2 二值形态学 (5)2.2.1 二值腐蚀 (5)2.2.2 二值膨胀 (6)2.2.3 二值开运算 (7)2.2.4 二值闭运算 (8)2.3 灰值形态学 (9)2.3.1 灰值腐蚀 (9)2.3.2 灰值膨胀 (10)2.3.3 灰值开运算 (11)2.3.4 灰值闭运算 (12)2.3.5 灰值形态学梯度 (14)2.4 彩色形态学 (15)2.4.1 彩色形态学简介 (15)2.4.2 分量法 (16)2.4.3 HLS法 (16)2.4.5 彩色形态学总结 (18)2.5 本章小结 (18)第三章数学形态学的应用 (20)3.1 引言 (20)3.1.1 数学形态学在图像处理中的主要应用 (20)3.1.2 图像边缘检测 (20)ii 数学形态学的发展及应用研究3.1.3 图像分割 (21)3.1.4 噪声滤除 (22)3.2 数学形态学应用于图像边缘检测 (22)3.2.1 图像边缘定义 (22)3.2.2 基本的形态学边缘检测算子 (22)3.2.3 抗噪型形态学边缘检测因子 (23)3.2.4 基于多结构元的图像边缘检测 (24)3.2.5 基于多尺度的形态学边缘检测 (27)3.3数学形态学应用于图像分割 (28)3.3.1 图像分割定义 (28)3.3.2 并行边界分割技术 (30)3.3.3 串行边界分割技术 (30)3.3.4 并行区域分割技术 (31)3.3.5 串行区域分割技术 (32)3.4 基于分水岭变换的彩色细胞图像分割 (33)3.4.1 k-均值聚类和分水岭变换 (33)3.4.2 分割方法统筹 (33)3.4.3 图解细胞均值聚类 (34)3.4.4 图解细胞分割过程 (36)3.4.5 结果与讨论 (38)3.5 数学形态学应用于图像噪声滤波 (38)3.5.1 滤波基本原理 (38)3.5.2 对噪声污染的颗粒图像滤波 (39)3.5.3 对差、并噪声同存图象的滤波 (40)3.5.4 总结 (42)3.6 本章小结 (42)第四章两种图像边缘检测的MATLAB仿真实现 (44)4.1结构元素的选择 (44)4.2 算法实现 (45)4.3 MATLAB仿真实验 (46)目录iii4.4 图像的滤波及边缘检测的MATLAB实现 (48)第五章总结与展望 (56)5.1数学形态学学习总结 (56)5.2 数学形态学发展过程中存在的问题 (57)5.3 数学形态学发展方向 (57)致谢 (58)参考文献 (60)iv 数学形态学的发展及应用研究第一章绪论 1第一章绪论1.1 引言1965年法国巴黎地质学家G.Matheron和J.Serra创立数学形态学理论,这是一门新兴的图象分析科学。
(现代图像分析)第五章数学形态学分析
详细描述
灰度腐蚀操作通过将每个像素与其邻域的像素进行比较，并将像素值设置为邻域 中的最小值，从而消除图像中的亮区域。该操作有助于消除噪声和细化对象边缘 。
灰度膨胀
总结词
灰度膨胀是一种基本的形态学操作，用于扩大图像中的亮区域或对象。
详细描述
灰度膨胀操作通过将每个像素与其邻域的像素进行比较，并将像素值设置为邻域中的最大值，从而扩大图像中的 亮区域。该操作有助于填补对象中的空洞和连接断裂的边缘。
灰度开运算和闭运算
总结词
灰度开运算是先进行腐蚀操作再进行膨胀操作，而灰度闭运算是先进行膨胀操作再进行腐蚀操作。
详细描述
灰度开运算可以消除较小的亮区域，使狭窄的亮区域变宽；而灰度闭运算可以消除较小的暗区域，使 狭窄的暗区域变宽。这两种运算在图像处理中具有广泛的应用，如噪声去除、连通区域标记等。
开运算和闭运算
开运算可以去除小的物体，而闭运算则可以填补小 的空洞或平滑图像。
边界提取
边界跟踪
通过形态学运算，可以提取出图像中 的边界，从而识别出图像中的各个物 体。
边界提取算法
利用形态学运算，可以设计出各种边 界提取算法，以实现更准确的边界提 取。
区域填充
种子填充算法
通过形态学运算，可以实现快速的种子填充 算法，用于填充图像中的空白区域。
详细描述
在二值图像中，膨胀操作通过将像素与其邻域进行比较，将大于邻域值的像素 设置为最大值（通常为255），从而实现扩大较小对象或减小较暗区域的效果。 膨胀操作能够填补图像中的空洞，增强图像的亮区域。
开运算和闭运算
总结词
开运算和闭运算是基于腐蚀和膨胀的组合操作，分别用于消除较 大对象和填补较小对象。
数学形态学的应用研究
数学形态学的应用研究摘要对信号进行分析时通常采用传统的傅立叶变换方法，傅立叶变换是时域和频域相互转换的数学工具，从物理意义上讲其实质是将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加。
这样我们可以把对波形函数的研究转化为对其变换的研究。
当信号中混杂着噪声时，通常的方法是将混杂着噪声的信号变换到频域，根据有用信号和噪声在频域所占的频段不同，通过低通、高通、带通或带阻滤波器对噪声加以滤除，再进行信号的重构，恢复原信号，但现实中的噪声和有用信号通常在频域中是分不开的，例如随机噪声、白噪声等。
为了解决这一问题，人们一直在寻找新的方法。
近些年来，基于图象或信号直观特点的数学形态学，在图象处理领域取得了广泛的应用。
它摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析图象。
其研究图象几何结构的基本思想是利用一个结构元素去探测一个图象，看是否能够将这个结构元素很好的填放在图象的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效。
因此，形态学算子的性能将主要以几何方式进行刻画。
这种显式的几何描述特点更适合视觉信息的处理和分析。
在信号处理领域，Matlab作为功能强大的应用型软件，其傅立叶分析工具箱和小波分析工具箱己经非常成熟，研究者可以将其提供的功能函数应用到实际工作中去，但是形态学工具箱目前还主要集中在二维图象处理上，在一维信号处理方面并没有提供相应的函数，鉴于数学形态学在图象处理方面取得的骄人成绩，开发其一维信号处理工具箱以便研究人员更好的应用就显得有价值。
本文即是在深入研究数学形态学基本理论的基础上，编写出其一维信号形态处理函数，包括腐蚀、膨胀、开、闭等多种形态运算，并应用这些基本函数对一维信号的降噪滤波特性予以仿真分析，加深对该方法相关特性的认识。
关键词:数学形态学;结构元素;腐蚀;膨胀数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/击不中变换”，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法。
第9章数学形态学原理
* 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连 续，断点少。
14
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一 些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出 统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形 态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重 要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的 关键。
21
形态运算的质量取决于所选取的结构元和形 态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定， 而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。 这些约束条件称为图像定量分析的原则。
22
9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
23
集合论是数学形态学的基础，在这里首先对 集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。 对于形态处理的讨论,将从两个最基本的模加处 理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理 的基础。
24
1. 基本的定义
1）集合 具有某种性质的确定的有区别的事物的全
体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常 用大写字母 A, B, C, … 表示，空集用 表示。
25
设 E 为一自由空间，(E) 是由集合空
间 E 所构成的幂集，集合 X , B (E) ，则
集合 X 和 B 之间的关系只能有以下3 种形式：
4
随后，J. Serra和 G. Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数 学形态学的图像处理系统。
数学形态学
数字图像处理中的形态学（摘自某文献，因为贴图的数目有限制，后面的公式图片没有能够上，电脑重装后文档已经找不到了，囧）一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。
其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。
形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。
基本的形态运算是腐蚀和膨胀。
数学形态学概念
数字图像处理中的形态学一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。
其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。
形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。
基本的形态运算是腐蚀和膨胀。
在形态学中，结构元素是最重要最基本的概念。
结构元素在形态变换中的作用相当于信号处理中的“滤波窗口”。
数学形态学图像处理的基本运算实现及分析
数学形态学图像处理的基本运算实现及分析一、基本原理数学形态学是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像进行分析和识别的目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
另一方面，数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构。
1、基本运算数学形态学的基本运算有四个：膨胀、腐蚀、开启和关。
如用A 表示图像集合，B 表示结构元素，形态学运算就是用B 对A 进行操 作。
A 被B 膨胀，记为A ⊕B ，⊕为膨胀算子，膨胀的定义为A B ⊕ˆ{|[()]}x x B A =≠∅该式表明的膨胀过程是B 首先做关于原点的映射，然后平移x 。
A 被B 的膨胀是B 被所有x 平移后与A 至少有一个非零公共元素。
A 被B 腐蚀，记为A ⊙B ，⊙为腐蚀算子，腐蚀的定义为A B Θˆ{|[()]}x x B A =≠∅也就是说，A 被B 的腐蚀的结果为所有使B 被x 平移后包含于A 的点x 的集合。
换句话说，用B 来腐蚀A 得到的集合是B 完全包括在A 中时B 的原点位置的集合。
膨胀和腐蚀并不互为逆运算，所以它们可以级连结合使用。
例如，利用同一个结构元素B ，先对图像腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像膨胀然后瘸蚀其结果，前一种运算称为开运算，后一种运算称为关运算。
它们也是数学形态学中的重要运算。
开启的运算符为o ，A 用B 来开启写作AoB ，其定义为:A o ()B A B B =Θ⊕关的运算符为·，A 用B 来关写作A ·B ，其定义为:A ·()B A B B =⊕Θ开和关两种运算都可以去除比结构元素小的特定图像细节，同时保证不产生全局的几何失真。
开运算可以把比结构元素小的椒盐噪声滤除，切断细长搭接而起到分离作用。
关运算可使比结构元素小的缺口或孔填补上，搭接短的间断而起到连通作用。
数学形态学
第八章数学形态学8.1. 简介数学形态学具有一套完整的理论、方法及算法体系，是一种非线性图像处理和分析方法，是法国和德国的科学家在研究岩石结构时建立的一门学科。
它摒弃了传统的数值建模及分析的观点，从集合的角度来刻画和分析图像。
[1, 2] 它有几个突出的特点:1)形态学图像处理的数学基础和语言是集合论；2)形态学运算由集合运算(如并、交、补等)来定义；3)图像都必须以合理的方式转换为集合进行处理；4)输出图像中每一点的值和输入图像当前点的值以及它的邻点的值有关；它在图像处理中的应用主要是：1)利用形态学的基本运算，对图像进行观察和处理，从而达到改善图像质量的目的；2)描述和定义图像的各种几何参数和特征，如面积，周长，连通度，颗粒度，骨架和方向性；3)定义与实现图像的开闭等运算。
8.2. 一些基本定义(1)元素∈.设有一幅图像X，若点a在X的区域以内，则称a为X的元素，记作a X(2)B包含于X（included in）∈，则称B包含于X，记作设有两幅图像B，X。
对于B中所有的元素i a，都i a X⊂。
B X图 8.1元素的示意图图8.2包含的示意图(3)B击中X（hit）设有两幅图像B ，X 。
若存在这样一个点，它即是B 元素，又是X 的元素，则称B 击中X ，记作B X ↑。
图8.3击中的示意图图8.4击不中的示意图(4) B 不击中X （miss ）设有两幅图像B ，X 。
若不存在任何一个点，它即是B 的元素，又是X 的元素，即B 和X 的交集是空，则称B 不击中X ，记作B X =Φ，其中是集合运算相交的符号，Φ表示空集。
如图8.4所示。
(5) 补集设有一幅图像X ，所有X 区域以外的点构成的集合称为X 的补集，记作c X 。
如果BX =Φ，则B 在X 的补集内，即c B X ⊂。
图8.5补集的示意图图8.6对称集的示意图(6) 对称集设有一幅图像B ，将B 中所有元素的坐标取反，即令(,)x y 变成(,)x y --，所有这些点构成的新的集合称为B 的对称集，记作v B ，如图8.6所示：(7) 结构元素（structure element ）设有两幅图像B ，X 。
数字图像处理实验__数学形态学及其应用
实验五： 图像分割与边缘检测一．实验目的1. 理解图像分割的基本概念；2. 理解图像边缘提取的基本概念；3. 掌握进行边缘提取的基本方法；4. 掌握用阈值法进行图像分割的基本方法。
二．实验基本原理 ●图象边缘检测图像理解是图像处理的一个重要分支，研究为完成某一任务需要从图像中提取哪些有用的信息，以及如何利用这些信息解释图像。
边缘检测技术对于处理数字图像非常重要，因为边缘是所要提取目标和背景的分界线，提取出边缘才能将目标和背景区分开来。
在图像中，边界表明一个特征区域的终结和另一个特征区域的开始，边界所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部的特征或属性是不同的，边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特性上的差异来实现的，这些差异包括灰度，颜色或者纹理特征。
边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。
图象边缘检测必须满足两个条件：一能有效地抑制噪声；二必须尽量精确确定边缘的位置。
由于噪声和模糊的存在，检测到的边界可能会变宽或在某些点处发生间断，因此，边界检测包括两个基本内容：首先抽取出反映灰度变化的边缘点，然后剔除某些边界点或填补边界间断点，并将这些边缘连接成完整的线。
边缘检测的方法大多数是基于方向导数掩模求卷积的方法。
导数算子具有突出灰度变化的作用，对图像运用导数算子，灰度变化较大的点处算得的值比较高，因此可将这些导数值作为相应点的边界强度，通过设置门限的方法，提取边界点集。
一阶导数与是最简单的导数算子，它们分别求出了灰度在x 和y 方向上的变化率，而方向α上的灰度变化率可以用相应公式进行计算;对于数字图像，应该采用差分运算代替求导。
一幅数字图像的一阶导数是基于各种二维梯度的近似值。
图像f(x,y)在位置(x,y)的梯度定义为下列向量：G[f(x,y)]=[]在边缘测中，一般用这个向量的大小，f ∇用表示2/122][Gy Gx f +=∇ 函数f 在某点的方向导数取得最大值的方向是，方向导数的最大值是称为梯度模。
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一门新兴的数学学科，它以数学的结构与几何来研究复杂的物体的外观、形状以及数学关系。
它是归纳性的、正则的、抽象的，但它也具有实际意义。
形态学可以用来分析表面形状、描述空间结构、并分析几何现象。
数学形态学主要由几何、拓扑、计算、图理论等组成。
几何可以用来刻画物体的几何结构，拓扑不区分空间结构、计算可以用来处理复杂的外形，而图理论则可以指导定义不同物体之间的相互关系，并且可以用来处理复杂的空间结构。
数学形态学可以研究许多不同的几何现象，比如点、线、面、体等，可以研究几何实体的结构与形状，以及不同几何实体之间的相互作用。
它可以用来研究可视化的几何结构，以及空间和位置空间的定义、分类及计算等方面。
此外，数学形态学还可以用来处理图形，例如地图、框架和图像等。
地图可以分析表面形状、连接和空间结构，框架可以处理复杂的路径系统，图像处理可以用来分析物体的形状、结构和空间关系等。
此外，数学形态学还可以用来处理几何分析，例如几何定义、变换、插值、参数化等等。
它可以用来描述不同几何实体之间的相互关系，以及物体与空间之间的变换关系。
数学形态学有着广泛的应用，比如在工业设计中，可以用来分析物体的形状、结构和外观等，也可以用来分析产品的结构和性能等；在建筑设计中，可以用来分析建筑的空间结构、形状、几何现象和材
料等。
此外，它还可以用来研究数学模型、机器人技术、三维渲染和CAD等方面。
综上所述，数学形态学是一门研究数学结构与几何的新兴学科。
它可以用来分析物体的几何结构、可视化几何结构、几何分析等，并且可以应用于工业设计、建筑设计、机器人技术和三维渲染等方面。
实验五、数学形态学
实验五、数学形态学实验六、形态学图像处理一．实验目的及要求1．利用MATLAB研究二值形态学图像处理常用算法；2．掌握MATLAB形态学图像处理根本操作函数的使用方法； 3．了解形态学的根本应用。
二、实验原理1．编程实现二值图像的根本形态学处理〔腐蚀、膨胀、开运算和闭运算〕；选择不同结构元素筛选图像目标。
2．用形态学运算实现灰度图像的噪声平滑和图像边缘提取。
三、实验原理数学形态学图像处理的根本思想是利用一个称作结构元素的“探针〞收集图像的信息。
当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个局部间的相互关系，从而了解图像各个局部的结构特征。
作为探针的结构元素，可直接携带知识〔形态、大小、以及灰度和色度信息〕来探测所研究图像的结构特点。
二值形态学中的运算对象是集合，通常给出一个图像集合和一个结构元素集合，利用结构元素对图像进行操作。
其根本运算有四种：腐蚀、膨胀、开运算和闭运算。
基于这些根本运算和组合来进行图像形状和结构的分析及处理。
如果 A是图像集合，B是结构元素〔 B本身也是一个图像集合〕，形态学运算将使用B对A进行操作。
结构元素往往比图像小得多。
根本运算将遵循这个原那么。
?膨胀和腐蚀膨胀是在二值图像中“加长〞或“变粗〞的操作。
这种特殊的方式和变粗的程度由一个称为结构元素的集合控制。
腐蚀“收缩〞或“细化〞二值图像中的对象。
像在膨胀中一样，收缩的方式和程度由一个结构元素控制。
?开运算和闭运算在图像处理的实际应用中，更多地以各种组合的形式来使用膨胀和腐蚀，它们可以级连结合使用。
膨胀后再腐蚀，或者腐蚀后再膨胀，通常不能恢复成原来图像〔目标〕，而是产生一种新的形态变换，这就是开运算和闭运算。
当处理二值图像时，采用上述的形态学变换组合，主要应用于提取某一区域的边界线、图像边缘轮廓、物体骨架特征和目标识别等众多的实际应用。
更多内容青参考教材p402有关内容。
三、实验内容1、二值图像的形态学变换需要编写的二值图像形态学变换函数： functionnewbuf=BwFilter(oldbuf,select)该函数调用MATLAB关于膨胀、腐蚀和图像筛选算法的相关函数，对二值图像进行相应的处理，最后结果存放在newbuf数组中。
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实验六、形态学图像处理
一．实验目的及要求
1．利用MATLAB研究二值形态学图像处理常用算法；
2．掌握MATLAB形态学图像处理基本操作函数的使用方法；
3．了解形态学的基本应用。
二、实验原理
1．编程实现二值图像的基本形态学处理（腐蚀、膨胀、开运算和闭运算）；选择不同结构元素筛选图像目标。
2．用形态学运算实现灰度图像的噪声平滑和图像边缘提取。
三、实验原理
数学形态学图像处理的基本思想是利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息。
当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分间的相互关系，从而了解图像各个部分的结构特征。
作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、以及灰度和色度信息）来探测所研究图像的结构特点。
二值形态学中的运算对象是集合，通常给出一个图像集合和一个结构元素集合，利用结构元素对图像进行操作。
其基本运算有四种：腐蚀、膨胀、开运算和闭运算。
基于这些基本运算和组合来进行图像形状和结构的分析及处理。
如果 A是图像集合，B是结构元素（ B本身也是一个图像集合），形态学运算将使用B 对A进行操作。
结构元素往往比图像小得多。
基本运算将遵循这个原则。
●膨胀和腐蚀
膨胀是在二值图像中“加长”或“变粗”的操作。
这种特殊的方式和变粗的程度由一个称为结构元素的集合控制。
腐蚀“收缩”或“细化”二值图像中的对象。
像在膨胀中一样，收缩的方式和程度由一个结构元素控制。
●开运算和闭运算
在图像处理的实际应用中，更多地以各种组合的形式来使用膨胀和腐蚀，它们可以级连结合使用。
膨胀后再腐蚀，或者腐蚀后再膨胀，通常不能恢复成原来图像（目标），而是产生一种新的形态变换，这就是开运算和闭运算。
当处理二值图像时，采用上述的形态学变换组合，主要应用于提取某一区域的边界线、图像边缘轮廓、物体骨架特征和目标识别等众多的实际应用。
更多内容青参考教材p402有关内容。
三、实验内容
1、二值图像的形态学变换
需要编写的二值图像形态学变换函数：
function newbuf=BwFilter(oldbuf,select)
该函数调用MATLAB关于膨胀、腐蚀和图像筛选算法的相关函数，对二值图像进
行相应的处理，最后结果存放在newbuf数组中。
用于二值图像形态学变换的MATLAB函数有：
Strel 构造结构元素函数
Imdilate 膨胀函数
Imerode 腐蚀函数
Imcrop 裁剪函数
Imopen 开运算函数
用help查看相关函数的使用方法，编程实现BwFilter()函数的功能。
结构元素也
可以用ones函数和zeros函数创建。
2、对输入图像进行形态学操作，即腐蚀、膨胀、开运算和闭运算，改变结构元素形状、大小，重做上述实验，比较实验结果，分析结构元素对运算的影响；
3、以下图为例：（1）提取与图像边界融合的颗粒
（2）提取彼此交叠的颗粒
（3）提取不交叠的颗粒
提示：（1）可利用区域填充算法。
如图所示为源图像，可将图像先转换为二值图像，然后对其进行取反，这样进行区域填充的结果将为与边界相连的颗粒，再与源图像进行比较，即可得出在源图像中与边界相连的颗粒图像。
（2）可利用图像的腐蚀与膨胀操作。
先用模板对图像进行腐蚀操作，由于相交叠的颗粒面积必然比独立的颗粒大，因此腐蚀操作之后剩下的部分为交叠颗粒的部分，再对其进行膨胀，将其与源图像进行比较操作，则可得出交叠的颗粒图像。
（3）得出交叠的颗粒之后，用源图像对其相减，则得出的为独立分布的颗粒图像。
原图。