线性代数复习资料

第十章线性代数简介

本章知识结构导图

数学家的故事: 阿瑟·凯利简介

(Richmond)，卒于剑桥。17岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几年

内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间，

他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特(Sylvester)。1863年应邀返回剑桥大学

任数学教授。他得到牛津大学、都伯林大学和莱顿大学的名誉学位。1859年当选为伦敦

皇家学会会员。

凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人。在布尔1841年的工作的影响下，他首

创代数不变式的符号表示法，给代数形式以几何解释，然后再用代数观点去研究几何学。他第一次引入n

维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先引

入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，被公认为矩阵论的奠基人。他开始将

矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利

认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式

的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的

研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。

凯利还提出了凯利-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿

证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年

给出的。

本章小结

本章主要掌握行列式、矩阵的概念及运算，逆矩阵、矩阵方程、线性方程组的求解。 一、行列式的定义与性质

1. 一阶行列式：1111a a =；二阶行列式：

1112

112212212122

a a a a a a a a =-；

三阶行列式：

111213

22

23212321222122

2311121311111212131332

3331333132313233

111213111112121313111112121313

(1)(1)(1)a a a a

a a a a a

a a a a a a a M a M a M a a a a a a a a a a M a M a M a A a A a A +++=-+=-+=-+-+-=++；其中ij M 为

余子式，ij A 为代数余子式。

2. 性质：

(1)任何行列式与它的转置行列式相等,即 D =D T

。 (2)互换行列式的两行（列），行列式变号。 (3)如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。

(4)行列式某一行(列)的各元素乘以同一个数,等于这个数乘以该行列式。 (5)若行列式有两行(列)的元素对应成比例，则行列式为0。

(6)如果某一行(列)元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。

(7)行列式的任一行(列)的所有元素乘以同一个数，再加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。

(8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

(9)行列式中的任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0。 3. 计算方法：

(1)二阶、三阶行列式可以根据定义直接计算；

(2)选择0元素较多的行（列），按该行（列）展开计算；

(3)利用行列式的性质，把某行（列）化为只有一个非零元素，按该行（列）展开计算；

(4)利用行列式的性质，化为三角形行列式再进行计算。

二、矩阵及其运算

1. 同型矩阵的线性运算规律：+=+A B B A ；()()++=++A B C A B C ；+=A O A ；()+-=A A O ；()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+A B A B ，0,0k l ≠≠。

2. 矩阵乘法的运算规律：

()()

=AB C A BC ；

()()=+=+A B +C AB AC,B +C A BA CA

；

()()

λλλ=AB A B =A B ；

=AE EA=A 。

注意：(1) AB ，只有当A 的列数等于B 的行数时，该乘积才有意义；(2)矩阵乘法不满足交换律；(3)矩阵乘法不满足消去律。

3. 矩阵转置运算规律：()T

T =A A ；()T T T =+A+B A B ；()T T λλ=A A ；()T

T T =AB B A 。

三、逆矩阵

1. 定义：若AB=E ，则A 、B 互为逆矩阵，记1-=A B ，1-=B A 。

2. 性质：

(1)若A 可逆，则1-A 可逆，且()1

1--=A A 。

(2) 若A 可逆，0k ≠，则k A 可逆，且()1

1

1k k

--=

A A 。 (3)若矩阵A 与

B 都可逆，则AB 可逆，且()1

11---=AB B A 。 (4) 若A 可逆，则T A 可逆，且()()1

1T

T --=A A 。

3. 矩阵可逆的充分必要条件：0≠A 。当0≠A 时，11211122221

*1211n n n

n

nn A A A A A A A A A -⎛⎫

⎪

⎪

== ⎪

⎪

⎝⎭

A A A A 。

4. 解矩阵方程：(1)1-⇒AX =C X =A C ；(2)1-⇒XB =C X =CB ； (3)11--⇒AXB =C X =A CB ； (4)

()()−−−−→ AX =B,A B E X 行初等变换则。

四、矩阵的初等变换及矩阵的秩

1. 阶梯形矩阵：(1)如果有零行的话，零行位于矩阵下方；(2)各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。

注：一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。 2. 行最简形矩阵：每一非零行的第一个非零元素都是1，并且这些1所在列其余元素都是0。 3. 矩阵的秩：矩阵A 的阶梯形矩阵中，其非零行行数称为矩阵A 的秩，记为秩A 或()r A 。 4. 求矩阵秩的方法：用行初等变换把任意矩阵A 化为阶梯形，然后判断非零行的行数。

5. 逆矩阵的求法：()(

)1

-−−−−

→ A E E A 行初等变换

。

五、线性方程组

1. 方程组有解时称方程组相容；方程组无解时称方程组不相容。

2. n 元线性方程组的求解： (1)根据方程组写出增广矩阵；

(2)用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵； (3)判断方程组是否相容（有解），在方程组相容时，把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵； (4)根据行最简形矩阵直接写出原方程组的解。 3. n 元线性方程组解的判断：

(1)()()r r = A A 时，方程组有解：①()()r r = A A =未知量个数时，方程组有唯一解；②()()

r r n =< A A （n 为未知量个数）时，方程组有无穷多个解，其中自由未知量个数等于()n r -A 。

(2) ()()

r r ≠ A A 时，方程组无解。