初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第19讲转9讲转化灵活的圆中角60

第十九讲 转化灵活的圆中角

角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．

根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来．

熟悉以下基本图形、基本结论．

注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨．

【例题求解】

【例1】 如图，直线AB 与⊙O 相交于A ，B 再点，点O 在AB 上，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝40°，点E 是直线AB 上一个动点(与点O 不重合)，直线EC 交⊙O 于另一点D ，则使DE=DO 的点正共有 个．

思路点拨 在直线AB 上使DE=DO 的动点E 与⊙O 有怎样的位置关系?

分点E 在AB 上(E 在⊙O 内)、在BA 或AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E 点位置、存在的个数．

注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．

【例2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边BC 的中点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF ＝AB ；③BC

BA EF ED ；④2BM 2=BF ×BA ；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．

注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．

【例3】 如图，已知四边形ABCD 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E ，且AB 2=AE ×AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积．

思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A 为弧BD 中点，这是解本例的关键．

【例4】 如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD

(1)求证：AC 2=AG ×AF ；

(2)若点E 是AD(点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．

思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明△ACG ∽△AFC ；

（2）判断上述结论在E 点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．

注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．

【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB=CD=EF ，且对角线AD 、BE 、CF 相交于一点Q ，设AD 与CF 的交点为P ．

求证：（1）EC AC ED QD =；(2)22CE AC PE CP =．

思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．

(1) 证明△QDE ∽△ACF ；(2)易证DE

QC PE CP =，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．

注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：

(1)利用圆的定义判定；

(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．

学历训练

1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为

．

2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2= ．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为．

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，用x的代数式表示y，y= ．

5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于( )

A．120°B．136°C．144°D．150°

6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于( ) A．20°B．30°C．40°D．50°

7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=3，BC=2，则∠D的度数为

( )

A．60°B．120°C．135°D．150°

8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．

(1)求证：AC·BC=BE·CD；

(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

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