初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第19讲转9讲转化灵活的圆中角60

第十九讲 转化灵活的圆中角
角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．
根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来．
熟悉以下基本图形、基本结论．
注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨．
【例题求解】
【例1】 如图，直线AB 与⊙O 相交于A ，B 再点，点O 在AB 上，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝40°，点E 是直线AB 上一个动点(与点O 不重合)，直线EC 交⊙O 于另一点D ，则使DE=DO 的点正共有 个．
思路点拨 在直线AB 上使DE=DO 的动点E 与⊙O 有怎样的位置关系?
分点E 在AB 上(E 在⊙O 内)、在BA 或AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E 点位置、存在的个数．
注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．
【例2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边BC 的中点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF ＝AB ；③BC
BA EF ED ；④2BM 2=BF ×BA ；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．
注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．
【例3】 如图，已知四边形ABCD 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E ，且AB 2=AE ×AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积．
思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A 为弧BD 中点，这是解本例的关键．
【例4】 如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB)，点E 是AB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF 与直线CD 交于点G ．
(1)求证：AC 2=AG ×AF ；
(2)若点E 是AD(点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．
思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明△ACG ∽△AFC ；
（2）判断上述结论在E 点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．
注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．
【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB=CD=EF ，且对角线AD 、BE 、CF 相交于一点Q ，设AD 与CF 的交点为P ．
求证：（1）EC AC ED QD =；(2)22CE AC PE CP =．
思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．
(1) 证明△QDE ∽△ACF ；(2)易证DE
QC PE CP =，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．
注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：
(1)利用圆的定义判定；
(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．
学历训练
1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为
．
2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为．
4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为y，AB的长为x，用x的代数式表示y，y= ．
5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于( )
A．120°B．136°C．144°D．150°
6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于( ) A．20°B．30°C．40°D．50°
7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=3，BC=2，则∠D的度数为
( )
A．60°B．120°C．135°D．150°
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
(1)求证：AC·BC=BE·CD；
(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
⌒⌒
10．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
(1)求证：FB=FC；
(2)求证：FB2=FAFD；
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．
11．如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C
点除外)，则tan∠APB·tan∠CPD=
．
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD 的面积为．
13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC= ．
14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于( ) A．60°B．50°C．80°D．70°
15．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB 和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为( )
A．25πB．16πC．15πD．13π
(2001年绍兴市竞赛题)
16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
17．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=3
2，求四边形ABCD的面积．
⌒
18．如图，已知ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BD 上的一点，且有∠BAE=∠DAC ． 求证：(1)△ABE ∽△ACD ；(2)ABDC+AD ·B C ＝AC ·BD ．
19．如图，已知P 是⊙O 直径AB 延长线上的一点，直线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF ⊥AB 于点H ，CF 交AB 于点E ．
(1)求证：PA ·PB=PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P=15°，⊙O 的半径为2，求弦CF 的长．
20．如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=4，S △ABC =
36
，∠B 为锐角，且关于x 的方程
01cos 42=+-B x x 有两个相等的实数根，D 是劣弧AC 上任一点(点D 不与点A 、C 重合)，
DE 平分∠ADC ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ．
(1)求∠B 的度数；
(2)求CE 的长；
(3)求证：DA 、DC 的长是方程02=⋅+⋅-DF DE y DE y 的两个实数根．
⌒
参考答案。