均值不等式专题附带解析

16．15
【解析】
【分析】
对 变形可得原式 ，由 ，利用 ，利用基本不等式求最值即可。
【详解】
解： ， 且 ， ，
故 ．（当且仅当 时取“=”）.
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了求代数式的最值问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。
17．1
【解析】
【分析】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。
15．3
【解析】
【分析】
由已知可知， ，整理结合基本不等式可求.
【详解】
解： ，b都是正数，满足 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 时， 取得最小值3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.
9．
【解析】
【分析】
由函数 的值域为 ，可得 ， 化为 ，利用基本不等式可得结果.
【详解】
的值域为 ，
，
，
，
，
当 ，即 是等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
10．
【解析】
【分析】
由已知将 化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.
【详解】
因为 ，所以 ，
= （当且仅当 ，即 ， 时取等号），
所以 的最小值为 ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.
11．
【解析】
18．若函数 的单调递增区间为 ，则 的最小值为____．
19．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
20．已知 ， ，则 的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到 ，利用基本不等式求解 的最小值得到所求结果.
【详解】
则 ，即
由题意知 ，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号
【分析】
利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．
【详解】
正数x，y满足 ，则 ，
，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值是12，
故答案为：12
【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用 属基础题．
12．2
【解析】
【分析】
利用“1”的代换，求 得最值，再对 直接利用基本不等式求 得最值，再结合题意求解即可
【详解】
【详解】
圆 ，即 ，表示以 为圆心、半径等于2的圆．
再根据弦长为4，可得 经过圆心，
故有 ，
求得 ，则 ，
当且仅当 时，取等号，
故则 的最小值为4，
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．
6．8
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值.
【详解】
令 ，
则
当且仅当 时取等号.即 的最小值为8.
正实数x，y满足 ，
，
，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号，
的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题
13．9
【解析】
【分析】
由条件可得 ，即有 ，由基本不等式可得所求最小值．
【详解】
若 ， ， ，即 ，
则
，
当且仅当 取得最小值9，
1Байду номын сангаас．4
【解析】
【分析】
利用二次函数的单调增区间求得 ，再利用 ，利用基本不等式可求最小值．
【详解】
的对称轴为 ，故 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，从而 的最小值为 ，填 ．
【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
20．2
【解析】
【分析】
将 分子分母同时除以 得到 ，换元令然后 ＝t，t＞0，根据基本不等式求解即可得到最小值．
【详解】
∵x，y＞0，则 ＝ ，
设 ＝t，t＞0，
则 ＝（t+1）+ ﹣2≥2 ﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当t+1＝ ，即t＝1时取等号，此时x＝y，
故 的最小值为2，
故答案为：2
【点睛】
6．设正实数 满足 ，则 的最小值为________
7．已知 ，且 ，则 的最小值是________
8．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值是______
9．已知 ，函数 的值域为 ，则 的最小值为________．
10．已知 ， ，且 ，则 的最小值为__________．
11．若正数x，y满足 ，则 的最小值是______．
均值不等式专题
一、填空题
1．若 则 的最小值是__________．
2．若 ,且 则 的最大值为______________.
3．已知 ，且 ，则 的最小值为______．
4．已知正数 满足 ，则 的最小值是_______.
5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 + 的最小值是______．
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7．
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值.
【详解】
因为 ,当且仅当 时取等号，所以 的最小值是
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
由题意可知，点 在椭圆 上运动，得 ，则 ，构造基本不等式，即可求出结果.
【详解】
∵点 在椭圆 上运动， 即 ，
则
，当且仅当 时，取等号，
即所求的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了 的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出结果.
19．3；
【解析】
【分析】
将原式子变形得到 再由均值不等式可得到最值.
【详解】
已知正实数 ， 满足 ，根据均值不等式得到 等号成立的条件为：x=2y+2.
故答案为：3.
【点睛】
这个题目考查了均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
本题考查利用换元的方法转为利用基本不等式求最值问题，属于中档题
本题正确结果：
【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到 的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.
2．
【解析】
【分析】
先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.
【详解】
当 时， ， ，所以 最大值为1，
当 时，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 最大值为 ，
综上 的最大值为
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8．
【解析】
【分析】
由已知分离 ，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．
【详解】
正实数x，y满足 ，则
当且仅当 且 即 ， 时取得最小值是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
12．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
13．若 ， ， ，则 的最小值为______．
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， 且 ，则 的最小值为______．
17．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
由基本不等式，可得到 ，然后利用 ，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
【详解】
由题意， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 ．
【点睛】
4．
【解析】
【分析】
由题得 ，所以 ，再根据基本不等式即可求出答案．
【详解】
正数 ， 满足 ，则 ，
则
，
当且仅当 时，即 ， 时取等号，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．
5．4
【解析】
【分析】
由题意可得 经过圆心，可得 ，再 + 利用基本不等式求得它的最小值．