利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分汇总
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r
3 cos a 4 2 d 2 sin d r2 d r 0 0 0 2 3 2 1 a sin cos d a 3 0 3 3
x
y
dv r 2 sin dr d d
三、小结
柱面坐标 三重积分换元法 球面坐标
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
原式 z d d d z
2
z a
o
y
zd z
0
a
0
2 d
0
2 cos
2 d
2 2 cos x
dv d d d z
2 4a
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0 4 sin d
4
d
R 4 r dr 0
x
o
y
1 R 5 (2 2) 5
dv r 2 sin dr d d
例6.求曲面 ( x
2
y z ) a z (a 0) 所围立体体积.
(a 0) 所围的立体.
za r
2 2 2
a , cos
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x 2 y 2 )dxdydz
d d
0
2
4 0
3
0
2 cos 3
8 3 d a 9
例4. 计算三重积分
其中由抛物面
x y 4z
2
2
与平面 z
h (h 0) 所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
x 2 d d z 原式 = d 2 0 0 1 4 d v d d d z 2 2 h 2 (h ) d 2 0 4 1
x
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d .
是锥面 例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中
x 2 y 2 wk.baidu.com 2 ， 与平面z a
解1 采用球面坐标
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
一、1、 dx
2 2 4 x 2
2
4 x 2
dy
4 x 2
16 x 2 y 2 3( x y )
2 2
f ( x , y , z )dz f ( x , y , z )dz ,
D2 2
2
2
0
5 2 d dr r 2 r r 2dz , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I 336 . 3 6
例3. 计算三重积分
柱面 x 2
其中为由
y
2
2 x 及平面
z 0, z a (a 0), y 0 所围
成半圆柱体.
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r 2 sindrdd （3） 对称性简化运算
思考题
若为R 3中关于xy面对称的有界闭区域， f ( x , y , z )为 上的连续函数, 则
当f ( x , y, z )关于 ____为奇函数时, f ( x , y, z )dv 0;
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0 所确定. x2 y2 z2 3、 ( 2 2 2 )dxdydz , a b c 2 2 2 x y z 其中 ( x , y , z ) 2 2 2 1 . a b c 2 2 2 2 z 5 x y 三、求曲面 及 x y 4 z 所围成的立 体的体积. 2 2 2 2 2 2 四、曲面 x y az 4a 将球体 x y z 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z x 2 y 2 , x y a , x 0, y 0, z 0 所围成立体的重心(设密度 1 ).
绕 oz 轴旋转得，
2 2
旋转面方程为 x y 2z ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 y 2 16,
0 2 0 r 4 1 : 2 , r z 8 2
D2 : x 2 y 2 4,
D1
D2
0 2 0 r 2 2 : 2 . r z 2 2
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
z
为常数
z 为常数
M ( x, y, z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x r cos , y r sin , z z.
o
r
P(r , )
y
x
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
2 2 2 2
x2 y2
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z
x y , 4
2 2
: 0 r 2a ,
0 , 4
0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
2
4 0
4 ( 2a )3 3 sin d ( 2 1)a . 3 3
例5. 计算三重积分
与球面
其中 所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR : 0 4 0 2
z
rR
2 0
2
2 2
3
解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz
yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
: 0 r a 3 cos , 0 2 , 0 2
利用对称性, 所求立体体积为
V d v
z r a 3 cos a
I d dr r 2
0 0
3
2
3
4 r 2
r zdz 13 .
4
例２ 计算 I
2
2 2 ( x y )dxdydz ， 其中
是曲线 y 2 z ， x 0 绕oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面 z 2, z 8 所围的立体.
y 2 2z 解 由 x0
所围的立体.
x r cos 解 由 y r sin , zz
r 2 z 2 4 2 r 3z
知交线为
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
r2 : z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
dx
2
4 x 2
dy
3( x 2 y 2 )
16 x 2 y 2
0 d0 rdr 3r 2 2 3r d rdr 0 0 16 r
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
z
rd
dr
dv rdrddz,
f ( x , y, z )dxdydz
r
dz
o
x
d
y
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
例1 计算 I
2 2 2
zdxdydz ，其中
2 2
是球面
x y z 4 与抛物面 x y 3 z
规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
球 面；
0 2.
为常数
为常数
圆锥面；
半平面．
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dv 2 sin drd d ,
d
sin
o
sin d
d
d
y
d
f ( x, y, z )dxdydz
I I1 I 2 ( x y )dxdydz ( x y )dxdydz,
2 2 2 2 1
5 4 d dr r 2 r r 2dz , 0 3 2
4 8
I1 rdrd r 2 fdz
D1 2
8
2
2
0
I 2 rdrd r 2 fdz
a cos 0
r sin dr
4 3
2
4 0
5 1 a sin3 ( 5 0)d 5 cos
5 a . 10
解2
采用柱面坐标
D: x y a ,
2 2 2
x2 y2 z2 z r ,
: r z a,
2 2
0 r a,
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 2 2 2 2 2 4 z ( x y ) dv 25 ( x y ) 1、 , 其中 是由曲面 及平面z 5 所围成的闭区域.
2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围, 则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定, 将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 2 2 2 2 z 2 x y 及 z x y 2 、若 由 曲 面 所 围, 将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
0 2 ,
2 a a
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz
0
0
r
5 a a 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a 3
4 5
例 4 求曲面 x y z 2a 与 z 所围 成的立体体积.
2
2 h
h
o
y
二、利用球面坐标计算三重积分
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， z 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
A
x
M ( x, y, z )
z
o
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
y
P
x sin cos , y sin sin , z cos .
z 当f ( x , y , z )关于 ____ z 为偶函数时,
1
2 f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dv ___
其中1为在xy面上方的部分 .
练习题
一、填空题: 1 、若 由曲面 z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所 围, 则三重积分 f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下
3 cos a 4 2 d 2 sin d r2 d r 0 0 0 2 3 2 1 a sin cos d a 3 0 3 3
x
y
dv r 2 sin dr d d
三、小结
柱面坐标 三重积分换元法 球面坐标
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
原式 z d d d z
2
z a
o
y
zd z
0
a
0
2 d
0
2 cos
2 d
2 2 cos x
dv d d d z
2 4a
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0 4 sin d
4
d
R 4 r dr 0
x
o
y
1 R 5 (2 2) 5
dv r 2 sin dr d d
例6.求曲面 ( x
2
y z ) a z (a 0) 所围立体体积.
(a 0) 所围的立体.
za r
2 2 2
a , cos
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x 2 y 2 )dxdydz
d d
0
2
4 0
3
0
2 cos 3
8 3 d a 9
例4. 计算三重积分
其中由抛物面
x y 4z
2
2
与平面 z
h (h 0) 所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
x 2 d d z 原式 = d 2 0 0 1 4 d v d d d z 2 2 h 2 (h ) d 2 0 4 1
x
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d .
是锥面 例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中
x 2 y 2 wk.baidu.com 2 ， 与平面z a
解1 采用球面坐标
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
一、1、 dx
2 2 4 x 2
2
4 x 2
dy
4 x 2
16 x 2 y 2 3( x y )
2 2
f ( x , y , z )dz f ( x , y , z )dz ,
D2 2
2
2
0
5 2 d dr r 2 r r 2dz , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I 336 . 3 6
例3. 计算三重积分
柱面 x 2
其中为由
y
2
2 x 及平面
z 0, z a (a 0), y 0 所围
成半圆柱体.
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r 2 sindrdd （3） 对称性简化运算
思考题
若为R 3中关于xy面对称的有界闭区域， f ( x , y , z )为 上的连续函数, 则
当f ( x , y, z )关于 ____为奇函数时, f ( x , y, z )dv 0;
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0 所确定. x2 y2 z2 3、 ( 2 2 2 )dxdydz , a b c 2 2 2 x y z 其中 ( x , y , z ) 2 2 2 1 . a b c 2 2 2 2 z 5 x y 三、求曲面 及 x y 4 z 所围成的立 体的体积. 2 2 2 2 2 2 四、曲面 x y az 4a 将球体 x y z 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z x 2 y 2 , x y a , x 0, y 0, z 0 所围成立体的重心(设密度 1 ).
绕 oz 轴旋转得，
2 2
旋转面方程为 x y 2z ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 y 2 16,
0 2 0 r 4 1 : 2 , r z 8 2
D2 : x 2 y 2 4,
D1
D2
0 2 0 r 2 2 : 2 . r z 2 2
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
z
为常数
z 为常数
M ( x, y, z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x r cos , y r sin , z z.
o
r
P(r , )
y
x
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
2 2 2 2
x2 y2
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z
x y , 4
2 2
: 0 r 2a ,
0 , 4
0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
2
4 0
4 ( 2a )3 3 sin d ( 2 1)a . 3 3
例5. 计算三重积分
与球面
其中 所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR : 0 4 0 2
z
rR
2 0
2
2 2
3
解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz
yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
: 0 r a 3 cos , 0 2 , 0 2
利用对称性, 所求立体体积为
V d v
z r a 3 cos a
I d dr r 2
0 0
3
2
3
4 r 2
r zdz 13 .
4
例２ 计算 I
2
2 2 ( x y )dxdydz ， 其中
是曲线 y 2 z ， x 0 绕oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面 z 2, z 8 所围的立体.
y 2 2z 解 由 x0
所围的立体.
x r cos 解 由 y r sin , zz
r 2 z 2 4 2 r 3z
知交线为
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
r2 : z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
dx
2
4 x 2
dy
3( x 2 y 2 )
16 x 2 y 2
0 d0 rdr 3r 2 2 3r d rdr 0 0 16 r
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
z
rd
dr
dv rdrddz,
f ( x , y, z )dxdydz
r
dz
o
x
d
y
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
例1 计算 I
2 2 2
zdxdydz ，其中
2 2
是球面
x y z 4 与抛物面 x y 3 z
规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
球 面；
0 2.
为常数
为常数
圆锥面；
半平面．
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dv 2 sin drd d ,
d
sin
o
sin d
d
d
y
d
f ( x, y, z )dxdydz
I I1 I 2 ( x y )dxdydz ( x y )dxdydz,
2 2 2 2 1
5 4 d dr r 2 r r 2dz , 0 3 2
4 8
I1 rdrd r 2 fdz
D1 2
8
2
2
0
I 2 rdrd r 2 fdz
a cos 0
r sin dr
4 3
2
4 0
5 1 a sin3 ( 5 0)d 5 cos
5 a . 10
解2
采用柱面坐标
D: x y a ,
2 2 2
x2 y2 z2 z r ,
: r z a,
2 2
0 r a,
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 2 2 2 2 2 4 z ( x y ) dv 25 ( x y ) 1、 , 其中 是由曲面 及平面z 5 所围成的闭区域.
2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围, 则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定, 将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 2 2 2 2 z 2 x y 及 z x y 2 、若 由 曲 面 所 围, 将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
0 2 ,
2 a a
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz
0
0
r
5 a a 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a 3
4 5
例 4 求曲面 x y z 2a 与 z 所围 成的立体体积.
2
2 h
h
o
y
二、利用球面坐标计算三重积分
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， z 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
A
x
M ( x, y, z )
z
o
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
y
P
x sin cos , y sin sin , z cos .
z 当f ( x , y , z )关于 ____ z 为偶函数时,
1
2 f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dv ___
其中1为在xy面上方的部分 .
练习题
一、填空题: 1 、若 由曲面 z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所 围, 则三重积分 f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下