最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题精编版
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变式训练：已知 为双曲线 的左准线与x轴的交点，点 ，若满足 的点 在双曲线上，则该双曲线的离心率为．
[变式拓展 分类解密]
题型一：直接求出 ，求解
例1：已知圆锥曲线的标准方程或 易求时，可利用率心率公式 来解决。
（2012扬州期末）已知椭圆 过点 ，其左右焦点分别是 ，且 ，则椭圆的离心率为
题型二：构造 、 的齐次式，解出
（3）已知椭圆 右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，则椭圆的离心率e的取值范围为
解：设P点坐标为（ ）,则有
消去 得 若利用求根公式求 运算复杂，应注意到方程的一 个根为a,由根与系数关系知 由 得
变式训练：椭圆 ： 的两焦点为 ，椭圆上存在点 使 . 则椭圆离心率 的取值范围为
（2）双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
分析 ：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|= ，|PF2| 即 ∴
解：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦，∵ 于 ，∴ 为 到准线 的距离，根据椭圆的第二定义，
题型四：建立 不等关系求解离心率的范围.
例4：（1）若双曲线 （a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
解析： 由题意可知 即 解得
利用圆锥曲线相关性质建立 不等关系求解.
所以双曲线离心率的取值范围为
点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于 ）则可建立不等关系使问题迎刃而解.
变式训练：设椭圆 的左、右焦点为 ，左准线为 ， 为椭圆上一点， ，垂足为 ，若四边形 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为________
2.圆锥曲线的显着特点是用代数的方法解决几何问题，它的重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题。在圆锥曲线问题中转化后常出现多字母的等式（不等式）的化简，对字母运算能力要求较高。求圆锥曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是确定 、 的具体值，常用待定系数法。
[备考策略 提升信心]
1．江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物线，淡化直线与圆锥曲线的关系，以Baidu Nhomakorabea圆为载体的综合问题是考查的重点。
2．新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准 线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，特别是直线与圆的位置关系，相切的内容更是常考内容。
高考年份
填空题
解答题
知识点
2010年
第6题
中心在坐标原点的双曲线的标准方程、圆锥曲线的统一定义
2011年
第18题
椭圆的标准方程
2012年
第8题
第19题
双曲线的性质、椭圆的性质、直线方程、两点间的距离公式
由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及其方程（特别是离心率的考查），弱化了直线与圆锥曲线的位置关系，而且又以椭圆与双曲线的性质考查为主。
3.设双曲线 的左、右焦点分别为 , ,点P为双曲线上位于第一象限内一点，且 的面积为6，则点P的坐标为
提示：注重方法的选择
4.（2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为 ，过椭圆的右焦点且与 轴垂直的直线与椭圆交于 两点，椭圆的右准线与 轴交于点 ，若 为正三角形，则椭圆的离心率为
5.已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点, 点 是椭圆上的任意一点, 则 的取值范围是．答案：
解析： 设 ……①
将 代入①得 求得 .
点评： 中 ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.
运用 函数思想求解离心率
例5：设 ，则双曲线 的离心率e的取值范围是
解析：由题意可知 ∵ ∴
题型五：圆锥曲线定义、焦半径公式的运用
例6：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线 平行， 与 交于点P．
（i）若 ，求直线 的斜率；
（ii）求证： 是 定值．
变式训练：已知某椭圆的交点是 ，过点 且垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 ，椭圆上不同的两点 ， ，满足条件 成等差数列。
(1)求该椭圆的方程；
最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题
解析几何专题系列一：圆锥曲线的基本量问题
[考情分析 把握方向]
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。圆锥曲线的基本量是江 苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考查内容如下表所示：
(2)求弦 中点的横坐标。
【专题总结 画龙点睛】
精要归纳：
1.离心率问题的求解方法：（1）建立一个关于 的齐次等式，再消除 ，求出 ；（2）建立一个关于 的齐次不等式，再消除 ，求出 的范围；（3）利用定义或题中蕴含的几何关系，直接建立等式或不等式来求解 。（4）在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.
提示：整体消元；或焦半径公式（文科学生适当掌握一些焦半径（椭圆）知识会有帮助）
6.设P为双曲线 上除顶点外的的任意一点， 分别为左右点， 内切圆交实轴于点M，则 值为．
说明：本题目的在于强化定义的运用
[核心问题 聚焦突破]
如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点 T，线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为.
根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次 式），进而得到关于 的一元方程，从而解得离心率 。
例2：已知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
解：如图，设 的中点为 ，则 的横坐标为 ，由焦半径公式 ，
即 ，得 ，解得
3.找出题中的等量关系（或不等关系）利用 表示关系式中的量，再代入求解
[小题训练 激活思维]
1.等轴双曲线C的中心在原 点，焦点在x轴上，C与抛物线y2= 4x的准线交于A、B两点，AB= ，则C的实轴长为.1
2.已知双曲线 的右焦点为 若以 为圆心的圆 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为.答案：
（ 舍去）
题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义（或统一定义）求解
例3：（1）设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：
（2）设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是.
[专题检测 水到 渠成]
1.设点P在椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)上，直线l的方程为x＝－ ，且点F的坐标为(－c，0)，作PQ⊥l于点Q．若P、F、Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率 ＝_
2.如图，已知椭圆 的左、右准线分别为 ，且分别交 轴于 两点，从 上一点 发出一条光线经过椭圆的左焦点 被 轴反射后与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率等于
[变式拓展 分类解密]
题型一：直接求出 ，求解
例1：已知圆锥曲线的标准方程或 易求时，可利用率心率公式 来解决。
（2012扬州期末）已知椭圆 过点 ，其左右焦点分别是 ，且 ，则椭圆的离心率为
题型二：构造 、 的齐次式，解出
（3）已知椭圆 右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，则椭圆的离心率e的取值范围为
解：设P点坐标为（ ）,则有
消去 得 若利用求根公式求 运算复杂，应注意到方程的一 个根为a,由根与系数关系知 由 得
变式训练：椭圆 ： 的两焦点为 ，椭圆上存在点 使 . 则椭圆离心率 的取值范围为
（2）双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
分析 ：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|= ，|PF2| 即 ∴
解：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦，∵ 于 ，∴ 为 到准线 的距离，根据椭圆的第二定义，
题型四：建立 不等关系求解离心率的范围.
例4：（1）若双曲线 （a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
解析： 由题意可知 即 解得
利用圆锥曲线相关性质建立 不等关系求解.
所以双曲线离心率的取值范围为
点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于 ）则可建立不等关系使问题迎刃而解.
变式训练：设椭圆 的左、右焦点为 ，左准线为 ， 为椭圆上一点， ，垂足为 ，若四边形 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为________
2.圆锥曲线的显着特点是用代数的方法解决几何问题，它的重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题。在圆锥曲线问题中转化后常出现多字母的等式（不等式）的化简，对字母运算能力要求较高。求圆锥曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是确定 、 的具体值，常用待定系数法。
[备考策略 提升信心]
1．江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物线，淡化直线与圆锥曲线的关系，以Baidu Nhomakorabea圆为载体的综合问题是考查的重点。
2．新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准 线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，特别是直线与圆的位置关系，相切的内容更是常考内容。
高考年份
填空题
解答题
知识点
2010年
第6题
中心在坐标原点的双曲线的标准方程、圆锥曲线的统一定义
2011年
第18题
椭圆的标准方程
2012年
第8题
第19题
双曲线的性质、椭圆的性质、直线方程、两点间的距离公式
由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及其方程（特别是离心率的考查），弱化了直线与圆锥曲线的位置关系，而且又以椭圆与双曲线的性质考查为主。
3.设双曲线 的左、右焦点分别为 , ,点P为双曲线上位于第一象限内一点，且 的面积为6，则点P的坐标为
提示：注重方法的选择
4.（2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为 ，过椭圆的右焦点且与 轴垂直的直线与椭圆交于 两点，椭圆的右准线与 轴交于点 ，若 为正三角形，则椭圆的离心率为
5.已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点, 点 是椭圆上的任意一点, 则 的取值范围是．答案：
解析： 设 ……①
将 代入①得 求得 .
点评： 中 ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.
运用 函数思想求解离心率
例5：设 ，则双曲线 的离心率e的取值范围是
解析：由题意可知 ∵ ∴
题型五：圆锥曲线定义、焦半径公式的运用
例6：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线 平行， 与 交于点P．
（i）若 ，求直线 的斜率；
（ii）求证： 是 定值．
变式训练：已知某椭圆的交点是 ，过点 且垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 ，椭圆上不同的两点 ， ，满足条件 成等差数列。
(1)求该椭圆的方程；
最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题
解析几何专题系列一：圆锥曲线的基本量问题
[考情分析 把握方向]
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。圆锥曲线的基本量是江 苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考查内容如下表所示：
(2)求弦 中点的横坐标。
【专题总结 画龙点睛】
精要归纳：
1.离心率问题的求解方法：（1）建立一个关于 的齐次等式，再消除 ，求出 ；（2）建立一个关于 的齐次不等式，再消除 ，求出 的范围；（3）利用定义或题中蕴含的几何关系，直接建立等式或不等式来求解 。（4）在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.
提示：整体消元；或焦半径公式（文科学生适当掌握一些焦半径（椭圆）知识会有帮助）
6.设P为双曲线 上除顶点外的的任意一点， 分别为左右点， 内切圆交实轴于点M，则 值为．
说明：本题目的在于强化定义的运用
[核心问题 聚焦突破]
如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点 T，线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为.
根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次 式），进而得到关于 的一元方程，从而解得离心率 。
例2：已知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
解：如图，设 的中点为 ，则 的横坐标为 ，由焦半径公式 ，
即 ，得 ，解得
3.找出题中的等量关系（或不等关系）利用 表示关系式中的量，再代入求解
[小题训练 激活思维]
1.等轴双曲线C的中心在原 点，焦点在x轴上，C与抛物线y2= 4x的准线交于A、B两点，AB= ，则C的实轴长为.1
2.已知双曲线 的右焦点为 若以 为圆心的圆 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为.答案：
（ 舍去）
题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义（或统一定义）求解
例3：（1）设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：
（2）设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是.
[专题检测 水到 渠成]
1.设点P在椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)上，直线l的方程为x＝－ ，且点F的坐标为(－c，0)，作PQ⊥l于点Q．若P、F、Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率 ＝_
2.如图，已知椭圆 的左、右准线分别为 ，且分别交 轴于 两点，从 上一点 发出一条光线经过椭圆的左焦点 被 轴反射后与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率等于