高一数学《一元二次不等式解法》单元测试题
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t+<+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-B ．(,3)(2,6)-∞--C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞ 2．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）．A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞3．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．64．已知0,0,23x y x y >>+=，则1421x y++的最小值是（ ） A ．3B ．94 C ．4615D ．95．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．[)0,4C ．(][),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞6．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤7．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．108．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．219．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个10．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞12．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <二、填空题13．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则1911b a b +--的最小值是__________．14．≤对任意0,0x y >>恒成立，则a 的最小值是_______．15．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x yxy+++的最小值为______.16．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 17．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．18．已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____．19．已知方程210(0)x kx k ++=>有实根，则1k k+的最小值是______． 20．已知正实数x ，y 满足x +y =1，则1412x y +++的最小值为________ ．三、解答题21．已知函数()()223f x x bx b R =-+∈.（1）若()f x 在区间[22]-，上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，上的最大值为9，求实数b 的值.22．已知命题:p 实数x 满足28200x x --≤，命题:q 实数x 满足222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}2430A x x x =-+≤，B =______.若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，给出如下三个条件：①{}1x a x a -≤≤，②{}2x a x a ≤≤+，③{}3x ≤≤.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a 存在，求出a 的取值范围.24．已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈． （Ⅰ）不等式()0f x ≤的解集为[1,2]-，求a ，b 的值； （Ⅱ）令函数()()2xg x f =，对于任意的实数12,[1,2]x x∈，不等式()()125g x g x -≤恒成立，求a 的取值范围．25．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.26．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到243x x <+，解不等式即可.【详解】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11t t f t t t==+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1224f t t t=++≥=， 当1t t=即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即241203x x x --<+， ()()241230xx x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，分以下两种情况讨论： （1）当0m =时，可得10>，合乎题意； （2）当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<.综上所述，实数m 的取值范围是[)0,4. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.3．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【详解】1a b +=，0a >，0b >()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．B解析：B 【分析】由已知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】∵0,0,23x y x y >>+=，所以(2x+1)+y=4则()()421141141549=2152142142144x yx y x y x y x y ++++++=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=+++ 当且仅当()42121x y x y +=+且214x y ++=即18,63x y ==时取等号， 则1421x y ++的最小值是94. 故选：B ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意当0a ≠时，即函数()21f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，所以00a >⎧⎨∆<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，所以实数a 的取值范围是[0,4).故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.6．D解析：D 【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围．【详解】设()21f x ax ax =-+当0a =时，()10f x =>，满足题意 当0a ≠时，()f x 时二次函数 因为{}2|10A x ax ax =-+<=∅ 所以()21f x ax ax =-+恒大于0，即0≤所以240a a -≤，解得04a ≤≤． 【点睛】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．7．A解析：A 【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A. 【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．9．A解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立；(2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b aab +,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.10．B解析：B 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．11．C解析：C 【解析】 正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.二、填空题13．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：15【分析】由0a b ab +-=可得出1b a b =-，根据已知条件得出1b >，将1b a b =-代入所求代数式可得出()19919111b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911ba b +--的最小值. 【详解】0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1b a b ∴=-， 由010b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，()()919191919915111111b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立， 因此，1911ba b +--的最小值为15. 故答案为：15. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】不等式变形为然后利用基本不等式求得的最大值可得的最小值【详解】原不等式可化为因为所以即时等号成立又所以时等号成立所以的最大值是即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要【分析】不等式变形为a ≥的最大值，可得a 的最小值．【详解】原不等式可化为a ≥，因为222m n mn +≥，所以222222()2()m n m mn n m n +≥++=+，即m n +≤，m n =时等号成立．又0,0x y >>≤=x y =时等号成立．a ≥a【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值解析：16【分析】 由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值.【详解】原式()124493524162x y x y x y y x y x y x⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =，47y =时取等. 所以223524x y x y xy+++的最小值为16. 故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.16．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.17．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此 解析：130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >） 整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130.【点睛】 本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.18．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用 解析：k <-1或k >1.【分析】利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122x x f x ---+-=+1122222xx x x+-+=+()12122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'0f x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数， ()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数 化简得()()222322f t t f t k +-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2max g t k <，而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <-答案：1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题19．【分析】先根据一元二次方程有解得再根据函数的单调性求解即可【详解】解：方程有实根解得又在上单调递增 的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题根据条件求出k 的范围利用对勾函 解析：52【分析】先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1y k k=+的单调性求解即可. 【详解】 解：方程210(0)x kx k ++=>有实根， 240k ∴-≥，解得2k ≥， 又1y k k=+在[)2+∞，上单调递增， ∴ 1k k +的最小值是15222+=， 故答案为：52． 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．20．【分析】由可得且则利用基本不等式可求出的最小值【详解】由可得且则（当且仅当即时取=）故的最小值为故答案为：【点睛】利本题考查基本不等式求最值注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；② 解析：94【分析】由1x y +=，可得(1)(2)4x y +++=且10,20x y +>+>，则()()()112411411412412214142y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪+ +⎪⎣⎦++++++⎝+⎭⎝+⎭+，利用基本不等式可求出1412x y +++的最小值. 【详解】由1x y +=，可得()()124x y +++=且10,20x y +>+>， 则()()114114124122x y x y y x ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝+⎭++ ()11914541244412x y y x =+⎛⎛⎫ +++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝+，（当且仅当()24121x y x y =++++即12,33x y ==时取“=”）. 故1412x y +++的最小值为94. 故答案为：94. 【点睛】利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
不等式的解集 一元二次不等式的解法-2020-2021学年高一数学上学期课时同步练(人教2019必修第一册原卷版)
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
A．[－1,1)B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)
7．解不等式：1＜x2－3x＋1＜9－x.
8．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(－ ， )，求－cx2＋2x－a>0的解集．
二、拓展提升
9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是()
A. B．R
3．不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别是()
A．a＝3，b＝6B．a＝－3，b＝9
C．a＝6，b＝3D．a＝－3，b＝6
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()
A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x<解集为{x|a＜x＜b}，则不等式(x＋2)(x2－ax－b＋1)≤0的解集为()
A．(－∞，－3)
B．(－∞，－3)∪{2}
C．(－∞，2)
D．(－∞，－3]∪[－2,2]
11．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，
试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
第二单元等式与不等式
第13课不等式的解集 一元二次不等式的解法
一、基础巩固
1．不等式组 的解集是()
A. B．{x|－1＜x＜3}
C. D．{x|－1＜x}
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于()
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案求算术根，被开方数必须是非负数、解据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2、例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________、分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理、解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知例4 解下列不等式(1)(x－1)(3－x)＜5－2x(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)分析将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)、答 (1){x|x＜2或x＞4}(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式、[ ]A、{x|x＞0}B、{x|x≥1}C、{x|x＞1}D、{x|x＞1或x＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分、∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1、选C、说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解、[ ]A、(x－3)(2－x)≥0B、0＜x－2≤1D、(x－3)(2－x)≤0故排除A、C、D，选B、两边同减去2得0＜x－2≤1、选B、说明：注意“零”、[ ][(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}答选C、说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧、解先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1、解集为{x|－3＜x＜1｝、说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题、例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得A＝{x|1≤x≤4}设y＝x2－2ax＋a＋2(*)4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2、说明：二次函数问题可以借助它的图像求解、例10 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0、分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论、解1 当a＝0时，原不等式化为x－2＜0其解集为{x|x＜2}；4 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；从而可以写出不等式的解集为：a＝0时，{x|x＜2｝；a＝1时，{x|x≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏、例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集、分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系、考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：∵a＜0，∴b＞0，c＜0、解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程、且ax2＋bx ＋c＞0解为α＜x＜β，说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维、分析将一边化为零后，对参数进行讨论、进一步化为(ax ＋1－a)(x－1)＜0、(1)当a＞0时，不等式化为(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________、分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式、答填{x|x＜－1或x＞4}、例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B ＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A、(UA)∩B＝RB、A∪(UB)＝RC、(UA)∪(UB)＝RD、A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a ＞11 ∴A∪B＝R、答选D、说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
高一数学一元二次不等式试题答案及解析
高一数学一元二次不等式试题答案及解析1. 8.二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】有题意知二次函数的图象恒在轴的下方，所以开口向下，与轴没有交点，.【考点】二次函数恒成立的问题.2.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A,注意分解因式后变量系数的正负.【考点】解不等式.3.设函数，（1）若不等式的解集．求的值；（2）若求的最小值．【答案】（1）（2）9【解析】（1）由二次不等式的解集与对应方程根之间的关系可知:-1和3是方程的二实根,由此可得到关于a,b的二元一次方程组，解此方程组得到a,b的值；（2）由得到，利用基本不等式就可求得的最小值．试题解析：（1）因为不等式的解集，所以-1和3是方程的二实根，从而有：即解得：.（2）由得到,所以,当且仅当时“=”成立;所以的最小值为9．【考点】１．一元二次不等式；２．基本不等式．4.若关于的不等式的解集，则的值为_________．【答案】【解析】由题意得，为方程的两根，且由得又由得：【考点】不等式解集与方程根的关系5.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b＝________．【答案】－10【解析】由题意得：为方程的两根，且由韦达定理得：【考点】一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系6.已知集合若，则实数m的取值范围是（）【答案】当时，m的取值范围是【解析】思路分析:因为，，所以，应注意讨论或的情况。
①当时，方程无实根，只需判别式小于0.②当，时，方程的根为非负实根，利用一元二次方程根的分布加以讨论。
解:①当时，方程无实根，所以所以②当，时，方程的根为非负实根，设方程的两根为则即解得综上，当时，m的取值范围是【考点】集合的运算，不等式（组）的解法。
点评：中档题，本题易忽视的情况而出错。
当，时，注意结合二次函数的图象和性质，讨论根的分布情况。
7.不等式组的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于不等式组可知，对于，，然后求解交集得到结论为，故答案为C.【考点】不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(33)
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.若不等式x2+mx+1>0的解集为R，则m的取值范围是()A．R B．(−2，2)C．(−∞，−2)∪(2，+∞)D．[−2，2]2.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买( )吨．A．20B．30C．40D．153.已知a,b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为( )A．14B．4C．52D．34.若关于x的不等式kx2−kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是( )A．(−4,0)B．(−4,0]C．(−∞,−4)∪(0,+∞)D．(−∞,−4)∪[0,+∞)5.在R上定义运算“⊙”: a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙(x−2)<0的实数x则的取值范围为( )A．(0,2)B．(−2,1)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−1,2)6.当1≤x≤4时，若关于x的不等式2x2−8x−4−a>0有解，则实数a的取值范围是( )A．{a∣ a<−4}B．{a∣ a>−4}C．{a∣ a>−12}D．{a∣ a<−12}7.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为( )A ． 20 mB ． 50 mC ． 10√10 mD ． 100 m8. 已知 x >0，y >0，满足 x 2+2xy −1=0，则 2x +y 的最小值是 ( ) A ．√22B ． √2C ．√32D ． √39. 不等式组 {−2(x −3)>10,x 2+7x +12≤0 的解集为 ( )A ． [−4,−3]B ． [−4,−2]C ． [−3,−2]D ． ∅10. 已知 x ，y 为正实数，则 4xx+3y +3y x的最小值为 ( )A ． 53B ．103C ． 32D ． 3二、填空题（共6题） 11. 已知 m =a +1a−2(a >2)，n =22−b 2(b ≠0)，则 m n ．12. 已知 a <b ，若二次不等式 ax 2+bx +c ≥0 对任意实数 x 恒成立，则 M =a+2b+4c b−a的最小值为 ．13. 已知 a >0，b >−1，且 a +b =1，则 a 2+2a+b 2b+1的最小值为 ．14. 已知 a,b,c ∈R +，且 ab +2ac =4，则 2a +2b+2c +8a+b+2c的最小值是 ．15. 已知 a >0，b >0，则 22a+√2b的最小值为 ．16. 若正实数 a ，b 满足 a +b =4，则 1a+1+4b+1 的最小值是 ．三、解答题（共6题）17.已知a>0，b>0，且2a+b=1．求S=2√ab−4a2−b2的最大值．18.(1) 若a∈R，解关于x的不等式：(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0．(2) 若−1≤a≤2时，不等式(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0恒成立，求x的取值范围．19.已知函数f(x)=mx2−mx−1．若对于x∈[1,3]，存在x，使f(x)<5−m成立，如何求m的取值范围？20.已知不等式ax2−3x+b<0的解集为(1,2)，设函数f(x)=ax2+(c−b)x−bc．(1) 求a，b的值；(2) 求f(x)<0的解集．21.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙用砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1) 仓库底面积S的最大允许值是多少？(2) 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？22.解下列关于x的不等式．(1) log2(x2−4x)<5．(2) ax2−(a+1)x+1<0(a∈R)．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．2. 【答案】B【知识点】均值不等式的实际应用问题3. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】B【解析】当 k =0 时，0<1 恒成立，当 k ≠0 时，要使 kx 2−kx −1<0 的解集是全体实数， 只需满足 {k <0,Δ=(−k )2+4k <0,解得 −4<k <0．故实数 k 的取值范围是 (−4,0]． 【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】B【解析】根据给出的定义得 x ⊙(x −2)=x (x −2)+2x +(x −2)=x 2+x −2=(x +2)(x −1)，由 x ⊙(x −2)<0 得 (x +2)(x −1)<0，解得 −2<x <1，故该不等式的解集是 (−2,1)． 【知识点】二次不等式的解法6. 【答案】A【解析】原不等式 2x 2−8x −4−a >0 可化为 a <2x 2−8x −4，由题意，可知只需当 1≤x ≤4 时，a 小于 y =2x 2−8x −4 的最大值，易得当 1≤x ≤4 时，y =2x 2−8x −4 的最大值是 −4，所以 a <−4． 【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】设 BC =x ，则 CD =1000x，所以，S平行四边形A1B1C1D1=(x+10)(1000x+4)=1040+(4x+10000x)≥1040+2√4x⋅10000x =1440,当且仅当4x=10000x，即x=50时，取“=”号，所以当x=50时，S平行四边形A1B1C1D1最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题8. 【答案】D【解析】因为正实数x，y满足x2+2xy−1=0，所以y=12x −x2，所以2x+y=2x+12x −x2=32x+12x=12(3x+1x)≥12×2√3x⋅1x=√3,当且仅当x=√33时取等号，所以2x+y的最小值为√3，故选D．【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】A【解析】{−2(x−3)>10,x2+7x+12≤0⇒{x−3<−5,(x+3)(x+4)≤0⇒{x<−2,−4≤x≤−3⇒−4≤x≤−3.【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】D【解析】因为x，y为正实数，所以4xx+3y +3yx=41+3yx+(1+3yx)−1≥2⋅√41+3yx⋅(1+3yx)−1=3，当且仅当41+3yx =1+3yx时，即“x=3y”时“=”成立．【知识点】均值不等式的应用二、填空题（共6题）11. 【答案】>【解析】因为a>2，所以a−2>0，又因为m=a+1a−2=(a−2)+1a−2+2≥2√(a−2)⋅1a−2+2=4,当且仅当a−2=1a−2，即(a−2)2=1，又a−2>0，所以a−2=1，即a=3时取等号．所以m≥4．因为b≠0，所以b2≠0，所以2−b2<2，所以22−b2<4，即n<4，所以m>n．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】8【解析】由条件知a>0，b−a>0．由题意得Δ=b2−4ac≤0，解得c≥b24a，所以M=a+2b+4cb−a≥a+2b+4⋅b2 4ab−a=a2+2ab+b2a(b−a)=[2a+(b−a)]2a(b−a)=(b−a)2+4a(b−a)+4a2a b−a=b−aa +4ab−a+4≥2√b−aa ⋅4ab−a+4=4+4=8,当且仅当b=3a时等号成立，所以M的最小值为8．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】3+2√22【解析】a2+2a+b2b+1=a+2a+(b+1)2−2(b+1)+1b+1=a+2a+b+1−2+1b+1,又a+b=1，a>0，b+1>0，所以a+2a +b+1−2+1b+1=2a+1b+1=(2a+1b+1)(a2+b+12)=32+b+1a+a2(b+1)≥32+2√b+1a⋅a2(b+1)=3+2√22,当且仅当b+1a =a2(b+1)即a=4−2√2，b=2√2−3时取等号，所以a 2+2a+b2b+1的最小值为3+2√22．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】4【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】2【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 32【解析】因为 a >b ，b >0，且 a +b =4， 则 a +1+b +1=6， 所以 a+16+b+16=1，所以1a+1+4b+1=(1a+1+4b+1)(a+16+b+16)=16+23+2(a+1)3(b+1)+b+16(a+1)≥56+2√2(a+1)3(b+1)⋅(b+1)6(a+1)=32,当且仅当 2(a+1)3(b+1)=b+16(a+1) 时，等号成立， 即 b +1=2(a +1)，即 a =1，b =3 时，1a+1+4b+1取得最小值为 32．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】因为 a >0，b >0，2a +b =1，所以 4a 2+b 2=(2a +b )2−4ab =1−4ab ，且 1=2a +b ≥2√2ab ， 即 √ab ≤√24，ab ≤18，所以 S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab )=2√ab +4ab −1≤√2−12， 当且仅当 a =14，b =12 时，等号成立．因此，当 a =14，b =12 时，S 的最大值为 √2−12． 【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】(1) 原不等式即：[x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]≥0，方程 [x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]=0 的二根为 2−a ，4a −2a 2， 令 2−a <4a −2a 2 即 2a 2−5a +2<0，解得 12<a <2，所以当 12<a <2 时，原不等式解集为 {x∣ x ≥4a −2a 2或x ≤2−a}．令 2−a =4a −2a 2 即 2a 2−5a +2=0，解得 a =12 或 a =2， 所以当 a =12 或 a =2 时，原不等式解集为 R ．令 2−a >4a −2a 2 即 2a 2−5a +2>0，解得 a <12或 a >2，所以当 a <12或 a >2 时，原不等式解集为 {x∣ x ≥2−a 或x ≤4a −2a 2}．(2) 因为 −1≤a ≤2， 所以 0≤2−a ≤3，因为 4a −2a 2=−2(a −1)2+2， 所以 −6≤4a −2a 2≤2，所以当 −1≤a ≤2 时，2−a ，4a −2a 2 二式的最小值为 −6，最大值为 3． 所以欲使 −1≤a ≤2 时，不等式 [x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]≥0 恒成立， 应有 x ≤−6 或 x ≥3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法19. 【答案】由题意知 f (x )<5−m 有解，即 m <6x 2−x+1有解，则 m <(6x 2−x+1)max，又 x ∈[1,3]，得 m <6，即 m 的取值范围为 (−∞,6)． 【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】(1) 因为不等式 ax 2−3x +b <0 的解集为 (1,2)， 所以 1 和 2 是关于 x 的方程 ax 2−3x +b =0 的两个根， 由根与系数的关系得 {1+2=−−3a,1×2=ba ,所以 a =1，b =2．(2) 由（1）知 f (x )=ax 2+(c −b )x −bc =x 2+(c −2)x −2c ， f (x )=(x −2)(x +c )<0，不等式对应的方程的两根为 2 和 −c ． 当 c >−2，即 −c <2 时，−c <x <2； 当 c =−2，即 −c =2 时，(x −2)2<0 无解； 当 c <−2，即 −c >2 时，2<x <−c ．综上所述，当 c >−2 时，不等式的解集为 {x∣ −c <x <2}； 当 c =−2 时，不等式的解集为 ∅；当 c <−2 时，不等式的解集为 {x∣ 2<x <−c }． 【知识点】二次不等式的解法21. 【答案】(1) 设正面铁栅长 x m ，侧面长为 y m ，总造价为 z 元，则 z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy ，仓库底面积 S =yx m 2．由题意知 z ≤3200，即 4x +9y +2xy ≤320． 因为 x >0，y >0，所以 4x +9y ≥2√4x ⋅9y =12√xy ， 当且仅当 4x =9y 时，等号成立，所以 6√S +S ≤160，即 (√S)2+6√S −160≤0， 所以 0<√S ≤10， 所以 0<S ≤100．故 S 的最大允许值为 100 m 2．(2) 当 S =100 m 2 时，4x =9y ，且 xy =100． 解得 x =15，y =203．故正面铁栅长应设计为 15 m ． 【知识点】均值不等式的实际应用问题22. 【答案】(1) 因为 log 2(x 2−4x )<5，所以 {x 2−4x >0,x 2−4x <32 即 {x <0或x >4,−4<x <8,解得 −4<x <0 或 4<x <8，故不等式 log 2(x 2−4x )<5 的解集为 (−4,0)∪(4,8)． (2) ax 2−(a +1)x +1<0 等价于 (ax −1)(x −1)<0， 当 a >0 时，若 0<a <1，则 1a >1，此时 1<x <1a ； 若 a =1，则不等式为 (x −1)2<0，此时无解； 若 a >1，则1a<1，此时1a<x <1，当 a =0 时，不等式为 −x +1<0，此时 x >1； 当 a <0 时，1a<0，此时，x <−1a或 x >1，综上，当 0<a <1 时，解集为 (1,1a )；当 a =1 时，解集为 ∅； 当 a >1 时，解集为 (1a ,1)； 当 a =0 时，解集为 (1,+∞)；)∪(1,+∞)．当a<0时，解集为(−∞,−1a【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、二次不等式的解法11。
高一数学一元二次不等式解法练习题
1．三个“二次”间的关系鉴别式＝b2－ 4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞ 0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集解以下不等式x2－5x＋4≤0一元二次不等式知识梳理＞0＝0＜0 有两相异实根有两相等实根没有实1 2 1 2b 数根x ，x (x ＜x ) x1＝ x2＝－2a{ x|x＞x2x|x≠－bR 或 x＜x1} 2a{ x|x1＜x＜ x2} ? ?x(x＋11)≥3(x＋1)2(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)|x2－ 3x|＞4(x－3)(x＋2)(x－1)≥03x 72≥ 0 x2 2x 3含参不等式例 1 若 0＜ a＜ 1，则不等式 (x －a)(x －1) ＜ 0的解是 a[]A． a＜ x＜1C． x＞1或 x＜ a a aB．1＜ x＜ a D ． x＜1或 x＞ a a a例 2解对于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0例 3 若 ax2＋ bx－ 1＜0 的解集为 {x| － 1＜x ＜2} ，则 a＝________，b＝________．例 4 对于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为 (x1，x2)，且 x2－x1＝5 7 15 1515，则 a＝() A. 2 B.2 C. 4 D. 2练习解对于 x 的不等式 kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解对于 x 的不等式： ax2－2≥2x－ax(a∈R)．.考点三不等式恒建立问题【例 3】设函数 f(x)＝ mx2－mx－ 1.(1)若对于一确实数x， f(x)＜ 0 恒建立，求 m 的取值范围；(2)若对于 x∈[1， 3] ，f(x)＜－ m＋5 恒建立，求 m 的取值范围．二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式表示的平面地区(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋ C>0 在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点构成的平面地区．我们把直线画成虚线以表示地区不包含界限直线．当我们在座标系中画不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面地区时，此地区应包含界限直线，则把界限直线画成实线．(2)因为对直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 同一侧的全部点 (x，y)，把它的坐标 (x，y)代入 Ax＋By＋C，所得的符号都同样，因此只要在此直线的同一侧取一个特别点(x0，0作为测试点，由0＋0＋C 的符y ) Ax By 号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示的直线是 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面地区．2．线性规划有关观点名称意义拘束条件目标函数中的变量所要知足的不等式组线性拘束条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )构成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数对于 x， y 的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解可行域全部可行解构成的会合最优解使目标函数获得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性拘束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0 表示的平面地区必定在直线Ax＋ By＋C＝ 0 的上方． ( )(2)线性目标函数的最优解可能是不独一的．( )(3)线性目标函数获得最值的点必定在可行域的极点或界限上．()(4)目标函数 z＝ ax＋by(b≠0)中， z 的几何意义是直线ax＋ by－z＝0 在 y 轴上的截距． ()2．以下各点中，不在x＋y－1≤0 表示的平面地区内的是 ()A．(0，0) B．(－1，1) C．(－1，3) D．(2，－3)x≥0，＋－＝与不等式组y≥0，表示的平面地区的公共点有 ()3．直线 2x y 10 0x－y≥－ 2，4x＋3y≤ 20A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个x＋ y－2≥0，4．(2014 ·天津卷 )设变量 x，y 知足拘束条件x－ y－2≤0，则目标函数 z＝x＋2y 的最小值为 ()y≥ 1，A．2 B．3 C．4 D．5x＋ y－ 2≥ 0，5． (2014 ·安徽卷 )不等式组x＋ 2y－4≤0，表示的平面地区的面积为x＋ 3y－2≥0________．考点一二元一次不等式 (组)表示的平面地区x－ y≥0，2x＋y≤2，【例 1】 (1)若不等式组表示的平面地区是一个三角形，则 a 的取值范围是 ()y≥ 0，x＋ y≤a4A. 3，＋∞B．(0，1]4 4C. 1，3 D．(0，1] ∪3，＋∞x≥ 0，4(2)若不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区被直线y＝ kx＋3分为面积相等的两部分，则k 的值3x＋y≤4是()7 3A.3B.74 3C.3D.4x＋y－3≤0，【训练 1】 (1)若函数 y＝2x图象上存在点 (x，y)知足拘束条件x－2y－ 3≤ 0，则实数 m 的最大值x≥m，1 3为()A. 2 B．1 C.2 D．2x＋ y－ 1≥ 0，(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x－ 1≤ 0， (a 为常数 )所表示的平面地区的面积等于 2，ax－y＋1≥ 0则 a 的值为 ()A．－5 B．1 C．2 D．3考点二 简单线性目标函数的最值问题x ＋y －1≥0，【例2】 (1)(2014 新·课标全国 Ⅱ卷 设 ， 知足拘束条件x －y －1≤0，)x yx －3y ＋ 3≥ 0，则 z ＝x ＋2y 的最大值为 ()A ．8B ．7C ．2D ．1(2)(2014 ·新课标全国 Ⅰ 卷)设 x ，y 知足拘束条件x ＋y ≥a ， x －y ≤－ 1，(3)且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为 7，则 a ＝ () A ．－5 B ．3C ．－5 或 3D ．5 或－ 33x －5y ＋6≥0， 【训练 2】 (1)(2015 潍·坊模拟 )若 x ， y 知足条件 2x ＋3y －15≤ 0，y ≥0，当且仅当 x ＝y ＝3 时， z ＝ax ＋y 取最大值，则实数 a 的取值范围是 ()2 3A ．(－3，5)3 2B ．(－∞，－ 5)∪(3，＋∞ )3 2C ．(－5，3)2 3D ．(－∞，－ 3)∪(5，＋∞ )y ≤x ，(2)(2014 ·湖南卷 )若变量 x ，y 知足拘束条件 x ＋y ≤4，y ≥1，则 z ＝2x ＋y 的最大值为 ________．考点三 实质生活中的线性规 划问题【例 3】 某旅游社租用 A ，B 两种型号的客车安排36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 ()A ．31 200 元B ．36 000 元C ．36 800 元D ．38 400 元900 名客人旅游， A ，B 两种车辆的载客量分别为辆，旅游社要求租车总数不超出 21辆，且 B 型微型专题 非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式 (组)表示的平面地区有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要联合给定代数式的几何意义来达成．常有代数式的几何意义：(1) x 2＋y 2表示点 (x ，y)与原点 (0，0)的距离；(2) （ x －a ）2＋（ y －b ）2 表示点 (x ，y)与点 (a ，b)之间的距离； (3)|Ax ＋ By ＋C|表示点 (x ， y)到直A 2＋B 2yy －b线 Ax ＋By ＋ C ＝0 的距离； (4)x 表示点 (x ，y)与原点 (0，0)连线的斜率； (5)x －a 表示点 (x ，y)与点 (a ， b)连线的斜率．x － y ＋1≤0，】 实数x ， y 知足 x ＞ 0，【例 4y ≤ 2.y(1)若 z ＝ x ，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围；(2)若 z ＝ x 2＋y 2，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围．基础稳固题组y≤－ x＋2，1． (2015 ·泰安模拟 )不等式组y≤x－1，y≥01 1 1A．1 B.2 C.3 D. 42． (2014 ·湖北卷 )若变量 x， y 知足拘束条件所表示的平面地区的面积为()x＋y≤4，x－y≤2，则2x＋y的最大值是() x≥0，y≥0，A．2 B．4 C．7 D．83．(2013 ·陕西卷 )若点 (x，y)位于曲线 y＝|x|与 y＝2 所围成的关闭地区，则 2x－ y 的最小值为 () A．－6 B．－ 2 C．0 D．2y≤1，4．(2014 ·大连模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组x＋y－2≥0，所表示的平面地区上x－y－ 1≤ 0一动点，则直线 OP 斜率的最大值为 ( )1 1A．2 B．1 C.2 D.3x－y≥1，5． (2015 ·济南模拟 )已知变量 x，y 知足拘束条件x＋y≥1，目标函数z＝x＋2y，的最大值为 101＜x≤a，则实数 a 的值为 ( )8A．2 B.3 C．4 D． 8能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )x＋y－ 7≤ 0，11．(2014 ·福建卷 )已知圆 C： (x－a)2＋(y－b)2＝1，平面地区Ω：x－y＋ 3≥ 0，若圆心C∈Ω，y≥0.且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋ b2的最大值为 ()A．5 B．29C．37 D．49分析由已知得平面地区Ω为△MNP内部及界限．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.明显当圆心C位于直线 y＝ 1 与 x＋y－7＝ 0 的交点 (6， 1)处时， a max＝6.∴a2＋ b2的最大值为 62＋12＝ 37.应选 C.答案 Cx－y＋2≥0，12．已知实数x， y 知足不等式组x＋y－4≥0，若目标函数2x－y－5≤0，z＝ y－ ax 获得最大值时的独一最优解是 (1， 3)，则实数 a 的取值范围为( )A．(－∞，－C．[1，＋∞ ) 1) B．(0，1) D．(1，＋∞ )分析作出不等式组对应的平面地区 BCD，由 z＝ y－ ax，得 y＝ax＋z，要使目标函数 y＝ ax＋z仅在点 (1，3)处取最大值，则只要直线 y＝ax＋ z 仅在点 B(1，3)处的截距最大，由图象可知 a＞k BD，因为k BD＝ 1，因此 a＞ 1，即 a 的取值范围是 (1，＋∞)．答案 Dx ＋4y ≥4，13．(2013 ·广东卷 )给定地区 D ： x ＋y ≤4， 令点集 T ＝{( x 0，y 0)∈D|x 0， y 0∈Z ，(x 0，y 0)是 z ＝xx ≥0.＋y 在 D 上获得最大值或最小值的点 } ，则 T 中的点共确立 ________条不一样的直线．分析 线性地区为图中暗影部分，获得最小值时点为 (0，1)，最大值时点 为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)， (4，0)，点 (0，1) 与(0， 4)，(1，3)， (2， 2)， (3，1)， (4，0)中的任何一个点都能够构成一 条直线，共有 5 条， 又(0， 4)，(1，3)， (2，2)， (3，1)，(4， 0)都在直线 x ＋y ＝4 上，故 T 中的点共确立 6 条不一样的直线． 答案 6x － 4y ＋3≤0， 14．变量 x ，y 知足 3x ＋5y － 25≤0，x ≥ 1.y(1)设 z ＝ x ，求 z 的最小值； (2)设 z ＝ x 2＋y 2，求 z 的取值范围；(3)设 z ＝ x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求 z 的取值范围．x － 4y ＋3≤0，解 由拘束条件 3x ＋5y －25≤ 0，作出， 的可行域如图暗影部分所示．(x y)x ≥ 1.x ＝ 1，22 由 3x ＋5y － 25＝0，解得A 1， 5.x ＝ 1，由解得 C(1，1)．x － 4y ＋3＝0，x － 4y ＋3＝0，由解得 B(5，2)．3x ＋5y － 25＝0，y ＝ y －0O 连线的斜率．察看图形可知 min＝k OB2(1)∵ z ＝x x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点 z ＝5.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．联合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min＝|OC|＝2， d max＝|OB|＝29.故 z 的取值范围是 [2，29]．(3)z＝x2＋y2＋ 6x－4y＋ 13＝(x＋ 3)2＋ (y－2)2的几何意义是可行域上的点到点 (－3，2)的距离的平方．联合图形可知，可行域上的点到 ( － 3 ， 2) 的距离中， d min＝ 1 － ( － 3) ＝ 4 ， d max＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8.故 z 的取值范围是 [16，64].。
人教A新版必修1《第2章_一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷(三)
人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1. 某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种，A型号的帐篷比B 型号少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）若a>b，且1a >1b，则ab<0；（2）若c>a>b>0，则ac−a ________bc−b；（3）若a>b>c>0，则ab ________a+cb+c．3. （1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 3. （2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？4. 求下列不等式的解集：（1）14−4x2≥x；（2）x2−14x+45≤0；（3）x2+6x+10>0；（4）x(x+2)>x(3−x)+1．5. 已知a，b>0，ab＝a+b+3，求ab的取值范围．<0对一切实数x都成立？6. 当k取什么值时，一元二次不等式2kx2+kx−387. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题，请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照如表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由．9. 2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．10. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济．参考答案与试题解析人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1.【答案】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．【考点】二元一次不等式的几何意义【解析】根据条件利用二元一次不等式进行表示即可．【解答】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．2.【答案】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；>>【考点】不等式的基本性质【解析】（1）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（2）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（3）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；若c>a>b>0，则ac−a −bc−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)>0，∴ac−a >bc−b；若a>b>c>0，则ab −a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0，∴ab >a+cb+c．3.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；（2）由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．4.【答案】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤74；]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −12【考点】其他不等式的解法【解析】根据一元二次不等式的解法，分别解出即可．【解答】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤7；4]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −125.【答案】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．【考点】基本不等式及其应用【解析】将式子中的a+b用ab表示，再解不等式求出范围即可．【解答】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．6.【答案】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．【考点】一元二次不等式的应用【解析】先分类讨论：当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，利用二次函数的性质求解，，要y<0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，令y=2kx2+kx−38且△<0，解不等式即可得到k的取值范围．【解答】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．7.【答案】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．【考点】根据实际问题选择函数类型不等式比较两数大小【解析】（1）设窗户面积为x，列出不等式组，解出x的范围即可；（2）根据作差法比较大小即可．【解答】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．8.【答案】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．【考点】四种命题的定义【解析】根据等式的性质类比得出不等式的性质，再判断它们的真假性即可．【解答】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．9.【答案】(0<x<10√2)，设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴y=200−x24x∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000， 当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）先设DQ ＝y ，又AD ＝x ，根据由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型地域得出y 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可． 【解答】设DQ ＝y ，又AD ＝x ，则x 2+4xy ＝200，∴ y =200−x 24x(0<x <10√2)，∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000， 当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．10.【答案】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是： x =p 1n+p 2n2n=p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购mp 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2mm p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格： x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 12(p 1+p 2)=(p 1−p 2)22(p1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济． 【考点】根据实际问题选择函数类型试卷第11页，总11页 【解析】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购m p 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．用做差法比较两次购物时的平均价格发现第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．【解答】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品， 第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品， 两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格：x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 112 =(p 1−p 2)22(p 1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．。
高一数学一元二次不等式解法练习题及解答
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01aA a xB x a．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()(2){x|1x }≤≤32(3)∅例不等式＋＞的解集为5 1x 11-xC ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0故排除A 、C 、D ，选B ．两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．[ ]解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32C ．≥230--xx 解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解 先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -例解不等式≥．8 237232x x x -+-3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a ＝1时，{x|x ≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a {x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a {x|x 2x }＜或＞；2a5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a {x|x x 2}＜或＞．2aa 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．22．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即md k=，其中d 是距离（单位cm ），m 是质量（单位g ），k 是弹簧系数（单位g/cm ）．弹簧系数分别为1k ，2k 的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+，并联时得到的弹簧系数k 满足12k k k =+．已知物体质量为20g ，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ） A ．1cm 4B ．1cm 2C ．1cmD ．2cm3．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ） A．a v <<B．v <C2a bv +<<D ．2abv a b=+ 4．若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为（ ） A ．1B ．38C ．37D ．135．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12B ．224a b +有最小值12C ．ab 有最小值18 D ．224a b +有最大值146．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2463450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,15B ．[]2,8C ．[)2,8D ．[)2,15 7．下列命题中是真命题的是（ ）A．y =的最小值为2；B ．当a ＞0，b ＞0时，114a b++；C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.8．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，则关于x 的不等式22028x px qx x ++>--的解集是（ ） A ．()2,3 B ．()(),24,-∞-+∞C ．()()2,23,4-D ．()()(),22,34,-∞-+∞9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则a 的最小值为（ ）A ．4B ．4+C ．8D ．8+10．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >11．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>+的解集为( )A ．(,1)(1,2)-∞-⋃B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(,1)(0,2)-∞-⋃D ．(0,1)(2,)+∞二、填空题13．已知3x <，则函数4()3f x x x =+-的最大值是________. 14．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是_______.①112ab >；②228a b +≥；2≥；④111a b+≥. 15．已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.16．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．17．已知实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 18．若ad bc ≠，则()()2222a b cd ++__________()2ac bd +.（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）19．设函数1e exx y a =+-的值域为A ，若[)0,A ⊂+∞，则实数a 的取值范围是________．20．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231a ab+的最小值为__________，此时a 的值为__________.三、解答题21．设2()(1)2f x x a x a =--+-.（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <(a R ∈).22．已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == （1）求()f x 的解析式；（2）若[],1x t t ∈+，试求()y f x =的最小值. 23．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求11x y+的最小值.24．已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈． （Ⅰ）不等式()0f x ≤的解集为[1,2]-，求a ，b 的值； （Ⅱ）令函数()()2xg x f =，对于任意的实数12,[1,2]x x∈，不等式()()125g x g x -≤恒成立，求a 的取值范围．25．设m ∈R ，不等式()()231210mx m x m -+++>的解集记为集合P .（1）若{}12P x x =-<<，求m 的值； （2）当0m >时，求集合P .26．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}． （1）当a=1时，求集合UA B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和22x y +的最小值.【详解】设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=，由基本不等式可得222x y xy +≥，所以，()()22222221x yxy xy x y +≥++=+=，所以，2212x y +≥，当且仅当12x y ==时，等号成立，因此，两个正方形的面积之和22x y +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．A解析：A 【分析】先利用串联列关系()121220k k k k +=，结合基本不等式求得12k k +最小值，再利用并联关系得到12k k k '=+最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可. 【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为1k ，2k ，串联时弹簧系数为k ，并联时弹簧系数为k '. 两个弹簧串联时，由m d k =知，20201m k d ===，则12111k k k =+即12121211120k kk k k k +=+=， 即()()2121212204k k k k k k ++=≤，故1280k k +≥，当且仅当1240k k ==时等号成立，两个弹簧并联时，12k k k '=+，拉伸距离12m m d k k k '==+'，要是d '最大，则需12k k k '=+最小，而1240k k ==时()12min 80k k +=，故此时d '最大，为284001m d k '==='cm. 故选：A. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．C解析：C 【分析】根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s sa b+， 22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.4．D解析：D 【分析】已知等式变形为411x y+=，然后用“1”的代换求出x y +的最小值即可得．【详解】∵x ，y 均为正数，40x y xy +-=，∴411x y+=，∴414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即6,3x y ==时等号成立，∴33193x y ≤=+，所求最大值为13． 故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24a b ==， 所以ab 有最大值18，所以A ，C 错误； 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24a b ==， 所以224a b +有最小值12，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．A解析：A 【分析】先由不等式[][]2463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[]x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】不等式[][]2463450x x -+<即为[]()[]()43150x x --<，解得[]3154x <<， 则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[]x 的取值，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项，C选项可设,a b αα==，利用三角函数的值域求范围. 【详解】 A 选项，222x +≥0>，∴2y =≥==，即221x +=±时成立，又222x ≥+，故A 错；B 选项，当a ＞0，b ＞0时，1124a b +++≥⨯=，当且仅当1a b =⎧=，即1a b ==时等号成立，B 正确；C选项，设,a b αα==，则2sin 24a b πααα⎛⎫+==+≤ ⎪⎝⎭，C 正确；D 选项，2a b +=，()212192a b ⎡⎤⎛⎫∴+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()121252229291111++4+22442+2242a b a b a b a b a b ⎛⎫+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛ ≥⨯+= ⎝⎭，当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立，解得1a b ==，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，利用韦达定理得到5,6p q =-=，则不等式22028x px q x x ++>--转化为 2256028x x x x -+>--，再利用穿根法求解.【详解】因为关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<， 所以由韦达定理得：5,6p q =-=，所以22028x px q x x ++>--，即为2256028x x x x -+>--，即为()()()()23042x x x x -->-+，即为()()()()23420x x x x ---+>用穿根法得不等式的解集为：()()(),22,34,-∞-+∞，故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.9．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到1tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将a +转化为4ta n a αα=++利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+an α=，即4πα=时取等号，故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．C解析：C 【分析】根据不等式及解集,可得2b a =-,将不等式201ax bxx +>+化简后,结合穿根法即可求得解集.【详解】关于x 的不等式0ax b ->变形可得ax b >,因为其解集为(),2-∞- 所以0a <,且2ba=- 关于x 的不等式201ax bxx +>+变形可得201b a x x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+ 即()2120a x x x >+-,所以()120ax x x >+-因为0a <,不等式可化为()120x x x <+-可化为()()210x x x -+< 利用穿根法可得1x <-或02x << 即()(),10,2x ∈-∞-⋃ 故选:C 【点睛】本题考查了含参数的不等式解法,注意不等式的符号变化,属于中档题.二、填空题13．【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛：均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正：的范围要为正 解析：1-【分析】配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，再用利用均值不等式直接求解． 【详解】 因为3x <，所以()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣⎦.当且仅当43=3x x --，即1x =时等号成立， 故答案为: 1- 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”． 一正：,a b 的范围要为正值二定：当,a b 为大于零的变量，那么a b +、最值．三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．14．②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可【详解】解：且即当且仅当时取等号故选项①错误；当且仅当时取等号选项②正确；即选项③错误；当且仅当时取等号选项④正确故答案为：②④【点睛】利用基本不等式求最解析：②④ 【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可． 【详解】解：0a >，0b >，且4a b +=，42a b ab ∴+=，即4ab ，当且仅当2a b ==时取等号，∴114ab，故选项①错误； 222()82a b a b++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项②正确；42a b ab +=，即2，∴选项③错误；1111111()()(2)(221444b a a b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项④正确， 故答案为：②④． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】由题意可得利用基本不等式可求得的最小值由此可求得实数的取值范围【详解】由于不等式对任意实数恒成立则由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利解析：(),1-∞【分析】由题意可得3231x x k -<+⋅-，利用基本不等式可求得3231x x -+⋅-的最小值，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.16．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题【分析】由49abc a b =+得出94c a b=+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.17．32【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得解得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比解析：32 【分析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b aa b a b a b a b +=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32. 故答案为：32.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．＞【分析】作差分析差的正负即可求解【详解】因为又所以所以故答案为：>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小考查了运算能力属于解析：＞ 【分析】作差，分析差的正负即可求解. 【详解】 因为()()()22222a b c d ac bd ++-+()()2222222222222a c a d b c b d a c b d acbd +=+++-+22222b c a d abcd =+-20(bc ad )=-≥，又ad bc ≠所以2()0bc ad ->所以()()22222()a bcd ac bd ++>+，故答案为：> 【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题.19．【解析】因为a 所以则 解析：(,2]-∞【解析】 因为1e 2exx y a =+-≥-a ,所以[)[)2,0,,A a =-+∞⊂+∞则20,2a a -≥≤. 20．6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得：所以即的最小值为6此时故答案为：6；【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关解析：6 13【分析】首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】1a b +=，()21a b ∴+=所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a+++++===++，44a b b a +≥=，当4a b b a =时，等号成立，即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：12,33a b ==， 所以231426a ab+≥+=，即231a ab+的最小值为6，此时13a =.故答案为：6；13【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()21a b =+变形，化简.三、解答题21．（1）33a -≤≤+2）答案见解析. 【分析】（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．（2）不等式变形为[(2)](1)0x a x ---<，根据2a -和1的大小分类讨论得解集． 【详解】解：（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥对于一切实数x 恒成立.所以20(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+（2）不等式()0f x <等价于2(1)20[(2)](1)0x a x a x a x --+-<⇔---<.当21a ->即3a >时，不等式可化为12x a <<-，不等式的解集为{}12x x a <<-； 当21a -=即3a =时，不等式可化为2(10)x -<，不等式的解集为∅； 当21a -<即3a <时，不等式可化为21a x -<<，此时{}21x a x -<<. 综上所述：当3a <时，不等式的解集为{}21x a x -<<； 当3a =时，不等式的解集为∅；当3a >时，不等式的解集为{}12x x a <<-. 【点睛】本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类．22．（1）2()43f x x x =-+；（2）2min 243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式；（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解. 【详解】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(1)8f -=，且(0)(4)3f f ==，则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， 于是二次函数解析式为：2()43f x x x =-+（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，若2t ≥，则()f x 在[],1t t +上单调递增，所以2min ()()43f x f t t t ==-+；若12t +≤，即1t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-；若21t t <<+，即12t <<时，2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上，2min 243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 23．无24．无25．无26．无。
一元二次函数、方程和不等式单元测试卷及答案解析
高一上学期数学单元测试卷一元二次函数、方程和不等式考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1.不等式≥的解集是 【 】（A）（B）（C）（D）2.设,,则M与N的大小关系是【】（A）（B）M ≥ N（C）（D）M ≤ N3.已知实数,则以下不等关系正确的是【】（A）（B）（C）（D）4. “”是“一元二次不等式恒成立”的【】（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5.已知,且,则的最小值为【】（A）5 （B）6 （C）7 （D）86.不等式组的解集为【】（A）（B）（C）（D）7.已知R,则下列说法中错误的是【】（A）≥（B）（C）（D）8.设正数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值是【】（A）0 （B）1 （C）（D）3二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9.已知不等式的解集为,则下列结论正确的是【】（A）（B）（C）（D）10.设为非零实数,且,则下列不等式恒成立的是【】（A）（B（C）（D）11.给出下列四个条件: ①; ②; ③; ④.其中能成为的充分条件的是【】（A）①（B）②（C）③（D）④12.若,且,则下列不等式恒成立的是【】（A）≥8 （B）≥（C）≥2 （D）≤1第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13.已知,同时成立,则应满足的条件是__________.14.若不等式的解集为,则__________,_________.（本小题第一空2分,第二空3分）15.已知函数对任意实数,函数值恒大于零,则实数的取值范围是_____________.16.已知,不等式≥0对一切实数恒成立.若R,成立,则的最小值为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）解下列不等式（组）:（1）;（2）≤.18.（本题满分12分）已知,且（1）求的最小值;（2）是否存在,使得的值为?并说明理由.19.（本题满分12分）已知命题R ,,命题R ,.（1）若命题为真命题,求实数的取值范围;（2）若命题为真命题,求实数的取值范围;（3）若命题至少有一个为真命题,求实数的取值范围.20.（本题满分12分）如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D 在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?（2）当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.21.（本题满分12分）设.（1）若不等式≥对一切实数恒成立,求实数的取值范围;（2）解关于的不等式（R）.22.（本题满分12分）某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q（万件）与广告费（万元）之间的关系式为（≥0）.已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.（1）试写出年利润W（万元）与年广告费（万元）的关系式;（2）当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?高一上学期数学单元测试卷一元二次函数、方程和不等式答案解析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1.不等式≥的解集是 【 】（A）（B）（C）（D）答案 【 D 】解析本题考查一元二次不等式的解法,属于基础题.∵≥,∴0,∴≥0,解之得:≤0或≥2.∴原不等式的解集为.∴选择答案【 D 】.2.设,,则M与N的大小关系是【】（A）（B）M ≥ N（C）（D）M ≤ N答案 【 A 】解析本题考查作差法比较大小.利用作差法比较大小的一般步骤为:（1）作差;（2）变形: 对差进行变形.（3）判号: 判断差的符号（如果差中含有参数,则需要进行分类讨论）.（4）定论: 根据差的符号作出大小判断.即: 作差变形判号定论.作差法的关键在于变形,常用的变形为:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.∵,∴∵R,恒成立,∴.∴.∴选择答案【 A 】.3.已知实数,则以下不等关系正确的是【】（A）（B）（C）（D）答案 【 C 】解析本题宜采用特殊值法比较大小.∵,取∴.∵∴.∴选择答案【 C 】.4. “”是“一元二次不等式恒成立”的【】（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件答案 【 B 】解析本题考查充分必要条件的判断.方法总结 判断充分必要条件的基本思路（1）先确定条件是什么,结论是什么;（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件;（必要时举出反例）（3）指出条件是结论的什么条件.若一元二次不等式恒成立,则有:.显然,由“”不能推出“一元二次不等式恒成立”,但是由“一元二次不等式恒成立”可以推出“”.∴“”是“一元二次不等式恒成立”的必要不充分条件.∴选择答案【 B 】.5.已知,且,则的最小值为【】（A）5 （B）6 （C）7 （D）8答案 【 A 】解析本题考查利用基本不等式求最值.注意利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正、二定、三相等.∵,且∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为5.∴选择答案【 A 】.另解 ∵,∴.∴≥.当且仅当,即,等号成立.∴的最小值为5.∴选择答案【 A 】.6.不等式组的解集为【】（A）（B）（C）（D）答案 【 C 】解析本题考查一元二次不等式的解法.解不等式得:;解不等式得:.∴不等式组的解集为.∴选择答案【 C 】.7.已知R,则下列说法中错误的是【】（A）≥（B）（C）（D）答案 【 D 】解析本题考查不等式的基本性质.对于（A）,当时,∵,∴;当时,显然.∴≥,故（A）正确;对于（B）,∵,∴,∴.故（B）正确;对于（C）,∵,∴.∵,∴.∴,∴.根据倒数法则,有.故（C）正确;对于（D）,由不能得到,∴不一定成立.故（D）错误.∴选择答案【 D 】.8.设正数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值是【】（A）0 （B）1 （C）（D）3答案 【 B 】解析本题考查基本不等式的应用.∵,∴.∵为正数∴≤.当且仅当,即时,等号成立.此时.∴∴当,即时,.∴选择答案【 B 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9.已知不等式的解集为,则下列结论正确的是【】（A）（B）（C）（D）答案 【 BCD 】解析本题考查一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系.要明白一元二次不等式的解集的端点值就是对应一元二次方程的实数根.∵不等式的解集为∴,方程的两个实数根分别为.由根与系数的关系定理可得:,∴,∴异号,异号且互为相反数.∵,∴,.∴.故（A）错误,（B）、（C）、（D）正确.∴选择答案【 BCD 】.10.设为非零实数,且,则下列不等式恒成立的是【】（A）（B）（C）（D）答案 【 CD 】解析本题考查不等式的基本性质.∵为非零实数,且,∴.对于（A）,,当时,,即;当时, ,即.故不恒成立;对于（B）,,∴的符号,即的大小关系取决于的符号,共有三种可能,特别地,当互为相反数时,,,此时,故不恒成立;对于（C）,,故恒成立;对于（D）,,故恒成立.（∵为非零实数,∴恒成立）∴选择答案【 CD 】.11.给出下列四个条件: ①; ②; ③; ④.其中能成为的充分条件的是【】（A）①（B）②（C）③（D）④答案 【 AD 】解析本题考查不等式的基本性质.对于（A）,显然.∵,∴,∴.故是的充分条件;对于（B）,当时,,∴.当时,,∴.故不是的充分条件;对于（C）,,当,即时,.故不是的充分条件;对于（D）,∵,∴,∴,∴.故是的充分条件.∴选择答案【 AD 】.12.若,且,则下列不等式恒成立的是【】（A）≥8 （B）≥（C）≥2 （D）≤1答案 【 AB 】解析本题考查基本不等式的应用.对于（A）,∵,,∴≥,当且仅当时取等号,故（A）恒成立;（重要结论: ≤≤）对于（B）,∵,,∴≤,当且仅当时取等号,∴≥.故（B）恒成立.对于（C）,∵,,∴≤,故（C）不恒成立;对于（D）,∵,,∴,≥,当且仅当,即时取等号.故（D）不恒成立.∴选择答案【 AB 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13.已知,同时成立,则应满足的条件是__________.答案 或解析本题考查分式不等式的解法.∵,∴,整理得:.它同解于不等式.∵,∴.∴,∴或.∴应满足的条件是或.14.若不等式的解集为,则__________,_________.（本小题第一空2分,第二空3分）答案 .解析本题考查一元二次不等式与相应一元二次方程的关系.∵不等式的解集为∴,一元二次方程的两个实数根分别为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.∴.15.已知函数对任意实数,函数值恒大于零,则实数的取值范围是_____________.答案解析本题考查与一元二次函数、一元二次不等式有关的恒成立问题.本题即R恒成立.令,解之得:.当时,对R恒成立,符合题意;当时,,其解集不是R,不符合题意;当,时,则有:,解之得:.综上所述,实数的取值范围是.16.已知,不等式≥0对一切实数恒成立.若R,成立,则的最小值为__________.答案解析本题考查一元二次不等式恒成立问题、利用基本不等式求最值.∵不等式≥0对一切实数恒成立（显然,）∴,∴≥1.∵R,成立∴方程有实数根.∴≥0,∴≤1.∵≥1,≤1,∴.∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）解下列不等式（组）:（1）;（2）≤.解:（1）解不等式得:或;解不等式得:.∴原不等式组的解集为;（2）原不等式可化为.解不等式≥得:≥3或≤;解不等式18得:∴原不等式的解集为.18.（本题满分12分）已知,且.（1）求的最小值;（2）是否存在,使得的值为?并说明理由.解:（1）∵,∴≥,∴≤.当且仅当时,等号成立.∴≥≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为;（2）∵∴≥当且仅当,即时,等号成立.∵≤∴≥.当且仅当时,等号成立.∴.∵∴不存在,使得的值为.19.（本题满分12分）已知命题R,,命题R,.（1）若命题为真命题,求实数的取值范围;（2）若命题为真命题,求实数的取值范围;（3）若命题至少有一个为真命题,求实数的取值范围.解:（1）∵命题为真命题∴R,恒成立.∴,解之得:.∴实数的取值范围为;（2）∵命题为真命题∴函数有部分图象位于轴下方,即函数图象与轴有两个不同的交点,也即一元二次方程有两个不相等的实数根.∴,解之得:或.∴实数的取值范围为;（3）∵命题至少有一个为真命题∴实数的取值范围为20.（本题满分12分）如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D 在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?（2）当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.解:（1）设米,则米.∵∴△NDC∽△NAM.∴∴米.∵矩形AMPN的面积大于32平方米,∴,整理得:.解之得:或.∴DN 的长的范围为;（2）设矩形花坛AMPN的面积为平方米,则有:≥.当且仅当,即时,等号成立,取得最小值.∴（平方米）.答:当DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,为24平方米. 21.（本题满分12分）设.（1）若不等式≥对一切实数恒成立,求实数的取值范围;（2）解关于的不等式（R）.解:（1）∵≥对一切实数恒成立,∴R,≥0恒成立.当时,≥0,不符合题意;当时,则有:,解之得:≥.综上所述,实数的取值范围是;（2）∵（R）∴∴.当时,,解之得:,∴原不等式的解集为;当时,原不等式可化为.当时,,原不等式同解于,∴原不等式的解集为;当时,原不等式同解于:若,则,∴原不等式的解集为;若,则,,∴原不等式的解集为;若,则,∴原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.22.（本题满分12分）某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q（万件）与广告费（万元）之间的关系式为（≥0）.已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.（1）试写出年利润W（万元）与年广告费（万元）的关系式;（2）当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?解:（1）由题意可得,每年产品的生产成本为万元,每万件的销售价为:万元,即万元.∴该企业的年销售收入为万元.∴（≥0）（万元）;（2）∵（≥0）∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴（万元）.答: 当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为48万元.。
第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A卷——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册含答
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A 卷（答卷时间：40分钟，满分：100分）一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知a b >,c R Î则下列结论正确的是（ ）A ．22a b > B ．22ac bc > C ．a c b c +>+ D ．ac bc<2.若0x >,则1x x +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．43.不等式2230x x --<的解集为（ ）A ．{}|31x x -<< B ．{}|13x x -<<C ．{}|13x x x <->或D ．{}|31x x x <->或4.已知01x <<,则(1)x x -的最大值为（ ）A ．13 B ．12 C ．14 D ．235.已知25,1,4A x B x =+=+则A 和B 的大小关系是（ ）A ．A B > B ．A B < C ．A B ³ D ．无法确定6.已知不等式230ax bx +->的解集为{}|13x x <<,则a b -=（ ）A ．3- B ．1- C ．3 D ．5-7.若1x >,则函数411y x x =-+-取得最小值时x 的值为 （）A ．2B ．32C ．3D ．4二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)8. 设,a b 为任意两个非零实数,那么“不等式11a b<成立”的一个充分不必要条件是 ( )A ．0a b <<B ．0a b -<C ．0a b >>D ．a b>9.已知0,0,a b >>下列说法一定成立的是 （ ）A ．222a b ab +³2a b+£C ．a b +> D.22433a a +++（）的最小值为410.对于任意实数x ,不等式230x ax -+>恒成立,则实数a 可以是 （ ）A ．2B ．3C ．D ．4三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中14题第一个空2分，第二个空3分）11.不等式201x x ->+的解集是________.12.已知0,a >1,a b +=则a b a a ++的最小值是________.13.设,,a b c R Î则“a b >”是“22ac bc >”的_______________条件.14.已知0,0,m n >>且m 和n 的算术平均数不小于它们的几何平均数，则此不等关系的表达式为______________,8m n +=时,mn 的最大值为____________.四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.解下列一元二次不等式（1）23100x x -->； （2）22950x x --+>.16.已知,x R Î21,4M x =+N x =,比较M 和N 的大小关系，写出详细过程.17. 若0,a b >>0c d <<求证：（1）11a b<; （2）a c b d->-第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A 卷参考答案一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.C.解析：A 选项中当22()()a b a b a b -=+-无法判断a b +的正负所以无法确定2a 与2b 的大小关系,另外也可以根据不等式的性质中只有满足条件0a b >³,才能得到22a b >因此A 错误；B 选项中当0c =时22ac bc =,0c ¹时22ac bc >,因此B 错误；C 选项中由于a b >,不等式两边同时加上同一实数c ,不等号的方向不变（同向可加性）因此C 正确；D 选项中由于不清楚实数c 的正负,无法通过a b >得到ac 和bc 的大小关系, 故选C.2.A.解析：基本不等式：0,0a b >>2a b +£,当且仅当a b =时等号成立.其中式子2a b +£可变形为a b +³.由于0x >则10x >,因此1x x +³即12x x +³, 当且仅当1x x =即1x =时12x x +=,等号成立,所以1x x +的最小值为2, 故选A.（注意利用基本不等式求最大值或最小值需要满足的条件）3.A.解析：解一元二次方程2230x x --=得1213x x =-=，, 且二次函数223y x x =--的图象开口向上,由此该二次函数的图象如图.通过对该函数图象的观察,得到不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故选A. （注意借助二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系,是求解一元二次不等式的一般性方法）.x02a b +£,当且仅当a b =时等号成立.变形得2()2a b ab +£.由01x <<可知0x >,10x ->,则211(1)(24x x x x +--£=,当且仅当1x x =-即12x =时等号成立,所以当12x =时1x x =-有最大值14,故选C.5.C. 分析：比较两项的大小关系，在性质特征不是很明显的情况下通常采用作差法,如果不能直接看出差值与0的大小关系,可将作差的结果进行适当变形,从而得出结论. 解析：22251110442A B x x x x x -=+-+-+=-³（）=（）,所以0A B -³,因此A B ³,故选C.6.D. 解析：因为不等式230ax bx +->的解集为{}|13x x <<,所以1和3是方程230ax bx +-=的两个解.解法一：将1x =和3x =分别代入230ax bx +-=得{2211303330a b a b +-=+-=g g g g 即{309330a b a b +-=+-=解得{14a b =-=所以5a b -=-,故选D.解法二：方程230ax bx +-=的两个解1和3,说明方程230ax bx +-=是一元二次方程, 0a ¹,则可利用根与系数的关系得到方程组13313ba a +=--´=-ìíî解得{14a b =-=所以5a b -=-,故选D.7.C. 解析：1x >则410,01x x ->>-,所以4141y x x =-+³=-,当且仅当且仅当411x x -=-,即3x =时411y x x =-+-取得最小值4, 所以411y x x =-+-取得最小值时3x =,故选C.二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)8.AC.思路：题中考查选项中哪几个是“不等式11a b <成立”的充分不必要条件,则该条件成立时可以推出11a b <,而当11a b<成立时无法推出该条件成立.本题考查不等式相关知识，因此注重利用不等式性质及作差法的运用技巧.解析：A 选项,充分性：当0a b <<成立时11a b <也成立,因此充分性成立；必要性：当11a b<成立时无法判断0a b <<成立,因此必要性不成立.所以 “0a b <<”是“不等式11a b<成立”的充分不必要条件. B 选项,充分性：当0a b -<成立时11b a a b ab --=,由于无法确定ab 的符号,因此无法确定11a b<是否成立,因此充分性不成立；必要性：当11a b <成立时110b a a b ab--=<,由于无法确定ab 的符号,无法判断0a b -<成立,因此必要性不成立.所以 “0a b -<”是“不等式11a b<成立”的既不充分也不必要条件.C 选项,充分性：当0a b >>成立时10,ab>利用不等式的性质可知11,a b ab ab >g g 因此11b a >,即11a b <成立,因此充分性成立；必要性：当11a b<成立时无法判断0a b >>成立,因此必要性不成立.所以 “0a b >>”是“不等式11a b<成立”的充分不必要条件. D 选项,充分性：1111,,a b ab b ab a==g g 当a b >成立时由于无法确定1ab 的正负,所以无法确定1a ab g 和1b ab g 的大小关系,即无法确定11a b<成立,因此充分性不成立；必要性：同理当11a b<成立时无法确定a b >成立,因此必要性不成立.所以 “a b >”是“不等式11a b<成立”的既不充分也不必要条件.综上所述可知正确选项为AC.9.AB.解析：因为0,0,a b >>重要不等式222a b ab +³2a b +£均成立,故A,B 正确,当且仅当a b =2a b +=即a b +=,所以a b +>成立,C 错误, 由于2330a +³>,2403a >+则224343a a ++³=+（） 当且仅当22433a a =++（）成立时等号成立,由于22433a a =++（）时21a =-无解,所以22433a a +++（）无法取得最小值4,因此D 错误. 综上所述可知正确选项为AB.本题考查对基本不等式的理解及对是否符合利用基本不等式求最值条件的判定能力.10.ABC. 解析：任意实数x ,不等式230x ax -+>恒成立,则函数23y x ax =-+的最小值2min 413041a y ´´-=>´,解得a -<<则选项中满足该条件的实数a 可以是故选ABC.点评：将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策略，即若0(0)y y ><恒成立则只需min max 0(0)y y ><,这一结论是解决这类问题的关键,也是解决恒成立问题的总的思考方向.三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中14题第一个空2分，第二个空3分）11. {}|12x x x <->或解析：本道题考查分式不等式的等价转换.不等式201x x ->+等价于2)(1)0x x -+>（，解得12x x <->或，所以201x x ->+的解集为{}|12x x x <->或，注意解集要写成集合或区间的形式，区间形式将会在下一章学习到.12.2解析：本道题考查基本不等式的构造思维能力和对运用基本不等式求最值方法的掌握.1,a b +=则1=a b a a a a +++,因为10,0a a >>则1=a b a a a a +++³，当且仅当1=a a ，即=1a 时等号成立，因此a b a a++的最小值为2.13.必要不充分条件解析：充分性：,,a b c R Î，当a b >，0c =时2=0c ，22==0ac bc ，因此a b >Þ/22ac bc >，充分性不成立； 必要性：22ac bc >时说明20c ¹，那么一定有20c >，210c >，由不等式的性质可知此时222211ac bc c c>g g ，即a b >，因此22ac bc a b >Þ>必要性成立.综上所述“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件.14. 第一空：+2m n ³第二空：16解析：0,0,m n >>且m 和n 的算术平均数是+2m n ，m 和n ，因此“m 和n 的算术平均数不小于它们的几何平均数”的符号表达式为+2m n ³+2m n ³变形可知2+(2m n mn £,当且仅当=m n 时等号成立, 8m n +=,mn £28(2=16,所以当且仅当4m n ==时mn 的最大值16.四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 解：（1）解一元二次方程2310=0x x --得1=2x -,2=5x 则一元二次函数2=310y x x --的图象如图}5>.（2）不等式22950x x --+>的等价不等式为22+950x x -<解一元二次方程22+95=0x x -得15x =-,21=2x 则22+950x x -<的解集为1|52x x ìü-<<íýîþ即一元二次不等式22950x x --+>的解集为1|52x x ìü-<<íýîþ.方法指导：解一元二次不等式可以从解一元二次方程的根入手,了解一元二次方程与相应二次函数图象的联系,画出二次函数的图象,能根据具体函数图象得到相应一元二次不等式的解集.另外在学习本节课内容之后可以用课堂上推广的一般结论,解决相关问题.注意要明确课本上一般结论的推广过程，理解知识本质,体会数形结合和函数思想的应用,以及具体到抽象,特殊到一般的研究问题的基本方法.16. 分析：比较两项的大小关系,在性质特征不是很明显的情况下通常采用作差法,如果不能直接看出差值与0的大小关系,可将作差的结果进行适当变形,从而得出结论.解：221144M N x x x x -=+-=-+2211222x x =-+g （21=()2x - 因为,x R Î所以21(02x -³所以0M N -³,即M 和N 的大小关系是M N ³.17. 分析：通过观察不难发现两个小问均可采用作差法或利用不等式的性质直接证明.解：（1）0a b >>则10ab>由不等式的性质可知11a b ab ab >g g ,即11b a >,所以11a b<（2）0c d <<则0c d ->->又0a b >>Q ()()a cb d \+->+-ac bd \->-。
高一数学一元二次不等式试题
高一数学一元二次不等式试题1.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.（1）若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）的取值范围（2）的取值范围【解析】试题分析:（1）对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是学生容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.（4）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.试题解析:解析（1）由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.故m的取值范围为(－4,0]. 6分（2）∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，记g(x)＝，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数.则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]＝g（3）＝，∴m＜. 所以m的取值范围为. 3分min【考点】一元二次不等式恒成立的问题.2.不等式的解集为，则( )A．a =－8，b =－10B．a =－1，b = 9C．a =－4，b =－9D．a =－1，b = 2【答案】【解析】不等式的解集为，为方程的两根，则根据根与系数关系可得，.故选C.【考点】一元二次不等式；根与系数关系.3.不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b= _____________.【答案】-14【解析】的解集为，的是的两根，则，解得.【考点】三个“二次”的关系.4.解关于x的不等式－(+)+＞0(其中∈R).【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【解析】解题思路：将分解因式得，再讨论1与的大小求解集.规律总结：解一元二次不等式，要注意“三个二次”的关系，即一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系.注意点：解题中要注意讨论1与的大小.试题解析：，则当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.分类讨论思想.5.不等式的解集为________________.【答案】.【解析】将原不等式变形为，∴不等式的解集为.【考点】解一元二次不等式.6.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将原不等式等价于或或。
人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．63．已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．4D ．84．已知关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则错误的是（ ） A ．122x x +=B ．123x x <-C ．214x x ->D ．1213x x -<<<5．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2463450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,15B ．[]2,8C ．[)2,8D ．[)2,15 6．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤ 7．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22-B ．22+C ．422+D ．422-8．已知正实数,x y 满足3x y +=，则41x y+的最小值（ ） A ．2B ．3C ．4D ．1039．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤310．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1111．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．4aba b a b+<+ B 2aba b<+C <D ．a b +12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则a 的最小值为（ ）A ．4B ．4+C ．8D ．8+二、填空题13．为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m 的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是______2m . 14．已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 15．已知函数2()34(0)f x ax x a =-+>，若存在32m n a<≤，使得()f x 在区间[,]m n 上的值域为[,]m n ，则a 的取值范围________．16．设0b >，21a b -=，则242a a b+的最小值为_________.17．已知0,0a b >>，1a b +=，则14y a b=+的最小值是__________. 18．设A .B 分别为双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左.右顶点，P 是双曲线上不同于A .B的一点，直线AP .BP 的斜率分别为m .n ，则当3b a 取最小值时，双曲线的离心率为__________.19．已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________．20．已知实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 三、解答题21．已知不等式()()2330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}31A x x =-<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）设()22()2ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．22．已知函数()()221f x ax a x b =-++-.（1）若2a =-，9b =，求函数()()0f x y x x=<的最小值； （2）若1b =-，解关于x 的不等式()0f x ≥.23．已知关于x 的不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．24．已知函数()|21||2|f x x x =---，M 为不等式()1f x <-的解集. （1）求M ；（2）当,a b M ∈且1a b +=时，4a b tab +≥恒成立，求t 的最大值.25．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.26．已知ABC 内接于O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数图象与x 的交点，可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集.【详解】由条件可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，则226b a +=-，26ca⨯=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+-<⇔---<，整理为：()()21281021610x x x x ++>⇔++>， 解得：16x >-或12x <-， 所以不等式的解集是11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式220cx bx a +-<化简后就容易求解.2．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【详解】1a b +=，0a >，0b >()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．B解析：B 【分析】根据基本不等式可求得最小值． 【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】根据关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，可得120,,a x x <是方程22310ax ax a --+=，然后利用根与系数的关系判断.【详解】因为关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 所以120,,a x x <是方程22310ax ax a --+=的两根， 所以12121312,33a x ax x x a -===-⋅<-+，214x x ===->，故ABC 正确； 设()(1)(3)f x a x x =+-，()(1)(3)1g x a x x =+-+其图象如图所示：由图象知：121,3x x <->，故D 错误； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集的应用，关键是三个“二次”的转化，还有根与系数的关系与函数零点，注意二次项系数的正负.5．A解析：A 【分析】先由不等式[][]2463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[]x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】不等式[][]2463450x x -+<即为[]()[]()43150x x --<，解得[]3154x <<， 则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[]x 的取值，考查计算能力，属于中等题.6．D解析：D 【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围． 【详解】设()21f x ax ax =-+当0a =时，()10f x =>，满足题意 当0a ≠时，()f x 时二次函数 因为{}2|10A x ax ax =-+<=∅ 所以()21f x ax ax =-+恒大于0，即0≤所以240a a -≤，解得04a ≤≤． 【点睛】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．7．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.8．B解析：B 【详解】()41141144133y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 145233y x x y ⎛≥+⨯= ⎝， 当且仅当4y x x y =，即21x y ==，，时41x y+的最小值为3. 故选B.点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9．C解析：C 【解析】选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.10．B解析：B 【分析】 由题意，得到121222()(2)5b aa b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数a ，b 满足21a b +=， 则12122222()(2)55549b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当22b a a b =，即13a b ==等号成立， 所以12a b +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.11．D解析：D 【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()22224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A 2211abab a b a b>=++，所以排除选项B ；接着根据基本()222222a b ab ab +>⨯=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得到选项D 正确. 【详解】解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，所以()22224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误； 对于选项B 2211abab a b a b>=++，故选项B 错误；对于选项C ()222222a b ab ab +>⨯=C 错误；对于选项D ：()22222222a b a ab b a b +>++=+，所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.12．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到1tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将a +转化为4ta n a αα=++利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+an α=，即4πα=时取等号， 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设直角三角形的两条直角边分别为则进而根据基本不等式得【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为则所以当且仅当等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条 解析：1694【分析】设直角三角形的两条直角边分别为,a b ，则22169a b +=，进而根据基本不等式得22111692224a b S ab +=≤⨯=. 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为,a b ，则22169a b +=所以22111692224a b S ab +=≤⨯=，当且仅当a b ==. 故答案为：1694【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三 解析：4748【分析】先由题意，令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩，代入所求式子，化简整理，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为a 、b 、c 为正实数，不妨令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩，所以11113139393862164216438432x y z x y z x y z a b c b c c a a b x y z-++-++-++=+++++ 1339338621642164y z x z x y x x y y z z =-+++-+++- 6139488262164y x z x y z x y x z z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61474848≥-+=， 当且仅当823629164y x x y z x x z y z z y ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立. 故答案为：4748. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15．【分析】由二次函数的性质可得化简得进而可得是方程两个不相等的实数根即可得解【详解】因为函数的图象开口朝上且对称轴为所以函数在区间上单调递减所以两式相减化简得将代入可得同理所以是方程两个不相等的实数根 解析：113164a ≤< 【分析】由二次函数的性质可得()()223434f m am m n f n an n m⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，化简得2m n a +=，进而可得,m n 是方程22240ax x a-+-=两个不相等的实数根，即可得解. 【详解】 因为函数2()34(0)f x ax x a =-+>的图象开口朝上且对称轴为32x a =，32m n a <≤，所以函数2()34(0)f x ax x a =-+>在区间[,]m n 上单调递减，所以()()223434f m am m n f n an n m ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，两式相减化简得2m n a +=， 将2m n a =-代入234an n m -+=可得22240an n a-+-=， 同理22240am m a -+-=， 所以,m n 是方程22240ax x a -+-=两个不相等的实数根， 又函数2224y ax x a =-+-的图象开口朝上，对称轴为132x a a=<， 所以24440a a ⎛⎫∆=--> ⎪⎝⎭且当32x a =时，22240ax x a -+-≥， 所以22444033224022a a a a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅-⋅+-≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得113164a ≤<， 所以a 的取值范围为113164a ≤<. 故答案为：113164a ≤<. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质转化条件为2m n a+=，再结合一元二次方程根的分布即可得解. 16．4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求 解析：4【分析】两次应用基本不等式，242a a b +≥12b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】由题意211a b =+≥，2442a a b +≥===≥，当且仅当2142b b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故答案为：4．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．17．9【分析】把看成的形式把1换成整理后积为定值然后用基本不等式求最小值【详解】∵等号成立的条件为所以的最小值为9即答案为9【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用解决本题的关键是1的代换解析：9【分析】 把14a b +看成141a b+⨯（） 的形式，把“1”换成a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵14144 1?459b a y a b a b a b a b =+=+⨯+=+++≥+=（）（） 等号成立的条件为4b a a b =． 所以14a b+的最小值为9． 即答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换．18．【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单解析：3【分析】先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.【详解】设11(,)P x y ，则 22111222111y y y b mn x a x a x a a=⋅==+--，因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号,所以离心率是3c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a=求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.19．4【分析】根据x 且将利用1的代换转化为利用基本不等式求解【详解】因为x 且所以当且仅当即时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：4【分析】根据x ，0y >，且194x y+=，将x y +利用“1”的代换，转化为x y +()119191044⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x y x y x y ，利用基本不等式求解. 【详解】因为x ，0y >，且194x y +=， 所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y x x y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．32【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得解得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比 解析：32【分析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32. 故答案为：32.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
一元二次方程章节测试及单元测试试卷五套
22.1一元二次方程一、认认真真，书写快乐1．把方程2(21)(1)(1)x x x x +-=+-化成一般形式是 ．2．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 3．已知1x ≠-是方程260x ax -+=的一个根，则a = ．4．关于x 的方程2(1)230m x mx ++-=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 5．已知236x x ++的值为9，则代数式2392x x +-的值为 ． 二、仔仔细细，记录自信6．下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2430x x+-=；③2540x x -+=；④23x x =中，一元二次方程的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7．若2530ax x -+=是关于x 的一元二次方程，则不等式360a +>的解集是（ ） A ．2a >-B ．2a <-C ．2a >-且0a ≠D ．12a >8．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．1或1-D ．129．已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则21a -的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6三、拓广探索，游刃有余10．如右图所示，相框长为10cm ，宽为6cm ，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm 2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：（1）若设相框的边缘宽为cm x ，可得方程 （一般形式）； （2）分析并确定x 的取值范围； （3（4参考答案：一、1．23320x x ++= 2．5- 3．7- 4．1m ≠-5．7二、6．A7．C8．B9．C三、10．（1）2870x x -+=；（2）03x <<；（3）7，0，5-，8-；（4）1cm ．22．1 一元二次方程一、双基整合: 1．方程（x+3）（x+4）=5，化成一般形式是________．2．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3．若关于的方程x 2-3x+k=0有一个根是1，则它的另一个根是________． 4．已知方程x 2-x-m=0有整数根，则整数m=________．（填上一个你认为正确的答案） 5．根据题意列出方程：有一面积为54m 2（设正方形的边长为m ）的长方形，将它的一边剪短5m ，另一边剪短2m ，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设正方形的边长为xm ，请列出你求解的方程__________．6．如果两个连续奇数的和是323，求这两个数，如果设其中一个奇数为x ，•你能列出求解x 的方程吗？______________．7．如图，在宽为20m ，长30m 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m 2，若设路宽为xm ，则可列方程为：_________． 8．下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．3x 2=4x+mB ．ax 2-8=0C ．x+y 2=0D ．5xy-x+6=09．如果关于x 的方程（m-3）27mx -x+3=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．-3D ．都不对10．以-2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+2x-x=0B ．x 2-x-2=0C ．x 2+x+2=0D ．x 2+x-2=0 11．若ax 2-5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是（ ） A ．a>-2 B ．a<-2 C ．a>-2且a≠0 D ．a>1212．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，•全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A ．x （x+1）=182 B ．x （x-1）=182 C ．2x （x+1）=182 D ．x （x-1）=182×213．已知关于x 的方程（2k+1）x 2-4kx+（k-1）=0，问：（1）k 为何值时，此方程是一元二次方程？求出这个一元一次方程的根；（2）k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．14．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，•且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．二、拓广探索:15．先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，•将题目补充完整后再解答．如果a 是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根，且a≠0，求________的值． ①ab ②ba③a+b ④a-b 16．如果方程ax 2+bx+c=0（a≠0），a-b+c=0，那么方程必有一个解是________．17．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ） A ．x 2+130x-1400=0 B ．x 2+65x-350=0C ．x 2+130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 18．若x 2a+b -3x a-b +1=0是关于x的一元二次方程，求a 、b 的值，下面是两位学生的解法：•甲：根据题意得2a+b=2，a-b=1解方程组得a=1，b=0．乙：由题意得2a+b=2，a-b=1•或2a+b=1，a-b=2解方程组得a=1，b=0或a=1，b=-1．你认为上述两位同学的解法是否正确？•为什么？如果都不正确，请给出正确的解答．三、智能升级19．为争创市规范化学校，某中学向全体师生征集空地绿化 方案，•如图是李刚同学对其中一块正方形空地的设计图，中央绿地面积为24平方米，如果设正方形空地的边长为x ，那么空地中央长方形绿地的长为______米，宽为______米，根据题意，•可得方程___________．20．若方程（m-1）x 2x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠1B ．m≥0C ．m≥0且m≠1D ．m 为任意实数21．某大学为改善校园环境，计划在一块长80m ，宽60m •的长方形场地的中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500m 2．四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道的宽为xm ．（1）你能列出相应的方程吗？（2）x 可能小于0吗？说说你的理由．（3）x 可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．（4）你知道人行走道的宽xm 是多少吗？说说你的求解过程．答案:1．x2+7x+7=0 2．k≠3 3．2 4．2等5．（x+5）（x+2）=54 6．x（x+2）=323或x（x-2）=3237．（30-x）（20-x）=500 8．A 9．C 10．D 11．C 12．B13．（1）k=-12时，方程是一元二次方程，x=34；（2）k≠12，2k+1，-4k，k-1．14．设个位数字为x，则十位数字为x+4，由题意得x2+（x+4）2=10（x+4）x+x-415．③a+b=-1 16．-1 17．B18．解：均不正确，考虑不全，欲使x2a+b-3x（a-b）+1=0是关于x•的一元二次方程，•则2a+b=2，a-b=2；或2a+b=2，a-b=1；或2a+b=2，a-b=0；或2a+b=1，a-b=2；或2a+b=0，a-b=2，∴a=43，b=-23；或a=1，b=0；或a=23，b=23或a=1，b=-1；或a=23，b=-4319．x-2，x-4，（x-2）（x-4）=24 20．C21．（1）设人行道的宽为xm，则网球场的长和宽分别为（80-2x）m，（60-2x）m，•则可列方程：（80-2x）（60-2x）=3500，整理为：x2-70x+325=0；（2）x的值不可能小于0，因为人行道的宽度不可能为负数．（3）x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60-2x<0，这是不符合实际，当然x更不可能大于40．（4）由上面问题可知：x的大致范围应为0<x<30．求解过程如下：显然当x=5时，x-70x+325=0，∴人行道的宽度为5m．人教九上22.2降次——解一元二次方程一、选一选！1. 把方程23402x x ++=左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）. （A ）2355()416x += （B ）2315()24x +=- （C ）2315()24x += （D ）2355()416x +=-2. （2006年杭州）已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的 ( )(A) 2()5x p -= (B) 2()9x p -= (C) 2(2)9x p -+= (D) 2(2)5x p -+=3. （2006年广州）一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )． (A)X l =1， x 2=3 (B)X l =1， x 2=-3(C)X 1=-1，X 2=3 (D)X I =-1， X 2=-34. 若2222()(1)60m n m n +--+=，则22m n +的值为（ ）.（A ）3 （B ）－2 （C ）3或－2 （D ）－3或2 5. 方程(3)x x x +=的根是（ ）.（A ）－2 （B ）0 （C ）无实根 （D ）0或－26. 已知x 满足方程2310x x -+=，则1x x +的值为（ ）. （A ）3 （B ）－3 （C ）32（D ）以上都不对7. 要使分式2544x x x -+-的值为0，x 等于（ ）.（A ）1 （B ）4或1 （C ）4 （D ）－4或－1 8. 关于x 的方程22(2)0a a x ax b --++=是一元二次方程的条件是（ ）. （A ）2a ≠-且1a = （B ）2a ≠ （C ）2a ≠-且1a =- （D ）1a =- 二、填一填！ 9. 222(_____)[(____)]3y y y -+=+.10. x =__________. 11. 若代数式2713x x -+的值为31，则x =_________________.12.用公式法解方程2815x x =--，其中24b ac -=__________，1x =__________，2x =_______________.13. 一元二次方程x 2-2x-1=0的根是__________．14. 若方程x 2-m=0的根为整数，则m 的值可以是________（只填符合条件的一个即可）15. 若（2x+3y ）2+3（2x+3y ）-4=0，则2x+3y 的值为_________．16. 请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______. 三、做一做！17.用配方法解下列方程：（1）210257x x -+=；（2）261x x +=；（3）23830x x +-=；（4）2310x x -+=. 18.用公式法解下列方程：（1）27180x x --=；（2）22980x x -+=；（3）29610x x ++=；（4）21683x x +=. 19.用因式分解法解下列方程：（1）(41)(57)0x x -+=；（2）3(1)22x x x -=-； （3）2(23)4(23)x x +=+；（4）222(3)9x x -=-.20. 阅读材料，解答问题:材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0我们可以将x 2-1视为一个整体，然后设x 2-1=y ，•则（x 2-1）2=y 2，原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=x 1x 2x 3x 4解答问题：（1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______•数学思想;（2）利用上述方法解方程x 4-x 2-6=0．21. 若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48 （1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．参考答案：一、选一选！ 1.D ； 2.B ； 3.C ； 4.A ； 5.D ； 6.A ； 7.A ； 8.C ；二、填一填！ 9.19，13-； 10. －5或3； 11．9或－2； 12.4，－3，－5；13. x 1x 214.如4 ， 提示：m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 15. -•4或1； 16.略；三、做一做！17.（1）15x =25x =（2）13x =-23x =- （3）113x =，23x =-；（4）1x =2x =18.（1）19x =，22x =-；（2）1x =2x =； （3）1213x x ==-；（4）114x =，234x =-； 19.（1）175x =-，214x =；（2）12 3x=-，21x=；（3）13 2x=-，21 2x=；（4）13x=，29x=.20. （1）换元，转化；（2）x=21. （1）3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．22.3 实际问题与一元二次方程一、双基整合:1．要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形，•则两条直角边的长分别为________．2．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有________条边．3．一个矩形及与它等积的正方形的周长之和为54cm，矩形两邻边的差为9cm，•则这个矩形的面积为________．4．两个正方形，小正方形边长比正方形边长的一半多4cm，•大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2，则大小正方形的边长分别是______．5．如图，一块矩形纸片ABCD，长BC=8cm，宽CD=6cm，将这块矩形纸片沿对角线BD 对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到△BDE，则EF=________．6．从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm2B．64cm2C．80cm2D．32cm27．用一块长80cm、宽60cm的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为x，则可列出方程（）A．x2-70x+825=0 B．x2+70x-825=0 C．x2-70x-825=0 D．x2+70x+825=0 8．若一个等腰三角形两边长分别是x2-12x+32=0的两根，•则这个等腰三角形的周长为（）A．20 B．16 C．16或20 D．不能确定9．如图，水池中离岸边D点1.5m的C处，直立着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5m，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好在D点，求水池的深度AC．10．一块长方形铁片长32cm，宽24cm，四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖铁盒，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．二、拓广探索:11．如图，有一块直角△纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm12．线段AB=6cm，点C是AB的黄金分割点（如图），即较长线段AC是较短线段BC和原线段AB的比例中项，那么线段AC的长为（）A B C．（）cm D．（）cm13．如图所示，东西和南北街道交于点O，甲沿东西道由西向东，速度是每秒4m，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3m，当乙通过O点后又继续前进50m时，•甲刚好通过O 点，当甲、乙相距85m时，求每个人位置．14．用一根8米长的木料做成一个长方形的窗框，若设这个长方形的长为x米．（1）这个长方形的面积S=________．（2）根据上式完成下表：（3）你发现了什么？（4）为什么现实生活中，窗户一般都做成一个长与宽接近相等的长方形，•而不做成一个正方形，谈谈你的看法．三、智能升级:15．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米（如右图），如果梯子的顶端下滑1米，那么（1）猜一猜，底端也将滑动1米吗？（2）•列出底端滑动距离所满足的方程，并说明（1）中结论．16．有一块缺角矩形地皮ABCDE （如下图），其中AB=110m ，BC=80m ，CD=90m ，•∠EDC=135°，现准备用此地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的数学大楼，建筑公司在接受任务后，设计了A 、B 、C 、D 四种方案，请你研究探索应选用哪一种方案，•才能使地基面积最大？（1）求出A 、B 两种方案的面积．（2）若设地基的面积为S ，宽为x ，写出方案C （或D ）中S 与x 的关系式．（3（4 （5）用配方法对（2）中的S 与x 之间的关系式进行分析，并检验你的猜测是否正确． （6）你认为A 、B 、C 、D 中哪一种方案合理？答案:1．6cm ，8cm 2．6 3．36cm 2 4．16m 和12cm 5．74cm 6．B 7．A 8．A 9．AC=2 10．4cm 11．B 12．C 13．设甲通过O 点以后t 秒时，甲、乙位置分别是AB （图略）， 则OA`=4t ，OB`=50+3t ，根据题意得（4t ）2+（50+3t ）2=852， 即t 2+12t-189=0，t 1=9，t 2=-21，当t=9时，OA`=36，OB`=77; 当t=-21时，OA`=-84，OB`=-13，答：甲、乙分别都在通过O 点后又前进了36m ，77m 或者尚未通过O 点，分别在距O 点84m ，13m 的位置． 14．（1）S=x×822x=-x 2+4x ， （2）S 的值分别为1.75、3、3.75、3.99、4、3.99、3.75、3、1.75， （3）当长与宽相等时，S 的值最大，即当窗户为正方形时，面积最大，（4）•窗户做成正方形时，面积最大，透光性最大，但同时窗户内部的其他用料也相对增多，如钢筋、水泥等，所以，制成一个长与宽接近相等的长方形，即有利于透光，又可相对地节省材料，当然，也涉及到美学等方面的知识． 15．（1）底端滑动的距离大于1米．（2）设底端将滑动x 米，依题意，得72+（x+6）2=102，•解得x 1，x 2（舍去），-6=7-6=1，∴底端滑动的距离大于1米． 16．（1）方案A 的面积为80×90=7200m 2，方案B 的面积为110×（80-20）=6600m 2；（2）•由于MF=80-x ，∠EDC=135°，所以DF=80-x ，NB=CD+DF=90+（80-x ）=170-x ，S=（170-x ）×x ，即S=-x 2+170x ； （3）S 的值从左到右依次为6000、6600、7000、7125、7176、7189、7200、7209、7216；（4）猜想：当x≤80时，S 随x 的增大而增大； （5）S=-x 2+170x=-（x-85）2+852，所以当x≤85时，S 随x 的增大而增大，由于x≤80，所以，当x=80•时，•S •最大值为7200m 2；（6）选A 种方案．第二十二章一元二次方程水平测试题一．填空题：（每小题２分，共22分）1．方程20x x -=的一次项系数是____________，常数项是____________； 2．若代数式219991998m m -+的值为０，则m 的值为____________； 3．在实数范围内分解因式：221x x --=__________________________；4．已知13x =-是方程2230x kx +-=的一个根，2x 是它的另一个根，则k =_____，2x =____5．方程220x -+=的判别式∆=____________，所以方程_________________实数根；6．已知分式2212x x x -+-的值为０，则x 的值为____________；7．以2，－3为根的一元二次方程是__________________________； 8．当方程()()211120m m xm x +--+-=是一元二次方程时，m 的值为________________；9．若12,x x 是方程25x x -=的两根，则2212x x +=________________；10．已知210x x +-=，则2339x x +-=____________； 11．已知2x y +=，1xy =，则x y -=____________； 二．选择题（每小题３分，共３０分）1．方程()2211x +=化为一般式为（ ） A ．22421x x ++=B ．241x x +=-C ．22410x x ++=D ．22210x x ++=2．用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（ ）A ．225x x -= B ．2245x x -= C ．245x x += D ．225x x += 3．方程()1x x x -=的根是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．122,0x x ==D ．122,0x x =-=4．下列方程中以1,2-为根的一元二次方程是（ ）A ．()()120x x +-=B ．()()121x x -+=C ．()221x +=D ．21924x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 5．下列方程中，无论ｂ取什么实数，总有两个不相等实数根的是（ ）A ．210x bx ++=B ．221x bx b +=+C ．20x bx b ++=D ．22x bx b += 6．将222x x --分解因式为（ ）A ．1144x x ⎛--- ⎝⎭⎝⎭ B ．11244x x ⎛+- ⎝⎭⎝⎭C ．11244x x ⎛-++ ⎝⎭⎝⎭D ．11244x x ⎛-+- ⎝⎭⎝⎭7．县化肥厂今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A ．()21a x + B ．()21100a x + C ． ()21100x + D ．()2100a a x + 8．已知2120m m+=，则1m -=（ ） A ．０或12- B ．０或－２ C ．－２ D ．12-9．一项工程，甲队独做要ｘ天，乙队独做要ｙ天，若甲乙两队合作，所需天数为（ ）A ．xy x y +B ．2x y+ C ．x y xy+ D ．x y +10．已知方程2220383x x x x+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化为（ ）A ．2208y y -= B ．2208y -= C ．208y y -= D ．2208y y -= 三．解方程（组）（每小题5分，共2０分）１．()()22211x x +=- ２．2232211x y x y x y +=⎧⎨+++=⎩３．22431242x x x x -=+--- 4．22124321x x x x +++=++四．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()2160x m x m ++++=的两实数根，且22125x x +=，求m 的值是多少？2．求证：无论k 为何值，方程()23210x k x k -++-=总有两个不相等的实数根。
第2章 一元二次函数、方程和不等式高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)解析版
若 ，则角 不为直角 ，有可能 是直角，所以必要条件不成立，“ 不是直角三角形”是“ ”的充分不必要条件
答案选A
【点睛】命题真假的判断也可通过逆否命题进行判断
4．（2020·浙江高一单元测试）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（ ）
故选：D
8．（2021·浙江）已知函数 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】 ，即
当 时，不等式恒成立， ；
当 时， ，则
令 ，则
即 ，解得
故选：B
9．（2020·全国高一单元测试）已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】 .
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.
22．（2021·全国高一单元测试）已知不等式 的解集为 ．
（1）解不等式 ；
（2）b为何值时， 的解集为R？
高一数学一元二次不等式解法经典例题
例1若OVaVl,则不等式(x-a)(x--)<0的解是a[]1A・ a<x< 一1B・一Vx<aaC・ x>1 或xVaaD・ x< -或x>aa分析比较a与丄的大小后雪出答案.a解VO<a<l, Aa<-,解应当在“两根之间”，得aVxV丄.a a选A.例2 Jx2-x-6有意义,贝收的取值范围是___________ .分析求算术根，被开方数必须是非负数.解据题意有，x2-x-620,即(x—3)(x+2)20,解在“两根之外”，所以xN3或xW—2.例 3 若ax2+bx-l<0 的解集为{xl~l<x<2},则a= _______ , b= _________ .分析根据一元二次不等式的解公式可知，一1和2是方程ax?+bx—l= 0的两个根，考虑韦达定理.解根据题意，一1, 2应为方程ax2+bx—1= 0的两根，则由韦达定理知b__ =(_l)+ 2 = 1< : 得—— =(—l)X2 = —2a1 1 ap，b—亍例4解下列不等式(1)(x-l)(3-x)<5-2x(2)x(x+ll)23(x+l)2(3)(2x +l)(x-3)> 3(x2+2), 3 , (4)3x~ -3x + 1> - —9 1(5)x~ -x + 1> -x(x- 1)分析将不等式适当化简变为ax^+bx+c>0(<0)形式, 然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).答(l){xlx<2 或x>4}3(2){xllWxW 寸(3)0(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.例5不等式l+x> 丄的解集为1-X[A.{xlx>0}B.{xIxNl}C. {xlx>l}D. {xlx>l 或 x=0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.解不等式化为1+X —丄>0,通分得三即土>。
高一数学同步测试(3)绝对值不等式一元二次不等的解法
高一数学同步测试（3）绝对值不等式一元二次不等的解法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1．不等式1257x <+≤的解集是 （ ）A ．{}21,63x x x -≤<-<≤-或B ．{}21,63x x x -<≤-≤<-或C ．{}21,63x x x -≤≤-≤≤-或D ．{}21,63x x x -<<-<<-或2．设集合{}{}2450,0P x x x Q x x a =--<=-≥，则能使P Q =∅ 成立的a 的值是（ ）A ．{}5a a > B ．{}5a a ≥C ．{}15a a -<<D ．{}1a a >3．不等式3129x -≤的整数解的个数是 （ ）A ．7B ．6C ．5D ．44．不等式3112x x-≥-的解集是 （ ）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <50xx≥的解集是 （ ）A ．{}22x x -≤≤B ．{}002x x x <<≤或C ． {}2002x x x -≤<<≤或D ．{00x x x ≤<<或6．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装 磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ ） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种7．已知0a >，不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．1a >C ． 1a ≥D ．2a >8．设集合{}212,12x A x x a B x x ⎧-⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．{}01a a ≤≤B ．{}01a a <≤4(1)01x x +≥-C ．{}01a a <<D ．{}01a a ≤<9．下列不等式：(1)|100001|0x -<，(2)|310000|1x ->-，(3)|3||3|6x x ++-<中，解 集不是空集的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10．不等式ax 2 +b x +c>0的解是0<α<x <β，则不等式c x 2－ b x +a >0的解为 （ ） A ．α1<x<β1B ．－β1<x<—α1C ．－α1<x<－β1D ．β1< x<α1二、填空题：请把答案填在题中横线上。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 4．下列函数中，最大值为12的是（ ）A ．22116y x x=+B ．yC ．241x y x =+D ．()422y x x x =+>-+ 5．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（ ） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(4)(1)(2)f f f <<6．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<< B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或7．已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．4D ．88．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤159．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3- B ．[]2,6- C ．[]6,2- D ．[]3,4-10．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,+∞C ．(](),01,-∞+∞ D ．()0,111．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b>，则a b < D <a b <12．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >二、填空题13．已知函数2()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________.14．定义,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若,0x y >，则222241616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值____________.15．已知函数2()21f x x ax =-+，若对∀(]0,2x ∈，恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是___________．16．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 17．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是______．18．若命题“对任意实数0a >，0b >且4a b +=，不等式41m a b+>恒成立”为假命题，则m 的取值范围为_______.19．一批救灾物资随51辆汽车从某市以/vkm h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2800v km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______.h20．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．三、解答题21．近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x （单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C （单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x （单位：米3）之间的函数关系为()50kC x x =+（0x ≥，k 为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F （单位：万元）.（1）解释()0C 的实际意义，并写出F 关于x 的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F 最小，并求出最小值.（3）要使F 不超过140万元，求x 的取值范围.22．对于四个正数x y z w ，，，，如果xw yz <，那么称()x y ，是()z w ，的“下位序对”． （1）对于23711，，，，试求()27，的“下位序对”； （2）设a b c d ，，，均为正数，且()a b ，是()c d ，的“下位序对”，试判断c a a cd b b d++，，之间的大小关系.23．已知关于x 的不等式2120x mx +-<的解集为(6,)n -. （1）求实数m ，n 的值；（2）正实数a ，b 满足22na mb +=. ①求11a b+的最小值； ②若2160a b t +-≥恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知不等式()21460a x x --+>的解集为{}31x x -<<．（1）解不等式()2220x a x a +-->；（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立. 【详解】001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．D解析：D 【分析】利用函数图象与x 的交点，可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集.【详解】由条件可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，则226b a +=-，26ca⨯=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+-<⇔---<，整理为：()()21281021610x x x x ++>⇔++>， 解得：16x >-或12x <-， 所以不等式的解集是11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式220cx bx a +-<化简后就容易求解.3．D解析：D 【分析】利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】对于A ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，故A 错误；对于B 、C ，虽然0ab >，只能说明,a b 同号，若,a b 都小于0时，则不等式不成立，故B ，C 错误；对于D ，0ab >，,0b aa b∴>，2b a a b ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立，故D 正确； 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查基本不等式的相关性质，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】 用排除法求解． 【详解】由于20x >，因此22116y x x=+无最大值，A 错；[0,1]y =，最小值为0，最大值为1，B 错； 2x >-，20x +>，42y x x =++无最大值，D 错， 只有C 正确、 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．对于单选题可以从简单入手，利用排除法确定正确选项．实际上C 可以用基本不等式求解：24()1x f x x =+，0x =时，(0)0f =，0x ≠时，221()1f x x x =+， 而2212x x +≥，当且仅当1x =±时等号成立，∴10()2f x <≤， 综上有()f x 的值域是1[0,]2，最大值为12． 5．B解析：B 【分析】由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称， 由函数2()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22bx =-=， ∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=，∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.7．B解析：B 【分析】根据基本不等式可求得最小值． 【详解】 ∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.9．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．10．A解析：A 【分析】设函数()221f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】解：设函数()221f x ax ax =++，则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，需函数()221f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，即20(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1).故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.11．D解析：D 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小.【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．2【分析】由时恒成立转化为恒成立根据中ab 系数相等令求解【详解】因为时恒成立所以恒成立令则或当时即当时即要使时的等号成立则即解得函数图象开口向上对称轴为所以则的最大值为2故答案为：2【点睛】关键点点解析：2 【分析】由[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，转化为211222xa xb ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭恒成立，根据+a b中，a ，b 系数相等，令2122xx -=求解. 【详解】因为[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立， 所以2211()22222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 令2122x x -=，则12x =-或1x =，当1x =时，()21122a b f =+≥- ，即1a b +≥-， 当12x =-时，112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，即2a b +≤， 要使12x =-时，1()2f x ≥-的等号成立， 则min 11()22f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即14211114422b a a b a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩， 解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203a =>，函数图象开口向上，对称轴为12x =-， 所以则+a b 的最大值为2，故答案为：2【点睛】关键点点睛：由+a b 中，a ，b 系数相等，令2122x x -=是本题求解的关键.. 14．【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就 解析：94【分析】换元判定单调性，利用基本不等式求解【详解】 令y t x =，则 22244xy y t t x+=+在()0,∞+为增函数， 22216111616x xy y t t+=+在在()0,∞+为减函数， 从而22111942164t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当12t =时取等号. 故答案为：94【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】利用参变分离得在上恒成立结合双勾函数性质求出的最小值即可【详解】解：由题意知：在上恒成立所以在上恒成立又因为函数在上单调递减在上单调递增所以当时最小为2所以即故答案为：【点睛】方法点睛：在解 解析：1a ≤【分析】 利用参变分离得2112x a x x x+≤=+在(]02x ∈，上恒成立，结合双勾函数性质求出1y x x=+的最小值即可． 【详解】 解：由题意知：()2210f x x ax =-+≥在(]02x ∈，上恒成立，所以2112x a x x x +≤=+在(]02x ∈，上恒成立， 又因为函数1y x x=+在()01x ∈，上单调递减，在()12x ∈，上单调递增，所以当1x =时，1x x+最小为2， 所以2a ≤2，即1a ≤，故答案为：1a ≤．【点睛】方法点睛：在解决二次函数的恒成立问题，常常采用参变分离法，如此可以避免对参数进行分类讨论．16．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.17．8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解：向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为：8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于 解析：8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值．【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy∴，当且仅当3232x y ==时，取等号．则32233838y x x y xy ++==，故答案为：8． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．18．【分析】利用基本不等式求出的最小值可得不等式恒成立时的取值范围再取其补集即可【详解】若不等式对任意实数且恒成立则当且仅当且即时等号成立所以故命题为假命题时的取值范围为故答案为:【点睛】本题主要考查命 解析：94m ≥ 【分析】 利用基本不等式求出41a b +的最小值，可得不等式41m a b+>恒成立时，m 的取值范围，再取其补集即可.【详解】若不等式41m a b+>对任意实数0a >，0b >且4a b +=恒成立，则411411419()()(5)5)4444b a a b a b a b a b +=++=++≥=， 当且仅当4b a a b =且4a b +=，即83a =，43b =时等号成立. 所以94m <，故命题为假命题时，m 的取值范围为94m ≥. 故答案为: 94m ≥【点睛】本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题.19．10【分析】用速度v 表示时间结合基本不等式计算最小值即可【详解】当最后一辆车子出发第一辆车子走了小时最后一辆车走完全程共需要小时所以一共需要小时结合基本不等式计算最值可得故最小值为10小时【点睛】考 解析：10【分析】用速度v 表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可．【详解】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了25080016v v v ⋅=小时，最后一辆车走完全程共需要400v 小时，所以一共需要40016v v +小时，结合基本不等式，计算最值，可得4001016v v +≥=，故最小值为10小时 【点睛】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用a b +≥中等．20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.三、解答题21．（1）()0C 的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；192000.1250F x x =++，0x ≥；（2）该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，可使F 最小，且最小值为90万元；（3）3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据题中函数关系式，可直接得到()0C 的实际意义；求出k ，进而可得F 关于x 的函数关系；（2）根据（1）中F 的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值；（3）将140F ≤，转化为关于x 的不等式，求解即可.【详解】（1）()0C 的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；由题意可得，()02450k C ==，则1200k =； 所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为120019200160.120.125050F x x x x =⨯+=+++，0x ≥； （2）由（1）()19200192000.120.125065050F x x x x =+=++-++690≥=， 当且仅当()192000.125050x x =++，即350x =时，等号成立, 即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时， 可使F 最小，且最小值为90万元；（3）为使F 不超过140万元，只需192000.1214050F x x =+≤+， 整理得2333503050000x x -+≤，则()()330501000x x --≤，解得30501003x ≤≤， 即x 的取值范围是3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．无23．无24．无25．无26．无。
高一数学 一元二次不等式的解法练习题
高一数学一元二次不等式的解法练习题一、选择题1.不等式-6x 2-x+2≤0的解集是( ) A.{x|-32≤x ≤21} B.{x|x ≤-32或x ≥21} C.{x|x ≥21} D.{x|x ≤-32} 2*.如果不等式ax 2+bx+c<0(a ≠0)的解集为∅,那么( ) A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ≤0 C.a>0,Δ≤0 D.a>0,Δ≥03.函数y=122-+x x 的定义域是( ) （定义域表示求自变量x 的取值X 围）A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x ≤-4或x ≥3}D.{x|-4≤x ≤3}4*.若关于x 的不等式mx 2+8mx+21<0的解集为{x|-7<x<-1},则实数m 的值为( )A.1B.3C.7D.85.若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x),g(x)的大小关系是( ) （选作）A.f(x)<g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x)D.随x 值的变化而变化6*.对于任意实数x 不等式ax 2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a 的取值X 围是( )A.-1≤a ≤0B.-1≤a ＜0C.-1＜a ≤0D.-1<a<07*.设集合M={x|0≤x ＜2,集合N={x|x 2-2x-3<0},集合M ∩N 等于( )A.{x|0≤x ＜1}B.{x|0≤x ＜2}C.{x|0≤x ≤1}D.{x|0≤x ≤2}8*.已知函数y=322++x ax ,x 的变化X 围是全体实数,则实数a 的取值X 围是( )A.a>0B.a ≥31C.a ≤31D.0＜a ≤31 二、非选择题（解答题做在背面） 9*.若不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-21<x<31},则a+b 的值为________. 10*.不等式x 2+x+k>0恒成立,则k 的取值X 围是______.11*.若对任意实数x,862++-k kx kx 总有意义,则k 的取值X 围是________________.12*.解不等式56x 2+ax-a 2<0(a ∈R).13.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A,不等式x 2+x-6<0的解集是B. (1)求A ∩B;(2)若不等式x 2+ax+b<0的解集是A ∩B,求ax 2+x+b<0的解集.14*.已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为(α,β)且0<α<β,求不等式cx 2-bx+a>0的解集.15*.关于x的不等式mx2-(2m+1)x+(m-1)≥0的解集为非空集合,求m的取值X围.。
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高一数学《一元二次不等式解法》测试题
班级 姓名
一、选择题：
1．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( )
A ．a ＜0，Δ＞0
B ．a ＜0，Δ＜0
C ．a ＞0，Δ＜0
D ．a ＞0，Δ＞0
2．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则二次函数y ＝2x 2＋mx ＋n 的表达
式是( )
A ．y ＝2x 2＋2x ＋12
B ．y ＝2x 2－2x ＋12
C ．y ＝2x 2＋2x －12
D ．y ＝2x 2－2x －12
3．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合为( )
A ．{a |0＜a ＜4}
B ．{a |0≤a ＜4}
C ．{a |0＜a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解
集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1<x <2}
D ．{x |－1≤x ≤2}
5．函数y ＝lg(x 2
－4)＋x2＋6x 的定义域是( )
A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
6．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R}，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．若不等式的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2]
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2)
8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x<0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )
A ．(－3,1)∪(3，＋∞)
B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3)
9．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )
A ．{x |x >1}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |x ≥1或x ＝－2}
D ．{x |x ≤－2或x ＝1}
10．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围
是( )
A ．1<x <3
B ．x <1或x >3
C ．1<x <2
D ．x <1或x >2
11．不等式x2x ＋1
＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－1,0) D ．(－∞，－1)
12．不等式x －2x ＋3
>0的解集是( ) A ．(－3,2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
13．不等式x2－2x －2x2＋x ＋1
<2的解集为( )
A ．{x |x ≠－2}
B ．R
C ．∅
D ．{x |x <－2或x >2}
14．不等式的解是( )
A ．[－3，12]
B ．[－12，3]
C ．[12，1)∪(1,3]
D ．[－12
，1)∪(1,3] 二、填空题：
15．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是 ；
16．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________；
17．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是______________；
18．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R)的两个实数根，则x 21＋x 2的最大
值
______________.
三、解答题：
19．解关于x 的不等式(lg x )2－lg x －2＞0.
20.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．
21．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.
22．已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1＜0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 13．A 14．D
二、填空题：
15．{x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 16．k ≤2或k ≥4 17．{x |x <1－52或x >1＋52
} 18．18 三、解答题：
19．解：y ＝lg x 的定义域为{x |x ＞0}．
又∵(lg x )2－lg x －2＞0可化为(lg x ＋1)(lg x －2)＞0，
∴lg x ＞2或lg x ＜－1，解得x ＜1
10或x ＞100.
∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1
10或x ＞100}．
20． 解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x|－13≤x ≤2，
知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1
3，2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－13＋2＝－b
a －13×2＝c a ，∴
b ＝－53a ，
c ＝－2
3a .
所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
3a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5
3a x ＋a <0，
即2ax 2－5ax －3a >0.
又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，
所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x|－12<x<3.
21．解：将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为
(x －a )(x －a 2)>0.
∵a 2－a ＝a (a －1)．
∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．
当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．
当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；
当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；
当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
22． 解：当a ＝0时，
不等式为－x －1＜0⇔x ＞－1不恒成立．
当a ≠0时，不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0a －12－4a a －1＜0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜03a ＋1a －1＞0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0
a ＜－1
3或a ＞1⇔a ＜－1
3.
即a 的取值范围是(－∞，－1
3)．。