北师大版九年级数学下册第二章二次函数检测题

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北师大版九年级下册数学第二章二次函数测试卷

北师大版九年级下册数学第二章二次函数测试卷[范围：第二章时间：120分钟分值：120分]一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．下列函数中，是二次函数的是( ) A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝x 2＋1D ．y ＝3x 2－x2．抛物线y ＝x 2－2x 的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－1 C ．直线x ＝2D ．直线x ＝－23．已知点(－7，y 1)，(－3，y 2)，(4，y 3)都在二次函数y ＝3(x ＋1)2的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 3<y 1C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 34．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A ．－2B ．－4C ．2D ．45．如图1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，对于下列说法：①ac ＞0；②2a ＋b ＞0；③4ac ＜b 2；④a ＋b ＋c ＜0；⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的是( )图1A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤6．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图2所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是( )图2图3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．请写出一个图象开口向下，以y 轴为对称轴，且经过点(1，－1)的二次函数的表达式：________． 8.将抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为y＝x 2－2x －3，则b ＝________，c ＝________．9．将抛物线y ＝2x 2－4x ＋5沿x 轴翻折后所得新抛物线的表达式为____________．10．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是__________．11．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是________m 2.12．已知二次函数y ＝(x －h )2－3(h 为常数)，在自变量x 的值满足2≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．已知抛物线过点(－1，0)，(5，0)和(0，－52)．(1)求抛物线的表达式；(2)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，求旋转后所得新抛物线的表达式．14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：(1)(2)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．15．在图4①②所示的抛物线中，抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线l 是它的对称轴．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图：(保留作图痕迹，不要求写作法)(1)在图①中直线l 上作点P ，使线段P A ＋PC 最短； (2)在图②中作线段CD ，使线段CD ∥AB .图416．已知二次函数y＝(k－1)x2＋x＋1.(1)若函数图象与x轴有交点，求k的取值范围；(2)若函数图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；(3)请直接写出当函数图象与x轴只有一个交点时k的值．17．如图5，抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A(1，0)，与y轴交于点B.(1)求抛物线的表达式；(2)P是y轴正半轴上一点，且△P AB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．图5四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．某商店以8元/个的价格购进1600个文具盒进行销售，为了得到日销售量y(个)与销售价格x(元/个)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)(2)该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由．19．如图6，二次函数y1＝(x＋2)2＋m的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于点A(－1，0)和点B，且与y 轴交于点C，点B和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足y1>y2的x的取值范围．图620．如图7，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A (12，52)和B (4，m )，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C .(1)求抛物线的表达式．(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图7五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图8①，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为斜边向矩形外部作等腰直角三角形GDC ，∠G ＝90°，点M 在线段AB 上，且AM ＝12，点P 沿折线ADG 运动，点Q 沿折线BCG 运动(点P ，Q 均不与点G 重合)，在运动过程中始终保持线段PQ ∥AB .设PQ 与AB 之间的距离为x .(1)如图②，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，求x 的值； (2)在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积．图822．如图9，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式；(2)若P为二次函数图象上的一点，F为二次函数图象的对称轴上一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)连接BC，E是二次函数在第四象限内图象上的一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．图9六、(本大题共12分)23．如图10①，已知直线l：y＝－x＋2与y轴交于点A，抛物线ρ：y＝a(x－h)2＋k过点A，其顶点B在直线l上且点B的横坐标为1.(1)求抛物线ρ的表达式．(2)如图②，将抛物线ρ沿直线l平移使顶点B落在直线上的点D(点D在点B的右边)处，得到抛物线ρ′，且抛物线ρ′与原抛物线ρ交于点C，连接AC，DC.△ACD能否是直角三角形？若能，求此时抛物线ρ′的表达式及点C的坐标；若不能，请说明理由．图10参考答案1．D 2．A 3．B 4.B 5.C 6.B 7．y ＝－x 2(答案不唯一) 8．2 09．y ＝－2x 2＋4x －5 10．x 1＝1，x 2＝2 11．625 12．0或613．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －5)． ∵抛物线过点(0，－52)，∴－52＝a(0＋1)(0－5)，解得a ＝12，∴抛物线的表达式为y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52.(2)将抛物线的表达式化为顶点式为y ＝12(x －2)2－92.∵将抛物线绕它的顶点旋转180°，∴新抛物线的表达式中的二次项系数为－12，顶点不变，∴旋转后所得新抛物线的表达式为y ＝－12(x －2)2－92＝－12x 2＋2x －132.14．解：(1)y ＝12x 2＋x －4.(2)x<－1.(3)∵方程12x 2＋x －4＝k 有两个不相等的实数根，即方程12x 2＋x －4－k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝12－4×12×(－4－k)＝1＋2(4＋k)＝9＋2k>0，∴k>－92.15．解：(1)如图①，点P 就是所求作的点．(2)如图②，CD 就是所求作的线段．16．解：(1)∵二次函数y ＝(k －1)x 2＋x ＋1的图象与x 轴有交点，∴Δ＝b 2－4ac ＝12－4(k －1)＝－4k ＋5≥0， ∴k ≤54.又∵k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤54且k ≠1.(2)∵二次函数y ＝(k －1)x 2＋x ＋1的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝－4k ＋5>0， ∴k<54.又∵k ≠1，∴k 的取值范围是k<54且k ≠1.(3)k ＝54.17．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋5x ＋n 经过点A(1，0)， ∴0＝－12＋5×1＋n ， ∴n ＝－4，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋5x －4. (2)∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋5x －4，令x ＝0，则y ＝－4，∴点B 的坐标为(0，－4)，∴AB ＝17. ①当PB ＝AB ＝17时， OP ＝PB －OB ＝17－4， ∴P(0，17－4)．②当PA ＝AB 时，点P ，B 关于x 轴对称， ∴P(0，4)．综上可知，点P 的坐标为(0，17－4)或(0，4)．18．解：(1)由表格可猜测y 是x 的一次函数，设y 关于x 的函数表达式为y ＝kx ＋b. ∵当x ＝18时，y ＝30；当x ＝16时，y ＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝30，16k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝120， ∴y ＝－5x ＋120.经验证，表中其他各组对应值也符合所求关系式， ∴y 关于x 的函数表达式为y ＝－5x ＋120. (2)设日销售利润为W 元，依题意得W ＝(x －8)(－5x ＋120)＝－5x 2＋160x －960＝－5(x －16)2＋320，∴当x ＝16时，W 取得最大值，为320，∴当销售价格为16元/个时，可使日销售利润最大，最大为320元．(3)一个月不能销售完这批文具盒．理由如下：由题意知根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，则日销售量为－5×16＋120＝40(个)，销售天数为1600÷40＝40(天)，∴一个月不能销售完这批文具盒．19．解：(1)由二次函数图象过点A(－1，0)，得(－1＋2)2＋m ＝0，∴m ＝－1，∴二次函数的表达式为y 1＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，∴C(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.∵点B 和点C 关于抛物线的对称轴对称，∴B(－4，3)．∵一次函数y 2＝kx ＋b 的图象过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，∴一次函数的表达式为y 2＝－x －1.(2)x 的取值范围是x<－4或x>－1.20．解：(1)∵点B(4，m)在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝6，∴B(4，6)．∵点A(12，52)和B(4，6)在抛物线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8， ∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)存在．设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498. ∵12<n<4，∴当n ＝94时，线段PC 的长最大且最大值为498. 21．解：(1)由题意得PQ ＝20，AM ＝12，PA ＝x ，∴S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）·PA 2＝（20＋12）x 2＝48，解得x ＝3. (2)①当点P 在AD 上，即0<x ≤10时，S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）x 2＝（20＋12）x 2＝16x. ∵16>0，∴S 四边形AMQP 随着x 的增大而增大，∴当x ＝10时，S 四边形AMQP 取得最大值，最大值为160.②如图，当点P 在DG 上，即10<x<20时，S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）x 2. ∵PQ ∥AB ，∴∠GPQ ＝∠GDC ，∠GQP ＝∠GCD ，∴△GPQ ∽△GDC.过点G 作GE ⊥AB 于点E ，交PQ 于点H ，交CD 于点F ，则GH ⊥PQ ，GF ⊥CD.由题意易得GF ＝DF ＝10，EF ＝BC ＝10.∵△GPQ ∽△GDC ，∴PQ DC ＝GH GF，即PQ 20＝10－（x －10）10， ∴PQ ＝40－2x ，∴S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）x 2＝（40－2x ＋12）2x ＝－x 2＋26x ＝－(x －13)2＋169. ∵－1<0，∴当x ＝13时，S 四边形AMQP 取得最大值，最大值为169.∵160<169，∴在运动过程中，四边形AMQP 的最大面积为169.22．解：(1)由二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，B(3，0)，得y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 故二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)①当AB 为平行四边形的边时，如图①.则PF ＝AB ＝2，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴点P 的横坐标为0或4.当x ＝0时，y ＝3，此时点P 的坐标为(0，3)；当x ＝4时，y ＝3，此时点P 的坐标为(4，3)．∴点P 的坐标为(0，3)或(4，3)．②当AB 是平行四边形的对角线时，如图②.∵AB 的中点坐标为(2，0)，点F 的横坐标为2，由平行四边形对角线的性质可知点P 的横坐标为2，当x ＝2时，y ＝－1.∴点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，当以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形时，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．(3)如图③，易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，∴设点E 的坐标为(x ，x 2－4x ＋3)，则点D 的坐标为(x ，－x ＋3)，其中1<x<3，∴S 四边形AEBD ＝12AB(y D －y E )＝－x ＋3－x 2＋4x －3＝－x 2＋3x. ∵－1＜0，故S 四边形AEBD 有最大值，当x ＝32时，其最大值为94，此时点E 的坐标为(32，－34)． 23．解：(1)∵点A ，B 在直线l 上且点B 的横坐标为1，∴A(0，2)，B(1，1)．∵点B(1，1)是抛物线的顶点，∴抛物线ρ：y ＝a(x －1)2＋1.∵点A(0，2)在抛物线ρ上，∴2＝a(0－1)2＋1，解得a ＝1，∴抛物线ρ的表达式为y ＝(x －1)2＋1＝x 2－2x ＋2.(2)能．由题意知，若△ACD 为直角三角形，则∠CAD ＝90°或∠ACD ＝90°.①当∠CAD ＝90°时，易得直线AC 的表达式为y ＝x ＋2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2＝x ＋2，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝3，∴C(3，5)．∵点D 在直线l 上，设点D 的横坐标为n ，则点D 的纵坐标为2－n ，∴抛物线的表达式为y ＝a(x －n)2＋2－n.∵a ＝1且抛物线过点C(3，5)，∴5＝(3－n)2＋2－n ，解得n 1＝1(舍去)，n 2＝6，∴抛物线ρ′的表达式为y ＝(x －6)2－4＝x 2－12x ＋32.②当∠ACD ＝90°时，如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作DF ⊥EC ，垂足为F. ∵点D 在直线l 上，设点D 的横坐标为n′，则点D 的纵坐标为2－n′.∵a ＝1，∴抛物线ρ′的表达式为y ＝(x －n′)2＋2－n′.∵点C 是两抛物线的交点，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（x －1）2＋1，y ＝（x －n′）2＋2－n′，消去y ，得(x －1)2＋1＝(x －n′)2＋2－n′，解得x ＝n′2， ∴点C 的坐标为(n′2，n′24－n′＋2)． ∵∠ACD ＝∠CFD ＝90°，∴∠ACE ＋∠DCF ＝90°，∠DCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠ACE ＝∠CDF.又∵∠AEC ＝∠CFD ＝90°，∴△AEC ∽△CFD ，∴AE CF ＝CE DF， ∴AE n′2＝n′2n′24， ∴AE ＝1，∴点C 的纵坐标为3，∴n′24－n′＋2＝3，解得n′1＝2－2 2(舍去)，n′2＝2＋2 2， ∴n′2＝1＋2，2－n′＝－2 2. ∴C(1＋2，3)，抛物线ρ′的表达式为y ＝(x －2－2 2)2－2 2.。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)

一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根3．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝04．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线23y x =向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（） A ．23(5)1y x =-+ B ．23(-5)1y x =- C ．23(5)1y x =+-D ．23(5)1y x =++6．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．38．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（）A ．2B ．2C ．1D ．239．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（） A ． B ． C ． D ．10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2ba =-；④80a c +>．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x0 1 2 3 y75713则代数式的值为_______．15．若A （m-2，n ），B （m+2，n ）为抛物线2()2020y x h =--+上两点，则n=_______．16．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．17．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．18．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点，与y 轴的交点在y 轴正半轴，它的对称轴为直线1x =．有以下结论：①0abc >，②0a c ->，③若点()11,y -和()22,y 在该图象上，则12y y <，④设1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，若2am bm c p ++=，则()()120p m x m x --≤．其中正确的结论是____________（填入正确结论的序号）．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．三、解答题21．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置；（2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为；当y 1≥y 2时x 的取值范围是．22．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22mm ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．23．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ，E 两点，与x 轴交于B (1，0)，C (2，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，请通过计算写出一个满足条件点P 的坐标．24．一个二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为；（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像；（3）根据图像，写出当y ＞0时，x 的取值范围．25．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值．26．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可．【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-，∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．2．D解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m −n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．4．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵a ＜0，2ba-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴， ∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确； ③∵该函数图象的开口向下， ∴a ＜0；又∵对称轴-1＜x=2ba-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确；④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0，∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确．综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为：y=3（x+5）2；再向下平移1个单位为：y=3（x+5）2-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.7．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确；根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->，解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．【详解】解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，①当点E 在AB 上运动时，y=FC=BE=AB-AE=6-x ，即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；②当点E 在BC 上运动时，如下图，则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEC=∠EAB ，∴∠CFE=∠AEB ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴BE AB CF CE=，即6610x y x -=-，整理得：()2181061063y x x x =-+-<≤，图象为二次函数， ∵106-<，故()2218121086363y x x x =-+-=--+有最大值，最大值为23，即23m =，故选：D ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．B解析：B【分析】当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s 取最大值时，飞机停下来，∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误；当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1，故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．14．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A （h −2n ）B （h ＋2n ）将B （h ＋2n ）代入函数关系式即可求出结果【详解】解：∵A （m-2n解析：2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，再利用m-2+m+2=2h ，解得m=h ，则可得A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），将B （h ＋2，n ）代入函数关系式即可求出结果．【详解】解：∵A （m-2，n ），B （m+2，n ）是抛物线2()2020y x h =--+上两点， ∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，∴m-2+m+2=2h ，解得m=h ，∴A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），当x ＝h ＋2时，n ＝−（h ＋2−h ）2＋2020＝2016，故答案为：2016．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-，画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6，故填254-＜b ＜-6. 【点睛】本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.17．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35，故答案为：35. 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．18．③④【分析】利用数形结合思想从抛物线的开口与坐标轴的交点对称轴等方面着手分析判断即可【详解】解：∵抛物线的开口向下对称轴在原点的右边与y 轴交于正半轴∴a ＜0b ＞0c ＞0∴abc ＜0∴结论①错误；∵抛解析：③④【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0， b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴b=-2a ；∵ c+a+b ＞0，∴c-a ＞0，∴a-c ＜0， ∴结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，∵点()11,y -和()22,y 在该图象上，∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远；∴12y y <，∴结论③正确；∵2am bm c p ++=，1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，当0p a+b+c ＜≤时，12m ≤≤x x ；∴()()120＜--p m x m x ；当p=0时，()()12=0--p m x m x当p＜0时，()()120＜--p m x m x∴()()120p m x m x--≤∴结论④正确；③④故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．20．【分析】当BCP三点共线且C在BP之间时BP最大连接PB此时△OAQ∽△BAP且相似比为1:3由此即可求得求出BP的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP当BCP三点共线且C在BP之间时BP最解析：7 3【分析】当B、C、P三点共线，且C在BP之间时，BP最大，连接PB，此时△OAQ∽△BAP，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP，求出BP的最大值即可求解．【详解】解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大，此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：73．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．三、解答题21．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得： x ··· -3 -2 -1 0 1 ···y .. 0 3 4 3 0 (1)由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．22．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值，（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩，即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．23．（1）213122=-+y x x ；（2）点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2．【分析】（1）根据直线的解析式求得点A （0，1），然后利用待定系数法求得函数解析式；（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E 的坐标．△PAE 是直角三角形，应分点P 为直角顶点，点A 是直角顶点，点E 是直角顶点三种情况探讨．【详解】解：（1）解：（1）∵直线y=12x+1与y 轴交于点A ， ∴A （0，1），将A （0，1），B (1，0)，C (2，0)代入2y ax bx c =++中 10420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12321a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：213122=-+y x x （2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+即E 点的坐标213(,1)22m m m -+，又∵点E 在直线112y x =+上， ∴213111222m m m -+=+解得10m =（舍去），24m =， E ∴的坐标为(4,3)．（Ⅰ）当A 为直角顶点时，过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点，设1(,0)P a 易知D 点坐标为(2,0)-，由Rt AOD Rt ∆∽△1POA 得：DO OA OA OP =，即211a=， 12a ∴=， 11(2P ∴，0)．（Ⅱ）同理，当E 为直角顶点时，过E 作2EP DE ⊥交x 轴于2P 点，由Rt AOD Rt ∆∽△2P ED 得，2DO DE OA EP =，即221=22EP ∴=，2152DP ∴==， 1511222a ∴=-=， 2P 点坐标为11(,0)2．（Ⅲ）当P 为直角顶点时，过E 作EF x ⊥轴于F ，设3(P b ，0)，由90OPA FPE ∠+∠=︒，得OPA FEP ∠=∠，Rt AOP Rt PFE ∆∆∽，由AO OP PF EF =得143b b =-，解得13b =，21b =，∴此时的点3P 的坐标为(1,0)或(3,0)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m的值；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∴x=4和x=0时的函数值相等，∴m=3；故答案为：3；（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，y 时，x＜1或x＞3．（3）观察图象，0【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 25．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）32m = 【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．【详解】解：（1）2230mx mx m --=，∵0m >，方程两边同时除以m 得， 2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=，把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ，抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限，∴43m =∴3m =．【点睛】本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．26．（1）12m =-，25n =；（2）当18x =时，968W =最大．【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值．【详解】解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得 321276m m =-，解得12m =-，当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =，故答案为：12m =-，25n =．（2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +．当120x ≤<时，()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当18x =时，968W =最大．当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+，∵280>，∴W 随x 的增大而增大，∴当30x =时，952W =最大．∵968952>，∴当18x =时，968W =最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．。

北师大版数学九年级下第二章《二次函数》测试题含答案

北师大版数学九年级下册第二章全章测试题一、选择题(3分×10＝30分)1．(2021，益阳)抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是( )A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1)2．若二次函数y＝x2＋bx＋4配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为( )A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，03．(2021，衢州)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值分别为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝24．已知二次函数y＝－12x2－7x＋152，若自变量x分别取x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y15．已知抛物线y＝x2－2x＋m＋1与x轴有两个不同的交点，则函数y＝mx的大致图象是( )6．某市烟花厂为该市4.18烟花三月经贸旅游特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52t2＋20t＋1.若这种礼炮点火开空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．168．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是( )A．abc＜0B．－3a＋c＜0C．b2－4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞310．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为()二、填空题(3分×10＝30分)11．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为____________12．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)、(3，0)两点，则它的对称轴为____________________．13．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有_____________(填写所有正确选项的序号)．14．二次函数y＝x2－(m－4)x－m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称，则其顶点坐标为___________．15．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险．16．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是_____，最大值是____．17．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．18．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：(1)开口向下；(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小，这样的二次函数的解析式可以是__________________________________________.19．2021年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－29x2＋89x＋109，则羽毛球飞出的水平距离为__________米．20．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1、M2、M3、…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1、A2、A3…A n、….则顶点M2021的坐标为______________．三、解答题(共60分)21．(7分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求b、c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象．22．(8分)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA.(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．24．(8分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？25．(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm.点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．26．(9分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种工具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．(12分)如图，已知抛物线y＝38x2－34x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案:一、1---10 ADBAA BBBDB 二、11. y＝a(1＋x)212. 直线x＝213. ①③14. (0，－4)15. 会16. －5 417. －118. 答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x －3等．19. 520. (4027，4027)三21. 解：(1)b＝－4，c＝3(2) (2，－1)，x＝2(3)画图略22. 解：(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0，1)(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以(－6)2－4m＝0，m＝9.综上可知，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.23. 解：(1)4(2)①c＝4；②∵y＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，∴m的取值范围为1＜m＜324. 解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600；当x＝140，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．25. 解：(1)y＝－x2＋9x(0＜x≤4)(2)y＝－(x－92)2＋814，∵当0＜x≤92时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.26. 解：(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10(x－20)(x－50)＝－10x2＋700x－10000 (2)∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250，∴当x＝35时，w取到最大值2250.即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元(3)∵w＝－10(x－35)2＋2250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A，20＜x≤30，此时w随x的增大而增大，∴x＝30时，w取到最大值2000.∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元；对于方案B ，则有⎩⎨⎧250－10（x －25）≥10，x －20≥25.解得45≤x ≤49.此时w 随x 的增大而减小．故当x ＝45时，w 取到最大值1250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1250元．两者比较，还是方案A 的最大利润更高．27. 解：(1)∵y ＝38x 2－34x －3，∴当y ＝0时，38x 2－34x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.当x ＝0，y ＝－3.∴A 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－3) (2)∵y＝38x 2－34x －3，∴对称轴为直线x ＝342×38＝1.∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x ＝1对称，∵C 点坐标为(0，－3)，∴M 点坐标为(2，－3)；②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3.当y ＝3时，38x 2－34x －3＝3，解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17，∴M 点坐标为(1＋17，3)或(1－17，3)．综上所述，所求M 点坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)(3)结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1.由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合，∴P 1(－2，0)．∵P 1A ＝6，BC ＝2，∴P 1A≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形；②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2.∵A 点坐标为(4，0)，B 点坐标为(2，－3)，∴直线AB的解析式为y＝32x－6，∴可设直线CP2的解析式为y＝32x＋n，将C点坐标(0，－3)代入，得n＝－3，∴直线CP2的解析式为y＝32x－3.∵点P2在抛物线y＝38x2－34x－3上，∴38x2－34x－3＝32x－3，化简得：x2－6x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2(6，6)．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数达标检测题(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章达标检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．关于函数y ＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是（ C ）A .y 是x 的二次函数B ．二次项系数是－10C ．一次项是100D ．常数项是20 0002．对于二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，若b ＋c ＝0，则二次函数的图象一定过点（ D ）A .(－1，－1)B ．(1，－1)C ．(－1，1)D ．(1，1)3．将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（ D ）A .y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－34．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在的高度最高的是( B )A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒5．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是（ B ） A.当x >0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点6．(苏州中考)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( D )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝1，x 2＝5C ．x 1＝1，x 2＝－5D ．x 1＝－1，x 2＝57．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是（ D ）8．若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2－ax（ B ）A.有最大值a 4 B ．有最大值－a 4C ．有最小值a 4D ．有最小值－a 49．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b 的值为（ B ）A.－5 B ．4或－4 C ．4 D ．－410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论中正确的个数为（ C ）①若点P (－3，m )，Q (3，n )在抛物线上，则m <n ；②c ＝a ＋3；③a ＋b ＋c <0；④方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知二次函数的图象经过(0，3)，(4，3)两点，则该二次函数图象的对称轴为直线x ＝2 .12．在同一直角坐标系下，抛物线y1＝ax2＋bx与直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式ax2＋bx>2x的解集是0<x<2 .13．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3 .14．(河南中考)已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3>y1>y2 .15．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b 的取值范围是b≤1 .16．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4 .17．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 m，底部宽度OM为12 m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是15 m .18．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2) ．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点．(1)观察图象写出A，B，C三点坐标；(2)求出此二次函数的表达式．解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)．(2)设y ＝ax 2＋bx －3，将A (－1，0)，C (4，5)代入得⎩⎨⎧a －b －3＝0，16a ＋4b －3＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2， ∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x －3.20．(10分)(福建中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m .(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A (3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．解：(1)由题意得：4＋4m >0，∴m >－1.(2)将A (3，0)代入得：－9＋6＋m ＝0，∴m ＝3，∴B (0，3)，对称轴为直线x ＝1，在Rt △AOB 中，OB ＝OA ＝3，∴∠BAO ＝45°，∵AH ＝2，∴PH ＝2，∴P 的坐标为(1，2)．21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B (点A 在点B 的左侧)．(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位长度得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位长度，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B 3重合．已知m >0，n >0，求m ，n 的值．解：(1)令y ＝0，则－12x 2＋2x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝6， ∴A (－2，0)，B (6，0)．由函数图象得当y ≥0时，－2≤x ≤6. (2)由题意得B 1(6－n ，m )，B 2(－n ，m )．函数图象的对称轴为直线x ＝－2＋62＝2. ∵点B 1，B 2在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n ＋（－n ）2＝2，∴n ＝1. ∴m ＝－12×(－1)2＋2×(－1)＋6＝72， ∴m ，n 的值分别为72，1.22．(12分)(抚顺中考)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x(元/千克)…50607080…销售量y(千克)…100908070…(1)求y(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润W(元)最大？此时的最大利润为多少元？解：(1)y与x的函数关系式为y＝－x＋150(20≤x≤90)．(2)根据题意得(－x＋150)(x－20)＝4 000，解得x1＝70，x2＝100>90(不合题意，舍去)．故该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元．(3)W与x的函数关系式为W＝(－x＋150)(x－20)＝－x2＋170x－3 000＝－(x－85)2＋4 225，∵－1<0，∴当x＝85时，W值最大，W最大值是4 225，∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4 225元．23．(12分)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，①求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．②球能否越过球网？球会不会出边界？请说明理由．(2)若球一定能越过球网，又不会出边界，求h的取值范围．解：(1)①当h＝2.6时，有y＝a(x－6)2＋2.6.其图象过点(0，2)，得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60.所以y＝－160(x－6)2＋2.6.②当h＝2.6时，由(1)知y＝－160(x－6)2＋2.6.由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45>2.43，所以球能越过球网；由－160(x－6)2＋2.6＝0，x>0，得x＝6＋156>18.或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2>0，所以球落地时会出界．(2)根据题设知y＝a(x－6)2＋h.由图象经过点(0，2)，得36a＋h＝2，①由球能越过球网，得9a＋h>2.43，②由球不出边界，得144a＋h≤0.③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥83.24.(14分)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点B (－2，0)，点C (8，0)，与y 轴交于点A .(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的表达式；(2)连接AC ，AB ，若点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求点N 的坐标；(3)连接OM ，在(2)的结论下，求OM 与AC 的数量关系．解：(1)将点B ，C 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋4＝0，64a ＋8b ＋4＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－14，b ＝32. ∴二次函数的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4. (2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2<n <8)，则BN ＝n ＋2，CN ＝8－n . ∵B (－2，0)，C (8，0)，∴BC ＝10.在y ＝－14x 2＋32x ＋4中，令x ＝0，则y ＝4.∴点A (0，4)，OA ＝4.∴S △ABN ＝12BN ·OA ＝12(n ＋2)×4＝2(n ＋2)． ∵MN ∥AC ，∴AM AB ＝NC BC ＝8－n 10，∴S △AMN S △ABN ＝AM AB＝8－n 10， ∴S △AMN ＝8－n 10S △ABN ＝15(8－n )(n ＋2)＝－15(n －3)2＋5. ∵－15<0，∴当△AMN 的面积最大时，n ＝3，即N (3，0)． (3)当N (3，0)时，N 为BC 边的中点．∵MN ∥AC ，∴M 为AB 边中点，∴OM ＝12AB . ∵AB ＝OA 2＋OB 2＝25，AC ＝OC 2＋OA 2＝45，∴AB ＝12AC ，∴OM ＝14AC .。

北师大版九年级下册数学试题：第二章二次函数测试卷(含答案)

初三二次函数自我检测姓名一、精心选一选（每题3分，共30分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A ．21y x x=- B ．22(1)y x x =-- C ．222x x y -=D ．21y x x=+2．抛物线 42-=x y 的顶点坐标是（）A 、（2，0）B 、（-2，0）C 、（1，-3）D 、（0，-4） 3．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，则它的对称轴是（） A 、x= - b/a B 、1=x C 、2=x D 、3=x 4．已知反比例函数)0(≠=a xay ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则函数a ax y +=2的图象经过的象限是（） A 、第三、四象限 B 、第一、二象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、二、三象限 5．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状、大小及开口方向与抛物线22x y -=相同，则c bx ax y ++=2的函数关系式为（） A 、322+--=x x y B 、5422++-=x x y C 、8422++-=x x y D 、6422++-=x x y6．抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A .y=21x 2+2x －2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=21x 2－2x －1 D .y=21x 2－2x+17.下列判断中唯一正确的是( )A.函数y=ax 2的图象开口向上,函数y= -ax 2的图象开口向下B.二次函数y=ax 2,当x<0时,y 随x 的增大而增大C.y=2x 2与y= -2x 2图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同D.抛物线y=ax 2与y=-ax 2的图象关于x 轴对称8．在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2与(0)y ax b ab =-≠的图象大致如图（）9.把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2-3x+5,则有( )A. b=3,c=7B. b=-9,c=-15C. b=3,c=3D. b=-9,c=2110．二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则下列关于a ，b ，c 间的函数关系判断正确的是（）A ．0ab <B ．0bc <C ．0a b c ++>D ．0a b c -+< 二、细心填一填（每空2分，共34分）11．若22(2)my m x -=-是二次函数，则m= 。

2023年春学期北师大版九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷附答案解析

2023年春学期九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是()A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …-2013…y …6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：①<0abc ；②240b ac ->；③0a b c ++=；④21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是_____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．23．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2 ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案：1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．D8．D9．C10．C11．D12．B13．126414．（2，0）15．316．132y y y <<17．1018．﹣3＜x ＜119．420．1.12521．(1)2114y x =-+(2)23(3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）26，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

北师大版数学九年级下第二章二次函数全章综合测评题含答案.doc

全章综合测评题一、选择题1. 二次函数y = -2(x-3)2+5图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分別为()A. 开口向下，对称轴为x = -3,顶点坐标为(3, 5)B. 开口向下，对称轴x = 3,顶点坐标为(3, 5)C. 开口向上，对称轴x = -3,顶点坐标为(-3, 5)D. 开口向上，对称轴为x = 3,顶点坐标为(-3, 5)2. 二次函数y = ?+4x + 3的图彖可以由二次函数j = x 2的图象平移而得到，下列平移正确的是() A. 先向左平移2个单位, B. 先向左平移2个单位,C. 先向右平移2个单位,D. 先向右平移2个单位,3. 某种新型礼炮的升空高度处门)与飞行时间心)的关系式/? = -|r 2+20r + l,若这种礼炮在点火升空到 2最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为()A ・3$ B.4s C.5s D.6$ 4•二次函数y = ar 2+加+ c (心0)的图象如图所示，则下列说法不正确的是O则当兀=1时，y 的值为()A.5B.-3C.-13D. -27二、填空题 7. ____________________________________________ 已知二次函数y = -3兀$+6—1，请回答：①开口向 _________________________________________________________ ；②顶点坐标： _______ ；③对称轴： ______ ； ④当x ____ 时，y 随兀的增大而减小；⑤当兀= __________ 时，y 有 _____ 值 ____ ；⑥图象与丿轴的交点坐标为 ____ ；图彖与x 轴的交点坐标为 ______ 和 _______&将抛物线y = ^x 2沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移5个单位，所得图象的函数表达式是 9. 函数y =丄+ +2x + l 写成y = a^x-h)2 +k 的形式是 ____________10. 已知抛物线的对称轴为x = -l 与无轴、y 轴分别交于4(-3,0), c(l,-2)，则抛物线的关系式是____ ,与兀轴的另一个交点的坐标是 ___________再向上平移1个单位再向下平移1个单位再向上平移1个单位再向下平移1个单位C. c > 0D./?>0 X -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27-13 -3 3 5 B. a > 05•若二次函数y = ax 2+bx + c 的x 玉y 的部分对应值如下表: 6 •在冋一直角坐标系中，函数y = mx + m 和y = -m 『+2x + 2 ( m M 常数，且〃 ?H0)的图象可能是() A.B. C ・ D ・11.如图，一桥拱呈抛物线形状，桥的最大高度CM是16米，跨度是40米，则距离CM 5米的桥高DE是_______ 米12. ____________________ 如图所示，把同样人小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第〃个图形需要黑色棋子的个数是三、解答题 13•九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销售量与售价的相关信息如下表:售价（元/件） 100 110 120 130 • •• 月销售（件） 200 180 160 140• • • 己知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元（1）请用含兀的式子表示① 销售该运动服每件的利润是 _______ 元（直接写出结果）② 月销售量是 ____ 件（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？14.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为xm,矩形区域ABCD 的面积为.yn?全章综合测评题答案一、LB 2. B3. B4. D5. D6. D二、7•①下 \ \\ 9 8. y = -(x + 20/-51 9 9. y = -(x + 2) -1L-1-I堤- , 习址大 ,M1 U 直>1 , ②③④⑤- 3 zf — 第2个图形第3个图形第4个图形 .DF tC10. y = |(x + l)2-|,(l, O)11. 1512. n 2 +2n三、13.解：(1)①兀一60；②-2x + 400(2)由题意得y = (x-60)(-2x + 400) = -2x 2 + 520x 一24000 = -2(x-l30)2 + 9800••・售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元14.解：(1) •・•三块矩形区域的面积相等，.••矩形AEFD 的面积是矩形BCEF 的面积的2倍・•・ AE = 2BE设 = 贝!| AE = 2a , /.+ 2x = 80 , :, a —x + 10 , 2a = ——x +20 y =——x + 20 x+ ——• I 2 丿 I 4(2) v y = -|x 2 + 30x = -|(x-20)2 + 300(0<x<40),且a =—扌<0 .•.当兀=20时，y 有最大值，最大值为300n? •"丁+ 10>0, g40 X = --X 2+30X4。

北师大新版九年级数学下学期《第2章二次函数》单元练习卷含解析

第2章二次函数一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x22．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+14．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.148．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有．（只填序号）17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．32．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？33．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．34．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．35．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE＝100米，EA＝60米，BC＝70米，CD＝80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．（1）求直线AB的解析式．（2）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数关系式．36．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）．求这个二次函数的解析式．37．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．38．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G 只有一个公共点，则b的取值范围是．39．抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为；m＝，n＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？40．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求顶点坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．2．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．【解答】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：A．4．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）【分析】根据题意可知，解方程x2+2x＝0，即可得出结果．【解答】解：令y＝0，则x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，所以抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（0，0）或（﹣2，0），故选：C．5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∴水柱的最大高度是：6．故选：C．6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.14【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．8．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m【分析】根据题意，把x＝10直接代入解析式即可解答．【解答】解：根据题意B的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x2，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选：B．9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，∴m≤．故选：C．10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误；C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确；D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误；故选：C．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为7 ．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y＝x2﹣x+1，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y＝x2﹣x+1，∴n＝9﹣3+1＝7，即n＝7，故答案是：7．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为（1，0）．【分析】通过解方程x2﹣2x+1＝0得抛物线与x轴交点的交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ 1 ．【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【分析】根据二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，∴，解得，k≤4且k≠0，故答案为：k≤4且k≠0．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4 ．【分析】写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＜﹣1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有①②③⑤．（只填序号）【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x＝1时y的值即可判断．【解答】解：①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∴①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，4ac＜b2．∴②正确；③∵抛物线的对称轴x＜1，即﹣＜1，得2a+b＞0．∴③正确；④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2．∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤正确；⑥当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．∴⑥错误．故答案为①②③⑤．17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+5 ．【分析】曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，即可求解．【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，故抛物线向上平移4个单位，则y＝（x﹣2）2+5，故答案为．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法可以解答此方程；（2）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将该函数的解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+3）＝6，∴x2+x﹣6＝6，∴x2+x﹣12＝0，∴（x﹣3）（x+4）＝0，∴x﹣3＝0或x+4＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣4；（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；（2）先判断点P是否落在图象上，然后将x＝﹣2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+5＝+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，）；（2）点P（﹣2，5）不落在图象上，理由：当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣（﹣2）+5＝9，∴点P（﹣2，5）不落在图象上．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如右图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值0 ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2 ；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5 ．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2，故答案为x≤﹣4或x≥2；（4）由图象可知当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？【分析】（1）根据一天获利＝每件利润×一天的销售量即可求解；（2）①根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；②根据①的关系式利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得（100﹣80）×100＝2000．答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元（2）①根据题意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160整理，得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8．答：每件商品应降价2元或8元．②y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250当x＝5时，y有最大值为2250．答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+2000．当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？【分析】（1）根据直角坐标系中的抛物线，和已知条件即可求解；（2）根据货车宽度可知抛物线解析式中的x值，即可求出对应的y的值，再与货车高度比较即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0），∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，把（0，0）代入，得25a+4＝0，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x．答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x．（2）货船能从桥下通过．理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．【分析】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．【解答】解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，∴k2﹣3k﹣10＝0，∴（k﹣5）（k+2）＝0，解得，k1＝5，k2＝﹣2，即k的值是5或﹣2．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得三角形的面积即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＝﹣或x＝1，∵点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，∴A（1，2），B（﹣，），∴S△ABO＝×1×+×1×1＝．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．【分析】（1）根据图象即可求出y与x的函数关系；（2）根据销售利润等于每千克的利润乘以销售量即可求解；（3）每天的销售量与天数即可求解．【解答】解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点Q在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P 点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求出E点的坐标；（3）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2））∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），∵点F在线段BC下方，∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△BCF＝EF•OB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，又∵S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝﹣（x﹣）2++6＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），综上可得四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），∵P点为抛物线对称轴上的一点，∴设P（1，t），∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，∵△PCD为等腰三角形，∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，此时P点坐标为（1，﹣3）；②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，﹣2）；。

北师大版数学九年级下册第二章二次函数单元检测试卷(含答案解析)

数学北师九年级下第二章二次函数单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1．在下列函数关系式中，y 是x 的二次函数的是( )．A ．xy＝6 B ．xy ＝－6 C ．x 2＋y ＝6 D ．y ＝－6x 2．抛物线①y ＝2x 2，②y ＝223x－7，③y ＝213x ＋5中，开口从大到小的顺序为( )．A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③3．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )．A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h4．在反比例函数y ＝ax中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则二次函数y ＝ax 2－ax 的图象大致是下图中的( )．5．如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a －b ＜0；(4)a ＋b ＋c ＜0.你认为其中错误的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个6．已知二次函数y ＝2x 2＋9x ＋34，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2时的函数值与( )． A ．x ＝1时的函数值相等 B ．x ＝0时的函数值相等 C ．x ＝14时的函数值相等D ．x ＝94-时的函数值相等 7．已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝12x -＋3的图象如图所示，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是( )．A ．32-＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜32- C ．－2＜x ＜32 D ．x ＜－2或x ＞328．根据下表中的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴( ).A y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)9．把抛物线y ＝3x 2先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为______．10．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是__________．11．已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的关系式__________．12．若直线y＝ax－6与抛物线y＝x2－4x＋3只有一个交点，则a的值是__________．13．给出下列命题：命题1.点(1,1)是双曲线y＝1x与抛物线y＝x2的一个交点．命题2.点(1,2)是双曲线y＝2x与抛物线y＝2x2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线y＝3x与抛物线y＝3x2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：__________________________. 三、解答题(本大题共4小题，共43分)14．(8分)已知点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax＋b图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．15．(10分)如图①，是苏州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线的解析式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．图①图②16．(12分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．17．(13分)宏达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)请把(2)中的二次函数配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．参考答案1．答案：C2．解析：二次项系数的绝对值越小，开口越大． ∵1233<-＜2，∴抛物线的开口从大到小的顺序为③②①. 答案：B 3．答案：A4．解析：在反比例函数y ＝ax中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，所以a ＞0. 所以二次函数y ＝ax 2－ax 开口向上，且与x 轴交于(0,0)和(1,0)点，应选A ．答案：A5．解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0.∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点坐标是(0，c )， ∴c ＜1.∵对称轴x ＝2ba-＞－1，又a ＜0，∴2a －b ＜0.当x ＝1时，y ＜0，即当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0， ∴只有(2)错误．答案：D6．解析：利用抛物线的对称性可知，x 1＋x 2正好是对称轴的横坐标x 的值的2倍，即x 1＋x 2＝ba-.以对称轴为基础，正好与x ＝0时的函数值相等．答案：B7．解析：y 1＜y 2，即抛物线在直线下方的那部分对应的自变量x 的取值范围，需求出直线与抛物线的两交点坐标．答案：C8．解析：根据表中x ，y 的对应值描出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的大致图象，可以看出，该二次函数的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．答案：B9．解析：抛物线y ＝3x 2的顶点是(0,0)，先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后是(－3,2)．所以，所得抛物线的解析式是y ＝3(x ＋3)2＋2.答案：y ＝3(x ＋3)2＋210．解析：把(1,0)的坐标代入二次函数y ＝x 2－mx ＋3的解析式，得1－m ＋3＝0.解得m ＝4.答案：411．答案：y ＝－x 2－2x ＋3(满足条件即可，答案不惟一)12．解析：由题意，知26,43y ax y x x =-⎧⎨=-+⎩只有一个解，即方程x 2－(4＋a )x ＋9＝0有两个相等的实数根．所以(4＋a )2－4×1×9＝0. 解得a ＝2或a ＝－10. 答案：2或－1013．答案：点(1，n )是双曲线y ＝nx与抛物线y ＝nx 2的一个交点 14．解：(1)∵点A(1,1)在二次函数y ＝x 2－2ax ＋b 的图象上，∴1＝1－2a ＋B ．可得b ＝2A ．(2)根据题意，方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个相等的实数根， ∴4a 2－4b ＝4a 2－8a ＝0.解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0)；当a ＝2时，y ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0)． ∴这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．15．解：(1)抛物线的顶点坐标为(5,5)，与y 轴的交点坐标是(0,1)．设抛物线的解析式是y ＝a (x －5)2＋5，把(0,1)代入y ＝a (x －5)2＋5得a ＝425-. ∴y ＝425-(x －5)2＋5(0≤x ≤10)． (2)由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4， ∴4＝425-(x －5)2＋5. ∴425(x －5)2＝1.∴x 1＝152，x 2＝52.∴两盏景观灯间的距离为5米．16．解：(1)将(3,0)代入二次函数解析式，得－32＋2×3＋m ＝0.解得m ＝3. (2)二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0.解得x ＝3或x ＝－1. ∴点B 的坐标为(－1,0)．(3)∵S △ABD ＝S △ABC ，点D 在第一象限， ∴点C ，D 关于二次函数的对称轴对称．∵由二次函数解析式可得其对称轴为x ＝1，点C 的坐标为(0,3)，∴点D 的坐标为(2,3)． 17．解：(1)45＋26024010-×7.5＝60(吨)．(2)y ＝(x －100)260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，化简得y ＝234x -＋315x －24 000. (3)y ＝234x -＋315x －24 000 ＝34-(x －210)2＋9 075. 要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．(4)小静说的不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而对于月销售额 W ＝x 260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭＝34-(x －160)2＋19 200来说，当x 为160元时，月销售额W 最大． ∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．。

北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)

第二章二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6，由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)．故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600，－10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ，即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)．把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数检测题及答案.doc

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】第二章单元检测卷一、选择题（每小题3分；共33分）1.二次函数，当y<0时，自变量x的取值范围是（）A. -1＜x＜3B. x＜-1C. x＞3D. x＜-1或x＞32.如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A. a+b=kB. 2a+b=0C. b＜k＜0D. k＜a ＜03.将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A. （5，4）B. （1，4）C. （1，1）D. （5，1）4.已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（）A. m﹣1的函数值小于0B. m﹣1的函数值大于0C. m﹣1的函数值等于0D. m﹣1的函数值与0的大小关系不确定5.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A. b=2，c=2B. b=2，c=0C. b=﹣2，c=﹣1D. b=﹣3，c=26.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )A. （－2，3）B. （2，3）C. （－2，－3）D. （2，－3）7.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A. y=（x+2）2+2B. y=（x-2）2-2C. y=（x-2）2+2D. y=（x+2）2-28.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图③所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b=0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（）A. 1月，2月B. 1月，2月，3月C. 3月，12月D. 1月，2月，3月，12月10.将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A. y=（x+1）2﹣13B. y=（x﹣5）2﹣3C. y=（x﹣5）2﹣13D. y=（x+1）2﹣311.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），则的值为（）A. 0B. －1 C. 1 D. 2二、填空题（共10题；共30分）12.已知二次函数y=﹣x2﹣2x+1，当x________时，y随x的增大而增大．13.（2014•扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为________．14.农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为________ ．15.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=________．16.根据下表判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是________ x 0.4 0.5 0.6 0.7ax2+bx+c ﹣0.64 ﹣0.25 0.16 0.5917.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．18.如图，抛物线与轴的一个交点A在点（－2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则的取值范围是________．19.形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为________．20.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是________x …﹣1 0 1 2 3 …y … 10 5 2 1 2 …21.若二次函数y=2x2﹣x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是________ .三、解答题（共4题；共37分）22.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）（1）当m=0时，求该函数的零点．（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．23.如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离．（1）飞行的水平距离是多少时，球最高？（2）球从飞出到落地的水平距离是多少？24.已知二次函数图象顶点坐标（﹣3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标．25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= S四边形ACBD 时，求D点坐标；（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．参考答案一、选择题A C DB B A BCD D B二、填空题12.＜﹣2 13. 0 14.15. 3 16. 0.5＜x＜0.6 17.＞18. - ≤a≤- 19. y=﹣2x2﹣520. 0＜x＜1或3＜x＜4 21. m≥﹣三、解答题22. 1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，解得x=±，所以，m=0时，该函数的零点为±；（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3），=4m2+8m+24，=4（m+1）2+20，∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，∴△=4（m+1）2+20＞0，∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，即，无论m取何值，该函数总有两个零点．23.解：（1）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，y有最大值为．所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；（2）令y=0，则﹣x2+x=0，解得x1=0，x2=8．所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米．24.解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把h=﹣3，k= ，和点（2，）代入y=a（x﹣h）2+k，得a（2+3）2+ = ，解得a= ，所以二次函数的解析式为y= （x+3）2+ ，当x=0时，y= ×9+ = ，所以函数图象与y轴的交点坐标（0，）25.（1）解：∵令x=0得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）．令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，∴A（﹣3，0）．将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3（2）解：如图1所示：令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．∴AB=4．∵S△ACD= S四边形ACBD，∴S△ADC：S△DCB=3：5．∴AE：EB=3：5．∴AE=4×= ．∴点E的坐标为（﹣，0）．设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=﹣3．∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．∴点D的坐标为（﹣4，5）（3）解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得：，解得：k=3，b=﹣3．∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．设直线DE的解析式为y=﹣x+n，将点D的坐标代入得：﹣×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣= ．∴直线DE的解析式为y=﹣x+ ．将y=3x﹣3与y=﹣x+ 联立解得：x=2，y=3．∴点E坐标为（2，3）．依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ．∵点P与点Q关于点B对称，∴PB=BQ．在△PCB和△QEB中，∴△PCB≌△QEB．∴∠BPC=∠Q．又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG∴∠DBE=∠DGB．又∵∠DBE+∠BDE=90°，∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．∵D（﹣4，5），B（1，0），∴DM=NB．∴∠DBN=45°．∴∠PBM=45°．∴PM=MB设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．∴点P的坐标为（﹣2，3）．∴PC∥x轴．∵∠Q=∠BPC，∴EQ∥PC．∴点E与点F的纵坐标相同．将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+ （舍去）．∴点F的坐标为（﹣1 ，3）．∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元检测试题(有答案)

第二章二次函数单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下例函数中是二次函数的有（）①；②；③；④．A.个B.个C.个D.个2. 抛物线与的图象，开口较大的是（）A. B. C.同样大 D.无法确定3. 抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.5. 下列关于二次函数的图象与轴交点的判断，正确的是A.只有一个交点，且它位于轴的右侧B.只有一个交点，且它位于轴的左侧C.有两个交点，且它们位于轴的两侧D.有两个交点，且它们位于轴的右侧6. 若将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断中①；②；③；④；⑤正确的个数是（）A. B. C. D.8. 点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点（在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④9. 已知两点、均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中，某二次函数图像的顶点为，此函数图像与轴交于，两点（点在点左侧），且．若此函致图像经过，，，四点，则实数，，，中为负数的是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，顶点恰好在直线上，则的值为________．12. 二次函数有最大值，则的值是________．13. 若二次函数的最低点的纵坐标是，则的值是________．14. 二次函数的图象如图所示，则它的解析式为________，如果另一个函数图象与该图象关于轴对称，那么它的解析式是________．15. 用厘米的铁丝，折成一个长方形框架，设长方形的一边长为厘米，则另一边长为________，长方形的面积________．16. 将二次函数化成的形式为________．17. 如图是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面时，水面宽．如图所示建立在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是________．18. 某商人将进价为每件元的某种商品按每件元出售，每天可销出件，经试验，把这种商品每件每提价元，每天的销售量就会减少件，则每天所得的利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式为：________．19. 如图，用长米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，可以设为米，也可以选择________为米，相应地面积的解析式为________或________20. 用“描点法”画二次函数＝的图象时，列出了如下表格：……＝……那么该二次函数在＝时，＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知抛物线（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，利用函数图象求的取值范围．22. 已知一抛物线与轴轴的交点分别是、且经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．23. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求这个二次函数的解析式；该男同学把铅球推出去多远？24. 抛物线和反比例函数的图象如图所示利用图象解答：（1）方程的解（2）取何值时．25. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；（4）若方程没有实数根，求取值范围．26. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过元，也不得低于元．经调查发现：日均销售量（棵）与销售单价（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价元时，日均销售棵；每棵售价元时，日均销售棵．（1）求日均销售量与销售单价的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用元，求销售利润（元）与销售单价之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：②；③是二次函数，故选：．2.【答案】A【解答】解：抛物线与的图象中，，∵，∴抛物线的开口小于的开口，故选．3.【答案】B【解答】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为．故选.4.【答案】B【解答】解：∵二次项系数，∴开口方向向下，∵一次项系数，∴对称轴为轴，∵常数项，∴图象与轴交于.故选．5.【答案】D【解答】解：当时，.∵，∴，∴有两个不同的实数根，即函数与轴有两个交点.设两根分别为，则，，∴函数与轴的两个交点位于轴右侧.故选.6.【答案】B【解答】∵将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，∴平移后的二次函数的解析式为：＝，∴平移后的二次函数的顶点坐标为，7.【答案】A【解答】解：①、图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，，，∴，故①错误；②、∵对称轴是，∴，∴，∴，故②错误；③、当时，，∴，故③正确．④、时，，∴，∵，∴，故④错误；⑤、时，，∴，∵，∴，故⑤错误；故选：．8.【答案】A【解答】解：∵点，的坐标分别为和，∴线段与轴的交点坐标为，又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，∴，（顶点在轴上时取“”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段上运动，∴当时，随的增大而增大，因此，当时，随的增大而增大，故②正确；若点的横坐标最大值为，则此时对称轴为直线，根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误；根据顶点坐标公式，，令，则，，根据顶点坐标公式，，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，解得，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选.9.【答案】B【解答】解：∵点是该抛物线的顶点，，∴抛物线开口向下，当两点、都在对称轴左侧，则；当两点、在对称轴两侧，则点离对称轴要近，所以，∴．故选．10.【答案】C【解答】解：设二次函数解析式为，函数图象与轴交于，两点，对称轴为直线，且，点，的坐标分别为：，，将点的坐标代入二次函数解析式并解得：，二次函数的解析式为，将，，，代入上式逐次验证，当时，，即.故选.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴将的图象向右平移个单位，向上平移个单位后顶点坐标为．根据题意，得，解得．故答案是：．12.【答案】【解答】解：∵二次函数有最大值，∴，，即，整理得：，即，解得：，（不合题意舍去），则的值是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为，把代入得，，整理得，解得，，．函数有最低点，舍去，故答案为．14.【答案】,【解答】解：设抛物线的解析式为，由图可知，二次函数的图象经过点，∴，解得∴；∵另一个函数的图象与该函数的图象关于轴对称，∴这个函数的关系式是．故答案为：，．15.【答案】,【解答】解：∵长方形的一边长为厘米，周长为厘米，∴另一边长为，∴长方形的面积．故填空答案：，．16.【答案】【解答】解：，所以．故答案为：．17.【答案】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系如下，设抛物线解析式为，由图象可知该图象经过点，故，解得．则抛物线的解析式是．18.【答案】【解答】解：每件可获得的利润为元，可售出的数量为，∴，故答案为．19.【答案】或,,【解答】解：若设为，则，面积；若设为，则，面积．20.【答案】【解答】由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为＝，∴当＝时的函数值等于当＝时的函数值，∵当＝时，＝，∴当＝时，＝．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．【解答】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．22.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．23.【答案】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．【解答】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．24.【答案】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．【解答】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．25.【答案】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．【解答】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．26.【答案】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =-- 2．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（）A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m n b <<<D ．a m b n <<<3．如图，抛物线与x 轴交于()2,0A -，()4,0B 两点，点()P m n ,从点A 出发，沿抛物线向点B 匀速运动，到达点B 停止，设运动时间为t 秒，当3t =和9t =时，n 的值相等．有下列结论：①6t =时，n 的值最大；②10t =时，点P 停止运动；③当5t =和7t =时，n 的值不相等；④4t =时，0m =．其中正确的是（）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，其对称轴是1x =-，且过点(0,2)，下列结论中正确的是（）A ．0abc <B ．20a b +=C ．2am bm a b +<-D ．方程220ax bx c ++-=的解为12x =-，20x =5．抛物线()2212y x =+-的对称轴是（）A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 6．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝07．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线12x =，且经过点()20，，下列说法∶①0abc >；②240b ac -<；③1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根；④0a b +=．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 9．抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1的对称轴是（） A ．直线x ＝﹣2 B ．直线x ＝﹣1 C ．直线x ＝1 D ．直线x ＝2 10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则下列结论：①abc >0；②a ﹣b +c >0；③4a ﹣2b +c <0，其中结论正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线1x =C ．函数有最小值D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小12．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m > 二、填空题13．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________．14．在平面直角坐标系中，函数21y ax bx c =++，2y ax b =+，3y ax c =+，其中a ，b ，c 为常数，且a<0，函数1y 的图象经过点A （1，0），B （1x ，0），且满足143x -<<-，函数y 2的图象经过点（x 2，0）；函数y 3的图象经过点（x 3，0），若2311m x m n x n <<+<<+，，且m ，n 是整数，则m=_______；n=________．15．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．16．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是________m ．18．一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a ，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b ，则a ，b 的值使得抛物线y ＝ax 2+bx +3的对称轴在y 轴右侧的概率为_____． 19．在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，则抛物线21y x bx =++的顶点坐标为_________．20．已知A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y =x 2﹣3x 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____．（用“＜”符号连接）三、解答题21．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置；（2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为；当y 1≥y 2时x 的取值范围是．22．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．（1）假设设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每星期销售该商品的利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式．（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少?23．抛物线y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，求m 的值及抛物线的顶点坐标． 24．已知抛物线23(0)y ax bx a =+-≠经过(1,0)(3,0)A B -，两点，C 点是抛物线与y 轴交点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM △的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．25．当自变量4x =时，二次函数的值最小，最小值为3-，且这个函数的图像与x 轴的一个交点的横坐标为1．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个函数的图像与y 轴交点的坐标．26．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．（1）若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；（2）若图像经过P （1，y 1），Q （m ，n ），M （3，y 2），N （3﹣m ，n ），试比较y 1、y 2的大小关系；（3）若y ＝ax 2+bx ﹣2的图像的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．2．C解析：C【分析】设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．【详解】设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，∵一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，∵1＞0，∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，∵m ＜n ，∴a ＜m ＜n ＜b ，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．3．A解析：A【分析】根据题意首先求得抛物线的对称轴，然后由抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答．【详解】解：过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，根据题意，该抛物线的对称轴是直线x=422- =1．设点Q 的运动速度是每秒v 个单位长度，则∵当t=3和t=9时，n 的值相等，∴x=12[(9v−2)+(3v−2)] =1， ∴v=12． ①当t=6时，AQ=6×12=3，此时点P 是抛物线顶点坐标，即n 的值最大，故结论正确；②当t=10时，AQ=10×12 =5，此时点Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误； ③当t=5时，AQ=52，此P 时点的坐标是（12 ，0）；当t=7时，AQ=72，此时点P 的坐标是（32，0）．因为点（12，0）与点（32，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n 的值一定相等，故结论错误； ④t=4时，AQ=4×12=2，此时点Q 与原点重合，则m=0，故结论正确．综上所述，正确的结论是①④．故选：A ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得对称轴和点Q 的运动速度是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的定义，抛物线的最值，结合图像逐一计算判断即可．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在原点的左侧，∴2b a-＜0， ∴b ＜0， ∵抛物线的对称轴是1x =-，且过点(0,2)，∴c=2＞0，2b a-= -1即b=2a ， ∴abc ＞0，∴选项A ，B 错误；根据图像知，当x= -1时，函数取得最大值，且最大值为y=a-b+c ，当x=m 时，函数值y=2am bm c ++,∴2am bm c ++≤a -b+c ，∴2am bm a b +≤-，∴选项C 错误；∵c=2，b=2a ，∴方程220ax bx c ++-=变形为220ax ax +=，∵a ＜0，∴220x x +=，解得12x =-，20x =，∴方程220ax bx c ++-=的解为12x =-，20x =，∴选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，熟练掌握最值的意义，对称轴的意义是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据二次函数的顶点式的性质求对称轴即可；【详解】∵ ()2212y x =+- ， ∴对称轴为：x=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确掌握知识点是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误；B ．∵抛物线开口向上，∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴﹣2n m＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．7．B解析：B【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号即可判断；②根据抛物线与x 轴的交点即可判断；③根据二次函数的对称性即可判断；④由对称轴求出=-b a 即可判断．【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，∴0a <，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴0c >，∵对称轴是直线12x =， ∴122b a -=， ∴0b a =->，∴0abc <．故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，故②错误；③∵对称轴为直线12x =，且经过点()2,0， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根，故③正确；④∵由①中知=-b a ，∴0a b +=，故④正确；综上所述，正确的结论是③④共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当0a >时，二次函数的图象开口向上，当0a <时，二次函数的图象开口向下．8．A解析：A【分析】根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2b a -＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断．【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方，∴c ＜0，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2b a-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确；∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断． 9．C解析：C【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题．【详解】解：因为抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1＝x 2﹣2x +1﹣2＝(x ﹣1)2﹣2，所以对称轴是直线x ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能将抛物线化为顶点式．10．D解析：D【分析】由抛物线开口向下，得到a ＜0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，可得出abc ＞0，得到①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，得到②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，得到③正确，从而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0． ∵02b a-<， ∴b ＜0． ∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，故②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，故③正确．则其中正确的有3个，为①②③．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）来说，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性及x =﹣1，﹣2时对应函数值的正负．11．D解析：D【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．【详解】解：A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 错误；B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误；C.2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误；D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．12．D解析：D【分析】作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出．【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m⎧=--+∴⎨=-+⎩，由()1430m =--+=，解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点，综上所述，31m -<<或134m >．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题13．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：解析：7或15．【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，∴抛物线顶点纵坐标是±4，抛物线y=x 2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，c-11=4，c=15，c-11=-4，c=7，故答案为：7或15．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．14．-33【分析】根据二次函数对称轴的性质一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得∴；故答案是：；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合准确计算是解题的关键解析：-3 3【分析】根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得，0a b c ++=，2b x a=-，3c x a =- 1131222+-<-=<-x b a ，232-<=-<-b x a， ∴3314+<==+<a b b x a a， 3m ∴=-，3n =；故答案是：3-，3；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键．15．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-，画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6，故填254-＜b ＜-6. 【点睛】本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.16．y=-x2-2x-1【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-≤0；只要举出满足以上两个条件的abc 的值即可得出所填答案【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c①开口向下∴a ＜0；②当x ＞0时y 随着x 的解析：y=-x 2-2x-1．【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-2b a ≤0；只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数y=ax 2+bx+c ，①开口向下，∴a ＜0；②当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小，-2b a≤0，即b ＜0； ∴只要满足以上两个条件就行，如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1．故答案为：y=-x 2-2x-1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．17．【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 将（25）与（60）代入解析式求得a 的值再令x=0求得y 的值即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 由题意可知抛物线的顶点为（25 解析：154【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a 的值，再令x=0，求得y 的值，即可得出答案．【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x 轴的一个交点为（6，0），∴0=a （6-2）2+5，解得：516a， ∴抛物线解析式为：25(2)516y x =--+ 当x=0时，2515(02)5164y ==--+ ∴水管的长度OA 是154m ．故答案为：154．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．18．【分析】根据题意画出树状图然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧找出满足条件的结果数即可求解【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果二次函数y ＝ax2+bx+3的对称轴为要保证对称轴在y 轴的右侧解析：23【分析】根据题意画出树状图，然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧，找出满足条件的结果数即可求解．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果，二次函数y ＝ax 2+bx +3的对称轴为2b x a =-，要保证对称轴在y 轴的右侧，即b x 02a=->，则满足条件的结果有(1，-4)、(2，-4)、(-4，1)、(-4，2)，∴概率为4263P ==，故答案为：23．【点睛】本题考查利用树状图求概率、抛物线的对称轴，解题的关键是根据题意画出树状图． 19．（2－3）【分析】根据坐标特点判定AB 两点是一对对称点从而得到抛物线的对称轴根据对称轴x=确定b 的值从而确定顶点坐标【详解】∵和是抛物线上的两点∴抛物线对称轴为x==2∴顶点坐标的横坐标为2；∵∴b解析：（2，－3）.【分析】根据坐标特点，判定A ，B 两点是一对对称点，从而得到抛物线的对称轴，根据对称轴x=2b a-，确定b 的值，从而确定顶点坐标. 【详解】 ∵()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，∴抛物线对称轴为x=152-+=2， ∴顶点坐标的横坐标为2； ∵22b -=， ∴b= -4， ∴241y x x =-+，当x=2时，22421y =-⨯+= -3，∴抛物线的顶点坐标为（2，-3），故应填（2，-3）.【点睛】本题考查了利用抛物线的对称点确定顶点坐标，熟练掌握抛物线对称轴与对称点的关系，抛物线顶点坐标的计算公式是解题的关键.20．y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上对称轴是直线x=根据x ＞时y 随x 的增大而增大即可得出答案【详解】解：∵y=x2﹣3x ∴图象的开口向上对称轴是直线x=∵A （0y1）B （1解析：y 2＜y 1＜y 3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=32，根据x ＞32时，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵y=x 2﹣3x ，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=32． ∵A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y=x 2﹣3x 上的三点，且0＜1＜32＜4， ∴y 2＜y 1＜y 3．故答案为：y 2＜y 1＜y 3．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得：1由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．22．（1）2101002000(020)y x x x =-++≤<；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）(6050)(20010)y x x =-+-2(10)(20010)101002000(020)x x x x x =+-=-++≤<．（2）2210100200010(52250y x x x =-++=--+)所以，当5x =时，y 取得最大值为2250．答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润⨯销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．23．m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1，可以求得m 的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：∵y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，∴－422m ⨯＝1，解得m ＝－1， ∴y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，∴m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2b a，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．24．（1）223y x x =--；（2）在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）点确定出点M 时直线BC 与直线l 的交点，利用待定系数法求出直线BC 解析式即可得出结论；【详解】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-得， 309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得，12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=，点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，MC MA ∴+最小，点A 、点B 关于直线1x =对称，∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，设直线BC 的关系式为y kx b =+，(3,0)B ，(0,3)C -，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当1x =时，132y =-=-，∴点(1,2)M -，∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【点睛】此题时二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，解题关键时掌握待定系数法，和判断出点M 的位置，25．（1）()21433y x =--；（2）70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据题意可设二次函数顶点式，再将()1,0代入求解即可；（2）令0x =即可得到结果；【详解】（1）∵当自变量4x =时，二次函数的值最小，最小值为3-，∴顶点坐标为()4,3-，可设顶点式为()243y a x =--，将()1,0代入得：930a -=，解得：13a =， ∴这个二次函数的表达式为()21433y x =--；（2）∵()21433y x =--， ∴令0x =时，1716333y =⨯-=， ∴与y 轴的交点坐标为70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数解析式，准确计算是解题的关键． 26．（1）-1；（2）若a ＞0，则y 1＜y 2；若a ＜0，则y 1＞y 2；（3）32a =【分析】（1）把A （4，0），B （-1，0）代入二次函数关系式求出a ，b 的值即可得到结果；（2）由点Q ，点N 的纵坐标相同，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，确定点P 距对称轴更近，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论即可；（3）分别求出a +b =1，a-b-2=0，联立方程组求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a≠0）的图像过A （4，0），B （-1，0） ∴1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得，1=23=2a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴13122a b +=-=- （2）∵Q （m ，n ），N （3﹣m ，n ），∴二次函数图象的对称轴为3322m m +-= ∵P （1，y 1），M （3，y 2），∴点P 距离对称轴更近若a ＞0，则y 1＜y 2；若a ＜0，则y 1＞y 2；（3）由题意知，∵图像的顶点在第四象限，∴对称轴2b x a=-＞0 ∵B （﹣1，0），∴A 点横坐标大于1当x=1时，y=a+b-2＜0∴0＜a+b ＜2∵a+b为整数∴a+b=1又∵B（﹣1，0），∴a-b-2=0联立120 a ba b+=⎧⎨--=⎩解得，32 a=【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷(word 含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2．如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34．下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5．点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为．12．已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。

北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题含答案

A ．y 轴B ．直线 x ＝C ．直线 x ＝2D ．直线 x ＝ 4．一次函数 y ＝ax ＋b 和反比例函数 y ＝在同一平面直角坐标系中的图象如图 8－Z －1第二章二次函数 .一、选择题(本大题共 7 小题，共 28 分).1．已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值 2D ．最大值 2..2．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的 x 与 y 的部分对应值如下表..：xy－15 01 1－1 2－131则该二次函数图象的对称轴为().52323．若二次函数 y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1 的图象过原点，则 m 的值为()A ．±1B ．0C ．1D ．－1图 8－Z －1cx所示，则二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为()图 8－Z －25．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x ，该药品原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )为直线 x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点 B ⎝－2，y 1⎭， C ⎝－2，y 2⎭为函数图象上的两点，则 y 1＜y 2.其中正确的是(物线的表达式为 y ＝－ x 2＋b ，则隧道底部宽 AB 为________m.C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)图 8－Z －36．如图 8－Z －3 是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴⎛ 5 ⎫⎛ 1 ⎫A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③)图 8－Z －47．如图 8－Z －4，△Rt OAB 的顶点 A (－2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 △Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90°△，得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题(本大题共 5 小题，共 25 分)8．函数 y ＝(x －2)(3－x )取得最大值时，x ＝________．9．将抛物线 y ＝2(x －1)2＋2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图 8－Z －5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－Z －7 所示的平面直角坐标系，若抛1 2图8－Z－5图8－Z－6 11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．图8－Z－7三、解答题(共47分)13．(14分)如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD 的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图8－Z－814．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点P△，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点P运动到什么位置时△，PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．图8－Z－9)＝ .故选 D.轴为直线 x ＝－1，则－＝－1，即 2a －b ＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点 A (－3，以③错误；④点 B ⎝－2，y 1⎭在对称轴左侧 1.5 个单位长度处，点 C ⎝－2，y 2⎭在对称轴右侧7．C8. 10．8 [解析] 由题意可知抛物线 y ＝－ x 2＋b 的顶点坐标为(0，8)，∴b ＝8，∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ x 2＋8.当 y ＝0 时，0＝－ x 2＋8，解得 x ＝4 或－4，∴x ＝－ >0，详解详析1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线 x ＝ 0＋3 2(或1＋2 32 23．D 4.C 5.C6．B [解析]①由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b 2－4ac ＞0，所以①正确；②因为对称b2a0)，对称轴为直线 x ＝－1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)，于是有 a ＋b ＋c ＝0，所⎛ 5 ⎫ ⎛ 1 ⎫0.5 个单位长度处，找出相应的点，显然 y 1＜y 2，所以④正确．故选 B.5 29．y ＝2(x ＋2)2－2(或 y ＝2x 2＋8x ＋6)1 21 2 1 2∴水面宽 AB ＝4＋4＝8(m)．故答案为 8.11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a >0.又对称轴在 y 轴的右侧，b2a∴b <0，①错误．当 x ＝－1 时，抛物线在 x 轴上方，∴y ＝a －b ＋c >0，②错误．设平移后的抛物线顶点为 E ，与 x 轴右边的交点为 D ，则阴影部分的面积与平行四边形 CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－2，∴S ＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶∴BC ＝ ×12－x ＝6－x .∴y ＝ x (6－x )＝－ x 2＋3x ，即 y ＝－ x 2＋3x .(2)y ＝－ x 2＋3x ＝－ (x －3)2＋4.5， ∵a ＝－＜0，∴ ＝－2.⎩点坐标公式，得 y C ＝－2，4ac －b 2 4a∵c ＝－1，解得 b 2＝4a ，④正确．故填③④.12．(1＋ 7，3)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB ＝x ，12∵E ，F ，G ，H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 12 21 21 12 2 12∴y 有最大值，当 x ＝3 时，y 有最大值，为 4.5. 14．解：(1)由题意可得：⎧⎪300－10x （0≤x ≤30）， y ＝⎨⎪300－20x （－20≤x <0）.(2)由题意可得：⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x <0），化简得：⎧－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩－20x 2－100x ＋6000（－20≤x <0），⎪⎩ －20（x ＋）2＋6125（－20≤x <0）. 即 6000＝－20(x ＋ )2＋6125，6000＝－10(x －5)2＋6250，⎧⎪－10（x －5）2＋6250（0≤x ≤30），即 w ＝⎨ 5 2由题意可知 x 应取整数，所以当 x ＝－2 或 x ＝－3 时，w ＜6125＜6250，故当销售价格为每件 65 元时，月利润最大，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥6000，如图，令 w ＝6000，52解得 x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10，∴－5≤x ≤10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元)，才能使每月利润不少于 6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，⎧a －b ＋c ＝0，⎧a ＝1，把 A ，B ，C 三点的坐标分别代入可得⎨16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎨b ＝－3，⎩c ＝－4，⎩c ＝－4，∴这个二次函数的表达式为 y ＝x 2－3x －4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点 P ，连接 OP ，CP ，如图①，∴PO ＝PC ，此时点 P 即为满足条件的点．∵C (0，－4)， ∴D (0，－2)，∴点 P 的纵坐标为－2.当 y ＝－2 时，即 x 2－3x －4＝－2，(不合题意，舍去)，x 2＝∴存在满足条件的点 P ，其坐标为( ，－2)．3－ 17 3＋ 17解得 x 1＝ 2 2.3＋ 17 2(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P (t ，t 2－3t －4)．过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ，交直线 BC 于点 F ，如图②， ∵B (4，0)，C (0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝x －4， ∴F (t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ，1 1 1 1 1 ∴S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝2PF · OE ＋2PF · BE ＝2PF ·(OE ＋BE )＝2PF · OB ＝2(－t 2＋4t )×4＝－2(t －2)2＋8，∴当 t ＝2 时，△S PBC 最大，且最大值为 8，此时 t 2－3t －4＝－6，∴当点 P 的坐标为(2，－6)时△， PBC 的面积最大，最大面积为 8.。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（）A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠ 2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（） A ． B ． C ． D ． 3．对称轴为y 轴的二次函数是（）A ．y=(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=-(x-1)2 4．已知二次函数()222y mx m x =+-，它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<；②13a c =-；③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．抛物线221y x =--的顶点坐标是（）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)7．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（）A ．3B ．2C ．－29D ．－308．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（）A ．10.35mB ．8.375mC ．8.725mD ．9.375m 9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则下列结论：①abc >0；②a ﹣b +c >0；③4a ﹣2b +c <0，其中结论正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线1x =C ．函数有最小值D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小11．二次函数2y ax bx c =++的图像如图，现有以下结论：①0abc >；②42a c b +<；③320b c +<；④()(1)m am b b a m ++<≠-，其中正确结论序号为（）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④ 12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线233384y x x =-++经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为_____．14．如图，二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=(t 为实数）在14x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_______．15．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc >；②20a b -=；③320b c +>；④2(am bm a b m +≤-为实数)．其中正确结论是_____________（只填序号)．16．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．17．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．18．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．19．若函数2(1)42y a x x a =+-+的图像与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为____． 20．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．三、解答题21．某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x （元/件）时，日销售量为（200-x ）件．（1）写出用售价x （元/件）表示每日的销售利润y （元）的表达式（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？（3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？22．已知地物线2y x bx c =-++()0a ≠与y 轴交于点A ，点()3,2B 在该抛物线上（1）若抛物线的对称轴是直线x m =，请用含b 的式子表示m ；（2）如图1，过点B 作x 轴的垂线段，垂足为点C ．连结AB 和AC ，当ABC 为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知P 为x 轴上的一动点，连结AP 和BP ，当30APB ∠=︒时，求满足条件的点P 的坐标．23．抛物线y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，求m 的值及抛物线的顶点坐标． 24．已知抛物线的顶点坐标是()1,4-，且过点(0,3)．()1求这个抛物线对应的函数表达式．()2在所给坐标系中画出该函数的图象．()3当x 取什么值时，函数值小于0?25．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -．（1）求抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．26．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数，∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则△＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()，解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->，所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．C解析：C【分析】由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可．【详解】解：二次函数的对称轴为y 轴，则函数对称轴为x ＝0，即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】分m ＞0，m ＜0两种情形，判断对称轴与x=14的位置关系即可. 【详解】∵()222y mx m x =+-， ∴抛物线一定经过原点，∴选项A 排除；∵()222y mx m x =+- ， ∴对称轴为直线x=22224m m m m ---=⨯， ∵24m m --14=24m m m --=24m-，当m ＞0时，抛物线开口向上，24m -＜0， ∴对称轴在直线x=14的左边， B 选项的图像符合；C 选项的图像不符合；当m ＜0时，抛物线开口向下，24m -＞0， ∴对称轴在直线x=14的右边， D 选项的图像不符合；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.5．D解析：D【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，∴对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0；故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c ＝0，又∵b ＝﹣2a ，∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴13a c =-∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ，，要使△ABD 是等腰直角三角形，则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∵DE ⊥x 轴，∴点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ，即|244ac b a -|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0，解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形，结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ，Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时，在Rt △OBC 中，∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c 7=-，∴a 73c =-=．Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时，在Rt △OAC 中，∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c=，∴a 3c =-= Ⅲ、当AC ＝BC 时，∵OC ⊥AB ，∴点O 是AB 的中点，∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾，∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ．结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．6．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 7．C解析：C【分析】根据图象，直接代入计算即可解答【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．D解析：D 【分析】求出函数的最大值即可得求解．【详解】∵22575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝＝＋， ∴当54t ＝时，s 取得最大值759.3758=，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．9．D解析：D 【分析】由抛物线开口向下，得到a ＜0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，可得出abc ＞0，得到①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，得到②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，得到③正确，从而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0．∵02ba -<， ∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；根据图象知，当x =﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，故②正确；根据图象知，当x =﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，故③正确．则其中正确的有3个，为①②③．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）来说，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性及x =﹣1，﹣2时对应函数值的正负．10．D解析：D 【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．【详解】解：A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 错误； B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误； C.2223=(1)4y x x x =--+-++ ∵a=-1<0，∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误； D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．11．A解析：A 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性结合点()2,42a b c --+的位置可判断②，由抛物线的图像结合点()1,a b c ++的位置，对称轴方程，可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案．【详解】解：图像开口向下， a ∴＜0，12bx a=-=-＜0, b ∴＜0，函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＞0，故①符合题意；抛物线与x 轴的一个交点在0~1之间，由抛物线的对称性可得：抛物线与x 轴的另一个交点在3~2--之间，∴ 当2x =-时，42y a b c =-+＞0，4a c ∴+＞2,b 故②不符合题意；12bx a=-=-， 2,b a ∴= 即1,2a b =当1x =时，y a b c =++＜0， 12b bc ∴++＜0， 32b c ∴+＜0，故③符合题意；当1x =-时，函数有最大值,y a b c =-+当1x m =≠-，2,y am bm c =++2am bm c ∴++＜,a b c -+()m am b b ∴++＜,a 故④符合题意．故选：.A 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．12．D解析：D 【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误；∵122b a -= ∴=-a b ，∴0a b +=，故B 错误；当12x =时，则11042y a b c =++>，∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++ 4222an an a an a c =++--+ 42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥， ∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】设出E 的坐标表示出M 坐标进而表示出EM 化成顶点式即可求得EM 的最大值【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点∴点E 的坐标是（m ）点M 的坐标是（m ）∴EM ＝﹣（）＝＝（m2﹣4m ）＝（解析：32【分析】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点， ∴点E 的坐标是（m ，233384m m -++），点M 的坐标是（m ，334m -+）， ∴EM ＝233384m m -++﹣（334m -+）＝23382m m -+＝38-（m 2﹣4m ）＝38-（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2 解析：04t <≤【分析】求出函数解析式，求出函数值取值范围，把t 的取值范围转化为函数值的取值范围. 【详解】先由已知可得，二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0) 所以对称轴 x=2b a-=()221m -=⨯-，所以m=4，代入方程y=−x 2+mx 得， y=-x 2+4x ，当x=2时，y=4 即顶点坐标是（2，4）当x=1时，y=3，当x=4时，y=0 由x 2−mx+t=0 得 t=-x 2+4x=y因为当 1<x<4 时， 0<y≤4，所以在 1<x<4 范围内有实数解，则 t 的取值范围是0<t≤4，故答案为：0<t≤4 ．【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题，注意函数的最低点和最高点.15．①②④【分析】根据抛物线开口向下对称轴抛物线与轴相交于正半轴可得可以判断①和②正确；当时有解得由图像可知化简后可判断得③错误；由图像可知当时抛物线有最大值当时根据得到化简后得故④正确【详解】解：抛物解析：①②④．【分析】根据抛物线开口向下，对称轴12bx a=-=-，抛物线与y 轴相交于正半轴，可得0a <，20b a =<，0c >，可以判断①和②正确；当0y =时，有210a x c a ，解得11a cx a ，21a cx a，由图像可知，011a c a，化简后可判断得③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，根据12y y ≥得到20a bcam bmc化简后得2am bm a b +≤-，故④正确．【详解】解：抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线的对称轴12bx a=-=-， 20b a ∴=<，抛物线与y 轴相交于正半轴，0c ∴>，∴0abc >，故①正确；∴2220a b a a -=-=，故②正确；当0y =时，2220ax bx c ax ax c ，∴210a x c a∴11a cx a， 21a cx a由图像可知，011a c a∴14a c a则有30a c +<，∴62320a c b c +=+<，故③错误；由图像可知，当1x =-时，抛物线有最大值1y a bc ，当x m =时，22y am bmc ，∵12y y ≥ ∴20a bcam bmc则2am bm a b +≤-，故④正确；故答案是：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．16．2m 【分析】根据起始抛物线确定点A 的坐标结合已知确定N 的坐标从而确定新抛物线的解析式即可求解【详解】∵抛物线解析式为∴点A 的坐标为（04）∵立柱到的水平距离为左侧抛物线的最低点与的水平距离为∴新抛物解析：2m ．【分析】根据起始抛物线，确定点A 的坐标，结合已知确定N 的坐标，从而确定新抛物线的解析式即可求解．【详解】∵抛物线解析式为21410y x x =-+， ∴点A 的坐标为（0，4），∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2，点N 的坐标为（3，52），设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+，把（0，4），（3，52）分别代入解析式，得 5a 244k a k ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得1a 22k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+， ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的生活应用，解析式的确定，熟练把生活问题转化为函数问题，灵活确定抛物线的解析式是解题的关键．17．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析：15m <<. 【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可. 【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，解得b=-6a ，∴抛物线的对称轴为直线x=2ba-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '， ∵12y y >， ∴15m <<，故填15m <<. 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.18．y=-x2-2x-1【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-≤0；只要举出满足以上两个条件的abc 的值即可得出所填答案【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c①开口向下∴a ＜0；②当x ＞0时y 随着x 的解析：y=-x 2-2x-1．【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-2ba≤0；只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数y=ax 2+bx+c ， ①开口向下， ∴a ＜0；②当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小，-2ba≤0，即b ＜0； ∴只要满足以上两个条件就行，如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1．故答案为：y=-x2-2x-1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．19．或或【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解若为二次函数由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0据此求解可得【详解】解：当a＋1＝0即a＝−1时函数解析式为y＝−4x−2与x轴只有一个交-或1解析：2-或1【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0，据此求解可得．【详解】解：当a＋1＝0，即a＝−1时，函数解析式为y＝−4x−2，与x轴只有一个交点；当a＋1≠0，即a≠−1时，根据题意知，（−4）2−4×（a＋1）×2a＝0，整理，得：a2＋a−2＝0，解得：a＝1或a＝−2；综上，a的值为−1或−2或1．-或1．故答案为：2-或1【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．y＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y＝x2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（0，3），∵函数图象向下平移1个单位长度，∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），∴得到函数解析式为y＝x2＋2．故答案为：y＝x2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．三、解答题21．（1）y=-x 2+320x-24000 ；（2）当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件；（3）当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元．【分析】（1）根据利润=（销售价-成本价）×销售量可以得到解答；（2）令（1）中y=1500可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到产品售价x 的值，并进一步得到日销售量；（3）把（1）得到的函数配方，再根据二次函数的性质即可得到解答．【详解】解：（1）y =（x -120）（200-x ）=-x 2+320x-24000 ；（2）日销售利润是1500元，即y=1500，则 1500=-x 2+320x-24000 解得：x 1=170，x 2=150当x=170时，日销售量是30件，当x=150时，日销售量是50件∴当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件．（3）∵y=-x 2+320x-24000 =-（x-160）2+1600∴当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，由题意列出二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．22．（1）2b m =；（2）21y x =-+；（3）)12,0P ，)22,0P【分析】（1）直接根据对称轴为2bx a=-代入a ，b 计算即可得出答案；（2）首先根据点B 的坐标及等边三角形求出AC ，OC 的长度，然后利用勾股定理求出AO 的长度，从而得出c 的值，最后将点B 代入解析式中即可求解；（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P 的位置从而可确定出点P 的坐标．【详解】（1）∵22b b x a =-=， ∴2b m =．（2）∵ABC 为等边三角形，BC x ⊥轴，)B ，∴2AC BC ==，3OC =，在Rt AOC 中， 221AO AC OC =-=∴1c =把()3,2B 代入21y x bx =-++，得43b =， ∴2431y x x =-++．（3）如图，由（2）知ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，∵30APB ∠=︒，∴2ACB APB =∠∠，由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，经过点P ． ∵P 在x 轴上，∴点P 即为圆C 与x 轴的交点，∵2BC =，∴2r，2CP = ∵()3,0C， ∴()132,0P -，由轴对称性可知，()232,0P +．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键．23．m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1，可以求得m 的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：∵y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，∴－422m ⨯＝1，解得m ＝－1， ∴y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，∴m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2b a，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．24．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x > 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)， 4=3a +，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++；（2）列表：0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0，∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点睛】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键．25．（1）222y x =-+；（2）222,0,222C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3210n <≤【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即可求得点C 、D 的横坐标；（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为2211212||()4x x x x x x -+-的关系来即可求n 的取值范围；【详解】解：（1）抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -， ∴20c a c =⎧⎨+=⎩，解得：22a c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+；（2）此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)，∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，令0y =，即22(2)10x --+=，解得 1222x =+，2222x =-，点C 在点D 的左边，(C ∴ 2-0)，(2D +，0)；（3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，2x ，整理为：220x m -=．此时120x x +=，122m x x =-．则21||x x n -==．当1m =时，n =当5m =时，n =．所以，n n <≤【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．26．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．。

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)(满分：100分时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题；每小题3分；共30分) 1．下列函数中；不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2答案：D2．抛物线y ＝x 2+3与y 轴的交点坐标为（）A ．（3；0）B ．（0；3）C ．（0；3）D ．（3；0）答案：B3．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式( )A ．y ＝－14(x －2)2＋2B ．y ＝14(x －2)2＋4C ．y ＝－14(x ＋2)2＋4D ．y ＝21122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3答案：C4．将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位；再向下平移1个单位；所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 答案：C5．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言；下列结论正确的是( ) A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上C ．与y 轴的交点坐标是(0,3)D ．顶点坐标是(1；－2) 答案：D6．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示；则m 的值是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．6 答案：B6题图 8题图 9题图7．点P 1（﹣1；y 1）；P 2（3；y 2）；P 3（5；y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象上；则y 1；y 2；y 3的大小关系是（）A ．y 1＝y 2＞y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＝y 2答案：A8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图象如图所示；当－5≤x ≤0时；下列说法正确的是( )A ．有最小值－5、最大值0B ．有最小值－3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值6 答案：B9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示；下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0C ．当－1<x <3时；y >0D ．－b2a＝1答案：D10．在同一平面直角坐标系内；一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是( )A B C D答案：C二、填空题(本大题共8小题；每小题3分；共24分)11．若函数y ＝(m －3)2213m m x ＋－是二次函数；则m ＝______. 答案：－512．抛物线y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1；则b 的值为________．答案：413．如果抛物线y ＝(m +1)2x 2+x +m 2﹣1经过原点；那么m 的值等于．答案：114．已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴仅有一个公共点；则m 的值为．答案：915．二次函数的部分图象如图所示；则使y ＞0的x 的取值范围是．答案：﹣1＜x ＜315题图 16提图 17题图 18题图16．如图所示；已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (1,0)；B (3,0)两点；与y 轴交于点C (0,3)；则二次函数的图象的顶点坐标是________．答案：(2；－1)17．如图；在平面直角坐标系中；抛物线y ＝﹣23（x ﹣3）2+k 经过坐标原点O ；与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于C 、BD ⊥y 轴于D ；则图中阴影部分图形的面积和为．答案：1818．如图；在正方形ABCD 中；E 为BC 边上的点；F 为CD 边上的点；且AE ＝AF ；AB ＝4；设EC ＝x ；△AEF 的面积为y ；则y 与x 之间的函数关系式是__________．答案：y ＝－12x 2＋4x三、解答题(本大题共5小题；共46分)19．求经过A (1,4)；B (－2,1)两点；对称轴为x ＝－1的抛物线的解析式．解：∵对称轴为x ＝－1；∴设其解析式为y ＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)． ∵抛物线过A (1,4)；B (－2,1)；∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 1＋12＋k ；1＝a －2＋12＋k.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1；k ＝0.∴y ＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1.20．已知；在同一平面直角坐标系中；反比例函数y ＝5x与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象交于点A (－1；m )．(1)求m ；c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵点A 在函数y ＝5x的图象上；∴m ＝5－1＝－5.∴点A 坐标为(－1；－5)． ∵点A 在二次函数图象上； ∴－1－2＋c ＝－5；即c ＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －2； ∴y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1；－1)．21．下图是一座拱桥的截面图；拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m ；拱桥的跨度为10cm ．桥洞与水面的最大距离是5m ．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中；（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．解：（1）抛物线的顶点坐标为（5；5）；与y 轴交点坐标是（0；1）；设抛物线的解析式是y ＝a （x ﹣5）2+5；把（0；1）代入y ＝a （x ﹣5）2+5；得a ＝﹣425； ∴y ＝﹣425（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4；∴4＝﹣425（x﹣5）2+5；∴425（x﹣5）2＝1；∴x1＝152；x2＝52；∴两景观灯间的距离为152﹣52＝5（米）．22．元旦期间；某宾馆有50个房间供游客居住；当每个房间每天的定价为180元时；房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时；就会有一个房间空闲．如果游客居住房间；宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若房价定为200元时；求宾馆每天的利润；（2）房价定为多少时；宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）若房价定为200元时；宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元）；答：宾馆每天的利润为8640；（2）设总利润为y元；则y＝（50﹣18010x）（x﹣20）＝﹣110x2+70x+1360＝﹣110（x﹣350）2+10890故房价定为350时；宾馆每天的利润最大；最大利润是10890元．23．如图；已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧）；与y轴交于点B；且OA＝OB．（1）求线段AC的长度：（2）若点P在抛物线上；点P位于第二象限；过P作PQ⊥AB；垂足为Q．已知PQ＝；求点P的坐标．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B；且OA＝OB；∴点B的坐标为（0；3）；∴OB＝OA＝3；∴点A的坐标为（﹣3；0）；∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3；解得；b＝﹣2；∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）；∴当y＝0时；x1＝﹣3；x2＝1；∴点C的坐标为（1；0）；∴AC＝1﹣（﹣3）＝4；即线段AC的长是4；（2）∵点A（﹣3；0）；点B（3；0）；∴直线AB的函数解析式为y＝x+3；过点P作PD∥y轴交直线AB于点D；设点P的坐标为（m；﹣m2﹣2m+3）；则点D的坐标为（m；m+3）；∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；∵PD∥y轴；∠ABO＝45°；∴∠PDQ＝∠ABO＝45°；又∵PQ⊥AB；PQ＝2；∴△PDQ是等腰直角三角形；∴PD＝2sin4522PQ=︒＝2；∴﹣m2﹣3m＝2；解得；m1＝﹣1；m2＝﹣2；当m＝﹣1时；﹣m2﹣2m+3＝4；当m＝﹣2时；﹣m2﹣2m+3＝3；∴点P的坐标为（﹣2；3）或（﹣1；4）．24．如图；在平面直角坐标系中；顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A 和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM；求S△AOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2；抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F 的左侧）；如果△MBF与△AOM相似；求所有符合条件的抛物线C2的表达式．解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB ＝120°；∴点B （2；0）；点A （﹣1；﹣）；∴220223(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨-=⨯-+⨯-⎪⎩；得333a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴该抛物线的解析式为y ＝2232333(1)3333x x x -+=--+；（2）连接MO ；AM ；AM 与y 轴交于点D ； ∵y ＝22323331)3333x x x -+=--+； ∴点M 的坐标为（1；33）；设过点A （﹣13；M （1；33）的直线解析式为y ＝mx +n ；333m n m n ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩；得2333m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；∴直线AM 的函数解析式为y 23x 3当x ＝0时；y 3∴点D 的坐标为（0；﹣33）；∴OD ＝33； ∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝33；（3）①当△AOM ∽△FBM 时；OM OABM BF=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （13；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴OM ＝BM ；解得；BF ＝OA ＝2；∴点F 的坐标为（4；0）；设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+c ； ∵点F （4；0）在抛物线C 2上；∴c ＝33 ∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)333x --+； ②当△AOM ∽△MBF 时；OM OABF BM=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （1；33）；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴BF ＝23； ∴点F 的坐标为（83；0）；设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+d ； ∵点F （83；0）在抛物线C 2上；∴d 253；∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝231)x -253．。

北师大版九年级下数学第二章二次函数单元检测题(含详解)

第二章二次函数检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.（兰州中考）已知二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1，则a、b的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.3. （河南中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A.y=(x+2)2+2B.y=(x2)2 2C.y=(x2)2+2D.y=(x+2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（）A.2，4B.C.2，D.，06.对于函数，使得随的增大而增大的的取值范围是（）A. B. C. D.7.对于任意实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点是（）A.（1， 0）B.（， 0）C.（， 3）D. （1， 3）8.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么（）A.B.C.D.9. （呼和浩特中考）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y =上，点N 在直线y =x +3上，设点M 的坐标为（a ,b ），则二次函数y =abx 2+（a +b ）x）（）A.有最大值，最大值为B.有最大值，最大值为C.有最小值，最小值为D.有最小值，最小值为10. （重庆中考）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x =.下列结论中，正确的是（） A.abc >0 B.a +b =0 C.2b +c >0D.4a +c <2b二、填空题（每小题3分，共24分）11. （苏州中考）已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y =(x 1)2+1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2（填“>”“=”或“<”）. 12.如果二次函数(a ≠0)的图象顶点的横坐标为1，则的值为 .13.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .14.将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______.15. （湖北襄阳中考）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数表达式是y =60x 1.5x 2，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来.16.设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点，则△的面积是.17.函数写成的形式是________，其图象的顶点坐标是_______，对称轴是__________．18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线;乙：与轴两个交点的横坐标都是整数;丙：与轴交点的纵坐标也是整数.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式__________________．三、解答题（共66分）19.（8分）（2012·杭州中考）当k分别取1，1，2时，函数y=（k1）x24x+5k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．20.（8分）把抛物线向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线重合．请求出的值，并画出函数的示意图．21.（8分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军大炮A与射击目标B 的水平距离为600 m，炮弹运行的最大高度为1 200 m.（1）求此抛物线的表达式．（2）若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.22.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．23.（8分）（2012·北京中考节选）已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y=kx+6(k≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A（3,m），求m和k的值.24．（8分）（哈尔滨中考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x=时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值25.（8分）（2012·武汉中考）如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的表达式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=9)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？26.（10分）已知抛物线与轴有两个不同的交点．(1)求的取值范围；(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.参考答案一、选择题1. A 解析:∵二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1,∴a>0且x=1时，b=1.∴a>0,b= 1.∴a>b.2.C 解析:由函数图象可知，所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位，得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合.又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C符合.同理可讨论当时的情况.各选项均不符合.5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），所以，解得.6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧随的增大而增大，由对称轴为直线，知的取值范围是.7.D 解析:当时，，故抛物线经过固定点（1，3）.8.D 解析:画出抛物线简图可以看出，所以.9. B 解析:∵点M的坐标为（a,b）,∴点N的坐标为（a,b）.∵点M在双曲线y=上，∴ab=.∵点N（a,b）在直线y=x+3上,∴a+3=b.∴a+b=3.∴二次函数y=abx2+（a+b）x=x2+3x=（x3）2+.∴二次函数y=abx2+(a+b)x有最大值,最大值是.10. D 解析:由图象知a ＞0,c ＜0,又对称轴x ==＜0,∴ b ＞0,∴ abc ＜0.又＝，∴ a ＝b ，a +b ≠0.∵ a =b ,∴ y =ax 2+bx +c =bx 2+bx +c . 由图象知,当x ＝1时，y ＝2b +c ＜0，故选项A,B,C 均错误.∵ 2b +c ＜0， ∴ 4a 2b +c ＜0.∴ 4a +c ＜2b ,D 选项正确. 二、填空题11. ＞解析:∵ a ＝1＞0，对称轴为直线x =1，∴ 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.故由x 1＞x 2＞1可得y 1＞y 2. 12.13.解析:因为当时，，当时，，所以.14.(5,-2)15. 600 解析:y =60x 1.5x 2= 1.5（x 20）2+600,当x =20时,y 最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来. 16. 解析:令，令，得，所以，所以△的面积是.17.18.本题答案不唯一，只要符合题意即可，如2218181 1.7777y x x y x x =-+=-+-或三、解答题19. 分析：先求出当k 分别取1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值. 解：（1）当k =1时，函数y =4x +4为一次函数，无最值.（2）当k =2时，函数y =x 24x +3为二次函数且图象开口向上，无最大值. （3）当k =1时，函数y =2x 24x +6=(x +1)2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x =1，顶点坐标为（，8），所以当x =1时，y 最大值=8.综上所述，只有当k=1时，函数y=(1)x24x+5k有最大值，且最大值为8.点拨：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.20.解:将整理得.因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以.示意图如图所示.21.解:（1）建立平面直角坐标系，设点A为原点，则抛物线过点（0，0），（600，0），从而抛物线的对称轴为直线.又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，则其顶点坐标为（300，1 200），所以设抛物线的表达式为，将（0，0）代入所设表达式得，所以抛物线的表达式为.（2）将代入表达式，得，所以炮弹能越过障碍物.22.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为元，销售量为[件，据此得关系式．解：设售价定为元/件.由题意得，，∵，∴当时，有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．23. 分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x==1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.（2）把x=3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，则=1，∴t=.∴y=x2+x+.(2)∵二次函数图象必经过A点，∴m=×()2+(3)+= 6.又一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴3k+6=6,∴k=4.24. 分析：（1）由三角形面积公式S=得S与x之间的表达式为S=·x（40x）=x2+20x.（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解：（1）S=x2+20x.（2）方法1：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为==200.∴当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.方法2：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为S=×202+20×20=200.∴当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2..点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.25. 分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+b(a≠0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b; (2)令h=6,解方程（t19）2+8=6得t 1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜.解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴ 8=64a+11，解得a=,抛物线表达式为y=x2+11.(2)画出h=(t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时，h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.答：禁止船只通行的时间为32小时.点拨：（2）中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实际问题中的应用.26. 解：（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴＞0，即解得c＜.(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵两交点间的距离为2，∴.由题意，得,解得,∴，.。

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第二章单元检测卷一、选择题（每小题3分；共33分）1.二次函数，当y<0时，自变量x的取值范围是（）A. -1＜x＜3B. x＜-1C. x＞3D. x＜-1或x＞32.如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A. a+b=kB. 2a+b=0C. b＜k＜0D. k＜a ＜03.将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A. （5，4）B. （1，4）C. （1，1）D. （5，1）4.已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（）A. m﹣1的函数值小于0B. m﹣1的函数值大于0C. m﹣1的函数值等于0D. m﹣1的函数值与0的大小关系不确定5.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A. b=2，c=2B. b=2，c=0C. b=﹣2，c=﹣1D. b=﹣3，c=26.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )A. （－2，3）B. （2，3）C. （－2，－3）D. （2，－3）7.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A. y=（x+2）2+2B. y=（x-2）2-2C. y=（x-2）2+2D. y=（x+2）2-28.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图③所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b=0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（）A. 1月，2月B. 1月，2月，3月C. 3月，12月D. 1月，2月，3月，12月10.将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A. y=（x+1）2﹣13B. y=（x﹣5）2﹣3C. y=（x﹣5）2﹣13D. y=（x+1）2﹣311.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），则的值为（）A. 0B. －1 C. 1 D. 2二、填空题（共10题；共30分）12.已知二次函数y=﹣x2﹣2x+1，当x________时，y随x的增大而增大．13.（2014•扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为________．14.农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为________ ．15.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=________．16.根据下表判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是________ x 0.4 0.5 0.6 0.7ax2+bx+c ﹣0.64 ﹣0.25 0.16 0.5917.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．18.如图，抛物线与轴的一个交点A在点（－2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则的取值范围是________．19.形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为________．20.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是________x …﹣1 0 1 2 3 …y … 10 5 2 1 2 …21.若二次函数y=2x2﹣x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是________ .三、解答题（共4题；共37分）22.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）（1）当m=0时，求该函数的零点．（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．23.如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离．（1）飞行的水平距离是多少时，球最高？（2）球从飞出到落地的水平距离是多少？24.已知二次函数图象顶点坐标（﹣3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标．25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= S四边形ACBD 时，求D点坐标；（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．参考答案一、选择题A C DB B A BCD D B二、填空题12.＜﹣2 13. 0 14.15. 3 16. 0.5＜x＜0.6 17.＞18. - ≤a≤- 19. y=﹣2x2﹣520. 0＜x＜1或3＜x＜4 21. m≥﹣三、解答题22. 1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，解得x=±，所以，m=0时，该函数的零点为±；（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3），=4m2+8m+24，=4（m+1）2+20，∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，∴△=4（m+1）2+20＞0，∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，即，无论m取何值，该函数总有两个零点．23.解：（1）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，y有最大值为．所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；（2）令y=0，则﹣x2+x=0，解得x1=0，x2=8．所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米．24.解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把h=﹣3，k= ，和点（2，）代入y=a（x﹣h）2+k，得a（2+3）2+ = ，解得a= ，所以二次函数的解析式为y= （x+3）2+ ，当x=0时，y= ×9+ = ，所以函数图象与y轴的交点坐标（0，）25.（1）解：∵令x=0得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）．令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，∴A（﹣3，0）．将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3（2）解：如图1所示：令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．∴AB=4．∵S△ACD= S四边形ACBD，∴S△ADC：S△DCB=3：5．∴AE：EB=3：5．∴AE=4×= ．∴点E的坐标为（﹣，0）．设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=﹣3．∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．∴点D的坐标为（﹣4，5）（3）解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得：，解得：k=3，b=﹣3．∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．设直线DE的解析式为y=﹣x+n，将点D的坐标代入得：﹣×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣= ．∴直线DE的解析式为y=﹣x+ ．将y=3x﹣3与y=﹣x+ 联立解得：x=2，y=3．∴点E坐标为（2，3）．依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ．∵点P与点Q关于点B对称，∴PB=BQ．在△PCB和△QEB中，∴△PCB≌△QEB．∴∠BPC=∠Q．又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG∴∠DBE=∠DGB．又∵∠DBE+∠BDE=90°，∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．∵D（﹣4，5），B（1，0），∴DM=NB．∴∠DBN=45°．∴∠PBM=45°．∴PM=MB设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．∴点P的坐标为（﹣2，3）．∴PC∥x轴．∵∠Q=∠BPC，∴EQ∥PC．∴点E与点F的纵坐标相同．将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+ （舍去）．∴点F的坐标为（﹣1 ，3）．∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。

1.人生的痛苦在于追求错误的东西。

所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。

2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。

3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。

但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。

4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。

5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。

至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。

6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。