初中数学数学名师纳西尔丁
王小云：中国密码女神
王小云身材中等，穿着得体，齐耳短发，戴着金边眼镜，口音是标志性的山东腔。
她看上去稳重而时尚，睿智的眼透露出职业女性特有的坚定和自信。
一九六六年，王小云出生于山东诸城，家中兄弟姐妹五人。
受教师父亲的影响，她从小就对数学、物理和化学感兴趣。
进入山东大学数学系后，王小云隐藏的解密天赋日益显露。
有一次，老师给你一个关于印度数学家拉马努金未经证明的数学公式问题。
一位成绩优异的同学整整做了一个月才做出来，而且证明方法很复杂。
而且王小云只花了一个星期，就用最简单的方法，直接证明了这个公式！老师非常欣赏她的高效率。
考研期间，老师向著名数学家潘承洞院士推荐了她。
潘教授以前从未带过女学生，但王小云的成绩太好了，让他从犹豫变成了破格。
她也没有辜负潘教授的期望，然后顺利考上了医生！一九九三年王小云毕业后留校任教，同时还在导师的建议下，将研究方向从解析数论转变为新兴的密码学。
潘承洞院士认为，数学成绩优异的王小云将在未来取得巨大成就，为国家网络数据安全做出非凡贡献！她破译了世界上最安全的密码。
一开始我觉得学密码很简单。
后来随着理论知识的深入，我发现还是挺难的，但是越来越有意思了。
这引起了王小云对看似枯燥的密码学研究的兴趣。
密码学的用广泛，涉及一个国家的军事、金融、互联网等安全问题。
例如现在大家常用的网络银行业务，如果加密技术不合格，就会给客户和金融机构造成惊人的损失。
而且网银密钥是否牢不可破，需要王小云他们用自己掌握的破密术来测试。
从零开始研究新方向的难度不言而喻。
幸运的是，王小云有强大的数学知识支持。
经过八年的潜心研究，她取得了许多突破性的成绩，从而获得了国家密码基金和863项目的支持，并获得了部级科技进步奖！因此，2002年，36岁的王小云被提升为山东大学教授。
从那以后，王小云一边忙着带研究生，一边学习密码知识。
短短5年时间，她就破解了HAVAL-128和RIPEMD等算法，随后，她与密码专家安东尼·茹，几乎同时独立破解了SHA-0。
《平面直角坐标系》说课稿
《平面直角坐标系》说课稿《平面直角坐标系》说课稿1一、教材分析“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，它的建立，使代数的基本元素（数对）与几何的基本元素（点）之间产生一一对应，数发展成式、方程与函数，点运动而成直线、曲线等几何图形，于是实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔的范围内的数形结合、互相转化的理论基础。
因此，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具。
直角坐标系的基本知识是学习全章及至以后数学学习的基础，在后面学习如何画函数图象以及研究一些具体函数图象的性质时，都要应用这些知识；注意到这种知识前后的关系，适当把握好本小节的教学要求，是教好、学好本小节的关键。
如果没有透彻理解这部分知识，就很难学好整个一章内容。
二、教学目标1、理解平面直角坐标系，以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。
2、认识并能画出平面直角坐标系。
3、能在给定直角坐标系中，由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置。
4、理解各个象限内的点的坐标的符号特点以及坐标轴上的点的坐标特点。
1637年，笛卡尔在他写的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书中，用运动着的点的坐标概念，引进了变数。
恩格斯在《自然辩证法》高度评价笛卡尔，称其将辩证法引入了数学。
因此，在讲授平面直角坐标系这一部分内容时，应对学生进行运动观点、坐标思想和数形结合思想等唯物辩证观方面的适当教育。
三、重点难点1、教学重点能在平面直角坐标系中，由点求坐标，由坐标描点。
2、教学难点：⑴平面直角坐标系产生的过程及其必要性；⑵教材中概念多，较为琐碎。
如平面直角坐标系、坐标轴、坐标原点、坐标平面、象限、点在平面内的坐标等概念及其特征等等。
四、教法学法本节课以“问题情境──建立模型──巩固训练──拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
数学史在初中数学教学中的应用
数学史在初中数学教学中的应用数学是人类智慧的结晶，是科学中最具有抽象性和普遍性的学科之一，它对社会的发展和进展有着举足轻重的影响，人类历史上的许多现象都可以通过数学的手段来解释和证明。
因此，在初中数学教学中，我们应该将数学史的内容紧密地融入到课程中，让学生了解数学的演化历程，激发他们对数学的兴趣和探求欲望，培养出一批数学技能和思维能力的优秀人才。
1.数学史的教学目的和方法初中数学课程的教学目的是培养学生正确理解数学的概念和运算规律，能应用数学方法解决实际问题，提升数学素养和能力。
而数学史的教学目的则是让学生通过了解数学发展史，了解数学的演化过程，明白运用数学的历史发展背景和应用领域，增强学生对数学的理解和感悟。
数学史的教学方法主要包括讲授式、研究教学和实验教学三种方法。
其中，讲授式主要是通过讲授数学史的重要事件和人物事迹，让学生不能仅了解历史事件本身，更能了解其背后的数学思想和成就。
研究教学主要是组织学生集体进入小组，分析和研究数学史上的重要事件，从而深入了解其中的数学思想和应用方法。
实验教学主要是针对一些具体的实验环节，让学生亲身去感受和体验数学知识的本质，从中体验积极主动的学习态度。
2.近代数学史在初中教学的应用近代数学史给初中学生带来的最大启发就是人类智慧的不断创新和进步。
在初中数学教学中，可以通过讲述近代数学史中一些著名的数学思想和重大成就，让学生通过它们能够领悟到在数学科学领域中，思辨性和想象力的重要性，还能激发和训练学生的批判性思维。
2.1勾股定理勾股定理由中国古代数学家毕达哥拉斯创立。
让初中生了解这一定理的起源和发展，能够加深学生初中数学中三角形知识的认识。
同时，也能使学生了解中国数学的成就，从而增强他们自我文化认同感和民族自豪感，纵观古今发展历程，寻找民族自信力的支撑。
2.2概率论概率论是17世纪由法国数学家帕斯卡创立的。
初中生学习初步概率论时常常会遇到「为什么要概率论？」这样的疑惑。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题05 旋转之线段问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题05 旋转之线段问题【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是_______；(2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________． 【解答】（1）如图，△AP 1 B 为所作；连接PP 1， △AP 1 P 为等边三角形理由如下：∵△APC 绕点A 顺时针旋转60°后得△AP 1 B ， ∴AP 1=AP ，∠PAP 1 = 60°， ∴△AP 1P 为等边三角形； （2）∵△AP 1P 为等边三角形；∴PP 1=AP =3，又根据旋转的性质得BP 1=PC =5，PP 12 + PB 2=32+42=25，BP 12=CP 2=52=25，∴PP 12 + PB 2=BP 12∴△BP 1P 为直角三角形，∠BPP 1 = 90°；（3）∵△APP 1为等边三角形，∴∠APP 1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB = 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，P 是锐角ABC 内一动点，把APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ''，连接PP '，这样就可得出PA PB PC BP PP P C '''++=++，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（30B ∠=︒，90C ∠=︒），其中顶点A 、B 、C 为公园的出入口，20km AB =，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P ，使该凉亭到三个出入口的距离PA PB PC ++最小，求这个最小的距离．2．（1）如图1，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF BE FD =+，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，那么线段EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB △绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积； 【类比应用】(3)如图③，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．4．问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．(1)延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，得到至△ADG ，从而可以证明EF ＝BE ＋FD ，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由． 5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD 的边长为8，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，求△EFC 的周长．6．在等边BCD △中，DF BC ⊥于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以点B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE ．(1)如图1，点A 在线段DF 上，连接CE ，求证：CE DA =；(2)如图2，点A 在线段FD 的延长线上，请在图中画出BE 并连接CE ，当45DEC ∠=︒时，连接AC ，求出BAC ∠的度数；(3)在点A 的运动过程中，若6BD =，求EF 的最小值7．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA 、OB 、OC ，且OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ． 求：①旋转角的度数 ； ②线段OD 的长 ； ③求∠BDC 的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角△ABC （∠ABC ＝90°）内一点，连接OA 、OB 、OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．当OA 、OB 、OC 满足什么条件时，∠ODC ＝90°？请给出证明．8．如图所示，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是边AD 、AB 、BC 的中点，连接EF ，FG ．（1）如图1，直接写出EF与FG的关系______；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．△；①求证：HFE≌PFG②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．10．[方法探索]如图1，在等边ABC 中，点P 在ABC 内，且2PA =，4PC =，150APC ∠=︒，求PB 的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，分别证明AP P '△和BP P '△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB 的长．解：把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到AP B '△，连接PP '． 接着写下去： 11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P 在等边ABC 外，且3PA PB ==，120APB ∠=︒，若33AB =PBC ∠度数． ②如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC =P 是ABC 外一点，连接PA 、PB 、PC ．已知45APB ∠=︒，2PB =．求PC 的长．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta ）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，则有下列结论：①图1中S △ABC ＝S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE ，若F 为BD 的中点，连接AF ，求证：2AF ＝CE ．13．数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是___________； (2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________．答案与解析【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是_______；(2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________． 【解答】（1）如图，△AP 1 B 为所作；连接PP 1， △AP 1 P 为等边三角形理由如下：∵△APC 绕点A 顺时针旋转60°后得△AP 1 B ， ∴AP 1=AP ，∠PAP 1 = 60°， ∴△AP 1P 为等边三角形；（2）∵△AP 1P 为等边三角形；∴PP 1=AP =3，又根据旋转的性质得BP 1=PC =5，PP 12 + PB 2=32+42=25，BP 12=CP 2=52=25，∴PP 12 + PB 2=BP 12∴△BP 1P 为直角三角形，∠BPP 1 = 90°；（3）∵△APP 1为等边三角形，∴∠APP 1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB = 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，P 是锐角ABC 内一动点，把APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ''，连接PP '，这样就可得出PA PB PC BP PP P C '''++=++，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（30B ∠=︒，90C ∠=︒），其中顶点A 、B 、C 为公园的出入口，20km AB =，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P ，使该凉亭到三个出入口的距离PA PB PC ++最小，求这个最小的距离．【答案】（1）见解析；（2）107km【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论；（2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．【解答】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，∴△APP'是等边三角形，∴PP'=PA，∵PC=P'C，∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，∴AC=10，BC=103，如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，∴△BPP′是等边三角形，∴PP'=PB，∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，∴∠ABC'=90°，由勾股定理得：222220(103)107,AC AB C B ''=+=+= ∴PA +PB +PC =PA +PP '+P 'C '=AC '=107，则点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为107km ．【点评】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题．2．（1）如图1，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF BE FD =+，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，那么线段EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）DF EF BE =+，理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（2）把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，结合（1）中证明方法进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵AB AD =，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合， ∵90ADC B ∠=∠=︒，∴180FDG ∠=︒，即点F 、D 、G 共线， ∴DAG BAE ∠∠=，AE AG =，+904545FAG FAD GAD FAD EAE EAF =+==︒-︒=︒=∠∠∠∠∠∠，即EAF FAG ∠=∠．∵AF AF =，AE AG =∴AFG AFE ≌∴EF FG =．∴EF DF DG DF BE =+=+，即EF BE DF =+（2）DF EF BE =+．理由：如图2所示．∵AB AD =，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，∵90ADC ABE ∠=∠=︒∴点C 、D 、G 在一条直线上．∴EB DG =，AE AG =，EAB GAD ∠=∠．∵90BAG GAD ∠+∠=︒∴90EAG BAD ∠=∠=︒．∵45EAF ∠=︒∴904545FAG EAG EAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴EAF GAF ∠=∠．∴EAF GAF △≌△∴EF FG =∵FD FG DG =+∴DF EF BE =+．【点评】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB △绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；【类比应用】(3)如图③，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长． 【答案】(1)等边三角形(2)934(3)4【分析】（1）由旋转的性质得出BD ＝DB ′，∠BDB ′＝60°，所以△BDB ′是等边三角形；（2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形BDB ′的面积即可；（3）将△BDM 绕点D 顺时针方向旋转120°，得到△DCP ，则△BDM ≌△CDP ，得出MD ＝PD ，∠MBD ＝∠DCP ，∠MDB ＝∠PDC ，证明△NMD ≌△NPD ，证得△AMN 的周长＝AB +AC ＝4．【解答】（1）解：∵将△DCB 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，∴BD ＝B ′D ，∠BDB ′＝60°，∴△BDB ′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）解：由（1）知，△BCD ≌△B ′AD ，∴四边形ABCD 的面积＝等边三角形BDB ′的面积，∵BC ＝AB ′＝1，∴BB ′＝AB +AB ′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝133933224⨯⨯=；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．【点评】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．4．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，得到至△ADG ，从而可以证明EF ＝BE ＋FD ，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)2BAD EAF ∠∠=，理由见解析【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△ADG ≌△ABE ，根据全等三角形的性质得到AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，∠ADG ＝∠ABE ＝90°，证明∠AFE ≌△AFG ，根据全等三角形的性质证明；（2）延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，证明△EAF ≌△EAM ，根据全等三角形的性质证明；(1)延长FD 到点G 使DG =BE ，连接AG ．如图（1），在正方形ABCD 中，AB =AD ，90,BAD ADC B ∠=∠=∠=︒在ABE ∆和ADG ∆中，AB AD ABE ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ∴∆≌ADG ∆(SAS ),BAE GAD AE AG ∴∠=∠=45GAD DAF BAE DAF ∴∠+∠=∠+∠=︒45EAF GAF ∴=∠=∠︒在AEF ∆和AGF ∆中，GA EA GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ∆≌AGF ∆EF GF GD DF BE DF ∴==+=+(2)2BAD EAF ∠∠=理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，180,180ABC D ABC ABM ∠+∠=︒∠+∠=︒D ABM ∠∠∴=在ABM ∆和ADF ∆中，AB AD ABM D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABM ∴∆≌ADF ∆,AF AM DAF BAM ∴=∠=∠2BAD EAF ∠∠=DAF BAE BAM BAE EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠EAF EAM ∴∠=∠在EAF ∆和ΔEAM 中，AF AM EAF EAM AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAF ∆≌ΔEAMEF EM BE BM BE DF ∴==+=+EF BE DF ∴=+【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见解析【分析】对于（1），先将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得△ADF≌△ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，∠EAF=∠EAH，然后根据“SAS”证明△FAE≌△HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得△FAE≌△HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt△AEG≌Rt△ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．（1）EF=BE+DF．理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠EAF=∠EAH=45°．∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE，∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF；（2）由（1），得△FAE ≌△HAE ，AG ，AB 分别是△FAE 和△HAE 的高，∴AG=AB=AD=8．在Rt △AEG 和Rt △ABE 中，AE AE AG AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEG ≌Rt △ABE （HL ），∴EG=BE ，同理GF=DF ，∴△EFG 的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点评】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．6．在等边BCD △中，DF BC ⊥于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以点B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE ．(1)如图1，点A 在线段DF 上，连接CE ，求证：CE DA =；(2)如图2，点A 在线段FD 的延长线上，请在图中画出BE 并连接CE ，当45DEC ∠=︒时，连接AC ，求出BAC ∠的度数；(3)在点A 的运动过程中，若6BD =，求EF 的最小值 在DBA 与△BD BC DBA BA BE =∠=∠=DBA ≌△解：如图3，由（1）可知，DBA CBE ≌△△，∴DA CE =，BDA BCE ∠=∠，又∵BCD △是等边三角形，∴60BDC BCD ∠=∠=︒，DB DC =，∵DB DC =，∴△BCD 是等腰三角形，∵DF BC ⊥，∴1302BDF BDC ∠=∠=︒， ∴180150BDA BDF ∠=︒-∠=︒，∴150BCE ∠=︒，360150CDA BDA BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒，∵45DEC ∠=︒，∴45EDC ∠=︒，∴DEC EDC ∠=∠，∴CE CD =，∴DB DC DA ==，∴180152BDA BAD ︒-∠∠==︒，180152CDA CAD ︒-∠∠==︒， ∴30BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒．（3）解：∵由图1可知，当点A 在线段DF 上时，30BCE BDA ∠=∠=︒；由图3可知，当点A 在线段FD 的延长线上时，150BCE BDA ∠=∠=︒；由图4可知，当点A 在线段DF 的延长线上时，30BCE BDA ∠=∠=︒；∴综上所述，当点A 在直线DF 上运动时，直线CE 与直线BC 的夹角始终为30°，即点E 的运动轨迹为一条直线，过点F 作FE EC '⊥于点E '，则当点E 运动到点E '时，此时EF 的长度最短，∵6BD CD BC ===，DF BC ⊥，∴132CF BC ==，又∵FE EC '⊥，30BCE ∠=︒，∴1322FE CF '==， ∴EF 的最小值为32． 【点评】此考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和、等腰三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解决问题的关键．7．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA 、OB 、OC ，且OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．求：①旋转角的度数 ；②线段OD 的长 ；③求∠BDC 的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角△ABC （∠ABC ＝90°）内一点，连接OA 、OB 、OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．当OA 、OB 、OC 满足什么条件时，∠ODC ＝90°？请给出证明．【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝2OB，然后根据勾股定理的逆定理，当222＋＝时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．CD OD OC【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝2OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．8．如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF，FG．（1）如图1，直接写出EF与FG的关系______；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．①求证：HFE≌PFG△；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；∴HFE≌△②解：22EF∵HFE≌△EH PG=AE AF==∴22EF AF BG==，∴22BG EF=，∵BG GP BP+=，∴22EF EH BP+=【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明△HFE≌△PFG是解题的关键．9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．【答案】（1）CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析．【分析】（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN 是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE ≌△ACD ”的对应角相等、已知条件“M 、N 分别是BE 、CD 的中点”、等边△ABC 的性质证得△ABM ≌△ACN ；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM =AN 、∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【解答】（1）CD =BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠EAD =60°，∵∠BAE =∠BAC ﹣∠EAC =60°﹣∠EAC ，∠DAC =∠DAE ﹣∠EAC =60°﹣∠EAC ，∴∠BAE =∠DAC ，在△ABE 和△ACD 中，=AB AC BAE DAC AE AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴CD =BE ；（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =CN ，∵AB =AC ，∠ABE =∠ACD ，在△ABM 和△ACN 中，=BM CN ABE ACD AB AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ACN （SAS ）．∴AM =AN ，∠MAB =∠NAC ．∴∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60°．∴△AMN 是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．[方法探索]如图1，在等边ABC 中，点P 在ABC 内，且2PA =，4PC =，150APC ∠=︒，求PB 的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，分别证明AP P '△和BP P '△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB 的长．解：把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到AP B '△，连接PP '．接着写下去：11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P 在等边ABC 外，且3PA PB ==，120APB ∠=︒，若33AB =PBC ∠度数． ②如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC =P 是ABC 外一点，连接PA 、PB 、PC ．已知45APB ∠=︒，2PB =．求PC 的长． 【答案】10．PB =25 11．PBC ∠=90°；PC =210【分析】（1）把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，易证明AP P '△是等边三角形，BP P '△是直角三角形，根据勾股定理即可求出BP ．（2）①把APB △绕着点A 逆时针旋转60︒得到'AP C ，连接'PP ，易证明AP P '△是等边三角形，BP P '△是等边，△BPC 是直角三角形，则可得到PBC ∠=90°．②将△APC 绕点A 逆时针旋转90°得到△'ABP ，连接'PP ，过B 点做BM 垂直于AP 于M 点，易证明△PBM 是等腰直角三角形，△'P PB 是直角三角形，用勾股定理即可求出PC ．10．AP B '△由△APC 旋转60°得到∴AP ='AP =2，PC ='BP =4，∠'PAP =60°∴△'PAP 为等边三角形∴ AP ='AP ='PP =2，'AP P ∠=60°150APC ∠=︒∴'BP P ∠=90°在Rt △'BP P 中，由勾股定理可得：BP =22''BP PP +=2224+=2511．把APB △绕着点B 顺时针旋转60︒得到'BP C ，连接'PP'BP C 由△APB 逆时针旋转60°得到∴AP ='P C =3，PB ='BP =3，∠'PBP =60°，'120APB BP C ∠=∠=︒∴△'PBP 为等边三角形,∴'PP =PB =3'BP C ∠=120°，∠'BP P =60°∴∠'CP P =180°，即'C P P 、、三点共线．∴PC ='CP +'PP =6在△PBC 中，PC =6，PB =3，BC =33223223(33)36PB BC PC +=+==∴△PBC 是直角三角形，故PBC ∠=90°．将△APC 绕点A 顺时针旋转90°得到△'ABP ，连接'PP ，过B 点做BM 垂直于AP 于M 点45APB ∠=︒，BM ⊥AP ，PB =2∴PM =BM =2AB =10在Rt △AMB 中，AM =2210222AB BM -=-=∴AP =PM +AM =32△'ABP 由△APC 旋转90°所得∴ AP ='AP =32，∠'PAP =90°，∠'PP A =45°在Rt △'PAP 中，'PP =22'6AP AP +=∠'PP A =45°，45APB ∠=︒∴'P PB =90°在Rt △'P PB 中，22''210P B P P PB =+=∴PC ='P B =210【点评】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta ）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，则有下列结论： ①图1中S △ABC ＝S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE ，若F 为BD 的中点，连接AF ，求证：2AF ＝CE ．【答案】（1）①证明见解答；②证明见解答；③证明见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）①取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，先证△GEF ≌△ADF （AAS ），得出S △EAD =S △GEA ，再证△GEA ≌△CAB （SAS ）即可；②取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，先证△GEF ≌△ADF （AAS ），得出∠BAC =∠GEA ，再证△GEA ≌△CAB （SAS ），得出∠EAG =∠ABC ，AC =AG ，由AM 是边BC 上的中线，得出BM =CM =AF ，三证△EAF ≌△ABM （SAS ）即可；③过E 作EP ⊥MN 交MN 延长线于O ，过D 作DO ⊥MN 于O ，先证∠ABM =∠EAP ，∠MCA =∠OAD ，证明△EAP ≌△ABM （AAS ），再证△CAM ≌△ADO （AAS ），三证△EPN ≌△DON （AAS ）即可．（2）延长AF ，使FQ =AF ，连接DQ ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD ，由点F 为BD 中点，可得DF =BF ，先证△DQF ≌△BAF （SAS ），DQ =BA =AC ，∠FDQ =∠FBA ，可证DQ ∥BA ，根据△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD ，可得AR =AC =AB =QD ，RD =CE ，证明R 、A 、B 三点共线，再证△DQA ≌△ARD （SAS ），即可．【解答】（1）①图1中S △ABC ＝S △ADE ；证明：取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，∵点F 为DE 中点，∴EF =DF ，∵EG ∥AD ，∴∠GEF =∠ADF ，∠GEA +∠EAD =180°，在△GEF 和△ADF 中，GFE AFD GEF ADF EF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEF ≌△ADF （AAS ），∴GE =AD ，∠G =∠DAF ，∴S △GEF =S △ADF ，∴S △EAD =S △GEA ，∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC +∠EAD =360°-∠BAE -∠CAD =180°∴∠BAC +∠EAD =∠GEA +∠EAD =180°∴∠BAC =∠GEA ，∴GE =AD =AC ，在△GEA 和△CAB 中，GE CA GEA CAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEA ≌△CAB （SAS ），∴S △ABC ＝S △GEA=S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ； 证明：取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ， ∵点F 为DE 中点，∴EF =DF ，∵EG ∥AD ，∴∠GEF =∠ADF ，∠GEA +∠EAD =180°，在△GEF 和△ADF 中，GFE AFD GEF ADF EF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEF ≌△ADF （AAS ），∴GE =AD ，GF =AF =12AG ∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC +∠EAD =360°-∠BAE -∠CAD =180°∴∠BAC +∠EAD =∠GEA +∠EAD =180°∴∠BAC =∠GEA ，∴GE =AD =AC ，在△GEA 和△CAB 中，GE CA GEA CAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠EAG =∠ABC ，AC =AG ，∵AM 是边BC 上的中线，∴BM =CM =1122BC AG AF ==， 在△EAF 和△ABM 中，EA AB EAF ABM AF BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△ABM （SAS ），∴EF =AM ，∵点F 为DE 中点，∴DE =2EF =2AM ，③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．证明：过E 作EP ⊥MN 交MN 延长线于O ，过D 作DO ⊥MN 于O ，∵∠BAE =90°，∠DAC =90°，∴∠BAM +∠EAP =90°，∠MAC +∠DAO =90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM =90°，∠MCA +∠MAC =90°∴∠ABM =∠EAP ，∠MCA =∠OAD ，∵EP ⊥MN ，∴∠EPA =90°在△EAP 和△ABM 中，90EPA AMB EAP ABMEA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EP =AM ，∵DO ⊥MN ，∴∠AOD =90°，在△CAM 和△ADO 中，CMA AOD MCA OAD AC DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAM ≌△ADO （AAS ）∴AM =DO ，∴EP =DO =AM ，在△EPN 和△DON 中，90EPN DON ENP DNOEP DO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPN ≌△DON （AAS ），∴EN =DN ，∴MA 的延长线平分ED 于点N ．（2）延长AF ，使FQ =AF ，连接DQ ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD∵点F 为BD 中点，∴DF =BF ，在△DQF 和△BAF 中，QF AF DFQ BFA DF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DQF ≌△BAF （SAS ），∴DQ =BA =AC ，∠FDQ =∠FBA ，∴DQ ∥BA ，∵△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD∴△ACE ≌△ARD ，∠RAC =90°，∴AR =AC =AB =QD ，RD =CE ，∵∠CAB =90°，∴∠RAB =∠RAC +∠CAB =90°+90°=180°，∴R 、A 、B 三点共线，∵DQ ∥BA ，∴∠QDA =∠RAD ，在△DQA 和△ARD 中，DQ AR QDA RAD DA AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DQA ≌△ARD （SAS ），∴AQ =DR ，∴2AF =AG =DR =CE ，∴2AF =CE ．【点评】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键．。
初中数学数学名师欧几里得
欧几里得欧几里得(Euclid，拉丁文为 Euclides 或Eucleides) 公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大．数学．欧几里得以其所著的《几何原本》(Elements，以下简称《原本》)闻名于世，他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词，而对于他的生平，现在知道的却很少．他生活的年代，是根据下列的记载来确定的．雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注，写了一个《几何学发展概要》，常称为《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)，简称《概要》，是研究希腊几何学史的两大重要原始参考资料之一．另一种资料是帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collection)，下面简称《汇编》．《概要》中指出，欧几里得是托勒密一世(Ptolemy Soter，约公元前367—前282年，前323—前285年在位，托勒密王朝的建立者)时代的人，早年求学于雅典，深知柏拉图的学说．他著《原本》时引用许多柏拉图学派人物如欧多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus，约公元前417—前369年)的成果，可能他也是这个学派的成员．《概要》又说阿基米德(Archimedes)的书引用过《原本》的命题，可见他早于阿基米德．也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)．通过亚里士多德(Aristotle)的著作，也可以核对欧几里得的年代．《原本》中建立公设、公理，显然受到亚里士多德逻辑思想的影响．亚里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中给出“等腰三角形两底角相等”的“证明”，和《原本》卷Ⅰ命题5完全不同，也没有提到欧几里得．可见《原本》的证明是欧几里得后来完成的，他的活动年代应在亚里士多德之后．另一方面，欧几里得的天文著作《观测天文学》(Phaenomena)曾引用奥托利科斯(Autolycus of Pitane，约公元前300年)《运行的天体》(On moving sphere)的命题．而奥托利科斯是阿塞西劳斯(Arcesilaus，约公元前315—前241年，曾是柏拉图学园的导师)的老师．此外，帕波斯在《汇编》(卷7)中提到阿波罗尼奥斯(Apollo-nius)长期住在亚历山大，和欧几里得的学生在一起．这说明欧几里得在亚历山大教过学．综上所述，欧几里得活跃时期应该是公元前 300—前295年前后．《概要》还记述了这样一则轶事：托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得回答道：这句话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言．斯托比亚斯(Stobaeus，约公元500年)的记载略有差异，他认为是门奈赫莫斯(Menaechmus)对亚历山大王说的话：“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”现多数学者取前说．理由是在门奈赫莫斯的时代，几何学尚未形成严整的独立学科．斯托比亚斯还记载另一则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利”．由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点．帕波斯特别赞赏欧几里得的谦逊，他从不掠人之美，也没有声称过哪些是自己的独创．而阿波罗尼奥斯则不然，他过分突出自己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线论》中也没有提到欧几里得．除《原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传．几何著作保存下来的有《已知数》(The data)、《图形的分割》(Ondivisions of figures)，此外还有光学、天文学和力学等，多已散失．《原本》产生的历史背景欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有 300多年的历史(见［11］)．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心．雅典的智人(sophist)学派提出几何作图的三大问题：(1)三等分任意角；(2)倍立方——求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆．问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度，只能划直线的尺)和圆规．希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题．这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步．作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Oeno－pedes，约公元前465年)提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律．智人学派的安蒂丰(Antiphon)为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion)，孕育着近代极限论的思想．后来经过欧多克索斯的改进，使其严格化，成为《原本》中的重要证明方法，较有代表性的是卷Ⅻ的命题 2．(见［ 2］，vol 3，p．365；［9］， p．230．)埃利亚(意大利半岛南端)学派的芝诺(Zeno of Elea)提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题．无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾．例如卷Ⅸ命题20说：“素数的个数比任意给定的素数都多”，而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多．只说直线可任意延长而不是无限延长．原子论学派的德谟克利特(Democritus，约公元前410年)用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的 1/3，后来也是《原本》中的重要命题．柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量．《原本》卷Ⅴ比例论大部分采自欧多克索斯的工作．柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件．到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了．建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．其中有希波克拉底(Hippocrates，约公元前460年)，勒俄(Leo 或Leon，公元前4世纪)，修迪奥斯(Theudius，公元前4世纪)等．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．《原本》的版本和流传欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的．古希腊的海伦(Heron)、波菲里奥斯(Porphyrius，约公元232—304年)、帕波斯，辛普利休斯(Simplicius，6世纪前半叶)等人都注释过．最重要的是赛翁(Theon of Alexandria，约公元 390年)的修订本，对原文作了校勘和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础．赛翁虽生活在亚历山大，但离开欧几里得已有7个世纪，他究竟作了多少补充和修改，在19世纪以前是不清楚的．19世纪初，拿破仑称雄欧洲，1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿，带回巴黎去．其中有两种欧几里得著作的手抄本，以后为 F．佩拉尔(Peyrard， 1760—1822)所得．(见［2］，pp．46—47，p．103．)1814—1818年，佩拉尔将两种书用希腊文、拉丁文、法文三种文字出版，一种就是《原本》，另一种是《已知数》，通常叫做梵蒂冈本．《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同，过去的版本都声称来自赛翁的版本，而且包含卷Ⅵ命题33(在等圆中，无论是圆心角或圆周角，两角之比等于所对弧之比)．赛翁在注释托勒密(Ptolemy)的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明．而梵蒂冈本没有上述这些内容，可见是赛翁之前的本子，当更接近欧几里得原著．9世纪以后，大量的希腊著作被译成阿拉伯文．《原本》的阿拉伯文译本主要有三种：(1)赫贾季(al-Hajjāj ibn Yūsuf，9世纪)译；(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain，？—910)译，后来为塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，约826—901)所修订，一般称为伊沙格-塔比本；(3)纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī，1201—1274)译．现存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath．1120左右)从阿拉伯文译过来的．后来杰拉德(Gerard ofCremona，约1114—1187)又从伊沙格-塔比本译出．1255年左右，坎帕努斯(Campanus of Novara，？—1296)参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新将《原本》译成拉丁文．两百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书．在这之后到19世纪末，《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上．从来没有一本科学书籍象《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物．它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》．15世纪以后，学者们的注意力转向希腊文本，B．赞贝蒂(Zamberti，约生于1473)第一次直接从赛翁的希腊文本译成拉丁文，1505年在威尼斯出版．目前权威的版本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928，丹麦人)、 H．门格(Menge)校订注释的“Euclidis opera omnia”(《欧几里得全集》，1883—1916出版)，是希腊文与拉丁文对照本．最早完整的英译本(1570)的译者是H．比林斯利(Billingsley，？—1606)．现在最流行的标准英译本是 T．L．希思(Heath，1861—1940，英国人)译注的“The thirteen books of Euclid’sElements(《欧几里得几何原本13卷》，1908初版，1925再版，1956修订版)，这书译自上述的海伯格本，附有一篇长达150多页的导言，实际是欧几里得研究的历史总结，又对每章每节都作了详细的注释．对其他文字的版本，包括意、德、法、荷、英、西、瑞典、丹麦以及现代希腊等语种，此书导言均有所评论．中国最早的汉译本是1607年(明万历35年丁未)意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci，1552—1610)和徐光启(1562—1633)合译出版的．这是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门．所根据的底本是德国人C．克拉维乌斯(Clavius，1537—1612)校订增补的拉丁文本“Euclidis Elementorum Libri XV”(《欧几里得原本 15卷》，1574初版，以后再版多次)．徐、利译本只译了前6卷，定名为《几何原本》，“几何”这个名称就是这样来的．有的学者认为元代(13世纪)《原本》已经传入中国，根据是元代王士点、商企翁《元秘书监志》卷7“回回书籍”条有《兀忽列的四擘算法段数十五部》的书目，其中兀忽列的应是Euclid的音译．(见[15]，p．139；[16]．)但也有可能仍是阿拉伯文本，只是译出书名而已．后说似更可信．克拉维乌斯本是增补本，和原著有很大出入．原著只有13卷，卷XIV，XV是后人添加上去的．卷XIV一般认为出自许普西克勒斯(Hypsicles，约公元前180)之手，而卷XV是6世纪初大马士革乌斯(Damascius，叙利亚人)所著．(见［12］，p．119，182．) 利玛窦、徐光启共同译完前6卷之后，徐光启“意方锐，欲竟之”，利玛窦不同意，说：“止，请先传此，使同志者习之，果以为用也，而后徐计其余．”三年之后，利玛窦去世，留下校订的手稿．徐光启据此将前6卷旧稿再一次加以修改，重新刊刻传世．他对未能完成全部的翻译而感遗憾，在《题＜几何原本＞再校本》中感叹道：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟焉．”整整250年之后，到1857年，后9卷才由英国人伟烈亚力(Alexander Wylie， 1815—1887)和李善兰(1811—1882)共同译出．但所根据的底本已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本．伟烈亚力在序中只提到底本是从希腊文译成英文的本子，按照英译本的流传情况，可能性最大的是I．巴罗(Barrow，1630—1677，牛顿的老师)的15卷英译本，他在1655年将希腊文本译成拉丁文，1660年又译成英文．李、伟译本(通称‘清译本”)至今已有100多年，现已不易看到，况且又是文言文，名词术语和现代有很大差异，这更增了研读的困难，因此重新翻译是十分必要的．徐、利前6卷的译本(通称“明译本”)在“原本”之前加上“几何”二字，称译本为《几何原本》．清译本的后9卷沿用这个名称一直到现在．这“几何”二字是怎样来的？目前有三种说法：(1)几何是拉丁文geometria字头geo的音译．此说颇为流行，源出于艾约瑟(Joseph Edkins，1825—1905，英国人)的猜想，记在日本中村正直(1832—1891)为某书所写的序中．(2)在汉语里，“几何”原是多少、若干的意思，而《原本》实际包括了当时的全部数学，故几何是“mathematica”(数学)或“magnitude”(大小)的意译．(3)《原本》前6卷讲几何，卷Ⅶ—Ⅹ是数论，但全用几何方式来叙述，其余各章也讲几何，所以基本上是一部几何书．内容和中国传统的算学很不相同．为了区别起见，应创新词来表达．几何二字既和“geometria”的字头音近，又反映了数量大小的关系，采用这两个字可以音、意兼顾．这也许更接近徐、利二氏的原意．《原本》内容简介明、清译本因为是修订增补本，和现行的希思英译本有相当大的出入，下面以希思本为主，兼顾明、清译本，作一简要的介绍．卷1首先给出23个定义．如1．点是没有部分的(A point isthat which has no part)；2．线只有长而没有宽(A line is bread－thless length)，等等．还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．前7个定义实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到．明译本(即克拉维乌斯增补本)在原文的基础上加入很多说明，将23个定义拆成“界说三十六则”．一开头还对“界说”加以界说：“凡造论，先当分别解说论中所用名目，故曰界说．”下面指出几何研究的对象：“凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度．”可见在明译本中，几何(几何学)研究的是由点、线、面、体构成的图形，和数学研究的对象不同，两者有广狭之分．但在别的地方，几何就是“大小”、“多少”的意思，即通常所说的“量”，和“数”是有区别的．如卷Ⅴ第2界：“若小几何能度大者，则大为小之几倍”，现可译为“当一个较大的量能被较小的量量尽时，较大的量叫做较小量的倍量(multiple)”．定义之后，是5个公设，头3个是作图的规定，第4个是“凡直角都相等”．这几个都是显而易见的，没有引起什么争论，第5个就很复杂：“若一直线与两直线相交，所构成的同旁内角小于二直角，那么，把这两直线延长，一定在那两内角的一侧相交”．这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．公设后面，还有5条公理，如1．等于同量的量彼此相等；5．整体大于部分；等等．以后各卷不再列其他公理．在《原本》中，公设(postulate)主要是关于几何的基本规定，而公理(axiom)是关于量的基本规定．将两者分开是从亚里士多德开始的，现代数学则一律称为公理．由于平行公设不象其他公理那么简单明了，人们自然会怀疑，欧几里得把它列为公设，不是它不可能证明，而是没有找到证明．这实在是这部千古不朽巨著的白璧微瑕．从《原本》的产生到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这唯一的“污点”，最后导致非欧几何的建立．这一卷在公理之后给出48个命题．前4个是：1．在已知线段上作一等边三角形．2．以已知点为端点，作一线段与已知线段相等．3．已知大小二线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等．4．两三角形两边与夹角对应相等，则这两三角形相等．这里两三角形“相等”，指的是“全等”，但在这一卷命题35以后，相等又有另外的含义，它可以指面积相等．现在已把图形全等(congruent)与等积(equiareal或equivalent)区分开来，而在《原本》中是用同一个字眼(equal)来表示的．不过欧几里得从来没有把面积看作一个数来运算，面积相等是“拼补相等”．命题5颇有趣：等腰三角形两底角相等，两底角的外角也相等．现在通常是用引顶角平分线来证明的，但作角的平分线是命题9，这里还不能用，只能用前4个命题以及公设、公理来证．证法是延长AB至D，AC至E［公设2］，在AD上任取一点B＇，在AE上截取AC＝AB＇［命题3］，连接B＇C，BC＇［公设1］．接着证△AB＇C≌△ABC＇［命题4］，故知B＇C＝BC＇，∠BB＇C＝∠CC＇B，又BB＇＝CC＇，于是△BB＇C≌△BC＇C．由此就不难推出命题的结论．中世纪时，欧洲数学水平很低，学生初读《原本》，学到命题5，觉得线和角很多，一时很难领会，因此这个命题被戏称为“驴桥”(pons asinorum，asses’ bridge，意思是“笨蛋的难关”)后面的命题包括三角形、垂直、平行、直线形(面积)相等等关系．命题44：用已知线段为一边，作一个平行四边形，使它等于已知三角形，且有一个角等于已知角．设AB是已知线段，S是已知三角形，α是已知角．延长AB，作∠EBC=α，根据43命题，可作一个 EBCD=S．过A作 FA∥EB交 ED的延长线于 F，连FB并延长之，交DC的延长线于G(因∠EDC与∠DEB互补，但∠EFB＜∠DEB，故∠EDC＋∠EFB小于二直角，按平行公设，FB与DC延线必相交)，过G作GN∥BC交 EB，FA 的延长线于 M，N．因 AM= EC=S，故 AM即为所求．欧几里得的术语是“将平行四边形AM贴合到线段AB上去”．普罗克洛斯评注《原本》时指出，“面积的贴合”(application of areas)是古希腊几何学的一种重要方法，它是毕达哥拉斯学派发现的．(见［2］，vol．I，p．343．)如果已知角α是直角，则所求的平行四边形是矩形，矩形另一边未知，设为x．命题化为解一次方程ax=S的问题，或用几何作图进行除法S÷a运算的问题．命题47就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．”这里相等仍然是指拼补相等，不牵涉到长度、数的关系．本卷最后一个命题(命题48)是勾股定理的逆定理．卷Ⅱ包括14个命题，用几何的形式叙述代数的问题，即所谓“几何代数学”(geometrical algebra)．一个数(或量)用一条线段来表示，两数的积说成两条线段所构成的矩形，数的平方根说成等于这个数的正方形的一边．命题1：设有两线段，其中之一被截成若干部分，则此两线段所构成的矩形等于各个部分与未截线段所构成的矩形之和．相当于恒等式a(b＋c+d +…)=ab＋ac＋ad＋…命题4：将一线段任意分为两部分，在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上这两部分线段所构成的矩形的二倍．相当于(a＋b)2=a2＋2ab+b2．命题5是值得注意的，它相当于二次方程的解法．今用现代术语、符号解释如下：设C是线段AB的中点，D是另一任意点，则AD与DB所构成的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形．证明］完成□CEFB，连对角线EB，作DG∥CE交EB于H，过H作 KM∥AB，作 AK⊥KM．因AL= CM， CH= HF，DB=HD，故AD与DB所构成的矩形= AH= AL＋ CH= CM+ HF，同加上CD(=LH)上的正方形□LG，即得命题的结论．1756年，R．西姆森(Simson，1687—1768)注释《原本》的英译本时指出，将本命题(记为Ⅱ5)稍加改变，即相当于二次方程的解法．已知线段AB=a，求其上一点D，使AD与DB所构成的矩形等于已知□b2(以b为边的正方形)．设DB=x，列成方程得(a-x)x=b2或x2-ax+b2=0．由Ⅱ5，AD与DB所构成的 AH=□CF-□LG，利用勾股定理(147)，作一个正方形等于二正方形的差是轻而易举的，现□CF，□b2已知，作两者之差即得□LG，由此得CD及x．具体的作法是：取AB中点C，作CE⊥AB，在CE上取O点，使OC=b，以O为心，CB为半径作弧交AB于D，D＇，则 D就是所求的点，由于对Ⅱ5的另一种形式是恒等式用的恒等式．若令 a=(2n+1)2，b=1，代入上式化简为(2n+1)2＋(2n2+2n)2=(2n2＋2n+1)2．可得由毕达哥拉斯求出的勾股数组(用正整数表示直角三角形的三边)：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1．与此相仿，命题6相当于求解另一种类型的方程x2＋ax-b2=0．命题11：分已知线段为两部分，使它与一小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形．相当于解方程x2＋ax-a2=0．这就是将线段分成“中末比”，后来叫做“黄金分割”的著名问题．后面卷Ⅳ命题10“作一等腰三角形，使底角是顶角的两倍”，也就是作出36°及72°角，从而能作出正5边形和正10边形．卷Ⅵ命题30：“截已知线段成中末比”，都是同一问题的不同表现形式．卷命题9再次提出正10边形、正6边形与中末比的关系，可见欧里几得很重视这个分割．命题12，13是三角学中的余弦定理：c2=a2＋b2-2abcos C，不过也是用几何的语言来叙述的，没有出现三角函数．卷Ⅲ有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及有关圆的图形等．较引人注目的是命题16：过直径AB端点A的垂线AD必在圆外，半圆周ACB与AD之间不可能再插入其他直线，半圆周ACB与AB之间的角比任何锐角都大，剩下的角( 与AD间的角)比任何锐角都小．与AD间的角究竟算不算角？在历史上有很大争论．在普罗克洛斯的评注中称它为“牛角”(horn－like angle)，这绰号在欧几里得以前早已有，在《原本》中没有使用，也没有说它的值是零．若作一系列切于A点的圆，似乎圆越小，“牛角”越大，但命题的结论并非如此．如果说它的值是零，角边应处处重合，而图形不是这样．这些疑问按现在曲线交角的定义已经解决，“牛角”的值是零．卷Ⅳ有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图．最后一题是正15边形的作图．普罗克洛斯认为和天文学有关，因为在埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前276—前195)之前，希腊天文家认为黄赤交角(黄道与天球赤道交角)是24°，即圆周角360°的 1/15．后来埃拉托塞尼测出是180°的11/83，约23°51＇20″．卷Ⅴ是比例论．后世的评论家认为这是《原本》的最高的成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在两个正整数m，n使为A与B无法相比．这样就很难建立关于一切量的比例理论．摆脱这一困境的是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus，公元前4世纪)，他用公理法重新建立了比例论，使它适用于所有可公度与不可公度的量．可惜他的著作已全部失传，好在还有相当一部分保存在《原本》中，如卷Ⅴ就主要取材于欧多克索斯的工作，当然也有欧几里得本人的加工整理，有的还散见于卷Ⅻ，Ⅵ，Ⅹ，之中．卷Ⅴ首先给18个定义．定义3：比是两个同类量之间的大小关系．定义4：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”(ratio)．这样就突破了毕达哥拉斯认为只有可公度量才可以比的限制．实际上，如果承认了“阿基米德公理”或“欧。
奇妙的数字“黑洞”一道课本习题的探讨适用于苏科版七年级上
适用于苏科版七年级（上）3—8期探索者栏目奇妙的数字“黑洞”——一道课本习题的探讨郎宏琪（江苏省兴化市新垛中学 225747）苏科版七年级第二章有理数复习题（第59页19题）中有这样一道题：任意写出一个数字不全相同的4位数，用这个数中的4个数字连同它的符号分别组成最大的数和最小的数，计算所组成最大数与最小数的差【例如－1023.用1、0、2、3、及“－”号组成的最大数－123（即“－0123”），最小数为－3210，作差，得－123－（－3210）=3087】.再对所得的差重复上述操作，结果如何？请与同学交流。
解：重复上述操作如下：①8730－378=8352 ②8532－2358=6174接下去计算结果便总是：6174→6174→……再举两例：例1：5462解：①6542－2456=4086 ②8640－468=8172③8721－1278=7443④7443－3447=3996 ⑤9963－3699=6264 ⑥6642－2466=4176⑦7641－1467=6174例2：3109，解：①9310 －139 = 9171 ②9711 －1179 = 8532 ③8532 －2358 = 6174交流结果：每次运算的结果各位数字的和都能被9整除，且数字7641是四位数世界里的“黑洞”，即只要从任何个十百千位数不会全一样（如2222，5555之类）的数出发，按照题目要求计算，它们一定最后掉进7641这一数字“黑洞”,而不会出来！黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。
数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整数出发，反复迭代后结果必然落入一个点或若干点。
数字黑洞运算简单，结论明了，易于理解，故人们乐于研究。
但有些证明却不那么容易。
探索一：原题中的任意一个数字不全相同的4位数改成任意一个数字不全相同的3位数，则是否也有“黑洞”存在？“黑洞”是什么？例1：107分析：①710－17=693 ②963－369=594 ③954－459=495例2：－354分析：①－345－（－543）=198 ②981－189=792③972－279=693 ④963－369=594 ⑤954－459=495真是奇妙！同学们不妨再举一些数试一试，最后发现每次运算的结果各位数字的和都能被9整除，且计算结果都要落进495这一数字“黑洞”。
初中数学 数学 欧几里得
欧几里得欧几里得(Euclid，拉丁文为 Euclides 或Eucleides) 公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大．数学．欧几里得以其所著的《几何原本》(Elements，以下简称《原本》)闻名于世，他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词，而对于他的生平，现在知道的却很少．他生活的年代，是根据下列的记载来确定的．雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注，写了一个《几何学发展概要》，常称为《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)，简称《概要》，是研究希腊几何学史的两大重要原始参考资料之一．另一种资料是帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collection)，下面简称《汇编》．《概要》中指出，欧几里得是托勒密一世(Ptolemy Soter，约公元前367—前282年，前323—前285年在位，托勒密王朝的建立者)时代的人，早年求学于雅典，深知柏拉图的学说．他著《原本》时引用许多柏拉图学派人物如欧多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus，约公元前417—前369年)的成果，可能他也是这个学派的成员．《概要》又说阿基米德(Archimedes)的书引用过《原本》的命题，可见他早于阿基米德．也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)．通过亚里士多德(Aristotle)的著作，也可以核对欧几里得的年代．《原本》中建立公设、公理，显然受到亚里士多德逻辑思想的影响．亚里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中给出“等腰三角形两底角相等”的“证明”，和《原本》卷Ⅰ命题5完全不同，也没有提到欧几里得．可见《原本》的证明是欧几里得后来完成的，他的活动年代应在亚里士多德之后．另一方面，欧几里得的天文著作《观测天文学》(Phaenomena)曾引用奥托利科斯(Autolycus of Pitane，约公元前300年)《运行的天体》(On moving sphere)的命题．而奥托利科斯是阿塞西劳斯(Arcesilaus，约公元前315—前241年，曾是柏拉图学园的导师)的老师．此外，帕波斯在《汇编》(卷7)中提到阿波罗尼奥斯(Apollo-nius)长期住在亚历山大，和欧几里得的学生在一起．这说明欧几里得在亚历山大教过学．综上所述，欧几里得活跃时期应该是公元前 300—前295年前后．《概要》还记述了这样一则轶事：托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得回答道：这句话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言．斯托比亚斯(Stobaeus，约公元500年)的记载略有差异，他认为是门奈赫莫斯(Menaechmus)对亚历山大王说的话：“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”现多数学者取前说．理由是在门奈赫莫斯的时代，几何学尚未形成严整的独立学科．斯托比亚斯还记载另一则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利”．由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点．帕波斯特别赞赏欧几里得的谦逊，他从不掠人之美，也没有声称过哪些是自己的独创．而阿波罗尼奥斯则不然，他过分突出自己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线论》中也没有提到欧几里得．除《原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传．几何著作保存下来的有《已知数》(The data)、《图形的分割》(Ondivisions of figures)，此外还有光学、天文学和力学等，多已散失．《原本》产生的历史背景欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有 300多年的历史(见［11］)．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心．雅典的智人(sophist)学派提出几何作图的三大问题：(1)三等分任意角；(2)倍立方——求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆．问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度，只能划直线的尺)和圆规．希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题．这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步．作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Oeno－pedes，约公元前465年)提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律．智人学派的安蒂丰(Antiphon)为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion)，孕育着近代极限论的思想．后来经过欧多克索斯的改进，使其严格化，成为《原本》中的重要证明方法，较有代表性的是卷Ⅻ的命题 2．(见［ 2］，vol 3，p．365；［9］， p．230．)埃利亚(意大利半岛南端)学派的芝诺(Zeno of Elea)提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题．无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾．例如卷Ⅸ命题20说：“素数的个数比任意给定的素数都多”，而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多．只说直线可任意延长而不是无限延长．原子论学派的德谟克利特(Democritus，约公元前410年)用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的 1/3，后来也是《原本》中的重要命题．柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量．《原本》卷Ⅴ比例论大部分采自欧多克索斯的工作．柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件．到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了．建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．其中有希波克拉底(Hippocrates，约公元前460年)，勒俄(Leo 或Leon，公元前4世纪)，修迪奥斯(Theudius，公元前4世纪)等．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．《原本》的版本和流传欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的．古希腊的海伦(Heron)、波菲里奥斯(Porphyrius，约公元232—304年)、帕波斯，辛普利休斯(Simplicius，6世纪前半叶)等人都注释过．最重要的是赛翁(Theon of Alexandria，约公元 390年)的修订本，对原文作了校勘和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础．赛翁虽生活在亚历山大，但离开欧几里得已有7个世纪，他究竟作了多少补充和修改，在19世纪以前是不清楚的．19世纪初，拿破仑称雄欧洲，1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿，带回巴黎去．其中有两种欧几里得著作的手抄本，以后为 F．佩拉尔(Peyrard， 1760—1822)所得．(见［2］，pp．46—47，p．103．)1814—1818年，佩拉尔将两种书用希腊文、拉丁文、法文三种文字出版，一种就是《原本》，另一种是《已知数》，通常叫做梵蒂冈本．《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同，过去的版本都声称来自赛翁的版本，而且包含卷Ⅵ命题33(在等圆中，无论是圆心角或圆周角，两角之比等于所对弧之比)．赛翁在注释托勒密(Ptolemy)的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明．而梵蒂冈本没有上述这些内容，可见是赛翁之前的本子，当更接近欧几里得原著．9世纪以后，大量的希腊著作被译成阿拉伯文．《原本》的阿拉伯文译本主要有三种：(1)赫贾季(al-Hajjāj ibn Yūsuf，9世纪)译；(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain，？—910)译，后来为塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，约826—901)所修订，一般称为伊沙格-塔比本；(3)纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī，1201—1274)译．现存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath．1120左右)从阿拉伯文译过来的．后来杰拉德(Gerard ofCremona，约1114—1187)又从伊沙格-塔比本译出．1255年左右，坎帕努斯(Campanus of Novara，？—1296)参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新将《原本》译成拉丁文．两百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书．在这之后到19世纪末，《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上．从来没有一本科学书籍象《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物．它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》．15世纪以后，学者们的注意力转向希腊文本，B．赞贝蒂(Zamberti，约生于1473)第一次直接从赛翁的希腊文本译成拉丁文，1505年在威尼斯出版．目前权威的版本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928，丹麦人)、 H．门格(Menge)校订注释的“Euclidis opera omnia”(《欧几里得全集》，1883—1916出版)，是希腊文与拉丁文对照本．最早完整的英译本(1570)的译者是H．比林斯利(Billingsley，？—1606)．现在最流行的标准英译本是 T．L．希思(Heath，1861—1940，英国人)译注的“The thirteen books of Euclid’sElements(《欧几里得几何原本13卷》，1908初版，1925再版，1956修订版)，这书译自上述的海伯格本，附有一篇长达150多页的导言，实际是欧几里得研究的历史总结，又对每章每节都作了详细的注释．对其他文字的版本，包括意、德、法、荷、英、西、瑞典、丹麦以及现代希腊等语种，此书导言均有所评论．中国最早的汉译本是1607年(明万历35年丁未)意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci，1552—1610)和徐光启(1562—1633)合译出版的．这是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门．所根据的底本是德国人C．克拉维乌斯(Clavius，1537—1612)校订增补的拉丁文本“Euclidis Elementorum Libri XV”(《欧几里得原本 15卷》，1574初版，以后再版多次)．徐、利译本只译了前6卷，定名为《几何原本》，“几何”这个名称就是这样来的．有的学者认为元代(13世纪)《原本》已经传入中国，根据是元代王士点、商企翁《元秘书监志》卷7“回回书籍”条有《兀忽列的四擘算法段数十五部》的书目，其中兀忽列的应是Euclid的音译．(见[15]，p．139；[16]．)但也有可能仍是阿拉伯文本，只是译出书名而已．后说似更可信．克拉维乌斯本是增补本，和原著有很大出入．原著只有13卷，卷XIV，XV是后人添加上去的．卷XIV一般认为出自许普西克勒斯(Hypsicles，约公元前180)之手，而卷XV是6世纪初大马士革乌斯(Damascius，叙利亚人)所著．(见［12］，p．119，182．) 利玛窦、徐光启共同译完前6卷之后，徐光启“意方锐，欲竟之”，利玛窦不同意，说：“止，请先传此，使同志者习之，果以为用也，而后徐计其余．”三年之后，利玛窦去世，留下校订的手稿．徐光启据此将前6卷旧稿再一次加以修改，重新刊刻传世．他对未能完成全部的翻译而感遗憾，在《题＜几何原本＞再校本》中感叹道：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟焉．”整整250年之后，到1857年，后9卷才由英国人伟烈亚力(Alexander Wylie， 1815—1887)和李善兰(1811—1882)共同译出．但所根据的底本已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本．伟烈亚力在序中只提到底本是从希腊文译成英文的本子，按照英译本的流传情况，可能性最大的是I．巴罗(Barrow，1630—1677，牛顿的老师)的15卷英译本，他在1655年将希腊文本译成拉丁文，1660年又译成英文．李、伟译本(通称‘清译本”)至今已有100多年，现已不易看到，况且又是文言文，名词术语和现代有很大差异，这更增了研读的困难，因此重新翻译是十分必要的．徐、利前6卷的译本(通称“明译本”)在“原本”之前加上“几何”二字，称译本为《几何原本》．清译本的后9卷沿用这个名称一直到现在．这“几何”二字是怎样来的？目前有三种说法：(1)几何是拉丁文geometria字头geo的音译．此说颇为流行，源出于艾约瑟(Joseph Edkins，1825—1905，英国人)的猜想，记在日本中村正直(1832—1891)为某书所写的序中．(2)在汉语里，“几何”原是多少、若干的意思，而《原本》实际包括了当时的全部数学，故几何是“mathematica”(数学)或“magnitude”(大小)的意译．(3)《原本》前6卷讲几何，卷Ⅶ—Ⅹ是数论，但全用几何方式来叙述，其余各章也讲几何，所以基本上是一部几何书．内容和中国传统的算学很不相同．为了区别起见，应创新词来表达．几何二字既和“geometria”的字头音近，又反映了数量大小的关系，采用这两个字可以音、意兼顾．这也许更接近徐、利二氏的原意．《原本》内容简介明、清译本因为是修订增补本，和现行的希思英译本有相当大的出入，下面以希思本为主，兼顾明、清译本，作一简要的介绍．卷1首先给出23个定义．如1．点是没有部分的(A point isthat which has no part)；2．线只有长而没有宽(A line is bread－thless length)，等等．还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．前7个定义实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到．明译本(即克拉维乌斯增补本)在原文的基础上加入很多说明，将23个定义拆成“界说三十六则”．一开头还对“界说”加以界说：“凡造论，先当分别解说论中所用名目，故曰界说．”下面指出几何研究的对象：“凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度．”可见在明译本中，几何(几何学)研究的是由点、线、面、体构成的图形，和数学研究的对象不同，两者有广狭之分．但在别的地方，几何就是“大小”、“多少”的意思，即通常所说的“量”，和“数”是有区别的．如卷Ⅴ第2界：“若小几何能度大者，则大为小之几倍”，现可译为“当一个较大的量能被较小的量量尽时，较大的量叫做较小量的倍量(multiple)”．定义之后，是5个公设，头3个是作图的规定，第4个是“凡直角都相等”．这几个都是显而易见的，没有引起什么争论，第5个就很复杂：“若一直线与两直线相交，所构成的同旁内角小于二直角，那么，把这两直线延长，一定在那两内角的一侧相交”．这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．公设后面，还有5条公理，如1．等于同量的量彼此相等；5．整体大于部分；等等．以后各卷不再列其他公理．在《原本》中，公设(postulate)主要是关于几何的基本规定，而公理(axiom)是关于量的基本规定．将两者分开是从亚里士多德开始的，现代数学则一律称为公理．由于平行公设不象其他公理那么简单明了，人们自然会怀疑，欧几里得把它列为公设，不是它不可能证明，而是没有找到证明．这实在是这部千古不朽巨著的白璧微瑕．从《原本》的产生到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这唯一的“污点”，最后导致非欧几何的建立．这一卷在公理之后给出48个命题．前4个是：1．在已知线段上作一等边三角形．2．以已知点为端点，作一线段与已知线段相等．3．已知大小二线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等．4．两三角形两边与夹角对应相等，则这两三角形相等．这里两三角形“相等”，指的是“全等”，但在这一卷命题35以后，相等又有另外的含义，它可以指面积相等．现在已把图形全等(congruent)与等积(equiareal或equivalent)区分开来，而在《原本》中是用同一个字眼(equal)来表示的．不过欧几里得从来没有把面积看作一个数来运算，面积相等是“拼补相等”．命题5颇有趣：等腰三角形两底角相等，两底角的外角也相等．现在通常是用引顶角平分线来证明的，但作角的平分线是命题9，这里还不能用，只能用前4个命题以及公设、公理来证．证法是延长AB至D，AC至E［公设2］，在AD上任取一点B＇，在AE上截取AC＝AB＇［命题3］，连接B＇C，BC＇［公设1］．接着证△AB＇C≌△ABC＇［命题4］，故知B＇C＝BC＇，∠BB＇C＝∠CC＇B，又BB＇＝CC＇，于是△BB＇C≌△BC＇C．由此就不难推出命题的结论．中世纪时，欧洲数学水平很低，学生初读《原本》，学到命题5，觉得线和角很多，一时很难领会，因此这个命题被戏称为“驴桥”(pons asinorum，asses’ bridge，意思是“笨蛋的难关”)后面的命题包括三角形、垂直、平行、直线形(面积)相等等关系．命题44：用已知线段为一边，作一个平行四边形，使它等于已知三角形，且有一个角等于已知角．设AB是已知线段，S是已知三角形，α是已知角．延长AB，作∠EBC=α，根据43命题，可作一个 EBCD=S．过A作 FA∥EB交 ED的延长线于 F，连FB并延长之，交DC的延长线于G(因∠EDC与∠DEB互补，但∠EFB＜∠DEB，故∠EDC＋∠EFB小于二直角，按平行公设，FB与DC延线必相交)，过G作GN∥BC交 EB，FA 的延长线于 M，N．因 AM= EC=S，故 AM即为所求．欧几里得的术语是“将平行四边形AM贴合到线段AB上去”．普罗克洛斯评注《原本》时指出，“面积的贴合”(application of areas)是古希腊几何学的一种重要方法，它是毕达哥拉斯学派发现的．(见［2］，vol．I，p．343．)如果已知角α是直角，则所求的平行四边形是矩形，矩形另一边未知，设为x．命题化为解一次方程ax=S的问题，或用几何作图进行除法S÷a运算的问题．命题47就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．”这里相等仍然是指拼补相等，不牵涉到长度、数的关系．本卷最后一个命题(命题48)是勾股定理的逆定理．卷Ⅱ包括14个命题，用几何的形式叙述代数的问题，即所谓“几何代数学”(geometrical algebra)．一个数(或量)用一条线段来表示，两数的积说成两条线段所构成的矩形，数的平方根说成等于这个数的正方形的一边．命题1：设有两线段，其中之一被截成若干部分，则此两线段所构成的矩形等于各个部分与未截线段所构成的矩形之和．相当于恒等式a(b＋c+d +…)=ab＋ac＋ad＋…命题4：将一线段任意分为两部分，在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上这两部分线段所构成的矩形的二倍．相当于(a＋b)2=a2＋2ab+b2．命题5是值得注意的，它相当于二次方程的解法．今用现代术语、符号解释如下：设C是线段AB的中点，D是另一任意点，则AD与DB所构成的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形．证明］完成□CEFB，连对角线EB，作DG∥CE交EB于H，过H作 KM∥AB，作 AK⊥KM．因AL= CM， CH= HF，DB=HD，故AD与DB所构成的矩形= AH= AL＋ CH= CM+ HF，同加上CD(=LH)上的正方形□LG，即得命题的结论．1756年，R．西姆森(Simson，1687—1768)注释《原本》的英译本时指出，将本命题(记为Ⅱ5)稍加改变，即相当于二次方程的解法．已知线段AB=a，求其上一点D，使AD与DB所构成的矩形等于已知□b2(以b为边的正方形)．设DB=x，列成方程得(a-x)x=b2或x2-ax+b2=0．由Ⅱ5，AD与DB所构成的 AH=□CF-□LG，利用勾股定理(147)，作一个正方形等于二正方形的差是轻而易举的，现□CF，□b2已知，作两者之差即得□LG，由此得CD及x．具体的作法是：取AB中点C，作CE⊥AB，在CE上取O点，使OC=b，以O为心，CB为半径作弧交AB于D，D＇，则 D就是所求的点，由于对Ⅱ5的另一种形式是恒等式用的恒等式．若令 a=(2n+1)2，b=1，代入上式化简为(2n+1)2＋(2n2+2n)2=(2n2＋2n+1)2．可得由毕达哥拉斯求出的勾股数组(用正整数表示直角三角形的三边)：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1．与此相仿，命题6相当于求解另一种类型的方程x2＋ax-b2=0．命题11：分已知线段为两部分，使它与一小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形．相当于解方程x2＋ax-a2=0．这就是将线段分成“中末比”，后来叫做“黄金分割”的著名问题．后面卷Ⅳ命题10“作一等腰三角形，使底角是顶角的两倍”，也就是作出36°及72°角，从而能作出正5边形和正10边形．卷Ⅵ命题30：“截已知线段成中末比”，都是同一问题的不同表现形式．卷命题9再次提出正10边形、正6边形与中末比的关系，可见欧里几得很重视这个分割．命题12，13是三角学中的余弦定理：c2=a2＋b2-2abcos C，不过也是用几何的语言来叙述的，没有出现三角函数．卷Ⅲ有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及有关圆的图形等．较引人注目的是命题16：过直径AB端点A的垂线AD必在圆外，半圆周ACB与AD之间不可能再插入其他直线，半圆周ACB与AB之间的角比任何锐角都大，剩下的角( 与AD间的角)比任何锐角都小．与AD间的角究竟算不算角？在历史上有很大争论．在普罗克洛斯的评注中称它为“牛角”(horn－like angle)，这绰号在欧几里得以前早已有，在《原本》中没有使用，也没有说它的值是零．若作一系列切于A点的圆，似乎圆越小，“牛角”越大，但命题的结论并非如此．如果说它的值是零，角边应处处重合，而图形不是这样．这些疑问按现在曲线交角的定义已经解决，“牛角”的值是零．卷Ⅳ有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图．最后一题是正15边形的作图．普罗克洛斯认为和天文学有关，因为在埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前276—前195)之前，希腊天文家认为黄赤交角(黄道与天球赤道交角)是24°，即圆周角360°的 1/15．后来埃拉托塞尼测出是180°的11/83，约23°51＇20″．卷Ⅴ是比例论．后世的评论家认为这是《原本》的最高的成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在两个正整数m，n使为A与B无法相比．这样就很难建立关于一切量的比例理论．摆脱这一困境的是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus，公元前4世纪)，他用公理法重新建立了比例论，使它适用于所有可公度与不可公度的量．可惜他的著作已全部失传，好在还有相当一部分保存在《原本》中，如卷Ⅴ就主要取材于欧多克索斯的工作，当然也有欧几里得本人的加工整理，有的还散见于卷Ⅻ，Ⅵ，Ⅹ，之中．卷Ⅴ首先给18个定义．定义3：比是两个同类量之间的大小关系．定义4：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”(ratio)．这样就突破了毕达哥拉斯认为只有可公度量才可以比的限制．实际上，如果承认了“阿基米德公理”或“欧。
“任意角的三角函数—第一课时”教学设计
“任意角的三角函数—第一课时”教学设计初中学生已经学过锐角三角函数，在直角三角形中用边长的比来刻画。
三角函数是基本初等函数，它是刻画周期变化现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
与其他初等函数的学习一样，学习任意角的三角函数，关键在于让学生理解它的概念、图像和基本性质，并能用三角函数解释一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。
本节课基于初中学习锐角三角函数的基础，用单位圆来进一步深入的研究三角函数，为诱导公式的推导，研究三角函数的图象和性质以及三角恒等变换打下了坚实的准备基础。
二、教材地位与作用三角函数是高中数学的重要内容之一.它是学生学习的一些简单函数的延伸和拓展；在教学过程中，学生对这个概念的认识经历了直观感受、文字描述和精确定义三个阶段，从而为高中的后继课程打下基础，与不等式、导数有紧密联系.过去教材习惯于用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义，新教材则用单位圆来定义。
相比而言，用单位圆上的点的坐标定义三角函数有诸多优点。
定义三角函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横纵坐标）之间的对应关系显得更为简洁明了，突出了函数的本质。
其次，使三角函数的数形关系更直接，为后面的三角函数线与定义间的联系更为直接。
更有利于用数形结合的思想去探讨三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系、诱导公式、单调性、周期性、对称性及最值等。
三、教法学法分析建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构建.”也就是说，教学过程不只是知识的授受过程，也不是机械的告诉与被告诉的过程，而是一个学习者主动学习的过程．因而，考虑到学生的认知水平，本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以探究研讨法为主，结合讲练结合法、谈话法等展开教学.教材在给出了三角函数的定义后，并没有直接给出它们的定义域和函数值的正负，而是设置了“探究”，留给了学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论四、教学过程1、问题切入，追寻历史李文林认为“数学史研究具有三重目的，一是为历史而历史，即恢复历史的本来面目；二是为数学而历史，即古为今用，洋为中用，为现实的数学研究的自主创新服务；三是为教育而历史，即将数学史应用于数学教育，发挥数学史在培养现代化人才方面的教育功能”。
数学史融入中学数学例子
数学史融入中学数学例子
从高中定理教学谈数学史的渗透案例
数学定理教学通常是指数学公理、定理、法则、公式等内容的教学。
数学定理属于数学的基础知识范畴，是各种数学问题的表达形式，更是数学逻辑推理的基础。
将数学史知识融入数学定理教学，使学生在感悟历史的同时，可以更深入地理解数学定理，提高学习的有效性。
案例：正弦定理的证明
正弦定理是从以前初中教材逐步分离并划归到高中教材的一部分内容。
学生在初中直角三角形部分的习题中见过正弦定理的结论，并且有一些学生能用面积法来证明。
从知识体系上看，应属于三角函数这一章。
结合数学史进行如下的设计：
1创设情景，激发兴趣
早在1671年，两个法国天文学家就已经估算出了地球与月球之间的距离，那时没有先进的仪器，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题。
今天我们学习的正弦定理在解三角形中就有着重要应用。
2正弦定理的由来
13世纪阿拉伯数学家、天文学家、哲学家纳西尔丁（1201～1274）在《论完全四边形》中的卷3，论述了平面三角函数，用平面圆定义。
阿拉伯的三角学与几何学
阿拉伯的三角学与几何学由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，（《苏利耶历数全书》是天文著作，是印度第一个正弦表，年代距阿耶波多不远）以及希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。
三角形的建立是亚历山大后期几何学最富创作性的成就，而托勒玫就是最卓越的代表人物。
梅内劳斯（约公元1世纪人),古希腊亚历山大后期的数学家、夭文学家,三角术(主要是球面三角术)创始人之一他写过关于圆中的弦6本书,可惜都已失传,幸好他著的一本《球面论》以阿拉伯文本保存了下来.该书共3册,第一册讨论球面几何,第二册以夭文为主题,第三册是球面三角术.现今所谓“梅内劳斯定理”即在这第三册之中。
对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼作出的，他约858年生于哈兰（在今土耳其东南部）；929年卒于伊拉克，萨马拉附近。
而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。
其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。
在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切。
他称正弦为jība，来源于阿耶波多的印度语术语jīva，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbra versa，意即反阴影；余切为umbra recta，意即直阴影。
后来演变成拉丁语分别为tangent 和cotangent，首见于丹麦数学家芬克（T.Fink，1561—1656）的《圆的几何》（1583）一书中。
而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法最先引入的。
阿尔·巴塔尼还发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式阿尔巴塔尼是阿拉伯天文学家。
希腊天文学最后经托勒密*去粗存精，由阿拉伯人保留下来了，但并无多大进展。
仅有的较小发展是阿尔巴塔尼做出的，他是一天文仪器制造者之子，是穆斯林中最伟大的天文学家。
初中数学 数学名师 雷格蒙塔努斯
雷格蒙塔努斯雷格蒙塔努斯，J．(Regiomontanus， Johannes)1436年6月6日生于德国哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)；1476年7月6日卒于意大利罗马．天文学、数学．雷格蒙塔努斯又名J．缪勒(John Müller)，关于他的早期生活人们知道的不多，他12岁以前在家中受教育，然后去莱比锡学习．1450年4月14日在维也纳大学注册，开始跟随G．波伊巴赫(Peuerbach)学习天文学。
雷格蒙塔努斯于1452年1月16日获得学士学位，这时他才15岁．但由于该大学的规章制度，他直到21岁才得到硕士学位．1457年11月11日，他受聘为维也纳大学教员，从而成为波伊巴赫的学生和同事．在雷格蒙塔努斯的一生中，波伊巴赫对他的影响最大．波伊巴赫曾在意大利讲授数学，之后定居维也纳并使该大学成为当时欧洲数学的中心之一．他写过一本算术书和许多天文学著作，其中大部分直到他去世后才出版．是波伊巴赫最先认识到年轻的雷格蒙塔努斯的天才，他非常欣赏雷格蒙塔努斯对天文学的热爱，并极其认真地教育他．雷格蒙塔努斯从行星理论学起，逐渐掌握了托勒密(Ptolemy)的天文学说．他还试图掌握一切对天文学有用的知识，努力钻研几何学、算术与三角学，为他以后的发展打下了基础．与波伊巴赫的友谊使雷格蒙塔努斯终生受益．1460年5月5日，神圣罗马教皇的使节C．贝萨里翁(Bessa－rion)到达维也纳，经过波伊巴赫的介绍，他成为第二个对雷格蒙塔努斯的一生产生重要影响的人物．贝萨里翁不仅是教皇的一位成功的外交家，而且也是一位有造诣的学者，尤其在天文学方面．他的母语是希腊语，又精通拉丁文，他热衷于向使用拉丁文的西方知识界介绍古希腊经典作家的著作，力劝波伊巴赫将托勒密的《天文学大成》(Almagest)缩写成拉丁文出版，使之“更简明易懂”，因为托勒密原著的语言晦涩，思想深奥．当时维也纳大学并不教授希腊语，波伊巴赫也未掌握这门语言，他利用12世纪克雷莫纳的杰拉德(Gerard of Cremona)的拉丁文本勉力译到第6卷便于1461年4月8日去世了，临终前他请求雷格蒙塔努斯继续完成这项工作．为了实现波伊巴赫的遗愿，雷格蒙塔努斯开始努力学习希腊语，由于有贝萨里翁的指导，他在较短的时间里便熟悉了这门语言．1461年11月20日他跟随贝萨里翁到达罗马．在这期间他阅读了贝萨里翁提供给他的一些希腊文科学著作．根据记载，1463年4月28日之前雷格蒙塔努斯便完成了《天文学大成》的缩写，名为《概论》(Epitome)．他把波伊巴赫和自己合诈完成的这本著作题献给了贝萨里翁，但直到1496年8月31日该著作才得以出版，这已是雷格蒙塔努斯去世后20年了．在罗马期间，雷格蒙塔努斯广交学者，尤其是那些熟悉希腊文的人，同时又忙于天文观测，收集珍本图书(包括希腊文和拉丁文的)，有很大收获．1463年7月5日贝萨里翁作为教皇特使赴威尼斯，雷格蒙塔努斯同行．1464年春天，雷格蒙塔努斯在帕多瓦(当时在威尼斯统治之下)大学演讲，内容是关于9世纪穆斯林科学家法汉尼(al－Farghànì)的工作．他在这次演讲中声称自己读过所有拉丁文和希腊文的经典学术著作．1464年4月2日的月食之后，他离开帕多瓦赴威尼斯等候贝萨里翁，正是在这里的5—6月间他完成了《论各种三角形》(De triangulis omnimodis)一书．他将该书题献给贝萨里翁，这是雷格蒙塔努斯最重要的著作，但直到1533年才首次出版．此外，他还在威尼斯撰写了一篇对话，其内容是行星理论．1467年，雷格蒙塔努斯接受匈牙利国王的邀请来到布达佩斯，在当时的皇家天文学家M．贝利卡(Martin Bylica of Olkusz)的协助下编制了他的《方位表》(Tables of directions)． 1468年，他在布达佩斯计算了一张正弦表(取sin90°=107)． 1471年，他离开匈牙利来到纽伦堡，在那里建立了一个印刷所以便出版科学著作，从而成为最早出版天文学与数学著作的人之一．可能是1476年1月第伯河决口之后横扫罗马城的一场瘟疫夺去了雷格蒙塔努斯的生命．对他死因的另一种说法是，因他宣称要纠正乔治(Geroge ofTrebizond)天文学著作中的错误，对方怀恨在心，导致乔治之于将他毒死．1476年7月6日，雷格蒙塔努斯卒于罗马．雷格蒙塔努斯对数学的主要贡献是在三角学方面．他的代表作《论各种三角形》，是第一本使三角学脱离天文学而成为数学的一个分支的系统著作．在雷格蒙塔努斯之前，三角学的发展已经历了很长的历程，首先从天文学的研究中产生出球面三角的若干知识，逐渐地发展到平面三角学．公元前1600年的巴比伦人便已具有弦的某些知识，“普林顿322号”(Plimpton 322)泥板的内容便显示了他们对三角形的深刻认识．古埃及人也可能早已发现三角形的不同元素之间具有某种关联．希腊人对天文学和几何学的研究促进了三角学的发展，他们首先认识到有必要建立三角形的边与角之间的精确关系．希帕霍斯(Hipparchus)曾为了天文观测的需要作出一个弦表，门纳劳斯(Menelaus)则给出了三角形的一个基本定理．之后，托勒密在其巨著《天文学大成》中发展了弦表，这些弦表在欧洲一直被广泛采用，直到雷格蒙塔努斯的著作发表之前没有多大改变．三角学的下一步发展是在东方，印度人和阿拉伯人都为之做出了贡献．印度人考虑半弦和圆的半径，这样他们就发现了现代三角学赖以存在的基础．阿拉伯人艾布瓦法(Abul Wefa)首次引入正割和余割；巴塔尼(al-Battānī)为测定太阳的仰角而提出的概念“直阴影”和“反阴影”后来发展成了“余切”和“正切”；纳西尔丁(Nasīr ad－Din)则指出了平面三角学与球面三角学的差异，开始使三角学脱离天文学．雷格蒙塔努斯在写作《论各种三角形》时，知晓托勒密以及一些印度、阿拉伯数学家的工作．由于他不懂阿拉伯语，他只能阅读已译成拉丁文的一部分著作．他从前人的工作中知道了弦表、正弦律以及余弦律等，从而建立起三角学的统一基础，使之成为一个系统的整体．《论各种三角形》产生于天文学研究的需要，早在波伊巴赫和雷格蒙塔努斯写作《概论》的时候，处理平面和球面三角形中边与角的比就是极为迫切的了．在该书献辞的末尾雷格蒙塔努斯表明他将写一本三角学的著作，这便是后来的《论各种三角形》．该书基于欧氏几何，共含5篇．第1篇共57个定理，头一部分(定理1—19)讨论了量和比，如定理19：“如果四个成比例的量中有三个是已知的，则余下的第四个量也可知道．”这是《几何原本》中已经证明了的．其余部分则给出了直角、等腰及不等边三角形的几何解，其中定理20，27，28中提到或明确使用了正弦函数，如定理27：“当一直角三角形的两条边已知时，(三角形中)所有的角都可求出来．”证明中便明确使用了正弦函数．斜三角形的四种情形的解在定理49，50，52，53中分别得到处理．定理49如下：“若一三角形的两条边及其夹角已知，则三角形的其他的边与角皆可求得．”证明中采用从未知角向对边作垂线的方法，将三角形化作两个直角三角形进行求解．在以上四个定理中没有提到正弦函数．三角学知识的系统处理开始于第2篇的定理1，该定理即是一般三角形中的正弦定理，雷格蒙塔努斯利用该定理对定理4和定理5中的斜三角形进行了处理：在一三角形中当两角及一边或两边及一角已知时，则余下的元素都可求得．接下来的许多定理可看作是今天意义上的练习题．在定理12和13中，雷格蒙塔努斯提出了求三角形边长的代数解法，其中用到二次方程．数学史家认为雷格蒙塔努斯熟悉切斯特的罗伯特(Robert of Chester)译的阿拉伯数学家花拉子米(al-Khowārizmī)的代数著作．定理26则隐含着三角形面积的三角公式．总之，第2篇的33个定理的内容基本上属于今天解三角形的范畴．第3篇共56个定理，是第4篇的基础，其内容已由平面转移到球面．其中介绍了球被平面所截而产生的许多结果，如定理15：“大圆是由球面上的两点决定的．”定理47：“在球面三角形中，延长其一边时，则外角有时等于其对应的内角，有时大于它，有时甚至小于它．”第4篇的定理16，17分别给出了球面直角三角形和斜三角形中的正弦定理．在雷格蒙塔努斯的心目中，三角学是为天文学服务的，所以球面三角学的研究更为重要．该篇定理25，26，27处理了球面直角三角形，如定理25：“一球面三角形中、已知直角和两条边，则可求得其他的边和角．”定理28—34则给出了解斜球面三角形的6种情形．第5篇继续解球面三角形，只有15个定理，其中定理2即含有球面三角形的余弦定理，虽然用词与今天不同．用现代符号，它可化为如下形式：雷格蒙塔努斯早在维也纳学习阿拉伯数学家巴塔尼的《天文学》时就发现了余弦律，他认识到其重要性，最先使之形成实用的定理．雷格蒙塔努斯为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世后，他的著作手稿在学者中广为传阅，对16世纪的数学家产生了相当大的影响．从J．维尔纳(Werner)到G．J．雷蒂库斯(Rheticus)以至N．哥白尼(Copernicus)，他们都受到雷格蒙塔努斯直接或间接的影响．雷格蒙塔努斯还曾试图将丢番图(Diophantus)的手稿译成拉丁文．在1464年2月写给意大利数学家G．比安基尼(Bian－chini)的一封信中，雷格蒙塔努斯声称自己发现了丢番图的一部不完整的手稿，并说如果自己得到全部手稿，将把它译成拉丁文，“因为我在我最尊敬的那里学到的希腊文足以完成这项任务”．他终未得到全部手稿，也没有译出这一部分手稿．然而现代对丢番图的发现就始于雷格蒙塔努斯那部不完整的手稿的发现．雷格蒙塔努斯的三角学研究是为天文学服务的．15世纪末，托勒密的成就仍然是天文学思想发展的顶峰．波伊巴赫和雷格蒙塔努斯合作完成的《概论》使人们更易于掌握托勒密的巨著《天文学大成》，然而其作用不仅在于促使人们对过去的知识有更好的理解，更重要的是它对当时的科学发展做出了贡献．《概论》并不局限于对《天文学大成》的翻译，它还添加了后来的观测数据，修正了一些计算并加入一些评论性的文字，其中之一表明托勒密的月球理论所需要的月球的视直径与实际相差甚远，这一段(《概论》第5篇命题22)引起了哥白尼(当时是波伦尼亚大学的学生)的注意．惊异于托勒密天文体系(已经流行了1300多年)的这一错误，哥白尼开始尝试为现代天文学奠定基础，从而摒弃了旧的托勒密体系．雷格蒙塔努斯编制了许多天文表．他的《方位表》中包括天体黄经的计算，该表于1490年初版，以后多次再版．在问题10中，他指出应该通过使sin90°等于105而不是6×105(在《论各种三角形》第5卷定理25中使用了这一底数)来摒弃正弦表的60进制特征．在《论各种三角形》中他没有使用正切函数，但在《方位表》中使用了间隔1°直到90°的正切表．他取tg45°=105，是我们现今这类表的典范．1468年，雷格蒙塔努斯在布达佩斯编制了一个正弦表，取sin90°=107．在他认识到10进制的长处之前，他已经准备了一个60进制的正弦表，取sin90°=6×106．这两个表都于1541年初版于纽伦堡，同时出版的还有他的论文《正弦表的制作》(Construction of sine)．此外，他还在匈牙利完成一张关于天空每日视旋转的表，并且阐述了它的几何基础．雷格蒙塔努斯自己出版了一些科学著作，包括他的《星历表》(Ephemerides)和波伊巴赫的《行星新论》(New theory of theplanets)．《星历表》给出了1475—1506年间每天的天体位置，有趣的是，C．哥伦布(Colombo)在第四次航海探险时随身携带了一份《星历表》，并利用它预示的1504年2月29日的月食吓唬牙买加的土著印第安人，终于使他们屈服．。
初中数学 数学名师 弗罗贝尼乌斯.doc
弗罗贝尼乌斯弗罗贝尼乌斯，F．G．(Frobenius，Ferdinand Georg)1819年10月26日生于德国柏林；1917年8月3日卒于柏林州夏洛滕堡(Charlottenburg)．数学．弗罗贝尼乌斯的父亲C．F．弗罗贝尼乌斯是一位教区牧师，母亲名叫伊丽莎白(Elisabeth)，姓弗里德里希(Friedrich)．弗罗贝尼乌斯的青少年时代正值德国资产阶级力量快速增长，经济迅猛发展，从农业国变成工业国的时期，这种经济的持续繁荣为1871年德意志的民族统一打下了基础．社会的巨大变化要求教育体制与之相适应．但弗罗贝尼乌斯是在传统体制下接受早期教育的．他先就读于柏林的约阿希姆斯塔尔(Joachimthal)文科中学(Gymnasium)，那是大学的预备学校．自1834年后，只有通过文科中学的毕业考试这条渠道，青年才能进入大学继续深造．文科中学垄断毕业考试的状况直至20世纪初才告结束．弗罗贝尼鸟斯在文科中学打下古典语文、历史、人文学科及数学、自然科学等各门知识的良好基础后，1867年进入格丁根大学，开始他的数学学习．当时德国大学中没有数学系，数学是哲学院中的一个专业，有哲学博士学位，而没有单独的数学博士学位．1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位．这一年的下半年，他任教于母校约阿希姆斯塔尔文科中学，次年转入一所实科学校(Re-alschule)执教．在这种学校里，数学和自然科学成为教学中的重要组成部分，这是德国中等教育由单轨制学校转变成双轨制学校的体现．现在Realschu1e成为Mittleschule(中学)的同义词．当时，随着世界科学中心的转移，数学研究中心也由法国移至德国．除1825年创刊的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für diefeine und angenandte Mathematik)外， 1869年又创刊发行了《数学年鉴》(Mathematische Annalen)．70年代，虽然格丁根继C．F．高斯(Gauss)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和G．F．B．黎曼(Riemann)之后处于相对低潮，但柏林却由于E．E．库默尔(Kummer)、K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、L．克罗内克(Kronecker)等人而比较繁荣．处于这样一种良好的研究氛围中，弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文．1874年，他被聘为柏林大学副教授，第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校(Eidgeen ssische Polytechnikum)教授．1876年，弗罗贝尼乌斯与A．莱曼(Lehmann)结婚．1870年左右，群论成为数学研究的主流之一．弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和克罗内克的影响，对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究，发表了多篇有价值的论文．1892年，他重返柏林大学任数学教授．1893年当选为柏林普鲁士科学院院士．弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要．他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L．施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I．舒尔(Schur)的合作最为成功．舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果．弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷．弗罗贝尼乌斯在θ函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作．1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”．关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生I．L．富克斯(Fiuchs)开创的．1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究．1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念．弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义．1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被O．L．赫尔德(H 1der)推广，成为(H，r)求和法．弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论．群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现．19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念．这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群．抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构．弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献．在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及．伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群．发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题．1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群．19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的．研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要．19世纪末20世纪初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论．作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成．群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论．其核心是群特征标理论．弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”( ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”( ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”( ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”( ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等．在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”( ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”( ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题．在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念．设G 是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T∶G→GLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的d×d矩阵群，d 还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示．在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和T＇∶G→GLd＇(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d＇， X=T＇(g)．特别地，对g∈G，矩阵r(g)和r′(g′)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式．表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，g ∈G的迹为表示的特征．这个定义比较简单，成为今天的标准定义．在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义．特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价．可见研究有限群的特征有重要意义．群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上．在“群与其子群特征之间的关系”( ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要．在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：φg(g)=他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若ρ与φ分别是G与H 的不可约表示，则φ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示φg要工具．弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论．从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等．他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果．与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W．伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法．他的《有限阶群论》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”．20世纪20年代，A．E．诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展．后来，R．D．布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论．有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典傅里叶(Fourier)分析．群表示论不仅应用在群的一些比较困难的问题中，在理论物理和量子力学中也有奇妙而重要的应用．弗罗贝尼乌斯擅长计算，越富挑战性的问题越能吸引他．他曾运用关于特征的思想以及组合学和代数学的新技巧算出一些无穷族中的所有群的特征表．他的技巧远远走在时代前面，对几何学和代数学也有持续而强烈的影响．正是这种勇于挑战的精神激励他在困难重重的抽象群表示论中乐此不疲地探索，取得丰硕成果．。
河北省青龙满族自治县逸夫中学八年级数学《三角形的中位线》教案
4.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、合作探究等形式，促进学生之间的交流与合作，共同解决问题，发展团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3.能够运用中位线定理解决实际问题，如土地测量、建筑设计等。
二、核心素养目标
《三角形的中位线》一课的核心素养目标如下：
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过直观操作和推理，理解三角形中位线的性质，提高学生对几何图形的认识和分析能力。
2.培养学生的逻辑推理能力，使学生能够运用中位线定理进行严密的证明和计算，增强解决问题的逻辑性和条理性。
河北省青龙满族自治县逸夫中学八年级数学《三角形的中位线》教案
一、教学内容
《三角形的中位线》为河北省青龙满族自治县逸夫中学八年级数学的教学内容，选自人教版八年级数学上册第四章第四节。本节课主要内容包括：
1.探索并理解三角形的中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
2.学会利用中位线定理进行几何图形的求解，如求三角形的面积、线段长度等。
（2）能够运用中位线定理解决相关问题，如求三角形的面积、线段长度等。
（3）理解中位线在实际问题中的应用，如土地测量、建筑设计等。
举例：在讲解三角形的中位线定理时，教师可以通过实际操作教具或动态软件，让学生直观地观察到中位线与第三边的关系，并强调中位线长度是第三边长度的一半。
2.教学难点
（1）理解并证明三角形的中位线定理：学生需要通过逻辑推理和几何证明来理解中位线定理的正确性。
二次方程公式法推导
二次方程公式法推导二次方程，这可是数学里的一个重要家伙！咱们今天就来好好聊聊二次方程公式法是怎么推导出来的。
咱们先从一个普通的一元二次方程说起，形如 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。
就比如说有个方程 2x² + 5x + 3 = 0 ，这就是一个典型的一元二次方程。
要推导公式法，咱们得先回忆一下配方法。
配方法就像是给方程做个整形手术，让它变得更好看、更好解决。
比如说对于方程 x² + 6x + 8 = 0 ，我们先把常数项 8 移到等号右边，得到 x² + 6x = -8 。
然后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是（6÷2）² = 9 ，于是就有 x² + 6x + 9 = -8 + 9 ，整理一下就是（x + 3）² = 1 ，接下来开平方，x + 3 = ±1 ，就能解出 x 的值啦。
那对于一般的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），咱们也用配方法来试试。
首先，方程两边同时除以 a ，得到 x² + （b/a）x + c/a = 0 。
然后把常数项 c/a 移到右边，得到 x² + （b/a）x = -c/a 。
接下来，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是（b/2a）²。
于是就有 x² + （b/a）x + （b/2a）² = （b/2a）² - c/a 。
左边可以写成（x + b/2a）²，右边呢，咱们来好好整理一下。
右边就是（b² - 4ac）/（4a²）。
现在等式就变成了（x + b/2a）² = （b² - 4ac）/（4a²）。
然后开平方，得到x + b/2a = ±√（b² - 4ac）/（2a）。
二次函数之角度相等问题的求解策略
2023年第30期教育教学SCIENCE FANS 二次函数之角度相等问题的求解策略谢润忠（上海市松江九峰实验学校，上海 201600）【摘 要】二次函数一直都是初中数学教学的重点和难点。
在新课改背景下，初中数学教师应高度关注二次函数之角度相等问题的解法，引导学生从解题中探索规律，找出错题原因，针对性提高解题技巧。
初中数学教学过程中，引导学生掌握二次函数之角度相等问题的解题要点，能够增强学生的数学思维，达到快速、准确、直观解题的目的。
基于此，文章以二次函数教学为例，对其角度相等问题的教学原则和相关策略进行分析。
【关键词】初中数学；二次函数；角度相等问题；解题策略【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）30-0074-03近年来，二次函数之角度相等问题在中考试题中呈现考查形式多样、分值占比较大的趋势。
在此背景下，教师要对等角教学内容进行深入分析，引导学生掌握数学审题技巧、解题精髓和错题改正方法，在持续观察和探索中转变教学思路，通过对二次函数内容分类、总结、规划、转化、迁移、应用等，激发学生思考和探索的兴趣，全面提高学生的数学核心素养，帮助学生取得优异的中考成绩。
1 二次函数之角度相等问题的解题与审题技巧为了帮助学生突破思维定势，提高学生的解题能力，教师需要从二次函数中的角度相等问题出发，细致、全面地精选例题，明确新课程教学大纲，从基础概念、例题解析、知识归纳、错题分析、作业反馈、巩固练习等维度，探究二次函数之角度相等问题的解题策略[1]。
在此背景下，教师应不断提升自身的教学水平，转变以往的“灌输式”教学模式，突出学生的主体地位，在拓宽学生知识面的同时，增强教学效果。
从二次函数的公式结构与概念来看，其形式类似于方程，通过函数和自变量x 之间的变化，从y =ax 2+bx +c (a ≠0)中掌握a 、b 系数和常数项c 的应用关系，为解决角度相等问题奠定了基础。
初中数学数学名师纳西尔丁
纳西尔丁纳西尔丁(Nasir al－Dīn al－Tūsī， Muhammad ibn Mu-hammad ibn al-Hasan) 1201年2月18日生于波斯的图斯(Tūs，今属伊朗东部霍腊散省)；1274年6月26日卒于巴格达附近的卡济迈困(Kadimain)．数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学、矿物学．纳西尔丁也常被称为阿尔图斯(al-Tūsī)，源于他的诞生地图斯．图斯是当时阿拉伯的文化中心之一，出现过许多知名学者．纳西尔丁的父亲是图斯伊斯兰教什叶派的法理学家．纳西尔丁早年跟随父亲学习宗教，又跟随住在同一城市的舅舅学习逻辑学、自然哲学和玄学，同时接受了代数学和几何学的教育．后来到内沙布尔(Nīshāpur)深造，受到正规教育．内沙布尔当时也是阿拉伯的主要学术中心之一，人才荟萃．纳西尔丁的老师达马德(al-Dāmād)是阿拉伯著名哲学家、科学家伊本西那(Ibn Sīna，拉丁名阿维森纳，Avicenna)的第5代门徒，因此纳西尔丁能够读到伊本西那流传下来的课本，并开始研究医学和数学，逐渐成名．此时蒙古人正大举西进，阿拉伯帝国已到末日，人心惶惶．为了寻求宁静的学者生活，纳西尔丁应伊斯梅利(Ismā‘īlī)要塞统治者穆赫塔希姆(Mu htashim)邀请，于1232年前到了那里，辗转于库希斯坦(Quhistan)、阿拉穆特(Alamut)等要塞居住，写下一批数学、哲学、伦理学和逻辑学方面的论著．1256年蒙古远征首领旭烈兀(Hūlāgū或Hülegü，约1217-1265，成吉思汗之孙)征服波斯北方，占领了阿拉穆特等要塞．旭烈兀喜爱天文学，因而敬重天文学家．他将纳西尔丁收入朝中，担任科学顾问，并奉以厚薪．1258年纳西尔丁随旭烈兀远征巴格达．后来又到过伊拉克什叶派中心城镇希拉(Hilla，今Hillah)等地．旭烈兀建立伊儿汗国后，经旭烈兀批准，纳西尔丁于1259年在迈拉盖(Marāgha，今伊朗西北部大不里士城南)开始建造天文台，后担任该天文台的科学领导工作．他招贤纳士，著书立说，使迈拉盖天文台成为当时的重要学术中心．他还制作了许多先进的天文观测仪器，进行了精密的观测，于1271年完成《伊儿汗历数书》的编制工作．1274年纳西尔丁在巴格达患病．一月后逝于巴格达附近的卡济迈因，葬于距巴格达几英里处的7世纪伊斯兰什叶派首领穆萨阿尔卡济姆(Musa al－Kāzim)陵墓附近．已知的纳西尔丁论著和书信多达150种，主要用阿拉伯语写成，亦有25种是用波斯文写成的．他的个别论著中出现土耳其语．据说他还懂得希腊语．纳西尔丁的论著涉及当时伊斯兰世界的所有学科，其中以数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学和神学影响较大．这些论著不仅在伊斯兰世界被奉为经典，也对欧洲科学的觉醒乃至整个世界文化产生较大影响．据说纳西尔丁制作的天文仪器曾被中国借鉴．数学纳西尔丁在数学上主要有三部著作，分别论述算术、几何和三角学．《算板与沙盘计算方法集成》(Jawāmi‘ al－hisāb bi’l－takhtwa’l turāb)主要讲算术．他继承了阿拉伯数学家、天文学家奥马海亚姆(Omar Khayyam)的算术成果，将数的研究扩展到无理数等领域，并在书中采用了印度数码．该书还涉及帕斯卡三角形，即二项式系数构成的三角形．它在阿拉伯国家最早是由11世纪数学家凯拉吉(al－Karajī)构造出来的，纳西尔丁可能受此启发而载述．书中还讨论了求一个数的四次或四次以上方根的方法，成为现存的记载这种方法的最早论著．纳西尔丁与他在迈拉盖的同事一起发展的计算技术后来由卡西(al－Kashī)等数学家继续研究，取得若干重要成果．数论中“两个奇平方数的和不可能是一个平方数”这一定理归功于纳西尔丁．《令人满意的论著》(al－Risāla al－Shāfiya)主要论述几何学，特别是欧几里得平行公设．此外，纳西尔丁曾两次修订和注释欧几里得的《几何原本》，同样对平行公设作了较深入的探讨．欧几里得平行公设是阿拉伯数学家研究几何学的主要内容，塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra)、奥马海亚姆等人都对此做出过贡献．纳西尔丁试图利用欧几里得的其他公理和公设证明第五公设(即平行公设)，他沿用奥马海亚姆的四边形方法，假设一个四边形ABCD中，AB和CD相等且均垂直于BC边，∠A与∠D相等他证明了如果∠A与∠D是锐角，则可推出一个三角形的内角和小于180°．这正是非欧几何中罗氏几何的基本命题．纳西尔丁在有关平行公设的论述中得到一系列与平行公设等价的命题，成为非欧几何前史的重要里程碑．他的工作由意大利数学家G．萨凯里(Saccheri)等人发扬光大，并最终导致19世纪非欧几何学的建立．《横截线原理书》(Kashf al-qinā‘fī asrār Shakl al-qitā‘)被称为是纳西尔丁最重要的数学论著，主要研究三角学．书名的字面意思为“由截线组成的图形”，其中的图形指“完全四边形”，即四根直线，或是球面上四个大圆弧的总合，要求任一直线或弧都与其余直线或大圆弧相交于三点，因此该论著也常被译为《论完全四边形》．这是数学史上流传至今的最早的三角学专著．在此之前，三角学知识散见于天文学论著中，是附属于天文学的一种计算方法．纳西尔丁的工作开始使三角学脱离天文学，使之成为纯粹数学的一个独立分支．《横截线原理书》共分5卷．卷1为了论述三角学的需要而发展了希腊数学中的比例论．纳西尔丁从比的乘积的定义出发，认为每一个比都是一个数，从而成对的比值遵循乘法的交换律．他还给出合成比的一系列性质，扩展了数的运算；卷2论述完全四边形，给出与之相关的一些定理的证明；卷3论述平面三角卷4论述球面完全四边形；卷5对球面三角形进行分类，引入了除弧的正弦外其他5种球面三角函数概念，第一次给出球面直角三角形中的6种边角关系式：设c是该三角形的斜边，则有cosc=cosa•cosb，cotA=tanb•costc，cosc=cotA • cotB，sinb＝sinc•sinB，cosA＝cosa•sinB，sinb=tan a•cotA，这实际已表明，由球面三角形的三个角，可以求得其三边；由三条边亦可求得三个角．这是平面三角与球面三角差异的重要标志．纳西尔丁没有借用古希腊的门纳劳斯(Menelaus)定理或有关的天文学知识，开始了对三角函数本身的研究．他还借助球面极三角形来求解一般的球面三角形．他的著作于15世纪传入欧洲，促进了三角学的创立和传播．除了欧几里得《几何原本》外，纳西尔丁还修订和注释过古希腊数学家、天文学家奥托利科斯(Autolycus of Pitane)、阿利斯塔克(Aristarchus of Samos)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)、阿基米德(Archimedes)、许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria)、西奥多修斯(Theodosius of Bithynia)、门纳劳斯(Menelaus ofAlexandria)和托勒密(Ptolemy)等人的著作，其中一些成为当时学生学习数学的教本，在伊斯兰世界广泛流传．天文学纳西尔丁是一位声名显赫的天文学家，其主要贡献如下：(1)建造了当时最先进的天文台——迈拉盖天文台．由于得到旭烈兀的支持，纳西尔丁有了财政保障，建台资金主要来自教会接受的捐赠．天文台建成后吸引了各地学者前来工作，其中还包括一位姓名未能考定的中国人．纳西尔丁的两个儿子也在此工作．天文台中装备精良，有大型壁式象限仪(mural quadrant)、装有5个环和一个照准仪的浑仪、具有两个象限仪的平径环仪、星位角尺等．天文台还附有一个藏书丰富的图书馆，据称存有“所有科学书籍”．该天文台成为伊斯兰世界的学术中心，对当时各种学科的复兴起了重要作用．(2)编写了一批天文学论著．迈拉盖天文台组建期间，纳西尔丁与合作者积10余年的观测结果，于1271年编成《伊儿汗历数书》(Zīj-i Ilkhāinī，西方称《伊儿汗天文表》)．该书用波斯文写成，后译为阿拉伯文，其中一部分1650年在伦敦被译为拉丁文．书中主要贡献是测定岁差常数为每年51″．纳西尔丁的另一天文著作是《天文学宝库》(Tadhkirah)，其中对托勒密的天文学体系作了批评，提出建立行星运动新理论的计划，是中世纪天文学中唯一的新数学模型方法，对后继天文学家有较大影响，很可能影响到哥白尼天文理论的创建．在该书第13章中纳西尔丁证明了下述定理：“如果一个圆在一定圆内沿定圆的圆周滚动，前者的半径是后者的一半，则该圆周上任一点的轨迹是一条直线，且是定圆的直径”．纳西尔丁将它应用于行星理论中，解释行星的视运动．此外，纳西尔丁对托勒密的《天文学大成》(Almagest)作了评注，将苏菲(Abd al－Rahān al－Sūfī)的《恒星图象》(Suwar al－Kawākib)一书由阿拉伯文译为波斯文，还写过有关星盘等方面的专题论著．(3)收藏和制作了许多精密的天文观测仪器．其中有些仪器的制作原理随纳西尔丁的天文学著作在蒙古人入侵时流传到中国．据《元史》载，元初在中国的阿拉伯人札马鲁丁(Jamal al－Dīn)曾“造西域仪象”7件，其中有些仪器与迈拉盖天文台造的仪器非常相象．据推测，札马鲁丁可能自迈拉盖天文台来中国，他为中阿科技交流作出过重要贡献．此外，迈拉盖天文台的影响还波及印度，18世纪贾伊辛格二世(Jai Singh II)在德里等地建造天文台时便采用了迈拉盖天文台的结构．其他贡献纳西尔丁在伊斯兰世界被誉为“智者”的杰出榜样，除上述成就外，其贡献还涉及逻辑学、哲学、伦理学、矿物学以及神学、星占学等多种领域．纳西尔丁在逻辑学方面共写了5本书．其中最重要的一部是《推理基础》(Asās al－iqtib ās)，被认为是当时此类书中内容最丰富的论著之一．该书用波斯文写成，主要阐述研究逻辑与数学关系的一种新方法．他指出条件合取三段论法优于古希腊传统的直言三段论，并将逻辑术语用数学符号表示出来．他还区别了“物质”(substance)一词在哲学与其他科学中含义的不同，阐明了范畴与逻辑之间的关系．纳西尔丁的哲学贡献主要是为伊本西那的哲学论著《指导与诠明之书》(al－Ishārāt wa’l－tanbīhāt)作了权威性的评注，与其他穆斯林哲学家的著作不同之处在于它近乎数学般的精确性，致使哲学在伊斯兰世界得以复兴．他被认为是阿拉伯亚里士多德学派的主要代表人物之一，其哲学思想在某些方面具有泛神论和唯物主义的因素，因而受到伊斯兰教正统派神学家的敌视．他的哲学著作多用波斯文写成，对阿拉伯、中亚各族以及封建时期西欧科学与哲学的发展有较大影响．纳西尔丁著有两种波斯文的伦理学专著：《穆赫塔希米伦理学》(Akhlāq－i muhtashim ī)和《纳西尔伦理学》(Akhlāq－i nāsirī)，后者约成书于1232年，是他最著名的作品．他扩展了柏拉图传统的伦理思想，与亚里士多德伦理理论和伊斯兰教义结合起来，系统论述了其伦理学的哲学体系，并详述心理学和精神康复等方面的内容．该书在印度和波斯等穆斯林中成为最普及的伦理学著作，影响达几个世纪．《珍贵材料之书》(Tanksūkh－nāma)是纳西尔丁的主要矿物学论著，亦用波斯文写成．它基于前人的同类著作，共分4章，分别论述了矿物的自然属性，宝石的特性、价格及医用性能，炼金术的金属构成理论等．其中矿物学名词成为波斯科学中有关术语的语源依据．纳西尔丁的科学论著还包括一部《医学原理》(Qawānīn altibb)，但影响不大．此外，纳西尔丁被认为是一位神学家，他的《感情受艺术的作用而引起的净化》(Tajrīd)一直是伊斯兰什叶派神学教育的经典．他还为伊斯梅利教义作了精彩评注，写下《概念说》(Tasawwur āt)等多种论著．由于纳西尔丁多方面的贡献，也因为其主要论著是用波斯文写成，因此，他被尊称为伊斯兰科学复兴的奠基者，其著作在后来几个世纪都被奉为经典．他在数学和天文学中的贡献是划时代的，不仅在伊斯兰世界有深远影响，也对东西方的科学发展起了一定作用．。
初中数学数学名师卡西
卡西卡西(al-Kāshī，Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Mas’ūd) 亦称卡尚尼(al-Kāshānī)，生于卡尚(Kāshān，今属伊朗)；1429年6月22日卒于撒马尔罕(Samarkand，CanMapkaHд，今属乌兹别克)．天文学、数学．卡西的生年没有确实的记载，他的活动最早见于文献的是1406年6月2日，当时他在家乡观测一次月食．卡西是阿拉伯国家中世纪最后的一位著名天文学家和数学家，人们常以他的卒年为这个时代的终结．14世纪末叶，中亚细亚的跛子帖木儿(Timur the Lame或Tamburlaine，1336—1405，成吉思汗的后裔)建立了帖木儿帝国，定都撒马尔罕．他的孙子乌鲁伯格(Ulugh Bēg， 1394—1449)是一个科学家，精通天文，而且是科学、艺术的倡导者与保护人，1417—1420年，他在撒马尔罕创办了一所高级的教授科学(包括天文学)和神学的学校——马德拉撒(madrasa)．大约4年之后，又筹建一座三层楼的天文台，招聘一批科学家在那里工作，使撒马尔罕成为东方最重要的科学中心．1447年，乌鲁伯格继承王位成为苏丹，进一步加强学术活动，可惜两年后被刺死，他倡导的事业随之而衰落．卡西的科学生涯是和乌鲁伯格息息相关的．他曾是一个医生，但他渴望从事天文与数学的研究．在长期贫困与徬徨之后，终于在撒马尔罕找到一个稳定而又荣耀的职位，即在乌鲁伯格的宫邸协助策划开展科学工作．卡西何时到撒马尔罕已不可考，只知道在1424年他曾和乌鲁伯格讨论过有关天文台的规划．参加讨论的还有卡迪•扎达•鲁米(Qādī zāda al-Rum ī)和另一个来自卡尚的穆因丁(Mu'in al-Dīn)．有的书将鲁米和卡西混淆了，以为是同一个人．其实卡西是第一任台长，卡西去世后，鲁米继任第二任台长．卡西积极参加天文台的修建和仪器的装备，成为乌鲁伯格的得力助手和合作者．在给父亲的一封信中，卡西极务赞扬乌鲁伯格的数学才能，说他有渊博的知识，组织活动能力也很强．卡西还强调当时讨论科学问题的自由空气，没有这种空气，科学的进步是不可能的．乌鲁伯格对待学者很宽厚，他谅解卡西对宫廷礼仪的疏忽，以及缺乏良好的生活习惯．在《乌鲁伯格历》(Ulugh Bēg's zīj)的序中，乌鲁伯格提到卡西的死，说“他是一位杰出的科学家，是世界上最出色的学者之一，通晓古代科学，并推动其发展，他能解决最因难的问题”．在撒马尔罕期间，卡西的学识已臻成熟，连续完成了他一生中最有价值的著作．1424年7月写成《圆周论》(Risāla al-muhītīyya,The treatise on the circumference)，得到当时世界上最精确的圆周率值．1427年3月2日完成《算术之钥》(Miftāh alhisāb , The key of arithmetic)，这是一本初等数学的百科全书，题献给乌鲁伯格．上述二书已由苏联的罗森菲尔德(Б．A．Poэенфельд)等从阿拉伯文译成俄文．另一本《论弦与正弦》(Risāla al-watar wa'l-jaib, The treatise on the chord and sine)给出sin1°的精确值，未记日期，但初稿显然写在《算术之钥》之前，因《算术之钥》的序言中提到它．卡西的另一项任务是参与制定《乌鲁伯格历》，这是一部讨论天文、历法的书，包括星表和数学用表．卡西肯定投入巨大的精力并做出了贡献．不过在他生前只完成开头的理论部分，这部历法在卡西死后很多年才由他的后继者完成．圆周率的计算圆周率π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平．我国祖冲之在公元462年算出π的8位可靠数字：3.1415926＜π＜3.1415927．直到1424年，卡西才打破这个世界记录．他所用的方法仍然是求出圆内接与外切正多边形的周长．从正6边形开始，每次边数加倍，这一点和阿基米德、刘徽相同，但计算过程各有特点．卡西首先根据欧几里得几何证明一个几何命题，然后导出所需要的计算公式．为简单起见，下面用现代三角法来说明他所用的公式．如图，设AB=d=2r是圆的直径，r表半径．an，cn是内接于圆的直又∠BAD=∠DAC=β．则cn=dcos2β，cn+1=dcosβ．即如已知cn，通过此式即可得cn+1.an可通过勾股定理，由cn算出：设an是内接正多边形的一边，那么an+1就是边数加倍的内接正多边形的一边．这样算出一系列的cn(n＝3•2n)，一直算到n=28，即3•228=805306368边，得到及的值．a28乘以边数3•228，便是圆内接正3•228边形的周长．类似地，可以求出外切正3•228边形的周长．最后取二者的算术平均来作圆周长的近似值，用60进分数表示出来(取r=1)：6°16'59"28Ⅲ1Ⅳ34Ⅴ51Ⅵ46Ⅶ14Ⅷ50Ⅸ此处借用60进角度的表示法，6°表示6是整数，后面是60进分数．卡西在《圆周论》的第8节中又将此值改写成10进分数(即小数)6.2831853071795865．除以直径2，即得圆周率π=3.14159265358979325．它有17位准确数字，打破了祖冲之保持了900多年的世界记录．1596年，L．V．柯伦(Ceulen)用内接及外切正60•233(=515 396 075 520)边形算出小数后20位，才打破了卡西保持一百多年的记录．值得注意的是，这里出现了10进小数的记数法．在伊斯兰国家，这不是最早的．5个世纪以前，乌格利迪西(al-Uqlīdisī)已认识到小数的优越性，并在书中使用．不过未被后人所接受(文献［14］，p．481)．最先系统地介绍小数的，一般认为还是卡西．他在另一本重要著作《算术之钥》中进一步阐述小数的理论，指出小数与60进分数互化的方法．中国自古以来就用10进记数法，所以小数的应用也很早．刘徽注《九章算术》(公元263年)，在“少广”章开方术下面的注中就提到小数(虽然未有现代的符号和名称)，比西方早千余年．有理由猜想阿拉伯国家的10进小数是中国传过去的(文献[9]，p.268)．sin1°的计算卡西在数值计算方面的另一项成果是给出sin1°的精确值，记载在他的《弦与正弦论》一书中．在他之前，艾布瓦发(Abu’l-Wafā)及伊本尤努斯(Ibn Yūnus)曾研究过这一问题，但结果不够精确．11世纪时，伊斯兰数学家已知三等分角问题导致一个三次方程ax=b＋x3．比鲁尼(al-Bīrūnī)曾利用这一类方程近似地作出正九边形，但方法已失传．卡西则创设一种求方程近似根的迭代法．设方程有一个很小的根，忽略其3次幂，令第1近似值为卡西的方法，用现代三角的术语来说，是先求出sin 72°，sin60°足够精确的值，再利用sin12°=sin(72°-60°)及半角公式算出sin 3°，根据三倍角公式有Sin 3°=3 sin1°-4sin31°，记x=sin1°，则卡西定半径为60，使用60进记数法．在实际计算中并不是逐个求出x2，x3，…而是找到每一个的修正值．最后的结果是1°2'49"43Ⅲ11Ⅳ14Ⅴ44Ⅵ16Ⅶ26Ⅷ17Ⅸ，相当于半径为1时的10进小数0.017452406437283510前16位数字都是准确的，最后一位数才出现误差．后来卡迪•扎达•鲁米著《论sin 1°的求法》(Risāla fi抇ljayb，Treatise on the determination of sin1°)，阐述卡西的方法．鲁米的孙子米林•切莱比(Mīrīm Chelebi)进一步改进其法，使计算步骤减少，可更快地求出具有要求精确度的近似值．这是中世纪代数方面最突出的成就之一．数学史家H．汉克尔(Hankel，1839—1873)评论道：“其精巧与优美不亚于西方韦达以后的近似计算．”《算术之钥》《算术之钥》是卡西著作中篇幅最大的，它几乎网罗了当时的全部数学知识，堪称一部初等数学大全．它除了满足一般学生的需要外，对于从事实际工作的读者，如天文学家、测量员、建筑师、商人等也有帮助．其内容包括算术、代数与几何．书名的本身就表明作者把算术看作解决一切问题的钥匙，只要这问题能化作计算．卡西给算术下的定义是：“一种科学，它可以借助已知量去寻求未知量的数值”．此书表达清晰，结构精良，方法实用，故深受读者欢迎，被用作手册传诵数百年之久．《算术之钥》共分5卷，内容分别是：卷1，整数的算术；卷2，分数的算术；卷3，天文学家的计算法；卷4，平面与立体图形的度量；卷5，用代数方法及双试位法解题．在第1卷中卡西详细介绍了整数开方的一般方法．根的整数部分用类似秦九韶法[西方称鲁菲尼(Ruffini)-霍纳(Horner)法]来求得．如果是不尽根，分数部分按公式求出其近似值．在书中卡西没有使用符号和公式，一切计算都是用文字叙述的．在阐明开方法的同时，还作出二项式系数的表，即帕斯卡三角形(或贾宪三角形)，写到(a+b)n展开式n=9时的系数．在卡西之前，阿拉伯国家已有不止一个人造过这个三角形，如凯拉吉(al－Karajī)、奥马海亚姆(Omar Khayyam)、纳西尔丁(Nasīrad－Dīn al－Tūsī)等．不过都没有留传下来．这一卷第5节还举出一个开5次方的实例：求N=44240899506197的5次方根．根的整数部分是a=536，以此作第1近似值．第2近似值按下式来计算：分母是用二项展开式来算的．最后结果是第2，3卷阐述了10进分数(小数)，建立了一套和60进制并列的运算法则，两者可以互换．不懂天文学60进制的人也容易掌握小数方法，因此很快传播开来，对伊斯兰国家及欧洲都产生了深远的影响．卡西详细叙述了有限小数，但未涉及循环小数．他创用特殊的小数记号，有时用一竖来分隔整数与小数部分，有时又用不同的颜色来区别．第4卷是几何学，讨论了各种平面及立体图形的定义、性质及量度方法．第5卷很重要，它给出一次到四次方程的解法．11—12世纪时，奥马海亚姆曾用圆锥曲线去解3次方程．4次方程在卡西之前只是偶然出现过，而卡西则全面地加以分类研究．有时他还用“双试位法”来解．13—14世纪，中亚细亚地区和中国交往频繁．成吉思汗之孙旭烈兀(Hulagu，1219—1265) 1256年进攻伊朗高原， 1258年占领巴格达，建立伊儿汗国．他从中国带了一些学者到伊朗去，在他的宫廷中和当地的学者一起从事研究工作．在这之前，文化已有零星的交流．因此阿拉伯的天文学家颇知中国的学术．10进记数法、整数的开方、高次方程的数值解法以及贾宪三角形等等都是中国数学的精华．卡西《算术之钥》的许多内容和中国算法如出一辙，受到中国的影响是可以肯定的．当然不排除卡西本人的创造发明．天文历法著作早在1407年，卡西就写成《天的阶梯》(The stairway of heaven)，论述天体的距离与大小．又于1416年写成《观象仪器》(Treatise on… observational instruments)，介绍了包括浑仪(armillary sphere)在内的8种天文仪器的沟造，其中有些是卡西的独创．他还修订了纳西尔丁领导下制定的《伊儿汗历》(Ilkhānī Zīj)，写成《修正的伊儿汗历》(Kh āqānī Zīj)．在绪论中，他详细描述了平均月球运动及近点月(anomalistic)运动，这是以他三次在卡尚的月食观测以及在托勒密《天文学大成》中的三次月食记载为依据的．这本历法罗列了各种历法：伊斯兰教的阴历，波斯的阳历，希腊-叙利亚历，奥马海亚姆改良的阳历，中国-维吾尔历，最后是伊儿汗历．书中载有60进每隔l′的4位正弦和正切表．还有黄道坐标与赤道坐标互化的表，以及有关日、月、行星、恒星的好几种表．地理方面，给出516个点的经纬度．卡西还发明一种“天象盘”(plate of heavens)，形状像“星盘”(astrolabe)，可以确定行星的黄经、黄纬、留(station)、逆行(retrogradation)以及到地球的距离等，记在《天象盘构造方法》(Nuzha al－hadāiq…，On the method of construction of theinstrument called plate of heavens，1416)中．。
浅议分层教学在初中数学教学中的实践应用
浅议分层教学在初中数学教学中的实践应用摘要：众所周知，初中学生个体之间差异较大，学习方法、学习能力和学习态度等方面存在不同的分化现象。
分层教学在初中数学教学中的实践应用，不仅可以有效改善学生分化现象，还可以提升整体教学目标。
基于此，本文通过初中数学教学实践，通过教学导入分层、教学过程分层、教学总结分层进行探究，以期提升分层教学和实践应用价值。
关键词：初中数学教学；分层教学；实践应用前言：进入初中阶段，学生出现层级分化现象在所难免。
针对这一现象，教师就可以依据初中数学学科特点，以及初中生综合学习能力，探索分层教学法在初中教学中实施策略。
为此，本文提出教师可以依据初中数学教学内容，进行教学导入分层，激发不同学习能力学生教学参与兴趣；将教学过程与教学总结进行分层，激励不同层次学生提升数学学习自信心。
一、教学导入分层，激发学生教学参与兴趣初中数学教学过程中，教师可通过教学导入分层，激发学生数学教学活动参与兴趣，在这个过程中，教师可依据不同教学内容有针对性进行分层，并在分层过程中，以激发学生兴趣为主，调动学生积极性。
同时，教师在教学导入环节进行分层设计时，针对数学学习能力强的学生，可以从拓展的角度进行导入；针对数学学习能力一般的学生以学生兴趣点进行导入，而针对学习能力弱，对数学学科不感兴趣的学生，则可以找寻学生不感兴趣的原因，有的放矢，进行教学的导入。
如，在湘教版《具有相反意义的量》教学导入时，教师就可以将导入以多媒体的模式进行分层导入，运用多媒体将日常生活和生产中的计数方式呈现出来，以此引导学生“除了可这些自然数、分数以及小数，你还了解其他的数么？”学生在多媒体直观灵动画面引导下，进行问题的思索与回答。
在进行导入问题回答时，教师可以将这个浅显的问题交给学习能力弱的学生，依据多媒体教学展示的内容，学生轻松回答出来，自信心被激发，进而乐于参与其中，而在通过多媒体继续教学导入过程中出现的问题，有学习能力一般的学生进行回答。
初中数学教学中融入生活化教育理念
初中数学教学中融入生活化教育理念发布时间：2021-10-02T15:30:54.195Z 来源：《基础教育参考》2021年10月作者：扎西群陪[导读] 数学是初中教学科目中的一项重要学科。
初中数学教师在教学过程中，要尽可能的让学生在生活中学习数学，在学数学的过程中理解生活，从而提高初中的数学教学质量。
基于此，本篇文章将研究初中数学教学生活化的方法，仅供参考。
扎西群陪西藏山南市隆子县中学西藏隆子 856600【摘要】数学是初中教学科目中的一项重要学科。
初中数学教师在教学过程中，要尽可能的让学生在生活中学习数学，在学数学的过程中理解生活，从而提高初中的数学教学质量。
基于此，本篇文章将研究初中数学教学生活化的方法，仅供参考。
【关键词】生活化教育思想；初中数学；教学方法中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2021）10-064-01生活化的课堂环境中，学生的参与度更高，他们可以从自己的生活角度拓展知识的视野，对数学的理解也较为独立化，有效的避免学生在数学的互动中人云亦云的从众思考，造成自己的疑惑感增多。
教师应主动构建与学生的沟通桥梁，去了解学生的真实内心世界，帮助学生消除认知上的困惑，及时的消化数学的知识难点，从生活化的空间中，展开数学积极的畅想，进而在感悟中获得一题多解的能力，教师应将生活内容与数学的知识点有机的结合起来，让数学的知识更具灵动化，吸引学生的注意力，提高教学质量。
一、初中数学教学生活化的必要性数学知识来源于生活，最终也将回归生活，服务生活。
初中数学教师要将自身的生活经验充分的运用到教学过程中，引导学生认识到数学知识在生活中的应用价值，同时在教学过程中，数学教师要为学生制造充分的条件，帮助学生将数学知识应用在生活问题中，提高数学教学的实际性。
教学中生活理念的体现便于学生更好的理解数学知识，热爱学习；于教学提高教学质量，这将对初中数学教学做出了重要贡献。
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纳西尔丁纳西尔丁(Nasir al－Dīn al－Tūsī， Muhammad ibn Mu-hammad ibn al-Hasan) 1201年2月18日生于波斯的图斯(Tūs，今属伊朗东部霍腊散省)；1274年6月26日卒于巴格达附近的卡济迈困(Kadimain)．数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学、矿物学．纳西尔丁也常被称为阿尔图斯(al-Tūsī)，源于他的诞生地图斯．图斯是当时阿拉伯的文化中心之一，出现过许多知名学者．纳西尔丁的父亲是图斯伊斯兰教什叶派的法理学家．纳西尔丁早年跟随父亲学习宗教，又跟随住在同一城市的舅舅学习逻辑学、自然哲学和玄学，同时接受了代数学和几何学的教育．后来到内沙布尔(Nīshāpur)深造，受到正规教育．内沙布尔当时也是阿拉伯的主要学术中心之一，人才荟萃．纳西尔丁的老师达马德(al-Dāmād)是阿拉伯著名哲学家、科学家伊本西那(Ibn Sīna，拉丁名阿维森纳，Avicenna)的第5代门徒，因此纳西尔丁能够读到伊本西那流传下来的课本，并开始研究医学和数学，逐渐成名．此时蒙古人正大举西进，阿拉伯帝国已到末日，人心惶惶．为了寻求宁静的学者生活，纳西尔丁应伊斯梅利(Ismā‘īlī)要塞统治者穆赫塔希姆(Mu htashim)邀请，于1232年前到了那里，辗转于库希斯坦(Quhistan)、阿拉穆特(Alamut)等要塞居住，写下一批数学、哲学、伦理学和逻辑学方面的论著．1256年蒙古远征首领旭烈兀(Hūlāgū或Hülegü，约1217-1265，成吉思汗之孙)征服波斯北方，占领了阿拉穆特等要塞．旭烈兀喜爱天文学，因而敬重天文学家．他将纳西尔丁收入朝中，担任科学顾问，并奉以厚薪．1258年纳西尔丁随旭烈兀远征巴格达．后来又到过伊拉克什叶派中心城镇希拉(Hilla，今Hillah)等地．旭烈兀建立伊儿汗国后，经旭烈兀批准，纳西尔丁于1259年在迈拉盖(Marāgha，今伊朗西北部大不里士城南)开始建造天文台，后担任该天文台的科学领导工作．他招贤纳士，著书立说，使迈拉盖天文台成为当时的重要学术中心．他还制作了许多先进的天文观测仪器，进行了精密的观测，于1271年完成《伊儿汗历数书》的编制工作．1274年纳西尔丁在巴格达患病．一月后逝于巴格达附近的卡济迈因，葬于距巴格达几英里处的7世纪伊斯兰什叶派首领穆萨阿尔卡济姆(Musa al－Kāzim)陵墓附近．已知的纳西尔丁论著和书信多达150种，主要用阿拉伯语写成，亦有25种是用波斯文写成的．他的个别论著中出现土耳其语．据说他还懂得希腊语．纳西尔丁的论著涉及当时伊斯兰世界的所有学科，其中以数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学和神学影响较大．这些论著不仅在伊斯兰世界被奉为经典，也对欧洲科学的觉醒乃至整个世界文化产生较大影响．据说纳西尔丁制作的天文仪器曾被中国借鉴．数学纳西尔丁在数学上主要有三部著作，分别论述算术、几何和三角学．《算板与沙盘计算方法集成》(Jawāmi‘ al－hisāb bi’l－takhtwa’l turāb)主要讲算术．他继承了阿拉伯数学家、天文学家奥马海亚姆(Omar Khayyam)的算术成果，将数的研究扩展到无理数等领域，并在书中采用了印度数码．该书还涉及帕斯卡三角形，即二项式系数构成的三角形．它在阿拉伯国家最早是由11世纪数学家凯拉吉(al－Karajī)构造出来的，纳西尔丁可能受此启发而载述．书中还讨论了求一个数的四次或四次以上方根的方法，成为现存的记载这种方法的最早论著．纳西尔丁与他在迈拉盖的同事一起发展的计算技术后来由卡西(al－Kashī)等数学家继续研究，取得若干重要成果．数论中“两个奇平方数的和不可能是一个平方数”这一定理归功于纳西尔丁．《令人满意的论著》(al－Risāla al－Shāfiya)主要论述几何学，特别是欧几里得平行公设．此外，纳西尔丁曾两次修订和注释欧几里得的《几何原本》，同样对平行公设作了较深入的探讨．欧几里得平行公设是阿拉伯数学家研究几何学的主要内容，塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra)、奥马海亚姆等人都对此做出过贡献．纳西尔丁试图利用欧几里得的其他公理和公设证明第五公设(即平行公设)，他沿用奥马海亚姆的四边形方法，假设一个四边形ABCD中，AB和CD相等且均垂直于BC边，∠A与∠D相等他证明了如果∠A与∠D是锐角，则可推出一个三角形的内角和小于180°．这正是非欧几何中罗氏几何的基本命题．纳西尔丁在有关平行公设的论述中得到一系列与平行公设等价的命题，成为非欧几何前史的重要里程碑．他的工作由意大利数学家G．萨凯里(Saccheri)等人发扬光大，并最终导致19世纪非欧几何学的建立．《横截线原理书》(Kashf al-qinā‘fī asrār Shakl al-qitā‘)被称为是纳西尔丁最重要的数学论著，主要研究三角学．书名的字面意思为“由截线组成的图形”，其中的图形指“完全四边形”，即四根直线，或是球面上四个大圆弧的总合，要求任一直线或弧都与其余直线或大圆弧相交于三点，因此该论著也常被译为《论完全四边形》．这是数学史上流传至今的最早的三角学专著．在此之前，三角学知识散见于天文学论著中，是附属于天文学的一种计算方法．纳西尔丁的工作开始使三角学脱离天文学，使之成为纯粹数学的一个独立分支．《横截线原理书》共分5卷．卷1为了论述三角学的需要而发展了希腊数学中的比例论．纳西尔丁从比的乘积的定义出发，认为每一个比都是一个数，从而成对的比值遵循乘法的交换律．他还给出合成比的一系列性质，扩展了数的运算；卷2论述完全四边形，给出与之相关的一些定理的证明；卷3论述平面三角卷4论述球面完全四边形；卷5对球面三角形进行分类，引入了除弧的正弦外其他5种球面三角函数概念，第一次给出球面直角三角形中的6种边角关系式：设c是该三角形的斜边，则有cosc=cosa•cosb，cotA=tanb•costc，cosc=cotA • cotB，sinb＝sinc•sinB，cosA＝cosa•sinB，sinb=tan a•cotA，这实际已表明，由球面三角形的三个角，可以求得其三边；由三条边亦可求得三个角．这是平面三角与球面三角差异的重要标志．纳西尔丁没有借用古希腊的门纳劳斯(Menelaus)定理或有关的天文学知识，开始了对三角函数本身的研究．他还借助球面极三角形来求解一般的球面三角形．他的著作于15世纪传入欧洲，促进了三角学的创立和传播．除了欧几里得《几何原本》外，纳西尔丁还修订和注释过古希腊数学家、天文学家奥托利科斯(Autolycus of Pitane)、阿利斯塔克(Aristarchus of Samos)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)、阿基米德(Archimedes)、许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria)、西奥多修斯(Theodosius of Bithynia)、门纳劳斯(Menelaus ofAlexandria)和托勒密(Ptolemy)等人的著作，其中一些成为当时学生学习数学的教本，在伊斯兰世界广泛流传．天文学纳西尔丁是一位声名显赫的天文学家，其主要贡献如下：(1)建造了当时最先进的天文台——迈拉盖天文台．由于得到旭烈兀的支持，纳西尔丁有了财政保障，建台资金主要来自教会接受的捐赠．天文台建成后吸引了各地学者前来工作，其中还包括一位姓名未能考定的中国人．纳西尔丁的两个儿子也在此工作．天文台中装备精良，有大型壁式象限仪(mural quadrant)、装有5个环和一个照准仪的浑仪、具有两个象限仪的平径环仪、星位角尺等．天文台还附有一个藏书丰富的图书馆，据称存有“所有科学书籍”．该天文台成为伊斯兰世界的学术中心，对当时各种学科的复兴起了重要作用．(2)编写了一批天文学论著．迈拉盖天文台组建期间，纳西尔丁与合作者积10余年的观测结果，于1271年编成《伊儿汗历数书》(Zīj-i Ilkhāinī，西方称《伊儿汗天文表》)．该书用波斯文写成，后译为阿拉伯文，其中一部分1650年在伦敦被译为拉丁文．书中主要贡献是测定岁差常数为每年51″．纳西尔丁的另一天文著作是《天文学宝库》(Tadhkirah)，其中对托勒密的天文学体系作了批评，提出建立行星运动新理论的计划，是中世纪天文学中唯一的新数学模型方法，对后继天文学家有较大影响，很可能影响到哥白尼天文理论的创建．在该书第13章中纳西尔丁证明了下述定理：“如果一个圆在一定圆内沿定圆的圆周滚动，前者的半径是后者的一半，则该圆周上任一点的轨迹是一条直线，且是定圆的直径”．纳西尔丁将它应用于行星理论中，解释行星的视运动．此外，纳西尔丁对托勒密的《天文学大成》(Almagest)作了评注，将苏菲(Abd al－Rahān al－Sūfī)的《恒星图象》(Suwar al－Kawākib)一书由阿拉伯文译为波斯文，还写过有关星盘等方面的专题论著．(3)收藏和制作了许多精密的天文观测仪器．其中有些仪器的制作原理随纳西尔丁的天文学著作在蒙古人入侵时流传到中国．据《元史》载，元初在中国的阿拉伯人札马鲁丁(Jamal al－Dīn)曾“造西域仪象”7件，其中有些仪器与迈拉盖天文台造的仪器非常相象．据推测，札马鲁丁可能自迈拉盖天文台来中国，他为中阿科技交流作出过重要贡献．此外，迈拉盖天文台的影响还波及印度，18世纪贾伊辛格二世(Jai Singh II)在德里等地建造天文台时便采用了迈拉盖天文台的结构．其他贡献纳西尔丁在伊斯兰世界被誉为“智者”的杰出榜样，除上述成就外，其贡献还涉及逻辑学、哲学、伦理学、矿物学以及神学、星占学等多种领域．纳西尔丁在逻辑学方面共写了5本书．其中最重要的一部是《推理基础》(Asās al－iqtib ās)，被认为是当时此类书中内容最丰富的论著之一．该书用波斯文写成，主要阐述研究逻辑与数学关系的一种新方法．他指出条件合取三段论法优于古希腊传统的直言三段论，并将逻辑术语用数学符号表示出来．他还区别了“物质”(substance)一词在哲学与其他科学中含义的不同，阐明了范畴与逻辑之间的关系．纳西尔丁的哲学贡献主要是为伊本西那的哲学论著《指导与诠明之书》(al－Ishārāt wa’l－tanbīhāt)作了权威性的评注，与其他穆斯林哲学家的著作不同之处在于它近乎数学般的精确性，致使哲学在伊斯兰世界得以复兴．他被认为是阿拉伯亚里士多德学派的主要代表人物之一，其哲学思想在某些方面具有泛神论和唯物主义的因素，因而受到伊斯兰教正统派神学家的敌视．他的哲学著作多用波斯文写成，对阿拉伯、中亚各族以及封建时期西欧科学与哲学的发展有较大影响．纳西尔丁著有两种波斯文的伦理学专著：《穆赫塔希米伦理学》(Akhlāq－i muhtashim ī)和《纳西尔伦理学》(Akhlāq－i nāsirī)，后者约成书于1232年，是他最著名的作品．他扩展了柏拉图传统的伦理思想，与亚里士多德伦理理论和伊斯兰教义结合起来，系统论述了其伦理学的哲学体系，并详述心理学和精神康复等方面的内容．该书在印度和波斯等穆斯林中成为最普及的伦理学著作，影响达几个世纪．《珍贵材料之书》(Tanksūkh－nāma)是纳西尔丁的主要矿物学论著，亦用波斯文写成．它基于前人的同类著作，共分4章，分别论述了矿物的自然属性，宝石的特性、价格及医用性能，炼金术的金属构成理论等．其中矿物学名词成为波斯科学中有关术语的语源依据．纳西尔丁的科学论著还包括一部《医学原理》(Qawānīn altibb)，但影响不大．此外，纳西尔丁被认为是一位神学家，他的《感情受艺术的作用而引起的净化》(Tajrīd)一直是伊斯兰什叶派神学教育的经典．他还为伊斯梅利教义作了精彩评注，写下《概念说》(Tasawwur āt)等多种论著．由于纳西尔丁多方面的贡献，也因为其主要论著是用波斯文写成，因此，他被尊称为伊斯兰科学复兴的奠基者，其著作在后来几个世纪都被奉为经典．他在数学和天文学中的贡献是划时代的，不仅在伊斯兰世界有深远影响，也对东西方的科学发展起了一定作用．。