初中数学数学名师纳西尔丁

纳西尔丁

纳西尔丁(Nasir al－Dīn al－Tūsī， Muhammad ibn Mu-hammad ibn al-Hasan) 1201年2月18日生于波斯的图斯(Tūs，今属伊朗东部霍腊散省)；1274年6月26日卒于巴格达附近的卡济迈困(Kadimain)．数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学、矿物学．纳西尔丁也常被称为阿尔图斯(al-Tūsī)，源于他的诞生地图斯．图斯是当时阿拉伯的文化中心之一，出现过许多知名学者．纳西尔丁的父亲是图斯伊斯兰教什叶派的法理学家．纳西尔丁早年跟随父亲学习宗教，又跟随住在同一城市的舅舅学习逻辑学、自然哲学和玄学，同时接受了代数学和几何学的教育．后来到内沙布尔(Nīshāpur)深造，受到正规教育．内沙布尔当时也是阿拉伯的主要学术中心之一，人才荟萃．纳西尔丁的老师达马德(al-Dāmād)是阿拉伯著名哲学家、科学家伊本西那(Ibn Sīna，拉丁名阿维森纳，Avicenna)的第5代门徒，因此纳西尔丁能够读到伊本西那流传下来的课本，并开始研究医学和数学，逐渐成名．此时蒙古人正大举西进，阿拉伯帝国已到末日，人心惶惶．为了寻求宁静的学者生活，纳西尔丁应伊斯梅利(Ismā‘īlī)要塞统治者穆赫塔希姆(Mu htashim)邀请，于1232年前到了那里，辗转于库希斯坦(Quhistan)、阿拉穆特(Alamut)等要塞居住，写下一批数学、哲学、伦理学和逻辑学方面的论著．

1256年蒙古远征首领旭烈兀(Hūlāgū或Hülegü，约1217-1265，成吉思汗之孙)征服波斯北方，占领了阿拉穆特等要塞．旭烈兀喜爱天文学，因而敬重天文学家．他将纳西尔丁收入朝中，担任科学顾问，并奉以厚薪．1258年纳西尔丁随旭烈兀远征巴格达．后来又到过伊拉克什叶派中心城镇希拉(Hilla，今Hillah)等地．旭烈兀建立伊儿汗国后，经旭烈兀批准，纳西尔丁于1259年在迈拉盖(Marāgha，今伊朗西北部大不里士城南)开始建造天文台，后担任该天文台的科学领导工作．他招贤纳士，著书立说，使迈拉盖天文台成为当时的重要学术中心．他还制作了许多先进的天文观测仪器，进行了精密的观测，于1271年完成《伊儿汗历数书》的编制工作．1274年纳西尔丁在巴格达患病．一月后逝于巴格达附近的卡济迈因，葬于距巴格达几英里处的7世纪伊斯兰什叶派首领穆萨阿尔卡济姆(Musa al－Kāzim)陵墓附近．

已知的纳西尔丁论著和书信多达150种，主要用阿拉伯语写成，亦有25种是用波斯文写成的．他的个别论著中出现土耳其语．据说他还懂得希腊语．纳西尔丁的论著涉及当时伊斯兰世界的所有学科，其中以数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学和神学影响较大．这些论著不仅在伊斯兰世界被奉为经典，也对欧洲科学的觉醒乃至整个世界文化产生较大影响．据说纳西尔丁制作的天文仪器曾被中国借鉴．

数学

纳西尔丁在数学上主要有三部著作，分别论述算术、几何和三角学．

《算板与沙盘计算方法集成》(Jawāmi‘ al－hisāb bi’l－takhtwa’l turāb)主要讲算术．他继承了阿拉伯数学家、天文学家奥马海亚姆(Omar Khayyam)的算术成果，将数的研究扩展到无理数等领域，并在书中采用了印度数码．该书还涉及帕斯卡三角形，即二项式系数构成的三角形．它在阿拉伯国家最早是由11世纪数学家凯拉吉(al－Karajī)构造出来的，纳西尔丁可能受此启发而载述．书中还讨论了求一个数的四次或四次以上方根的方法，成为现存的记载这种方法的最早论著．纳西尔丁与他在迈拉盖的同事一起发展的计算技术后来由卡西(al－Kashī)等数学家继续研究，取得若干重要成果．数论中“两个奇平方数的和不可能是一个平方数”这一定理归功于纳西尔丁．

《令人满意的论著》(al－Risāla al－Shāfiya)主要论述几何学，特别是欧几里得平行公设．此外，纳西尔丁曾两次修订和注释欧几里得的《几何原本》，同样对平行公设作了较深入的探讨．欧几里得平行公设是阿拉伯数学家研究几何学的主要内容，塔比伊本库拉(Th

ābit ibn Qurra)、奥马海亚姆等人都对此做出过贡献．纳西尔丁试图利用欧几里得的其他公理和公设证明第五公设(即平行公设)，他沿用奥马海亚姆的四边形方法，假设一个四边形ABCD中，AB和CD相等且均垂直于BC边，∠A与∠D相等他证明了如果∠A与∠D是锐角，则可推出一个三角形的内角和小于180°．这正是非欧几何中罗氏几何的基本命题．纳西尔丁在有关平行公设的论述中得到一系列与平行公设等价的命题，成为非欧几何前史的重要里程碑．他的工作由意大利数学家G．萨凯里(Saccheri)等人发扬光大，并最终导致19世纪非欧几何学的建立．

《横截线原理书》(Kashf al-qinā‘fī asrār Shakl al-qitā‘)被称为是纳西尔丁最重要的数学论著，主要研究三角学．书名的字面意思为“由截线组成的图形”，其中的图形指“完全四边形”，即四根直线，或是球面上四个大圆弧的总合，要求任一直线或弧都与其余直线或大圆弧相交于三点，因此该论著也常被译为《论完全四边形》．这是数学史上流传至今的最早的三角学专著．在此之前，三角学知识散见于天文学论著中，是附属于天文学的一种计算方法．纳西尔丁的工作开始使三角学脱离天文学，使之成为纯粹数学的一个独立分支．

《横截线原理书》共分5卷．卷1为了论述三角学的需要而发展了希腊数学中的比例论．纳西尔丁从比的乘积的定义出发，认为每一个比都是一个数，从而成对的比值遵循乘法的交换律．他还给出合成比的一系列性质，扩展了数的运算；卷2论述完全四边形，给出与之相关的一些定理的证明；卷3论述平面三角卷4论述球面完全四边形；卷5对球面三角形进行分类，引入了除弧的正弦外其他5种球面三角函数概念，第一次给出球面直角三角形中的6种边角关系式：设c是该三角形的斜边，则有cosc=cosa•cosb，cotA=tanb•costc，cosc=cotA • cotB，sinb＝sinc•sinB，cosA＝cosa•sinB，sinb=tan a•cotA，这实际已表明，由球面三角形的三个角，可以求得其三边；由三条边亦可求得三个角．这是平面三角与球面三角差异的重要标志．纳西尔丁没有借用古希腊的门纳劳斯(Menelaus)定理或有关的天文学知识，开始了对三角函数本身的研究．他还借助球面极三角形来求解一般的球面三角形．他的著作于15世纪传入欧洲，促进了三角学的创立和传播．

除了欧几里得《几何原本》外，纳西尔丁还修订和注释过古希腊数学家、天文学家奥托利科斯(Autolycus of Pitane)、阿利斯塔克(Aristarchus of Samos)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)、阿基米德(Archimedes)、许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria)、西奥多修斯(Theodosius of Bithynia)、门纳劳斯(Menelaus ofAlexandria)和托勒密(Ptolemy)等人的著作，其中一些成为当时学生学习数学的教本，在伊斯兰世界广泛流传．天文学

纳西尔丁是一位声名显赫的天文学家，其主要贡献如下：

(1)建造了当时最先进的天文台——迈拉盖天文台．由于得到旭烈兀的支持，纳西尔丁有了财政保障，建台资金主要来自教会接受的捐赠．天文台建成后吸引了各地学者前来工作，其中还包括一位姓名未能考定的中国人．纳西尔丁的两个儿子也在此工作．天文台中装备精良，有大型壁式象限仪(mural quadrant)、装有5个环和一个照准仪的浑仪、具有两个象限仪的平径环仪、星位角尺等．天文台还附有一个藏书丰富的图书馆，据称存有“所有科学书籍”．该天文台成为伊斯兰世界的学术中心，对当时各种学科的复兴起了重要作用．

(2)编写了一批天文学论著．迈拉盖天文台组建期间，纳西尔丁与合作者积10余年的观测结果，于1271年编成《伊儿汗历数书》(Zīj-i Ilkhāinī，西方称《伊儿汗天文表》)．该书用波斯文写成，后译为阿拉伯文，其中一部分1650年在伦敦被译为拉丁文．书中主要贡献是测定岁差常数为每年51″．纳西尔丁的另一天文著作是《天文学宝库》(Tadhkirah)，其中对托勒密的天文学体系作了批评，提出建立行星运动新理论的计划，是中世纪天文学中唯一的新数学模型方法，对后继天文学家有较大影响，很可能影响到哥白尼天文理论的创