希尔伯特几何公理

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

在希尔伯特几何里面,其实点直线和平面是三个未定义的数学对象,在上面给的 最基本的关系也是没有定义的,也就是说用什么来代表这些东西都是可以的,正如希 尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’ ” 。最简
单的例子就是解析几何: 我们定义点是实数对(x,y), 定义线是 ������, ������ |������������ + ������������ + ������ = 0 , 其实在这个定义下, “几何”已经失去了“直观”的形式了,因为在这个定义下的几何 图形就变成了毫无几何直观的数字了,只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。 我这里的关系符号∈,⊂,=并不来自于集合论,不要混淆,要再强调的是他们本 身没有含义,我只是借用过来化简论述罢了。 总之,希尔伯特几何,就是将直观地几何语言(欧氏几何)抽象成了逻辑语言, 我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。 (其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几 何)
III2:若AB = A′B′且AB = A"B",则A′B′ = A"B"; (根据 1,2, 我们才能得到线段 AB 与自己相等, 才能得到AB = A′B′与A′ B ′ = AB等 价,这并不是不证自明的事实,有了这个我们才能说两线段“互相相等” 。总而言之根 据 1,2 我们才能得到线段相等的“反身性” , “对称性” ,和“传递性” ,这才说明这是一 个等价关系。 )
II4:设 A,B,C 是不在同一个平面的三点:对于在平面 ABC 且不经过点 A,B,C 的直
线 a,若 a 交于线段 AB 的一点,则它必定交于线段 AC 或 CB 的一点(如图)
以上。 接下来定义射线
先定义同侧: 设 A,A’,O,B 是直线 a 上的四点, 而 O 在 A,B 之间, 但不在 A,A’之间, 则 A 和 A’称为在 a 上点 O 的同侧,而 A,B 两点称为异侧。 那么射线就定义为直线 a 上点 O 同侧的点的全体。比如与上图关于点 O 与 B 同侧 的射线我们记为 OB(虽然跟线段的记号一样,但注意不要混淆)
两条直线������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0,������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0平行,当且仅当������2 ������1 − ������2 ������1 = 0
③ 点������在直线������ 上:������ ∈ ������ ④ 点B ������2 , ������2 在点A ������1 , ������1 与点C ������3 , ������3 之间: B ∈ AC ∶= ������1 < ������2 < ������3 ∨ ������3 < ������2 < ������1 ∧ ������, ������, ������共线 ; ⑤ 对于点,线的平移,对称,旋转的变换,我们用一个变换来表达: ������ ′ = ������������ + ������������ + ������ ,其中������������ − ������������ = 1 ������ ′ = ������������ + ������������ + ������ 然后如果线段相等就是,两线段在以上的坐标变换中能重合,角亦然。 (PS 把线段和角也看做点的集合,定义懒得写了) 那么用以上规定几何对象 公理 I(关联公理)显然都是成立的,只需要用到①②③规定。 公理 II(顺序公理)显然也都是成立的,再加上④规定。 公理 III(合同公理)也是成立的,加上规定⑤。需要一点点论述,就是点与直线 在经过⑥的变换后仍然是我们所研究的几何对象(也就是说 x’,y’都还是实数,其实就 是要说明 ������2 + ������ 2 形的数还是实数,这是显然的) 公理 IV(平行公理)在直线的这种规定下是成立的。 公理 V(连续公理)根据实数的完备性,还有实数是阿基米德域这一性质可以直 接得到。
根据这个公理,我们可以得到平行线内错角,同位角相等;反之也成立。
公理 V 连续公理 V1 (阿基米德原理) : 对于线段 AB,CD, 则必定存在一个数 n, 使得沿着射线 AB, 自 A 作首尾相连的 n 个线段 CD,必将越过 B 点。
在这里必须说下数的阿基米德原理:任意给定两个数 a,b ������, ������ ≥ 0 ,必存在正整数 n,使 na>b
III3:线段 AB,BC 在同一直线 a 上,且无公共点;线段 A’B’,B’C’在同一直线 a’ 上,且也无公共点。如果AB = A‘ B ′ 且 BC = B ′ ������′,则AC = A‘ C ′ 这条公理还要求线段能够相加,可以定义 AB+BC=AC(其中 A,B,C 共线)
相当于线段一样,我们也这样来规定角相等。 我们先定义角的概念:
公理 I 关联公理 本组公理有八条,是前面所提的点,直线,平面这三组对象之间建立的一种联系: (为了方便论述,以后说二、三„„点的,直线或平面是,都是指不同的点,直线或 平面) I1:对于两点 A 和 B,恒有一直线 a,使得������, ������ ∈ ������(存在性) ; I2:对于两点 A 和 B,至多有一直线 a,使得������, ������ ∈ ������(唯一性) ; (对于 1,2,我们可以说两点确定一直线)
III4:对于∠������������������,和一条射线 O’A’,在射线 O’A’所在的一个平面内,有且只有一 条射线 O’B, 使得∠������������������与∠������′������′������′相等, 记为∠������������������ = ∠������′������′������′。 而且有∠������������������ = ∠������������������。 如同线段一样,下面四条等式的意义是一样的
公理 IV 平行公理 这条公理显得很苍白,但在历史上很重要„„ 先定义平行: 对于同一平面上的两条直线线 a 和 b, a 与 b 无公共点, 则称 a 与 b 平行, 记为a ∥ b. IV(欧几里得平行公理) :设 a 是任意一条直线,A 是 a 外的任意一点,在 a 和 A 所决定的平面上,至多有一条直线 b,使得������ ∈ ������且a ∥ b。
二、公理的相容性
这里所谓的相容性,就是这五组公理是互来自百度文库矛盾的。也就是说,不能从这些公理 推导到相矛盾的结果。但是,如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事 情(而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话,这还是一个不可能的事情,这 是根据哥德尔不完全定理得到的) ,那么我们应该如何来证明呢?希尔伯特将方向转向 了“数” 。 我们只说明平面几何(因为好说明) ,立体几何类似。 。
I6:若������, ������ ∈ ������且������, ������ ∈ ������,则������ ⊂ ������ ; I7:若两平面α,β有一个公共点 A,则他们至少还有一个公共点 B; I8:至少有四点不在同一个平面上。 以上。 其实我想用形式语言写出来的,但是实在书上的太难翻译,而且符号难打,所以 放弃了。
然后先定义三角形:线段 AB,BC,CA 所构成的图形,记为△ ABC。 III5:若△ ABC与△ A′B′C′,有下列等式 AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ , ∠BAC = ∠B′A′C′ 则有∠ABC = ∠A′ B ′ C ′ , ∠ACB = ∠A′ C′ B ′ . 这条公理可以理解为三角形全等(SAS) ,事实上 SAS 这个公理的直接推论。
我们考虑的是实数域 R。 ① 点我们用实数对 ������, ������ 来表示: ������ ∶= ������, ������ ; ② 直线我们用������������ + ������������ + ������ = 0来表示: ������ ∶= ������, ������ |������������ + ������������ + ������ = 0 。
V2(直线完备公理) :将直线截成两段 a,b(不是直线),对于任意的 A∈a,B∈b, 则总存在一个点 C,C∈AB。 也就是说,不再存在一点不在直线上,把这点添加到直线上之后,仍满足前面的 公理 I~IV 的 (书上的描述太笼统,我还是用我自己的话说了)
要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的!
I3:一直线上至少有两点,至少有三点不在同一直线上; I4 : 对于不在同一直线的三点 A,B 和 C, 恒有一平面 α, 使得������, ������, ������ ∈ ������; (存在性) 对于任一平面������,恒有一点 A,使得������ ∈ ������; I5:对于不在同一直线的三点 A,B 和 C,至多有一平面 α,使得������, ������, ������ ∈ ������; (唯一 性) (对于 4,5,我们可以说三点确定一平面)
公理 III 合同公理 本组公理包含五条公理,主要说明几何对象“相等”的关系。 III1:对于线段 AB 和一点 A’,恒有一点 B’,使得线段 AB 与线段 A’B’相等,记为
AB = A′B′ 因为线段与端点的次序无关,所以一下四个等式的意义相同: AB = A′ B′,AB = B′A′,BA = A′ B′,BA = B′A′
公理 II 顺序公理 本组公理有四条,规定了“在„„之间”这个关系。根据这个概念,直线上的, 平面上的,空间上的点才有顺序可言。 II1: 对于点 A,B,C, 如果������ ∈ ������������ , 则点 A,B,C 是直线上不同的三点; 这时, ������ ∈ ������������也成 立; (如图)
∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′ ,∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′ , ∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′ , ∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′
希尔伯特几何公理
佛山石门中学高二(2)邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象:点,直线,平面 点用 A,B,C,D„„来表示; 直线用 a,b,c,d„„来表示; 平面用 α,β,γ,δ„„来表示。 点称为直线几何的元素,点和直线称为平面几何的元素,点、直线和平面称为 立体几何的元素
那么点,几何元素之间又有一定的相互关系 ① 点 A 在直线 a 上:������ ∈ ������ ② 点 A 在平面 α 上:������ ∈ ������ ③ 直线 a 在平面 α 上:������ ⊂ ������(直线的每一点都在平面上) ④ 点 B 在点 A 与点 C 之间:������ ∈ ������������ (我自己规定的符号) ⑤ 线段 AB 与 CD 相等:������������ = ������������(原书是用≡号的,不过对于我们不常见,所 以我用了=号) ⑥ ∠������������������与∠������������������相等:∠������������������ = ∠������������������ 等等„„ (线段,角之类的能在点线面下给出定义,具体在叙述公理的时候再说)
对于不同一直线的三点 O,A,B, 射线 OA, 和射线 OB 的全体我们称为角, 记为∠������������������。
O 称为∠������������������的顶点,射线 OA,和射线 OB 称为∠������������������的边。 同样与 A,B 的次序无关。 根据定义,平角,零角和凸角(大于平角的角)都不在考虑的范围内。
II2:对于点������, ������ ∈ ������,恒有一点C ∈ ������,使得������ ∈ ������������ ; (如上图) II3:一直线的任意三点中,至多有一点在其他两点间;
根据上面,我们就可以定义线段了: 对于直线 a 和直线上的两点 A,B;我们把这一点对{A,B}称为线段,用 AB 或 BA 表示。在 A 和 B 之间的点叫做线段 AB 的点;A 点和 B 点叫做线段 AB 的端点。
相关文档
最新文档