希尔伯特几何公理

两条直线������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0，������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0平行，当且仅当������2 ������1 − ������2 ������1 = 0
③ 点������在直线������ 上：������ ∈ ������ ④ 点B ������2 , ������2 在点A ������1 , ������1 与点C ������3 , ������3 之间： B ∈ AC ∶= ������1 < ������2 < ������3 ∨ ������3 < ������2 < ������1 ∧ ������, ������, ������共线 ； ⑤ 对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达： ������ ′ = ������������ + ������������ + ������ ，其中������������ − ������������ = 1 ������ ′ = ������������ + ������������ + ������ 然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。 （PS 把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了） 那么用以上规定几何对象 公理 I（关联公理）显然都是成立的，只需要用到①②③规定。 公理 II（顺序公理）显然也都是成立的，再加上④规定。 公理 III（合同公理）也是成立的，加上规定⑤。需要一点点论述，就是点与直线 在经过⑥的变换后仍然是我们所研究的几何对象（也就是说 x’,y’都还是实数，其实就 是要说明 ������2 + ������ 2 形的数还是实数，这是显然的） 公理 IV（平行公理）在直线的这种规定下是成立的。 公理 V（连续公理）根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直 接得到。
V2（直线完备公理） ：将直线截成两段 a,b(不是直线)，对于任意的 A∈a，B∈b， 则总存在一个点 C，C∈AB。 也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的 公理 I~IV 的 （书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）
要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！
对于不同一直线的三点 O,A,B， 射线 OA， 和射线 OB 的全体我们称为角， 记为∠������������������。
O 称为∠������������������的顶点，射线 OA，和射线 OB 称为∠������������������的边。 同样与 A,B 的次序无关。 根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的 最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希 尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’ ” 。最简
单的例子就是解析几何： 我们定义点是实数对(x,y)， 定义线是 ������, ������ |������������ + ������������ + ������ = 0 ， 其实在这个定义下， “几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何 图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。 我这里的关系符号∈，⊂，=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本 身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。 总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言， 我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。 （其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几 何）
我们考虑的是实数域 R。 ① 点我们用实数对 ������, ������ 来表示： ������ ∶= ������, ������ ； ② 直线我们用������������ + ������������ + ������ = 0来表示： ������ ∶= ������, ������ |������������ + ������������ + ������ = 0 。
公理 IV 平行公理 这条公理显得很苍白，但在历史上很重要„„ 先定义平行： 对于同一平面上的两条直线线 a 和 b， a 与 b 无公共点， 则称 a 与 b 平行， 记为a ∥ b. IV（欧几里得平行公理） ：设 a 是任意一条直线，A 是 a 外的任意一点，在 a 和 A 所决定的平面上，至多有一条直线 b，使得������ ∈ ������且a ∥ b。
III4：对于∠������������������，和一条射线 O’A’，在射线 O’A’所在的一个平面内，有且只有一 条射线 O’B， 使得∠������������������与∠������′������′������′相等， 记为∠������������������ = ∠������′������′������′。 而且有∠������������������ = ∠������������������。 如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的
III2：若AB = A′B′且AB = A"B"，则A′B′ = A"B"； （根据 1,2， 我们才能得到线段 AB 与自己相等， 才能得到AB = A′B′与A′ B ′ = AB等 价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等” 。总而言之根 据 1,2 我们才能得到线段相等的“反身性” ， “对称性” ，和“传递性” ，这才说明这是一 个等价关系。 ）
∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′ ，∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′ , ∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′ , ∠������������������ = ∠������′ ������′ ������′
III3：线段 AB，BC 在同一直线 a 上，且无公共点；线段 A’B’，B’C’在同一直线 a’ 上，且也无公共点。如果AB = A‘ B ′ 且 BC = B ′ ������′,则AC = A‘ C ′ 这条公理还要求线段能够相加，可以定义 AB+BC=AC（其中 A,B,C 共线）
相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。 我们先定义角的概念：
I6：若������, ������ ∈ ������且������, ������ ∈ ������，则������ ⊂ ������ ； I7：若两平面α，β有一个公共点 A，则他们至少还有一个公共点 B； I8：至少有四点不在同一个平面上。 以上。 其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以 放弃了。
根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。
公理 V 连续公理 V1 （阿基米德原理） ： 对于线段 AB,CD， 则必定存在一个数 n， 使得沿着射线 AB， 自 A 作首尾相连的 n 个线段 CD，必将越过 B 点。
在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数 a,b ������, ������ ≥ 0 ，必存在正整数 n，使 na>b
II4:设 A,B,C 是不在同一个平面的三点：对于在平面 ABC 且不经过点 A,B,C 的直
线 a，若 a 交于线段 AB 的一点，则它必定交于线段 AC 或 CB 的一点（如图）
以上。 接下来定义射线
先定义同侧： 设 A,A’,O,B 是直线 a 上的四点， 而 O 在 A,B 之间， 但不在 A,A’之间， 则 A 和 A’称为在 a 上点 O 的同侧，而 A,B 两点称为异侧。 那么射线就定义为直线 a 上点 O 同侧的点的全体。比如与上图关于点 O 与 B 同侧 的射线我们记为 OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
公理 II 顺序公理 本组公理有四条，规定了“在„„之间”这个关系。根据这个概念，直线上的， 平面上的，空间上的点才有顺序可言。 II1： 对于点 A,B,C， 如果������ ∈ ������������ ， 则点 A,B,C 是直线上不同的三点； 这时， ������ ∈ ������������也成 立； （如图）
二、公理的相容性
这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理 推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事 情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这 是根据哥德尔不完全定理得到的） ，那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向 了“数” 。 我们只说明平面几何（因为好说明） ，立体几何类似。 。
希尔伯特几何公理
佛山石门中学高二（2）邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面 点用 A,B,C,D„„来表示； 直线用 a,b,c,d„„来表示； 平面用 α,β,γ,δ„„来表示。 点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为 立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系 ① 点 A 在直线 a 上：������ ∈ ������ ② 点 A 在平面 α 上：������ ∈ ������ ③ 直线 a 在平面 α 上：������ ⊂ ������（直线的每一点都在平面上） ④ 点 B 在点 A 与点 C 之间：������ ∈ ������������ （我自己规定的符号） ⑤ 线段 AB 与 CD 相等：������������ = ������������（原书是用≡号的，不过对于我们不常见，所 以我用了=号） ⑥ ∠������������������与∠������������������相等：∠������������������ = ∠������������������ 等等„„ （线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）