理想流体的旋涡运动

d l dxi dy j dz k 根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为0，即 d l 0 dx dy dz 这就是涡线的微分方程。 x y z
取过该点涡线上的微元矢量为
x i y j z k
涡面 在涡量场中任取一条非涡线的曲线，过该曲线的每一点 作同一时刻的涡线，这些涡线将构成一个曲面称作涡面
涡管定义: 某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲 线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。
如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管。横断涡 管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面上， 各点的旋转角速度相同。
/ /n
n
2 涡通量和速度环量
对有限面积，则通过这一面积的涡通量定义为 速度环量 A 定义: 某一瞬时在流场中取任意闭曲线 l ， 在线上取一微元线段d l ，速度 V在 d l 切线上 的分量沿闭曲线 l 的线积分，
L

A
由 Kelvin定理，沿上述任意封闭流体线的速度环量，在以前或以 后的时间内将保持为零
再利用由Stokes公式，对于完全位于所讨论的那部分流体中的任 何流体曲面A而言，在运动过程中，始终有 V dl ndA dA 0 由于曲面A选取的任意性，故要使上式成立，则必须处处有
证：流体以等速度v0水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲 线的速度环量，
12341 12 23 34 41 bv0 0 bv0 0 0
其次求沿图所示圆周线的速度环量
K v0 cos ds v0 cos rd v0 r cos d v0 r cos(90 o )d 0
(d) 图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替 排列的涡，称为卡门涡街．
e) 图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达 1000m． (f) 图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流．和柱状涡相 反，其直径达1000km，而高度约10km． (g) 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流， 正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭．涡的这个作用 早已由达 芬奇指出 (h) 图是银河系的涡状结构，天文测旦证实了这样的结构．此类 结构的星系并不是唯一的，宇宙中成千成万地存在着．
l
V dl (udx vdy wdz )
由 Stokes 定理
V dl
l
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dA J
A
涡通量J与速度环量 虽然都能用来表征旋涡的特性，但是在 某些时况下，利用速度环量往往更为方便，这是因为速度环量是 线积分，被积函数是速度本身；而涡通量则是面积分，被积函数 是速度的偏导数． 再考虑例1
流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋 转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微 团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转 运动，则称为无旋流动。 这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流 动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决 定，而与流体微团的运动轨迹无关，
A

A2
n2
n n2
对于微元涡管 近似认为


A1
n1dA n dA
A1
1 A2
A2
' 2
2
1 / / n1 2 / / n2 1 A1 2 A2 由涡管强度守恒定理
（1）对于同一微元涡管，截面越小的地方，涡量越大 （2）涡管截面不可能收缩到零 (?) 。 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
另一方面，旋涡有利于人类。现代生物力学证实主动脉窦内血液 流动形成的蜗旋使主动脉瓣在射血结束时关闭，保证了人体血液 循环的正常运行；利于三角翼形成的涡旋可增加机翼的升力；在 水坝泄水口，为保证坝基不被急泄而下的水流冲坏，采用消能设备 人为制造涡旋以消耗水流动能。
涡旋运动的一些基本概念和运动学特性
(a)图是圆筒中水随圆筒一起绕轴转动形成的涡流，此时水的运动 如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比． (b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流．注意，自由面呈 现抛物曲面形状． (c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺 着圆柱向上“爬”．
d d d V dl (V dl) dt dt l dt l dV dV V2 dl dl d ( ) dt dt 2 l l l
d dV dl dt l dt
2 Kelvin环量定理
正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何 封闭流体线的速度环量不随时间而变化，即
d 0 dt
dV V 1 (V )V F grad p dt t
体力有势 流体是正压的
F grad
1
dV grad grad P 由 Kelvin方程 dt d dV dl ( grad gradP) dl d ( P) 0 dt dt l l l
K 0 0 0 2 2 2
同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。
实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋 势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。 V ui vj wk dl dxi dyj dzk
V dl udx vdy wdz
J dA
l V d l V cos dl
l l
即为沿该闭合曲线的速度环量。开尔文1869年 速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方 向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。 速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。
例题1 证明均匀流的速度环量等于零。

2
( grad grad p)
1 (V ) ( )V divV rotF 2 ( grad grad p) t
在有势的质量力作用下，正压理想流体
它为动力学方程。优点是不出现压力、体力和密度，而只包含速度 和涡量 3 关于旋涡的形成和消失 由Lagrange定理可知，当流体满足下述三个条件：(1)流体是理想 的：(2)流场是正压的，(3)体力是有势的时，若流体在某时刻的运 动有旋，则将永远有旋；若流体某时刻的运动无旋，则将永远无 旋．即流场中的旋涡既不会产生也不会消失．因此，Lagrange定 理是判断流场是否有旋的重要定理． （1）无穷远均匀来流绕流物体的流场是无旋流场； （2）物体在静止流场中的运动所造成的流场也是无旋流场等等． 但要特别指出的是，如果上述三个条件中有一个条件得不到满 足．旋涡就既可以产生，也可以消失
什么是流线 什么是无旋流动和有旋流动
第四章 理想流体的旋涡运动
流体的旋涡运动是自然界普遍存在的一种流动现象。例如 台风、 龙卷风依然在破坏亚洲、澳洲和美洲的海岸，每年吞噬这成千上 万人的生命。由于它的特殊性，人们对其认识在早期十分模糊， 并且带上一种神秘的色彩。百慕大三角区的旋涡更使人神秘莫测， 另外旋涡还伴随有飞机、舰船等的机械能损失。
有旋流动
在图(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转， 故它是无旋流动； 在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋 无旋流动 转，故它是有旋流动。 在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕 水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个 儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
rot ( 1
V 1 (V )V F grad p t 2 V V 1 grad ( ) V F grad p t 2
公式11
rot (V ) ( )V (V ) divV

grad p) 1
V2 rotgrad ( ) 0 2
对于密度函数仅与压力有关的理想流体，当体力有势时，沿任 何封闭流体线的速度环量在流体运动的全部时间内将保持不变

grad p grad P
1 涡线、涡管和涡束
2 涡通量和速度环量的关系
3．涡管强度守恒定理 4 Kelvin定理
4-3 Lagrange定理
在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻流体内的 某一部分内没有旋涡，则在以前或以后的时间内，该部分流体内 也不会有旋涡。 证明：由条件知，在某一时刻（可认为是初始时刻），在被研 究的那部分流体中，处处有 0 ，则由Stokes公式知 V dl ndA 0 A是以封闭流体线L为边界的流体面
判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个 流体微团都满足
rotV 0
x y z 0
4-1 涡量场以及旋涡的运动学特性
速度的旋度称为流场的涡量
( x, y, z, t )
rotV
是矢量流场，称为涡量场
1 涡线、涡管和涡束 1843年H.L.F赫姆霍茨 1. 涡线 定义: 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的 切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为
4-2 Kelvin速度环量定理
涡管强度守恒定理指出：同一时刻涡管不同截面的涡通量是相同 的，然而Stokes定理又指出任一封闭曲线上的速度环量等于以该 曲线为周界的任意曲面的涡通量。由此，我们知道，同一时刻绕 涡管的任意封闭曲线的速度环量相等．但是，不同时刻的情况如 何呢?下面将讨论这个问题．
1 速度环量随时间的变化率 首先引出流体线(也称为时间线)的概念。（与迹线相关） 流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始 终是由同样的流体质点所组成。 (体系)
封闭流体线速度环量对时间的变化率等于此封闭流体线的加速度环量
d dV dl dt l dt
Kelvin方程
t 时刻流体线微元 l
t + t 时刻流体线微元
l
d (l ) t dt
流体线微元
l (V dV ) t d l Vt ( l t )
L

A

A
0
2 亥姆霍兹(Helmholtz ）方程 理想流体运动中涡量 必须满足的方程 。
V V2 1 rot ( ) rotgrad ( ) rot (V ) rotF rot ( grad p) t 2
V rot ( ) (rotV ) t t t
3．涡管强度守恒定理
若 A为某瞬时涡管的某一横截面，则涡通量 称为该瞬时涡管的强度
J dA
A
内容：在同一时刻、同一涡管的各个截面上，涡通量（涡管 强度）都是相同的
A A1 A2 A3
J dA n1 dA n 2 dA n3 dA
A A1 A2 A3

n1
A1


A
n3 0
A1 A2
n3
' n2
A3
J dA n1dA n2 dA
由 Gauss定理

' 2

A1
n1dA n2 dA 0
A2
div d 0 dA
dt
流体线微元
(V dV )t
l
l
Vt
d l t dt
d l dV dt
d dV d (V dl ) dl V (dl ) dt dt dt dV dl V dV dt dV V2 dl d ( ) dt 2
t时刻
t t 时刻