信号流图和梅森公式
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25信号流图与梅森公式 共31页
Li L1L2L3L4
i1
G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
2－5 信号流图及梅森公式
是表示复杂系统的又一种图示方法。
重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
谢谢！
xiexie!
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
11
所以
C (G s P ) 1 Δ 1
1
R(s) Δ R 1 R 2 C 1 C 2 s2 R 1 C 1 s R 1 C 2 s 1
28
练习eBiblioteka g1ab
c
d
R(s) f
C(s) h
四个单独回路，两个回路互不接触
i1
G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
2－5 信号流图及梅森公式
是表示复杂系统的又一种图示方法。
重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
谢谢！
xiexie!
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
11
所以
C (G s P ) 1 Δ 1
1
R(s) Δ R 1 R 2 C 1 C 2 s2 R 1 C 1 s R 1 C 2 s 1
28
练习eBiblioteka g1ab
c
d
R(s) f
C(s) h
四个单独回路，两个回路互不接触
信号流图梅森公式
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
2/5/2020
5
信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1
x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
2/5/2020
6
信号流图的等效变换
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
ug ue
u1
u2
ua
G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f
信号流图和梅森公式
04:07 38
例2：求系统传递函数。
e
g
R(s)
1
a f
b
c
h
d
C(s)
四个单独回路，两个回路互不接触。
前向通路两条。
ab c d + e d (1 – b g) C(s) = R(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
04:07
39
例3：求系统的传递函数
G1 R G2 C
04:07
42
解：由结构图绘制出信号流图。
x2 R(s) 1 x1 1 1 1 x6
04:07
G1
x3
1x
4
C(s)
1
G2
-1
1 x5
43
单独回路有5条：
x1 x2 x3 x4 x1 : L1 G1
x2
G1
x3 x4
R(s)
x1 x6 G2 -1 x5
04:07
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
1 N Gk Δ k 代入 G kΣ Δ 1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C(s) 1 G (p1Δ1 p 2Δ 2 p 3Δ 3 ) R(s) Δ G1G 2 G 3 G 4 G 5 G1G 6 G 4 G 3 G1G 2 G 7 (1 G 4 H1 ) 1 G 4 H1 G 2 G 7 H 2 G 6 G 4 G 5 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
04:07
31
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
例2：求系统传递函数。
e
g
R(s)
1
a f
b
c
h
d
C(s)
四个单独回路，两个回路互不接触。
前向通路两条。
ab c d + e d (1 – b g) C(s) = R(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
04:07
39
例3：求系统的传递函数
G1 R G2 C
04:07
42
解：由结构图绘制出信号流图。
x2 R(s) 1 x1 1 1 1 x6
04:07
G1
x3
1x
4
C(s)
1
G2
-1
1 x5
43
单独回路有5条：
x1 x2 x3 x4 x1 : L1 G1
x2
G1
x3 x4
R(s)
x1 x6 G2 -1 x5
04:07
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
1 N Gk Δ k 代入 G kΣ Δ 1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C(s) 1 G (p1Δ1 p 2Δ 2 p 3Δ 3 ) R(s) Δ G1G 2 G 3 G 4 G 5 G1G 6 G 4 G 3 G1G 2 G 7 (1 G 4 H1 ) 1 G 4 H1 G 2 G 7 H 2 G 6 G 4 G 5 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
04:07
31
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。
信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。
有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。
而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。
图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。
2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。
§2.5 信号流图与梅森公式
R(s) 1
e
g
a f
b
c
h
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
— ∑L
a
Pk—从R(s)到C(s)的第 条前向通路传递函数 的第k条前向通路传递函数 从 到 的第
称为第k条前向通路的余子式 △k称为第 条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的 △k求法 去掉第 条前向通路后所求的△ 条前向通路后所求的△
△k=1-∑LA+ ∑LBLC- ∑LDLELF+…
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L5 = – G1G2G3
L3= – G1G2G3H3H1
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s) G3 (s) E(S)G(s) G33(s) E(S) E(S) E(S) GG (s) 1 (s) G(s)
1 1
梅逊公式求E(s) 梅逊公式求
N(s) N(s) N(s)
G2(s) G2(s) G22(s) G (s) HH (s) 2 (s) H(s) 2 2 C(s) C(s) C(s) C(s)
P2= - G3G2H3 △ 2= 1 P2△2=?
HH (s) 1 (s) H(s) 1 1
H3(s) H3(s) H33(s) H (s)
e
g
a f
b
c
h
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
— ∑L
a
Pk—从R(s)到C(s)的第 条前向通路传递函数 的第k条前向通路传递函数 从 到 的第
称为第k条前向通路的余子式 △k称为第 条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的 △k求法 去掉第 条前向通路后所求的△ 条前向通路后所求的△
△k=1-∑LA+ ∑LBLC- ∑LDLELF+…
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L5 = – G1G2G3
L3= – G1G2G3H3H1
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s) G3 (s) E(S)G(s) G33(s) E(S) E(S) E(S) GG (s) 1 (s) G(s)
1 1
梅逊公式求E(s) 梅逊公式求
N(s) N(s) N(s)
G2(s) G2(s) G22(s) G (s) HH (s) 2 (s) H(s) 2 2 C(s) C(s) C(s) C(s)
P2= - G3G2H3 △ 2= 1 P2△2=?
HH (s) 1 (s) H(s) 1 1
H3(s) H3(s) H33(s) H (s)
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
机械控制工程基础-第3章-梅森公式-信号流图
由系统结构图绘制信号流图 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。
注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)
(节点)
G(s)
(节点) (支路) D(s) R(s) E(s) G (s) (-) 1 V(s)G (s) 2 H(s)
2 1
P2 G1G6G4G5
1 2 3 6
P3 G1G2G7
3 1 G4 H1
4个单独回路
4 54
L1 G4 H1
L2 G2G7 H 2
2 36 2
2 4 56 2
L3 G6G4G5 H 2
2 34 56 2
L4 G2G3G4G5 H 2
X4 1 aef (1 d ) abcf ( p1 1 p2 2 ) X1 1 d eg bcg de g
2. X 1 X 2 , p1 a, 1 1 d
X2 1 a(1 d ) p1 1 X1 1 d eg bcg de g
-1
Ui(s)
1/R1
I C (s)
1/C1s
1/R2
1/C2s
I 2 ( s)
Uo(s) Uo(s)
U(s)
-1
-1
例2 已知系统信号流图，求传递函数。
L 解：三个回路： 1 G 2 H 2
-H1 R G1 G2 G3 C
L 2 G 1G 2 H 2
L 3 G 2G 3 H1
• 回路相互均接触，则： • 前向通路有两条：
例4
G2 A2 R A1 G1 B G4 H G3 C
2.6信号流图与梅森公式
G2 ( s) H ( s) N ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
N ( s)
7）系统的总输出 X o (s) i (s) X i (s) N (s) N (s)
8）系统的总偏差 (s) i ( s) X i ( s) N (s) N (s) 结论
练习 试化简下图所示系统的方框图，并求系 统传递函数。
可看出此题方框图化简较复杂,试用梅森公式化简.
• 两条前向通路 • 两条回路 • 主特征式
P G1G3G5 , P2 G2G4G5 1
L1 G3 H , L2 G4 H
1 ( L1 L2 ) 1 G3 H G4 H
【例1】根据微分方程绘制信号流图
i1 (t ) 1 R1 [ui (t ) u A (t )]
1 u A (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1
1 i2 (t ) [u A (t ) uo (t )] R2
uo (t) 1 C2
i (t )dt
2
一般闭环控制系统的结构如下图所示
1）闭环系统的开环传递函数 将闭环控制系统主反馈 通道的输出断开，即 H(s)的输出通道断开 时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数 ,记为GK(s)。
闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信 号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数，即：
X o ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) ( s)
B( s) H ( s) X o (s)
4）输入信号作用下的闭环传递函数
令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传 递函数为：
25控制系统的信号流图和梅森公式
15
例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
16.04.2019
16
1 列写网络微分方程式如下：
d it () L R it () u t－ u () t ＋ ＝ i() o d t
C
duo (t ) ＝i(t ) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
d x5 f
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
16.04.2019
13
2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
x5 1
x1
a
x2
d
b x3
c
x4
e
16.04.2019
互不接触的回路L1 L2。所以，特征式
= 1 ( L + L + L + L ) + L L 1 2 3 4 1 2
33
16.04.2019
G6 R(s) G1 G2 G3
G7 G4 G5 C(s)
a
b
c
-H1
d
-H2
前向通道有三个：
P G G G G G 1= 1 2 3 4 5
1 1
16.04.2019 27
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
16.04.2019
28
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
-H1 -H2
G5
d
第七节 信号流图与梅森公式
23
，
例2：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
24
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
25
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
26
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
27
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
28
，
例3：用梅森公式求如图所示系统的传递函数。
X
3
BX
2
BX
2
ABX
1
4
2、说明
（1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信 号之代数和，与输出无关。从同一节点流出的信号均 等于该节点变量，与流入无关。同方向传递的信号不 能重复计算。
X
X
3
AX
CX
1
BX
2
4
3
X
5
DX
3
5
（2）信号在支路上沿箭头方向单向传递。 （3）支路相当于一个乘法器，信号流经支路时，被 乘以支路增益而变换为另一个信号。（支路增益为 “1”时，可不标出） （4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出 支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合
29
，
例4：用梅森公式求如下2图所示系统的传递函数。
30
所 有 单 个 回 路 增 益 之 和
触取所 回其有 路中单 增不个 益同回 乘的路 积两中 之个， 和不每 。接次
20
2、有关定义
（1）前 向 通 路——信号从输入节点到输出节点传递时， 每个流经节点只通过一次的通路。 （2）回 路——起点与终点为同一节点，而中间混合 节点最多通过一次的闭合通路。
2-5控制系统的信号流图和梅森公式
x1 = x1 x2 = ax1 + dx2 + ex3 x3 = bx2 + fx5 x4 = cx3 x5 = x5
d x5 f
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
13:33
13
对于一个给定的系统， 2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式， 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 混合节点可以通过增加一个增益为1 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。 为输出节点,且两节点的变量相同。
13:33 20
由系统结构图绘制信号流图的步骤 将方框图的所有信号(变量)换成节点， 1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 并按方框图的顺序分布好； 用标有传递函数的线段(支路) 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。 图中的方框。
13:33
21
画出系统的信流图。 画出系统的信流图。
L[ sI ( s )－i (0)]＋RI ( s )＝U i ( s )－U o ( s )
C[ sU o ( s)－uo (0)]＝I ( s)
13:33 17
L[ sI ( s )－i (0)]＋RI ( s )＝U i ( s)－U o ( s )
C[ sU o ( s )－uo (0)]＝I ( s )
G6 R(s) G1 a G2 b G3 c
G7 G4 d -H1 G5 C(s)
13:33
-H2
22
注意：引出点和比较点相邻的处理
13:33
23
例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
d x5 f
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
13:33
13
对于一个给定的系统， 2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式， 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 混合节点可以通过增加一个增益为1 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。 为输出节点,且两节点的变量相同。
13:33 20
由系统结构图绘制信号流图的步骤 将方框图的所有信号(变量)换成节点， 1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 并按方框图的顺序分布好； 用标有传递函数的线段(支路) 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。 图中的方框。
13:33
21
画出系统的信流图。 画出系统的信流图。
L[ sI ( s )－i (0)]＋RI ( s )＝U i ( s )－U o ( s )
C[ sU o ( s)－uo (0)]＝I ( s)
13:33 17
L[ sI ( s )－i (0)]＋RI ( s )＝U i ( s)－U o ( s )
C[ sU o ( s )－uo (0)]＝I ( s )
G6 R(s) G1 a G2 b G3 c
G7 G4 d -H1 G5 C(s)
13:33
-H2
22
注意：引出点和比较点相邻的处理
13:33
23
例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
信号流图和梅森公式
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
17:59
21
1N
G
Δ
Σ
k 1
Gk
Δk
Gk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向 通路不接触部分的Δ值（特征式）； 去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。
N ——前向通路的总数。
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
表示。
17:59
8
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
a43
a44
(source) x1
1
a12 2
3
x2
a23 x3 a34 4 x4 a45
单独回路(7个)
a24 a25
1 Output node
5
x5
x6
x4 x4
x2 x3 x2
x3 x4 x3
不接触回路(2组) x2 x3 x2 和 x4 x4
x2 x4 x3 x2
x3 x4 x5 x3
17:59
22
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
17:59
23
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
1 1
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
自动控制原理 ch 2-5_2 信号流图、梅森公式
1
① 用小圆圈表示各 变量对应的节点；
G2
1
1 ② 根据方程连接各节点。
e
G1
1
e1
H
e2
G3
1
e4
1
C s
R s
1
e
G1
1
e1
e2
G3 G4
C s
e6 H
G4 G4
② 根据方程连接各节点。
返回
e5
H
前页
四、梅森增益公式
P
1 n pk k k 1
前页
例：求信号流图的传递函数 X 5 s X 1 s
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个 节点只经过一次，最终到达输出节点的通路。 前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积。 p k
x2 , x3 , x4 , x5
1
9/10/2013
i
i
c a
x1
x2
f
b
g
h
x5
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
x6
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
c
去掉一条，另 一条仍完整！
f
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
去掉一条，另 一条仍完整！
x 2 x3 x 2 和 x3 x4 x3
① 用小圆圈表示各 变量对应的节点；
G2
1
1 ② 根据方程连接各节点。
e
G1
1
e1
H
e2
G3
1
e4
1
C s
R s
1
e
G1
1
e1
e2
G3 G4
C s
e6 H
G4 G4
② 根据方程连接各节点。
返回
e5
H
前页
四、梅森增益公式
P
1 n pk k k 1
前页
例：求信号流图的传递函数 X 5 s X 1 s
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个 节点只经过一次，最终到达输出节点的通路。 前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积。 p k
x2 , x3 , x4 , x5
1
9/10/2013
i
i
c a
x1
x2
f
b
g
h
x5
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
x6
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
c
去掉一条，另 一条仍完整！
f
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
去掉一条，另 一条仍完整！
x 2 x3 x 2 和 x3 x4 x3
信号流图及梅逊公式
R(s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(2)扰动信号下的闭环 传函：R(s)=0
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
E(s)
N (s) = C (s) =
G2 (s)
N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
1
C(s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时， 系统输出为：
C (s) =(s) R(s) + N (s) N (s) = G1 (s)G2 (s) R(s) + G2 (s) N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
出的传递函数)：
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
1
C(s)
+ [G1G2 + G1G3 + G2G3 + G1G2G3 ] [ G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
P = C (s)= p1 1 + p2 2 + p3 3 + p4 4 R(s)
=
G1G3 K (1 + G1 ) + G2G3 K (1 + G2 )
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
L(1) —— 所有单独回路增益之和； L(2) —— 两个互不接触回路增益乘积之和； L( m ) —— m个不接触回路增益乘积之和。
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
第2章第5节信号流图和梅逊公式
+ G1 (s)G2 (s)G7 (s)[1 + G4 (s)G8 (s)]}/[1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)]
增益
x1
节点
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
a 21
支路
x2
节点
x2 = a21 x1
3
一、由线性方程组绘制信号流图
例2-12
设一线性系统由下列方程组描述
x 2 = a 21 x1 + a 23 x3 + a 24 x 4 + a 25 x5
x3 = a32 x 2
x 4 = a 43 x3 + a 44 x 4
∆(s) = 1 − N1 (s) + N 2 (s) − N 3 (s) + L
N 2 ( s) = L1 ( s) L2 ( s)
= 1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)
11
L3 = G6 ( s )G4 ( s )G5 ( s )(−G9 ( s ))
J.Z. G7 G3 G4 －G8 G5
L2
C(s)
G1
G2
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d x5 f
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
04:07
13
2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
x5 1
x1
a
x2
d
b x3
c
x4
e
04:07
14
信号流图的绘制
04:07 6
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
04:07
7
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
04:07
8
x5
f
x1
a
d
x2
b
04:07 18
U i ( s)－U o ( s) i (0) I ( s)＝ ＋ R Ls＋R s＋ L I (s) uo (0) Uo (s)＝ ＋ C s4 Biblioteka 照方程组绘制信流图i (0)
1 1 R L
uo (0)
1 s
U i ( s)
1 U i ( s) U o ( s)
1 Ls R
第二章 控制系统的数学模型
第五节 信号流图和梅森公式
04:07
1
2-5 信号流图和梅森公式
项目
学 习 目 的 法。 重 难 点 点
内容
掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方
利用梅森公式求取传递函数
闭环系统有关传函的一些基本概念
04:07
2
本节内容
信号流图的组成和绘制
MASON公式→求系统传递函数
04:07
21
画出系统的信流图。
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4
c -H1 -H2 d
G5
C(s)
04:07
22
注意：引出点和比较点相邻的处理
04:07
23
例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
04:07
24
解： 1 将结构图的变量换成节
点，并按结构图的顺序分 布好； 2 用标有传递函数的线段 (支路)代替结构图中的函 数方框。
1
a53
a32
2
a43
3
a44
4
x2
a23
x3
a34 a24
x4 a45 a25
5
1
Output node
x5
x6
单独回路(7个)
x4 x4
x2 x3 x2
不接触回路(2组)
x2 x3 x2 和 x4 x4
x2 x5 x3 x2 和 x4 x4
x3 x4 x3
由原理图绘制信号流图
(1) 列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。 (2) 将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件， 转换成代数方程组。 (3)将每个方程式整理成因果关系形式。 (4) 将变量用节点表示，并根据代数方程所确定 的关系，依次画出连接各节点的支路。
04:07
15
例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。 不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。 回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用 La表示。
04:07 9
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时， 每个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的 乘积。一般用Gk来表示。
04:07 10
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时， 每个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的 乘积。一般用Gk来表示。
04:07 11
Mixed node
input node (source) a12 x1
1 C
I ( s)
-1
U o ( s)
04:07
19
由系统结构图绘制信号流图
比较点 结构图：输入量
引出点
信号线
方框
输出量
信流图： 输入节点
混合节点
支路
输出节点
信号流图包含了结构图所包含的全部信息， 在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是， 在图形结构上更简单方便。
04:07 20
由系统结构图绘制信号流图的步骤 1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。
x2 x4 x3 x2
x3 x4 x5 x3
x2 x5 x3 x2
x2 x4 x5 x3 x2
04:07 12
说明
1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示， 两者一一对应。
x1 x1 x 2 ax1 dx 2 ex 3 x 3 bx 2 fx 5 x 4 cx 3 x5 x5
04:07
16
1 列写网络微分方程式如下：
L di(t ) ＋Ri(t )＝ui (t )－uo (t ) dt
C
duo (t ) ＝i(t ) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
L[sI (s)－i(0)]＋RI (s)＝U i (s)－U o (s)
C[sU o (s)－uo (0)]＝I (s)
04:07 17
L[sI (s)－i(0)]＋RI (s)＝Ui (s)－Uo (s)
C[sU o (s)－uo (0)]＝I (s)
3 按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：
U ( s)－U o ( s) i (0) I ( s)＝ i ＋ R Ls＋R s＋ L
I (s) uo (0) Uo (s)＝ ＋ C s
x
G
y
x
G
y
节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出 节点表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向 表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边， 称支路增益。
04:07
5
x5
f
x1
a
x2
b x3
c
x4
d
有关术语
e
输入节点：源节点。只有输出支路。 输出节点：阱节点。只有输入支路。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相 当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信 号是所有输入支路引进信号的叠加。
闭环系统有关传函的一些基本概念
04:07
3
一 信号流图的组成和绘制
对于复杂的控制系统，结构图的简化过程 仍较复杂，且易出错。
信号流图：对系统的结构和信号（变量）传
递过程的数学关系的图解描述。
优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函 数，无需对信号流图进行化简和变换。
04:07 4
基本组成： 由节点、支路组成
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
04:07
13
2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
x5 1
x1
a
x2
d
b x3
c
x4
e
04:07
14
信号流图的绘制
04:07 6
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
04:07
7
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
04:07
8
x5
f
x1
a
d
x2
b
04:07 18
U i ( s)－U o ( s) i (0) I ( s)＝ ＋ R Ls＋R s＋ L I (s) uo (0) Uo (s)＝ ＋ C s4 Biblioteka 照方程组绘制信流图i (0)
1 1 R L
uo (0)
1 s
U i ( s)
1 U i ( s) U o ( s)
1 Ls R
第二章 控制系统的数学模型
第五节 信号流图和梅森公式
04:07
1
2-5 信号流图和梅森公式
项目
学 习 目 的 法。 重 难 点 点
内容
掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方
利用梅森公式求取传递函数
闭环系统有关传函的一些基本概念
04:07
2
本节内容
信号流图的组成和绘制
MASON公式→求系统传递函数
04:07
21
画出系统的信流图。
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4
c -H1 -H2 d
G5
C(s)
04:07
22
注意：引出点和比较点相邻的处理
04:07
23
例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
04:07
24
解： 1 将结构图的变量换成节
点，并按结构图的顺序分 布好； 2 用标有传递函数的线段 (支路)代替结构图中的函 数方框。
1
a53
a32
2
a43
3
a44
4
x2
a23
x3
a34 a24
x4 a45 a25
5
1
Output node
x5
x6
单独回路(7个)
x4 x4
x2 x3 x2
不接触回路(2组)
x2 x3 x2 和 x4 x4
x2 x5 x3 x2 和 x4 x4
x3 x4 x3
由原理图绘制信号流图
(1) 列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。 (2) 将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件， 转换成代数方程组。 (3)将每个方程式整理成因果关系形式。 (4) 将变量用节点表示，并根据代数方程所确定 的关系，依次画出连接各节点的支路。
04:07
15
例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。 不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。 回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用 La表示。
04:07 9
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时， 每个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的 乘积。一般用Gk来表示。
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x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时， 每个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的 乘积。一般用Gk来表示。
04:07 11
Mixed node
input node (source) a12 x1
1 C
I ( s)
-1
U o ( s)
04:07
19
由系统结构图绘制信号流图
比较点 结构图：输入量
引出点
信号线
方框
输出量
信流图： 输入节点
混合节点
支路
输出节点
信号流图包含了结构图所包含的全部信息， 在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是， 在图形结构上更简单方便。
04:07 20
由系统结构图绘制信号流图的步骤 1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。
x2 x4 x3 x2
x3 x4 x5 x3
x2 x5 x3 x2
x2 x4 x5 x3 x2
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说明
1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示， 两者一一对应。
x1 x1 x 2 ax1 dx 2 ex 3 x 3 bx 2 fx 5 x 4 cx 3 x5 x5
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16
1 列写网络微分方程式如下：
L di(t ) ＋Ri(t )＝ui (t )－uo (t ) dt
C
duo (t ) ＝i(t ) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
L[sI (s)－i(0)]＋RI (s)＝U i (s)－U o (s)
C[sU o (s)－uo (0)]＝I (s)
04:07 17
L[sI (s)－i(0)]＋RI (s)＝Ui (s)－Uo (s)
C[sU o (s)－uo (0)]＝I (s)
3 按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：
U ( s)－U o ( s) i (0) I ( s)＝ i ＋ R Ls＋R s＋ L
I (s) uo (0) Uo (s)＝ ＋ C s
x
G
y
x
G
y
节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出 节点表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向 表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边， 称支路增益。
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5
x5
f
x1
a
x2
b x3
c
x4
d
有关术语
e
输入节点：源节点。只有输出支路。 输出节点：阱节点。只有输入支路。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相 当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信 号是所有输入支路引进信号的叠加。
闭环系统有关传函的一些基本概念
04:07
3
一 信号流图的组成和绘制
对于复杂的控制系统，结构图的简化过程 仍较复杂，且易出错。
信号流图：对系统的结构和信号（变量）传
递过程的数学关系的图解描述。
优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函 数，无需对信号流图进行化简和变换。
04:07 4
基本组成： 由节点、支路组成