太原理工大学数值计算方法题库
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数值计算方法试题一
一、 填空题
1、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。 2、迭代格式)
2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在
（
)0,22(-
)22
,0(）。
3、已知
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=3
1)1()1()1(21
10)(233
x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，
则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
)((1)，
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x )，当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k (32
4++x x )。
5、设
1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07
f 25.2364945
26!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求
积公式最高代数精度为9。
7、{}∞
=0)(k k
x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=
1
4)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨
⎧=+-=-2211
21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1 SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,) ()y f x y y x y '=⎧⎨ =⎩的改进欧拉法 ⎪⎩⎪ ⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 2阶方法。 10、设⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=11 1a a a a A ，当∈a （ 22 , 22- ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时， 这种分解是唯一的。 二、选择题 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是 （2）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰ ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0)() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（1）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式)) ,(4,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y +++=+求解初值问题 1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为 （3）。 (1)20≤ h , (4)20<≤h 三、12 bx a y += 解： },1{x span =Φ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=2222 38312519 11 11 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T 解得： ⎥ ⎦⎤ ⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 2、用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ⎰-1 0时， (1)试用余项估计其误差。（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 解： 001302.0768 1 81121)(12][022==⨯⨯≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++⨯+= 6329434.0= 四、1、方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等 价形式（1）3 1+=x x 对应迭代格式3 11+=+n n x x ；(2) x x 11+ =对应迭 代格式 n n x x 111+ =+；（3）13 -=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。判断迭 代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精 确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 解：（1）3 2 1(31 )(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ ϕ，故收敛； （2） x x x 1 121)(2+ - ='ϕ，117.05.1<='）（ ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ， 15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x Steffensen 迭代： k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ϕϕϕϕ 1 1211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果：5.10=x ，324899.11=x ，324718.12=x 有加速效果。 2、已知方程组f AX =，其中 ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡--=41 143 34A ， ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 (2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。