【K12学习】北师大版八年级数学上册《二元一次方程组》知识点归纳

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认识二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题5.1认识二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二元一次方程1.定义含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的条件（1）整式方程；（2）只含有两个未知数；3.关于x,y的两元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0）.特别提醒：“所含未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1,例如2xy+1=0不是二元一次方程.【知识点2】二元一次方程组1.定义共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.2.二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）两个方程都是一次方程；特别提醒：判断二元一次方程组时,误认为每个方程必须是二元一次方程.【知识点3】二元一次方程的解1.二元一次方程组的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左右两边，看其是否相等.特别提醒：二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.二元一次方程的整数解有时只有有限个.【知识点4】二元一次方程组的解1.二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别带入方程组中的每一个方程进行检验，若满足没一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解.特别提醒：方程组的解一定是方程组中每个方程的解，而方程组中某个方程的解不一定是方程组的解.【考点目录】【考点1】二元一次方程的认识；【考点2】二元一次方程组的认识【考点3】二元一次方程的解；【考点4】二元一次方程组的解【答案】0【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可解：∵方程()()33420m n m xn y --+--=是关于x y ，的二元一次方程，∴40312031m m n n +≠⎧⎪-=⎪⎨-≠⎪⎪-=⎩，∴44m n ==，，∴m n -440=-=【点拨】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．【举一反三】【变式1】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）下列是二元一次方程的是（）A ．215x -=B ．21x y +=C ．23x y +=D ．12y x+=【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程，②方程中共含有两个未知数，③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．解：A ．215x -=，是一元一次方程，故本选项不符合题意；B ．21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意；C ．23x y +=，是二元一次方程，故本选项符合题意；D ．12y x+=，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：C ．【变式2】（2022下·湖北荆州·七年级校考期中）若方程：223m x +＋514n y -＝6是关于x 、y 的二元一次方程，则n m -的平方根为．【答案】2±【分析】根据二元一次方程的定义，得各个未知数的次数为1，求得m ，n 的值，进而求解．解：由题意，得：231m +=，5141n -=，解得1m =-，3n =．∴()314n m -=--=，∴n m -的平方根2=±．故答案为：2±．【点拨】本题考查二元一次方程的定义，平方根，熟练掌握只含有两个未知数，且未知项的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．【考点二】二元一次方程组的认识【例2】（2017下·四川宜宾·七年级校联考阶段练习）已知方程组()()2233112m x m ym x --⎧--=⎪⎨+=-⎪⎩是二元一次方程组，求m 的值．【答案】m =5解：依题意，得：|m -2|-2=1，且m -3≠0，且m +1≠0，解得：m =5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．【举一反三】【变式1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．436231x y y z -=⎧⎨-=⎩B ．45342x y x =⎧⎨-=⎩C ．46323xy x y =⎧⎨+=⎩D ．23325y xy x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【答案】B【分析】根据二元一次方程组定义判断即可.解： A.此方程组含有,,x y z 三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；B ．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；C ．46xy =是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；D ．233y x+=是分式方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义回答．【变式2】（2023下·江苏徐州·七年级统考期末）观察所给的4个方程组：①23x y =⎧⎨=⎩；②415343x y x =⎧⎨-=-⎩；③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中，符合二元一次方程组定义的是（写出所有正确的序号）．【答案】①②④【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可．解：①23x y =⎧⎨=⎩，符合二元一次方程组定义；②415343x y x =⎧⎨-=-⎩，符合二元一次方程组定义；③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩，未知数x 的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，符合二元一次方程组定义；所以符合二元一次方程组定义的是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．【考点三】二元一次方程的解【例3】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知24x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程314x ay +=的一组解．（1）求a 的值（2）请用含有x 的代数式表示y ．【答案】（1）2a =；（2）372y x=-【分析】（1）将二元一次方程的解24x y =⎧⎨=⎩代入314x ay +=得到关于a 的方程，解关于a 的方程即可；（2）将2a =代入314x ay +=得到3214x y +=，将x 看作已知数，y 看作未知数，解关于y 的方程即可．（1）解：将24x y =⎧⎨=⎩代入314x ay +=，得：32414a ⨯+=，解得2a =；（2）解：∵2a =，∴原方程可变为3214x y +=，∴372y x =-．【举一反三】【变式1】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）若关于x 、y 的二元一次方程221x y a +=-的一组解为3x =，1y =，则a 的值是（）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．把3x =，1y =代入到221x y a +=-中即可求解．解：把3x =，1y =代入到221x y a +=-中得：21321a -=+⨯，216a -=，3a =，故选：A ．【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）小方解方程组232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩时，因抄错了a ，解得11x y =⎧⎨=⎩，则c 的值为．【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将解代入第二个方程即可解答．解：把11x y =⎧⎨=⎩代入32cx y -=-得：32c -=-，解得：1c =．故答案为：1．【考点四】二元一次方程组的解【例4】（2023上·全国·八年级专题练习）甲和乙两人同解方程组125bx y x ay +=⎧⎨+=⎩，甲因抄错了a ，解得52x y =⎧⎨=⎩，乙因抄错了b ，解得32x y =⎧⎨=⎩，求52a b -的值．【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙求得的解分别代入正确的方程，求出a ，b 的值即可求解，用代入法解方程是解本题关键．解：由题意52x y =⎧⎨=⎩，是12bx y +=的解，∴5212b +=，解得2b =，又 32x y =⎧⎨=⎩是5x ay +=的解，∴325a +=，解得1a =，5251221a b ∴-=⨯-⨯=．【举一反三】【变式1】（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）若关于x ，y 的二元一次方程组2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩的解是15x y =⎧⎨=⎩，则关于m 、n 的二元一次方程组()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A ．15m n =⎧⎨=⎩B ．51m n =⎧⎨=⎩C ．23m n =-⎧⎨=⎩D ．32m n =⎧⎨=-⎩【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，先将15x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩解得357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，再将357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩即可求解，熟练掌握二元一次方程组的解及利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．解：将15x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩得：251158a b -=-⎧⎨+=⎩，解得：357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，()()()()3215738m n m n m n m n ⎧+--=-⎪∴⎨⎪-++-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，故选D ．【变式2】（2023下·七年级单元测试）写出一个解为25x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程组：．【答案】37x y x y +=-⎧⎨-=⎩（答案不唯一）【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕25x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，如253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得方程组．解：先围绕25x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，如：253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得37x y x y +=-⎧⎨-=⎩等．答案不唯一，符合题意即可．故答案为：37x y x y +=-⎧⎨-=⎩（答案不唯一）．【点拨】本题考查二元一次方程组的解，此题是开放性题目，答案不唯一．掌握二元一次方程组解的意义是解题的关键．。

八年级数学上册第五章二元一次方程组知识整理北师大版

第五章二元一次方程组一、本章知识点梳理：知识点1:二元一次方程（组）的定义知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3:二元一次方程组的解法知识点4：一次函数与二元一次方程（组）知识点5:实际问题与二元一次方程组二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

（2）含有未知数的项的次数都是1。

（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。

即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by｜a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程,则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ,③2=xy ，④3=+y x ,⑤22=-y x，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（） A ．3x-y 2=0 B ．2x+1y=1 C ．3x —52y=6D ．4xy=32、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程. 例:下列方程组中,是二元一次方程组的是（）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、已知下列方程组：（1)32x y y =⎧⎨=-⎩,（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，(4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩，其中属于二元一次方程组的个数为( ）A ．1B 。

北师大版八年级数学二元一次方程组知识总结及训练

二元一次方程组知识总结及训练◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21x y =⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21x y =⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得 22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．例2 （2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 （2006，海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 （2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8；（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3．由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4．则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．◆强化训练一、填空题1．若2x m+n－1－3y m－n－3+5=0是关于x，y的二元一次方程，则m=_____，n=_____．2．在式子3m+5n－k中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．3．若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a+b=_______．4．已知方程组325(1)7x ykx k y-=⎧⎨+-=⎩的解x，y，其和x+y=1，则k_____．5．已知x，y，t满足方程组23532x ty t x=-⎧⎨-=⎩，则x和y之间应满足的关系式是_______．6．（2008，宜宾）若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么│a－b│=_____．7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．8．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00•用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，•五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW·h．二、选择题9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组||223xx y=⎧⎨+=⎩的解，则a+b的值等于（）A．1 B．5 C．1或5 D．0 11．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，则（）A．21xy=⎧⎨=⎩B．3xy=⎧⎨=-⎩C．15xy=-⎧⎨=-⎩D．27xy=-⎧⎨=-⎩12．在解方程组278ax bycx y-=⎧⎨+=⎩时，一同学把c看错而得到22xy=-⎧⎨=⎩，正确的解应是32xy=⎧⎨=⎩，那么a，b，c的值是（）A．不能确定B．a=4，b=5，c=－2C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=213．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，•每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A．20g B．25g C．15g D．30g14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（）A．452710327x yx y+=⎧⎨-=⎩B．452710320x yx y-=⎧⎨+=⎩C．452710320x yx y+=⎧⎨+=⎩D．427510203x yx y-=⎧⎨-=⎩15．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，•这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）A．39名B．43名C．47名D．55名16．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，•捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．（）A．272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D．2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩17．甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则ah相遇；若同向而行，则bh甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度为（）A．a bb+倍B．ba b+倍C．b ab a+-倍D．b ab a-+倍18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，•信封个数分别为（）A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150三、解答题19．解下列方程组：（1）（2008，天津市）35821x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）（2005，南充市）271132x yyx-=⎧⎪⎨--=⎪⎩20．（2008，山东省）为迎接2008年奥运会，•某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，•已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，•生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，•如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？21．（2008，重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A，B，C三地现在分别有赈灾物资100t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t．（1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B•两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：（3）已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？22．（2003，常州市）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？答案1．3；－1 2．－7 3．8 4．k=3355．15y－x=6 6．1 7．20元80元8．1009．•C 10．C 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．A 17．C 18．A 19．（1）由②得y=2x－1 ③把③代入①得：3x+5（2x－1）=8即x=1把x=1代入③得y=1∴原方程组的解为11 xy=⎧⎨=⎩（2）化简方程组，得27 63 x yx y=+⎧⎨+=⎩④代入⑤，得y=－3．将y=－3代入，得x=1故原方程组的解是：13 xy=⎧⎨=-⎩20．设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，根据题意，得4520000, 31030000. x yx y+=⎧⎨+=⎩①×2－②得：5x=10000．∴x=2000．把x=2000代入①得：5y=12000．∴y=2400．答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．21．（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a（t），运往E县的数量为b（t）．由题意，得280,220.a ba b+=⎧⎨=-⎩解得180,100. ab=⎧⎨=⎩答：这批赈灾物资运往D县的数量为180t，运往E县的数量为100t．（2）由题意，得1202225x x x-<⎧⎨--≤⎩解得40,45.xx>⎧⎨≤⎩即40<x≤45，∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41t，运往E县59t；B地的赈灾物资运往D县79t，运往E县21t．方案二：A地的赈灾物资运往D县42t，运往E县58t；B地的赈灾物资运往D县78t，运往E县22t．方案三：A地的赈灾物资运往D县43t，运往E县57t；B地的赈灾物资运往D县77t，运往E县23t．方案四：A地的赈灾物资运往D县44t，运往E县56t；B地的赈灾物资运往D县76t，运往E县24t．方案五：A地的赈灾物资运往D县45t，运往E县55t；B地的赈灾物资运往D县75t，运往E县25t．（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元，由题意，得w=220x+250（100－x）+200（120－x）+220（x－20）+200×60+210×20=－10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40<x≤45，x为整数．所以，当x=41时，w有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w=60390（元）．22．（1）乙班共付出70×2=140（元），乙班比甲班少付出189－140=49（元）．（2）设甲班第一次买苹果xkg，第二次买苹果ykg（x<y）．①当x≤30时，则y>30（否则，x+y≤60<70）．依题意有703 2.5189x yx y+=⎧⎨+=⎩或者7032189x yx y+=⎧⎨+=⎩解之，得2842xy=⎧⎨=⎩或者4921xy=⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）②若30<x≤50，则30<y≤50，或y>50，当y>50，x+y>80>70，不合题意．当30<y≤50时，70×2.5=175<189，也不合题意．③若x>50，y>x，则x+y>70，不合题意．故甲班第一次买苹果28kg，第二次买苹果42kg．。

北师大八年级-二元一次方程组

二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．例1.方程41ax y x -=-是二元一次方程，则a 的取值为（）A 、0a≠ B 、1a ≠- C 1a ≠ D 、2a ≠例2.若二元一次方程321x y -=有正整数解，则x 的取值应为（）A 正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为。

2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________.知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。

北师大版八年级上册数学第22讲《应用二元一次方程组》知识点梳理

北师大版八年级上册数学第 22 讲《应用二元一次方程组》知识点梳理【学习目标】1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2.熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.增收节支问题：（1）增长（递减）率公式：原来的量×（1+增长率）=后来的量；原来的量×（1-递减率）=后来的量；（2）利润公式：利润=总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)（3）银行利率公式：利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.要点诠释：增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．3.行程问题：速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、鸡兔同笼问题1.（2016•茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了100 片瓦，已知1 匹大马能拉3 片瓦，3 匹小马能拉1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．⎨ y = 2⎩ 【思路点拨】设有 x 匹大马，y 匹小马，根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦， 3 匹小马能拉 1 片瓦，列方程组即可．【答案与解析】解：设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意得，故选 C【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．举一反三：【变式】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.【答案】解：设每个篮球 x 元，每个羽毛球 y 元.根据题意列方程组：⎧2x + 2 y = 44 ⎨x + 3y = 26解得⎧x = 20 ⎩ 答：每个篮球 20 元，每个羽毛球 2 元.类型二、增收节支问题2.（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为．【思路点拨】由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“假设有5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两”，得到等量关系，即可列出方程组．【答案与解析】解：根据题意得：.【总结升华】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的能力，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．举一反三【变式】小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价. 由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9 折出售，这样专卖店共获利157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？【答案】上衣成本＋裤子成本＝500 元上衣利润＋裤子利润＝157 元分析：设上衣的成本价为ｘ元，裤子的成本价为ｙ元：成本（元）实际售价（元）利润（元）上衣x 0.9 ⨯ (1+ 50%)x0.9 ⨯ (1+ 50%)x -x⎨35x + 26y = 15700 ...... ② ⎨ ⎩ ⎨ y = 69000 ⎩裤子y 0.9 ⨯ (1+ 40%) y 0.9 ⨯ (1+ 40%) y - y：设上衣的成本价为 x元，裤子的成本价为y元，则⎧⎪x + y = 500 ⎪⎩0.9⨯ (1+ 50%) x - x + 0.9⨯(1+ 40%) y - y = 157整理得: ⎧x + y = 500 ...... ① ⎩ ②－① ×26,得 9x=2700, ∴x =300. 把其代入①，得 y=500－300=200 ⎧x = 300 ⎨ y = 200答：上衣成本 300 元，裤子成本 200 元.3. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共 13 万元，徐先生每年须付利息 6075 元，已知甲种贷款的年利率为 6%，乙种贷款的年利率为 3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13 万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075 元.【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是 x ，y 元，根据题意得：⎧ x + y = 130000⎨6%x + 3.5% y = 6075解得： ⎧ x = 61000 ⎩ 答：甲，乙两种贷款分别是 61000 元和 69000 元．【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.类型三、里程碑上的数（数字问题）⎨ ⎨ y = 4与原数的和是 143，求这个两位数．【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．【答案与解析】解：设原来的两位数中，个位上的数字为 x ，十位上的数字为 y ．则原数为 10y+x ，把这两个数的位置对换后，所得的新数为 10x+y ，根据题意，得：⎧x - y = 5 ⎩10 y + x +10x + y = 143 ，解方程组，得⎧x = 9 ． ⎩故这个两位数为 10y+x ＝10×4+9＝49．答：这个两位数为 49．【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．【变式】（2015•黑龙江）为推进课改，王老师把班级里 40 名学生分成若干小组，每小组只能是 5 人或 6 人，则有几种分组方案（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】解：设 5 人一组的有 x 个，6 人一组的有 y 个，根据题意可得：5x+6y=40，当 x=1，则 y=（不合题意）；当 x=2，则 y=5；当 x=3，则 y=（不合题意）；当 x=4，则 y=（不合题意）；当 x=5，则 y=（不合题意）；当 x=6，则 y=（不合题意）；当 x=7，则 y=（不合题意）；当 x=8，则 y=0；所以有 2 种分组方案．故选：C ．类型四、行程问题4.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数⎨ ⎩5. A 、B 两地相距 480 千米，一列慢车从 A 地开出，一列快车从 B 地开出．(1) 如果两车同时开出相向而行，那么 3 小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿 BA 方向)而行，那么快车 12 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度各是多少？(2) 如果慢车先开出 l 小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．(1) “同时开出相向而行”可用下图表示．“同时开出同向而行”可用下图表示．(2) 慢车先开出 1 小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．【答案与解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为 x 千米/时和 y 千米/时．根据题意，得⎧3x + 3y = 480 ， ⎩12x -12 y = 480⎧x = 100 解得 ⎨ y = 60答：快车和慢车的速度分别为 100 千米/时和 60 千米/时．(2)设快车开出 x 小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，根据题意，得 60(x+1)+100x ＝480．解得 x = 2 5 ． 8答：快车开出2 5小时两车相遇． 8 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．。

求解二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题5.4求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】代入消元法解二元一次方程组代入消元法：（1）定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（2）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤具体做法目的注意事项（1）变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为x=ax+b（或x=ay+b）（a,b 是常数,a≠0）的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+b）代入另一个没有变形的方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程（或另一个方程变形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b 为常数,a≠0.用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.【知识点2】加减消元法解二元一次方程组1.加减消元法的定义通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数.使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数.给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程把两个方程相加（减）时，一定要把两个方程两边分别相加（减）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：1.两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.3.用加减法时，一般选择系数比较简单（同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系）的未知数作为消元对象.【考点目录】【考点1】代入消元法解二元一次方程组；【考点2】加减消元法解二元一次方程组；【考点3】同解方程组；【考点4】整体思想解二元一次方程组；【考点5】求解二元一次方程组——错题复原问题；【考点6】求解二元一次方程组——参数问题；【考点7】构造二元一次方程组求解。

北师大版八年级上册数学第23讲《二元一次方程(组)与一次函数》知识点梳理

⎩ ⎨ 北师大版八年级上册数学第 23 讲《二元一次方程（组）与一次函数》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程与一次函数的关系；2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3. 能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1. 任何一个二元一次方程 ax + by = c (a 、b ≠ 0, c 为常数) 都可以变形为y = - a x + c b b(a 、b ≠ 0, c 为常数) 即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. ⎧x = 0,2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程 x + y = 5 我们列举出它的几组整数解有⎨ y = 5; ⎧x = 5, ⎨ y = ⎧x = 2, ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数 y ＝ - x + 5 ⎩ 0; ⎩ y = 3的图像上，反过来，在一次函数 y = 5 - x 的图像上任取一点，它的坐标也适合方程 x + y = 5 . 要点诠释：1. 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2. 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3. 以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1. 两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定y = 5 -x y = 2x -1 ⎧x = 2⎨y = 3是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则⎩⎧x +y = 5⎨2x -y = 1就是二元一次方程组⎩ 的解.2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数y = 3x - 5 与y = 3x +1 的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2.图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A x﹣3y=3B ．．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为 1 得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知x = 3 ，y =-2 和x = 0 ，y = 1是二元一次方程ax +by + 3 = 0 的两个解，则一次函数y =ax +b 的解析式为（）A.、y =-2x - 3B、y =x C.、y =-x + 3D、y =-3x - 3【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y 的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1 同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015 春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax﹣6 过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y 的方程组的解是．【答案与解析】解：∵x=﹣4 时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y= x 上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1 和y=﹣2x+1 的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2 倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5 个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b 求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5 个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y 应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0（1）请确定y 与x 的函数关系式？（2）现有一把高39cm 的椅子和一张高为78.2 的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39 时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。

北师大版八年级数学上册(二元一次方程组)知识点总结

北师大版八年级数学上册（二元一次方程组）知识点总结北师大版八年级数学上册（二元一次方程组）知识点总结第五章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解合适一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法〔1〕代入〔消元〕法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程的方法称为代入消元法，简称代入法。

〔2〕加减〔消元〕法：通过两式相加〔减〕消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

6、一次函数与二元一次方程〔组〕的关系：〔1〕一次函数与二元一次方程的关第五章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解合适一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

〔2〕加减〔消元〕法：通过两式相加〔减〕消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

6、一次函数与二元一次方程〔组〕的关系：〔1〕一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解。

北师大版八年级上册数学第19讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理

⎩ ⎨x - 2 y = 5 ⎨ y = b北师大版八年级上册数学第 19 讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2. 会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2） “未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：⎧x = 2,(1) 二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： ⎨ y = 5.．(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎧3x + 1 = 0 ⎩ 也是二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成⎧x = a 的⎩ 形式．⎩ ⎩⎧2x + y = 5(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎨2x + y = 6无解，而方程组 ⎧x + y = -1 ⎨2x + 2 y = -2 的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程 1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；(6) x + 1 = 0 ；(7) 5x + 2 = 1 ；(8) x + 1 y = 3 ；(9) x 2 - 8 y = 0 ；(10)x + 4 y = 6 ． 2 y 2 2【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为 2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数 x 的次数为 2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2015 春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）A ．=y+5xB ．3x+2y=2x+2yC ．x=y 2+1D ．【答案】D ．类型二、二元一次方程的解2.（2016 春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程 x+y=7 的解的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】二元一次方程 x+y=7 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B⎨ y = 1y = 解：A 、把 x=﹣2，y=5 代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B 、把 x=3，y=4 代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C 、把 x=﹣1，y=7 代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D 、把 x=﹣2，y=﹣5 代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选 B ．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．举一反三：【变式】若方程ax - 2 y = 4 的一个解是⎧x = 2 ，则 a= .⎩ 【答案】33.已知二元一次方程 x + 3 y = 1 ．4 2(1)用含有 x 的代数式表示 y ；(2)用含有 y 的代数式表示 x ；⎧x = -2(3)用适当的数填空，使⎨ 是方程的解． ⎩【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为 3y ＝2 - x ，化 y 的系数为 1，得y = 2 - x ． 2 3 6(2)将方程变形为 x = 2 - 3y ，化 x 的系数为 1，得 x = 4 - 6 y ． 2(3)把 x ＝-2 代入 y = 2 - x 得， y ＝1． 3 6【总结升华】用含 x 的代数式表示 y ，其实质表示为“y ＝含 x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x +3y =7，用关于 y 的代数式表示 x ，用关于 x 的代数式表示 y ．⎨ y = -5 ⎩⎨ y = -5 ⎨ y = -5⎨y = -5 ⎨ y = -5 ⎩ ⎩ 解：（1）2x =7－3y ， x = 7 - 3y；（2）3y =7－2x ， y = 7 - 2x 23类型三、二元一次方程组及方程组的解4.（2015 春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：A 是二元二次方程组，故 A 不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故 B 不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故 C 是二元一次方程组；D 不是整式方程，故 D 不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是 1 的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．⎧4x + 2 y = 2 5.判断下列各组数是否是二元一次方程组⎨⎩x + y = -1 ① 的解． ②（1） ⎧x = 3 ⎩ ⎧x = -2 （2） ⎨ y = 1 【答案与解析】解：（1）把⎧x = 3 ⎩ 代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以⎧x = 3 ⎩ 是方程①的解．把 x ＝3，y ＝-5 代入方程②中，左边＝ 3 + (-5) = -2 ，右边＝ -1 ，左边≠右边，所以⎧x = 3 ⎩ 不是方程 ②的解．所以⎧x = 3⎩不是方程组的解．（2）把⎧x = -2 代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以⎧x = -2 不是方程①的解， ⎨ y = 1 ⎨ y = 1⎩ ⎩ ⎨ y = -2⎨ y = -2⎨2x - 5 y = 12再把⎧x = -2 代入方程②中，左边＝x+y ＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以⎧x = -2 是方程②的解，⎨ y = 1 但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．⎨ y = 1【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为⎧x = 1 ⎩ 的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以⎧x = 1 ⎩为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵ x ＝1，y ＝-2，∴ x+y ＝1-2＝-1．2x-5y ＝2×1-5×(-2)＝12．∴ ⎧x + y = -1 ⎩ 就是所求的一个二元一次方程组．注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．。

北师大版八年级数学上册二元一次方程组的概念与解法复习

二元一次方程组的概念与解法【教学目标】1理解二元一次方程组的概念2会用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组3初步体会解二元一次方程组的基本思想——消元【教学重难点】教学重点：让学生学会用代入法与加减消元法解二元一次方程组教学难点：如何把二元转化为一元，让学生体会消元思想【知识要点】1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by+c=0且a,b不等于02、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

例1．★★下列方程：①,1325=-y x ②,523=+y x ③42=-n m ;④1)(31)(21=++-y x y x ;⑤211=-y x ⑥54=-xy x 其中是二元一次方程的有．例2．★★判断下列各对数值，哪一对是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-10352y x y x 的解．（1）⎩⎨⎧==77y x （2）⎩⎨⎧==13y x例3．★★用代入消元法解下列方程组：⎩⎨⎧-=+=-⎩⎨⎧=+=-652234)2(73253)1(y x y x y x y x例4．★★用加减消元解方程组：⎩⎨⎧=+=+825)1(y x y x ⎩⎨⎧=+--+=-0)10(2)1(5)4(4)1(32x y y x ）（例5已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则a+b 的值为________。

北师大版八年级上册第五章二元一次方程组知识总结和易错题总结

第五章二元一次方程组本章学习目标1二元一次方程应同时满足三个条件：一方程中含有两个未知数；二所含未知数的项的次数都是1；必须是整式方程。

2二元一次方程组的解：各个方程的公共解。

二元一次方程的解有无数个。

3求解二元一次方程组：代入消元法和加减消元法4解二元一次方程组的步骤：变形-加减(代入)-求解-回代-写解 5列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量(方法：列举，画线段图，画草图等等) 找：找出等量关系设：设出两个未知数列：根据等量关系列方程组解：解方程组验：检验所得的解是否是方程组的解，并且检验是否符合题意。

答：写出答案，包括单位。

6增收节支常见问题中的数量关系增长或降低率问题：增长率=增量基数×100% 降低率=减量基数×100%增长后的数量=基数×(1±增长(降低)率) 销售问题：销售额=售价×销量总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=(售价-进价)×销量，利润率=利润进价×100%，打折后的价格=原价×打折数×110储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息 7里程碑上的数数字问题：一个两位数，若十位数字是x ，各位数字是y ，则这个两位数可表示为10x+y一个三位数，若百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数表示为100a+10b+ca 是一个两位数，b 是一个三位数，若把a 放在b 的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为1000a+b 行程问题：相遇问题的等量关系是路程之和等于总路程追击问题的等量关系是路程之差等于相距的路程工程问题：工作了=工作效率×工作时间，合作的效率=各单独做的效率和 8二元一次方程与一次函数的关系一、方程中的x ，y 和函数中的x ，y 有不同的含义，在二元一次方程中的x ，y 是未知数，在一次函数中的x ，y 均为变量。

第五章二元一次方程组(整理与复习)

拓展提升
归纳整理
。
知识梳理
6、二元一次方程组的基本解法：
，
。
7、二元一次方程（组）与函数的关系：
二元一次方程的解与对应图象上的点的坐标
。
两条直线的
就是二元一次方程组的解。
8、待定系数法（步骤）：
① ,② ,③ ,④ .
9、列方程组解应用题的步骤：
① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ ,⑦ .
知识梳理
10、三元一次方程：
含有
，并且未知数项的次数都是的方程。
11、三元一次方程组：
共含有
未知数的个一次方程所组成的一组方程。
12、三元一次方程组的解：
三元一次方程组中各个方程的
。
13、三元一次方程组的解法：
，
。
基础过关
基础ห้องสมุดไป่ตู้关
基础过关
y=x+1 y=2x-1
y=x y=-2x+5
巩固提升
拓展提升
能力提升
拓展提升
北师大版八年级上册数学
第五章二元一次方程组
知识梳理
1、二元一次方程：
含有
，并且未知数项的次数都是的方程。
2、二元一次方程的解：
适合一个二元一次方程的
的值。
3、二元一次方程组：
共含有
未知数的个一次方程所组成的一组方程。
4、二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的
。
5、解二元一次方程组的基本思路是

北师大版八上数学5.1认识二元一次方程组知识精讲

知识点总结1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0)。

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。

二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

归纳：基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”。

6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

要点归纳一、知识网络结构二、知识要点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为(为常数，并且)。

使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。

使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

北师大版八年级数学上册《二元一次方程组》知识点归纳

北师大版八年级数学上册《二元一次方程组》知识点归纳Chapter 5: Two-variable Linear nsA two-variable linear ___ variables。

in which the degree of each variable is 1.___ of a two-variable linear n is a set of values for the unknown ___.A set of two linear ns with two unknown variables is called a two-variable linear ___.The n of a two-variable linear n system is the common n of all the ns in the system.There are two methods to solve a two-variable linear n system: ___.n method ___ with an n containing the other variable from the other n。

and then ___.___ of the variables。

and then ___.___ een a one-variable linear n and a two-variable linear n can be seen from the fact that any point on the line y=x+b is a n of the n x-y+b=0.___ een a one-variable linear n and a two-variable linear n system can be seen from the fact that the n of the system is the n point of the graphs of the two linear ___。

北师大版八年级上二元一次方程组复习总结讲义.doc

佳悦教育八年级上二元一次方程组复习讲义一、方程的有关概念1 •方程：含有未知数的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一个未知数（元）x,未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程•例如：1700+50x=1800, 2 （x+l・5x） =5等都是一元一次方程.3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质（1）:等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b,那么a±c=b±c（2）等式的性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（cHO）,那么ac=bc三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.四、去括号法则1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.五、解方程的一般步骤K 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）2、去括号（按去括号法则和分配律）3、移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）4^合并（把方程化成ax = b 式）5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x二ba）.六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1、审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.2・、设：设未知数（可分直接设法，间接设法）3.列：根据题意列方程.4.解：解出所列方程.5.检：检验所求的解是否符合题意.6.答：写出答案（有单位要注明答案）七、有关常用应用类型题及各量之间的关系K和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……" 來体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……"来体现.2、等积变形问题：“等积变形^是以形状改变而体积不变为前提•常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积=成品体积.3、劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4、数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c （其中a、b、c均为整数，月.lSaS9, 0<b<9, 0<c<9）则这个三位数表示为:100a+10b+c・（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+l或2n—1表示.5、工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量二工作效率X工作时间6、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程二速度x时间.（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.7、商品销售问题有关关系式：商品利润二商品售价一商品进价二商品标价x 折扣率—商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价X 折扣率8、储蓄问题⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率•利息的20%付利息税 ⑵ 利息二本金x 利率X 期数本息和=本金+利息利息税二利息X 税率（20%）【例题讲析】[基础训练] 1.已知卩=3,是方程祇_2）=2的一个解，那么a 的值是 ___________ .7 = 5贝0 y=______ , 当兀=0 时，y= ______ .(2)严"4,[4(x-1) = 6y+ 7.6. 用作图象的方法解方程组jX+2y =（），[2x- y = 5.7. 甲、乙两种商品原来的单价和为100 7C.因市场变化，甲商品降价10%,乙商品提价40%, 调价后两种商品的单价和比原來的单价和提高了 20%.甲、乙两种商品原來的单价各是多少？8. 某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，小的宿舍每间可住5人.该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍.大、小宿舍各有多少间？2.己知2x —3y=l,用含x 的代数式表示y 93.元一次方程组的解是(y = 2x)•兀=4,y = 兀=3,y =[x = 2,[x = 4?（C ） \（D ） q卜=4;卜=2・4. 已知如果 x=4 时，y=15； x=l 0寸，y=24,则 k= ________ ； b= _____5. 解下列方程组： (A)佳悦教育《二元一次方程组》复习题1 •已知方程组严也"的解为产2,则2a —3b 的值为 ____________________ax+ by = 2 [y= 12 实数 x, y 满足 Jx + y- 5 4- （x- 4y ）2 = 0,则/^二 ______________ {y — —x +23以方程组彳‘的解为坐标的点（匕y ）在平面直角坐标系中的位置是（）2 =兀_1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4已知代数式/与l-x n y m+n 是同类项，那么加、巾的值分别是 2m= _______ n= ________5•二元-次方程组为{：：；；：则-尸—‘宀=—3x-y = 56. 若一次函数y 二3x-5与y=2x+7的交点P 的坐标为（12,31）,则方程组的解[2x-y = -7为 ________ .7. 解方程组严+）匸8时，由于粗心，小红看错了方程组中的a,而得解为彳，小华[x- by =7[y = 5看错了方程组中的b 而得解为_1，则原方程组的正确解为__________________b= io8•二元-次方程组芝芝爲3的解"的值相等'则*I t + y — 5k，的解也是二元一次方程2x + 3y = 6x-y = 9k则k 的值为3 3 (A) --(B)-4410.解方程组： 4 (C)- 34 (D)--3(1) Vx- y=S (2) « %丄y1—+—= 1 3 54x + 7y = 103(x+y)+2(x -3y)= 1511.若函数y 二2x+3与y=3x-2b 的图像交于x 轴同一点，则b 二 __________= kx + b12•孔明同学在解方程组彳‘ 的过程屮，错把Z?看成了 6,他其余的解题过程没有出卜=-2兀[x = —1错，解得此方程组的解为彳,又已知直线y = kx^by\点（3, 1）,则方的正确值应9.若关于X、的解,2 = 2该是 __________ . 13.八年级（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元•捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.若设捐款2元的有兀名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（）.x + y = 27 [ y = 27彳（B ） \ （A ）[2x + 3y = 66 [2x + 3y = 100[x+y = 27 [ x + y = 27 （C ） \（D ） < y[3x + 2y = 66[3x^2y = 100与方程组]%一5尸16有相同的解,bx+ay=-S求：（2o + b 严的值7 QQ15. 在直角坐标系中有两条直线：y=-x + -和尸_二丫 + 6,与x 轴分别交于点A 和点B.它5 5 2们的交点为C,求的面积.16. —个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5,如果这个两位数减去27,则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数.17. 暑假，某校组织学生进行社会实践活动，男生戴口色遮阳帽，女生戴红色遮阳帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现彖，每位男生看到白色与红色的遮阳帽一样多，而每位女生看到白色的遮阳帽是红色的2倍.根据这些信息推测学牛共有多少人？18. 在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台〃型洗衣机，小王购买了一台〃型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知〃型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元.求：（1）力型洗衣机和$型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元14 •已知方程组严+5y = ・6ax-by =-419.某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件。

第5章二元一次方程组(知识清单)-八年级数学上期中期末考试满分全攻略(北师大版)

第5章二元一次方程组知识清单一二元一次方程（组）概念及解1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程的识别方法①“二元”，即含有两个未知数；②“一次”，即含未知数的次数是1；③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中。

2、二元一次方程组共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．注意：①含有两个整式方程；②方程中共含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是1．3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．注意：①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数；②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。

4、二元一次方程组的解我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意：①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程；②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来．5、二元一次方程组解的情况（1）唯一解；（2）无数解；（3）无解．二二元一次方程组的解法1、代入消元法将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

注意：①找准消元对象。

消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简；②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b 代入变形的原方程，必然得到一个恒等式；③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单．2、加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

专题07 二元一次方程组(2)(知识串讲)-八年级数学上(北师版)

专题07 八（上）二元一次方程组知识梳理（2）一、一次函数与二元一次方程（组）从数的角度看从形的角度看：1.二元一次方程与一次函数的关系直线()0≠+=k b kx y 的表达式是一个关于x 、y 的二元一次方程，以二元一次方程0=-kx y 的解为坐标的点组成的图象就是一次函数b kx y +=的图象。

注意：①每个二元一次方程都对应着一个一次函数。

②以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象就是它所对应的一次函数的图象。

2. 二元一次方程组与一次函数的关系（1）两个一次函数()0111≠+=k b x k y ，()0222≠+=k b x k y 的图象交点的坐标就是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y ，的解。

反之，方程组()00212211≠≠⎩⎨⎧+=+=k k b x k y b x k y ，的解就是一次函数()0111≠+=k b x k y ，()0222≠+=k b x k y 图象的交点坐标。

（2）方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 中，当21k k =，21b b ≠时，方程组中对应的两直线平行，方程组无解；当21k k =，21b b =时，方程组中对应的两直线重合，方程组有无数个解。

3.用二元一次方程组确定一次函数表达式（待定系数法）（1）用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：①设（解析式）；②代（点的坐标）；③解（方程或方程组）；④写（解析式）；⑤验（点的坐标）（2）解决实际问题的关键是体会二元一次方程组与一次函数之间的关系、方程组的解与图象交点坐标之间的关系。

从“数”——二元一次方程组与“形”——一次函数的图象（直线）的关系体会方程组的解的几种情况，进一步提升数形结合的意识和能力。

探究点一：二元一次方程与一次函数的关系以方程12x ＋3y ＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y ＝________的图象上．解析：因为以方程12x ＋3y ＝2的所有的解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象，将方程12x ＋3y ＝2用含x 的代数式表示y ，得y ＝2－12x 3＝－16x ＋23.故填－16x ＋23. 方法总结：y ＝kx ＋b(k≠0)既可以看做是一个二元一次方程，也可以看做是一个一次函数的表达式；y －kx ＝b 与y ＝kx ＋b 虽然只是形式不同，但却只能表示二元一次方程，而不能表示一次函数的表达式．因此对于一个二元一次方程，只有把它写成用一个未知数表示另一个未知数的形式时，才能看做是一个一次函数的表达式．探究点二：二元一次方程组与一次函数的关系【类型一】利用交点的坐标确定二元一次方程组的解一次函数y ＝5－x 与y ＝2x －1的图象的交点为(2，3)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解为________．解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解就是直线y ＝5－x 与直线y ＝2x －1的交点坐标，又∵两直线的交点坐标为(2，3)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故填⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的，而每个一次方程的图象都是一条直线．两条直线的交点坐标表示该方程组中两个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．【类型二】利用二元一次方程组的解确定交点的坐标已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝6，2x －3y ＝m 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，确定一次函数y ＝34x ＋32与y ＝23x －13m 图象交点的坐标．解析：可以根据方程组的解，得出m 的值，构造方程组计算交点坐标，也可以变化两个函数解析式使其与方程组中的两个方程的形式相同，直接得出图象的交点坐标．解：将y ＝34x ＋32变为－3x ＋4y ＝6，y ＝23x －13m 变为2x －3y ＝m ，所以直线y ＝34x ＋32与y ＝23x －13m 交点的坐标即是原方程组的解中x ，y 的对应值，因此两个一次函数图象的交点坐标即是(2，3)．方法总结：灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的，即是“整体思想”的灵活运用．【类型三】用图象法解二元一次方程组用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4，①2x －3y ＝－2.②解析：先将两个方程变形为y ＝kx ＋b(k≠0)的形式，再在同一直角坐标系中作出其图象，交点的坐标即为方程的解．解：由①得y ＝3x －4.由②得y ＝23x ＋23. 在同一直角坐标系中分别作出一次函数y ＝3x －4和y ＝23x ＋23的图象．如右图，由图可知，它们的图象的交点坐标为(2，2)．所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4，2x －3y ＝－2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 方法总结：用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但不是很准确．二、实际问题与二元一次方程组1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；②找：找出能够表示题意两个相等关系；③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；④解：解这个方程组，求出两个未知数的值；⑤验：检验所得的未知数的值是否合理；⑥答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.2. 列方程组解应用题中常用的基本等量关系（1）行程问题：①追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

北师大版八年级上册数学二元一次方程组的最新考点

⎩ ⎩ ⎩ 二元一次方程组的最新考点
考点 1：消元法的效果甄别
⎧x + 3y = 4 - -①
例 1 （2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组⎨
2x - y = 1-----② 时，下列方法中无法消元的是
（） A ．①×2﹣② B ．②×（﹣3）﹣① C ．①×（﹣2）+② D ．①﹣②×3
解析：由于①×2﹣②可以消元 x ，所以 A 不符合题意；由于②×（﹣3）﹣①可以消元 y ，所以 B 不符合题意；由于①×（﹣2）+②可以消元 x ，所以 C 不符合题意；由于①﹣②×3 无法消元，符合题意．所以选 D ．
点评：准确理解消元的目的和意义是解题的关键.
考点 2：据解完善方程组
⎧x + y = 2 ⎧x = 1
例 2（2020•绍兴）若关于 x ，y 的二元一次方程组⎨
A = 0 的解为⎨y = 1，则多项式 A 可以是（写出一个即可）． ⎧x + y = 2
⎧x = 1
⎧x = 1 解析：∵关于 x ，y 的二元一次方程组⎨ A = 0 的解为⎨y = 1，所以 A=0 的解为⎨y = 1， ⎩ ⎩ ⎩。