展开与折叠(正方体的展开图)
北师大版数学七年级上册1.2.1正方体的展开图课件
4. 所有侧棱长都相等.
什么样的图形能折成棱柱？
观察下面的四个图形，想一想哪几个能围成棱柱
（1）、（3）不行
为什么（1）、（3）不行? 在（1）、（3）的基础上进行修改， 使其能围成一个棱柱
展开图能围成棱柱的条件：
1、中间部分是几个长方形，可以围成棱柱的侧面。 2、上、下底面形状大小要相同，
面 侧棱（条） 侧面（个） (个)
三棱柱
6
四棱柱
95 3 3
8 12 6 4 4
五棱柱
10 15 7 5 5
六棱柱
12 18 8 6 6
……
n棱柱
2n 3n n+2 n n
（Ⅱ）动手操作、认识棱柱
侧面
底面
1.棱柱有上下两个底面， 它们的形状相同.
2.侧面的形状都是长方形.
3.侧面数、侧棱数、底面 侧棱 边数和底面多边形的顶点
作业： 位于侧面部分的两 侧
侧面数、侧棱数、底面 边数和底面多边形的顶点数相等.
4．三习棱柱题底面1边.长3为的3cm知， 识技能1、2、3。
五、课堂小结，布置作业
侧面的动形状手都是制长方作形.一个正方体的纸盒及圆柱圆锥
1、课本P12随堂练习 1、棱柱的特征、棱柱的顶点数、棱数、面数的规律 4．三棱柱底面边长为3cm， 2、写出下面图形能折叠成什么多面体。 2、写出下面图形能折叠成什么多面体。
1. 说出下列立体图形的名称．
（1）
圆柱
（2）
三棱柱
（3）
三棱锥
（4）
圆锥
展开
折叠
展开 折叠
展开与折叠(1)
用一个词来形容之前的活动
有些立体图形 展开 平面图形 有些平面图形 折叠 立体图形
正方体、长方体的展开图与折叠
正方体、长方体的展开图与折叠学习目标：1、知识与技能目标：通过展开与折叠活动，认识了长方体、正方体的不同的展开图，加深对长方体、正方体的认识，感受立体图形与平面图形的关系，建立长方体或正方体中的面与展开图中的面的对应关系。
2、过程与方法目标：在想象、操作等活动中，经历和体验立体图形与平面图形的相互转化过程，渗透转化和对应的数学思想，发展空间观念，培养学生多角度探究问题的能力和空间思维能力，积累数学活动经验。
3、情感态度价值观目标：激发学生对探索知识的强烈愿望和对数学学习的兴趣，并不断体验数学活动中探索过程和创造过程带来的乐趣，建立正确的数学学习观。
教学过程：第一课时活动一：复习长方体和正方体的特征。
引导学生根据提问回答问题。
1、出示长方体盒子，师问：长方体有几个顶点？几个面？几条棱？它的面和棱各有什么特点？2、再出示一个正方体盒子，师问：正方体又有几个顶点？几个面？几条棱？它的面和棱各有什么特点？3、师：如果确定了长方体或正方体的其中一个面为底面（下面），你能很快说出其余的五个面各是什么面吗？请同桌的同学互相说一说。
活动二：认识长方体、正方体的展开图：1、师指着长方体盒子问：谁有办法把这个立体图形变成平面图形？怎样剪最好？2、学生动手剪，师指导有困难的学生，并把一个剪得好的长方体展开图展示在黑板上。
3、师指着正方体盒子问：这个正方体的盒子能否剪成这样的平面图形？请同学们试一试。
4、学生继续剪，把一个剪得好的正方体展开图展示在黑板上。
5、师指着黑板上的展开图：像这样沿着长方体或正方体的棱剪开，使这个长方体或正方体完全的展开，得到一个六个面互相连接的平面图形，我们叫做长方体或正方体的平面展开图。
活动三：剪出来的平面展开图和黑板上的展开图不一样，而且周围同学剪出来的展开图也不太一样，这是为什么呢？第二课时：正方体的展开探究一：相同的长方体或正方体，剪出来的展开图为什么会不一样呢？谁来帮忙解决这个问题？小组内讨论交流，自主探索：探究二：回忆一下刚才你是怎么剪的？为什么会不一样呢？把你的剪法和想法与小组内的其他成员交流。
正方体的展开图
正方体的展开图
同学你好，今天我们共同学习正方体的展开图。
（出示正方体纸盒）我们知道正方体由上下两个底面和四个侧面围成，共有12条棱，现在我们要想将正方体沿棱剪开展开成平面图形，请你操作并思考：剪开的棱有几条？未剪开的棱有几条？
（选其中一种情形动画演示）需要剪开的棱有7条而未剪开的有5条。
下面平面图形中能围成正方体的有哪些？
这些图形中，你一眼能判定能围成正方体的有哪些？一眼能判定不能围成的有哪些？现在我们把不能判定的动手操作一下。
（动画演示）
通过刚才的操作演示，我们发现正方体的展开图一共有十一种，为了便于判段你能把它们分
一下类吗？
正方体的展开图共可以分为以下三类：
一四一
一三二
二二二
三三
你分对了吗？
实际上我们可以把第一类图形称为正方体展开图的基本图形，上下两个面可以看作正方体的上下两个底面，而把中间的四个面看作正方体的侧面。
而其它三类图形都可以通过旋转变成
基本图形。
（动画演示）
所以换句话说只要能旋转成基本图形的都能围成正方体。
牛刀小试
下面六个正方形连在一起的图形，经折叠后能围成正方体的图形有哪几个？
A、D、G三个，选对了吗？
课堂小结
这节课我们共同学习了正方体的平面展开图（投影出示四类图），我们还可以用旋转的方法看它能不能变为基本图形从而作出判断。
下节课我们再见。
展开与折叠
注意：
展成一个平面是指正 方体中的 6 个平面展成平 面图形后所得的 6 个正方 形中每一个至少有一条 边和其它正方形的某条 边相连的。
议一议: 怎样把所得到的
正方体表面展开图进行
分类?
将相对的两个面涂上相同的颜色，正方 体的平面展开图共有以下11种：
以上是一个立方体的11种平面展开图。虽 然一个立方体可能还会有更多的展开图，但 从上面这些图中，我们基本可以看出它的规 律。 1、一个立方体的表面展开图必定6个正 方形连接组成，缺一不可，多一个也不对， 展开图折叠后，必须覆盖立方体的6个表面。 2、展开图沿横、竖方向展开时，一个方 向必定由4个正方形组成，而另一个方向必须 是3个正方形。
坚
持
就 胜
利
是
2、如下图是一个正方体的展开图，图中 已标出三个面在正方体中的位置， F ： 前面；R：右面；D：下面。试判定另外 三个面A、B、C在正方体中的位置。
a
A
b c d
B
C
f
D
r
F
R
3、如下图是求填空： 1）如果D面在左面，那么F面在 ； 2）如果B面在后面，从左面看是D面，
2 、圆柱的侧面可以展 成一个什么样的图形？
3、是不是表面是曲 面的几何体都可以 展开成一个平面图 形呢？
一、做做看：
下列三图中哪一个可以折叠成多面体？ (1)
(2)
(3)
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
练习：下列图形中是某些多面体的展开图？
(1 )
长方体
(2 )
五棱锥
(3 )
三棱柱
判断以下图形是否正方体的展开图:（可通过折纸验证)
想一想：下列的图形都是正方体的展开图吗？
七年级数学上册 第一章 丰富的图形世界 2 展开与折叠课件
“凹”“L”型形状.
图1-2-1
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第三页，共四十六页。
例1 (2016四川成都树德实验中学期中)在下面的图形中,是正方体的 展开图的是 ( )
解析(jiě xī) 充分发挥想象力和动手实践能力是解决此类问题的有效途径. 答案(dáàn) C
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6.图1-2-4是一个食品包装盒的表面展开图. (1)请写出这个包装盒的形状的名称; (2)根据图中所标的尺寸,计算此包装盒的表面积和体积.
图1-2-4
解析 (1)包装盒的形状(xíngzhuàn)是四棱柱. (2)表面积为4ab+2b2,体积为ab2.
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方体后,相对面上的两个数之和为6,则x=
,y=
.
答案(dáàn) 5;3 解析 由正方体的展开图知,2所在的面与空白的正方形为相对(xiāngduì)面,1与x
为相对面上的数,3与y为相对面上的数,故x=5,y=3.
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选择题 1.(2017内蒙古包头中考,4,★☆☆)将一个无盖正方体形状盒子的表面 沿某些棱剪开,展开后不能得到的平面图形是 ( )
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1.(2017山西农大附中月考)下列展开图不能叠合成无盖正方体的是 ()
答案(dáàn) C 正方体的表面展开图不可能出现“凹”字形,故选C.
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2.如图,四个三角形均为等边三角形,将图形折叠,得到的立体图形是 ()
A.三棱锥 B.圆锥 C.圆柱 D.六面体
正方体的11种展开图形
02
CHAPTER
正方体的展开图形分类
一字型展开图形
总结词
一字型展开图形是最简单的正方体展 开图形，它由两个矩形和四个等长的 三角形组成。
详细描述
在展开后，正方体的一个面完全展开 ，与底面平行，其他五个面则形成等 长的三角形。这种展开图形通常用于 折叠正方体纸盒。
L型展开图形
总结词
L型展开图形由一个矩形和两个等长的三角形组成，展开后的形状类似于英文 字母"L"。
VS
详细描述
在正方体的展开图形中，面数相等是判断 是否能够还原成正方体的一个重要标准。 如果展开图形中的面数与正方体的面数相 等，那么这个图形就有可能通过折叠还原 成正方体。
04
CHAPTER
正方体展开图形的应用
折纸艺术
折纸艺术是一种以纸张为主要材料的艺术形式，通过折叠、剪裁、拼贴等手法创 造出各种形态和形象。正方体的展开图形在折纸艺术中有着广泛的应用，如千纸 鹤、纸盒等。
在展开后，正方体的八个角完全展开， 形成等长的三角形，同时还有一个正 方形面完全展开。这种展开图形通常 用于折叠正方体纸盒的顶部和底部以 及四个侧面。
混合型展开图形
总结词
混合型展开图形由多种形状组成，包括矩形、三角形和正方形等。
详细描述
混合型展开图形是最复杂的正方体展开图形，它由多种形状组合而成，通常用于折叠复杂的正方体纸盒结构。这 种展开图形需要较高的空间想象能力和手工技巧才能完成。
谢谢
折纸艺术不仅可以培养人的创造力和动手能力，还可以作为装饰品和礼物赠送给 亲朋好友，传递美好祝福。
空间几何教学
空间几何是数学中的一门学科，主要研究空间图形的性质和 关系。正方体的展开图形是空间几何教学中的一个重要内容 ，通过让学生亲手制作正方体的展开图形，可以帮助学生更 好地理解空间几何的概念和原理。
五下《正方体的展开图》
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“一四一”型展开图 共6种
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除了“一四一型”展开图，还有其他类型的展开图吗？
任务：
1、在方格纸上画一画其他类型的展开图。 2、观察、想象判断能否围成正方体。 3、向同桌指一指、说一说它的上、下、前、后、 左、右、面分别在哪里。
宁波市奉化区裘村镇中心小学 鲍莉丽
正方体有什么特征?
12条棱的长度相等， 它的6个面都是正方形且大小相同。
最多能看到它的几个面?
3个面。
如何一眼就能看到它的六个面?
把它的所有面都平铺展开。
后面
想象一下，另外几个正方形分别是原正方体的哪个面？
1.仔细观察，想一想，这幅图形是正方体的展开图吗？ 是
2.将“上、下、前、后、左、右”的方位词填写到正方形中， 说说你是怎么填的？
3.先确定哪个面比较方便？ 找哪个面当做后面比较方便？
后面
和其他面相连比较多或者靠中间 的那个面。
下面两幅图形是正方体的展开图吗？
想一想，我们是怎样进行折叠想象的？ 1.先在6个正方形中找一个和其他正方形相连比较多或 者在中间的正方形为后面 2.确定后面，进行想象折叠，确定其他面。
仔细观察，这四幅展开图还有什么相同之处？
一四一型 上面一层1个正方形， 还有其他的“一中四间一一型层”4个展正开方图形吗，？一共有几种呢？ 下面一层1个正方形。 请你在下面摆一摆，摆出其他的一四一型展开图。
想一想，右边这两种是新的展开图吗？ 对称重复
五年级下册数学课件-3.2 正方体的展开图｜冀教版
如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一个顶 点A，它发现相距它最远的另一个顶点B处有 它感兴趣的食物，这只蚂蚁想尽快得到食物， 哪条路径最短？试在图中将路线画出来。
. 一只蚂蚁
在点A处 A
.B 在点B 发现食物
. B1 .B2
.
A
拓展延伸
有一个正方体，在它的各个面上分别涂了 白、红、黄、蓝、绿、黑六种颜色甲、乙、丙 三位同学从三个不同的角度去观察此正方体， 结果如下图，问这个正方体各个面的对面的颜 色是什么？
正方体的表面展开图 有以下11种。你能看 出有什么规律吗？
中间4个一连串，两边各一随便放。
二三紧连错一个，三一相连一随便。 两两相连各错一。 三个两排一对齐。
要找两个相对面，切记相隔一个面。
重要结论:
任何正方形组合不能是田字形， 也不能是凹字型。
上面
左 面
前面
右 面
后面
下面
问题：下面有三个图形． （1）哪一个图形是一个长方体的表面展开图？ （2）在刚才选的图形中，如果面D在长方体的 底部，上面是哪一个面？
展开与折叠
正方体的展开图
一个正方体纸盒,像下面这样沿着画 有红线的棱剪开,就可以得到它的展开图.
上面 后面 左面 下面 右面 前面
下面是一个正方体的展开图，当折成 一个纸盒时，A点与哪些点重合？ KJ
I HG
A
DE F
BC
下面的图形，哪些可以折成一个正方体？
A
B
C
D
E
F
把同一个正方体的表面沿某 些棱剪开,展开所得到的平面 图形共有几种情况?
的表面展开图可能是（ A ）．
A．
B．
C．
D．
正方体展开与折叠
“五子连”形
如
二、由五个正方形组成的
“7字”形
如
三、由五个正方形组成的
“凹字”形
如
四、由四个正方形组成的
“田字”形
如
做一做 1.下面的图形都是正方体的展开图吗？
2.下面的图形都是正方体的展开图吗？
3.下列哪个平面图形沿虚线折叠不能围成正方体
的是( B)
4.右图需再添上一个面，折叠后才能围 成一个正方体，下面是四位同学补画的 情况（图中阴影部分），其中正确的是
（B ）Ｄ．
做一做
56
4 3 12
1.正方体中，有哪些 面与3相邻？哪个面 与3相对？
考考你
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了！
太棒
你们
KEY: 棒
下图是正方体的平面展开图，相对的面 上两个数 和为6，求x,y的值。
如图，这是一个正方体的展开图，如 果将它组成原来的正方体，哪些点与 点P重合。
正方体展开与折叠
活动(一)
将一个正方体的表面沿某些棱剪开, 能展成哪些平面图形？与同伴进行交流.
友情提示：
1、沿着棱剪 2、展开后是 一个图形
1.要将一个正方体纸盒的表面展开成一个 平面图形，要剪开多少条棱？
② ①③④
⑤
2.把同一个正方体的表面沿某些棱剪 开,展开所得到的平面图形是否一样?
1
S
T
P
H
R
U
V
M
N
Q
Z
W
K
Y
有一个正方体，在它的各个面上分别涂了白、 红、黄、兰、绿、黑六种颜色。甲、乙、丙三 位同学从三个不同的角度去观察此正方体，结 果如下图，问这个正方体各个面的对面的颜色 是什么？
北师版数学六年级下册-《展开与折叠》知识讲解 正方体展开图的特点
正方体展开图的特点
问题导入把一个正方体盒子沿着棱剪开，得到一个展开图。
请你找一个正方体的盒子剪一剪，把你得到的展开图画下来。
过程讲解
1．动手操作
把一个正方体盒子沿着棱剪开，要求正方体的每个面至少有一条边与其他面相连。
展开这个正方体形成一个平面图，如下图：
2．明确正方体展开图的不同形状
……
通过展开图可以发现，正方体的6个面都相同，相对的面完全隔开。
3．观察展开图，明确正方体的棱长和每个面边长的关系
正方体展开图的每个面都是正方形，正方形的边长就是正方体的棱长。
归纳总结
正方体的展开图是由6个完全相等的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。
展开与折叠知识点归纳
展开与折叠
知识点一：正方体的表面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型，6种；二三一型，3种；三三型，1种；二二二型，一种。
正方体展开图口诀：
1、一线不过四；田凹应弃之。
2、找相对面：相间，“Z”端是对面。
3、找邻面：间二，拐角邻面知。
知识点二：棱柱的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。
知识点三:圆柱、圆锥的表面展开图
1、圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆（底面）和
一个长方形（侧面）组成，其中侧面展开图长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高。
2、圆锥的表面展开图是由一个（侧面）和一个圆（底面）
组成，其中扇形的半径长是圆锥母线（即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长。
展开与折叠知识点归纳
展开与折叠
知识点一：正方体的表面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型，6种；二三一型，3种；三三型，1种；二二二型，一种。
正方体展开图口诀：
1、一线不过四；田凹应弃之。
2、找相对面：相间，“Z”端是对面。
3、找邻面：间二，拐角邻面知。
知识点二：棱柱的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。
知识点三:圆柱、圆锥的表面展开图
1、圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆（底面）和
一个长方形（侧面）组成，其中侧面展开图长方形的
一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高。
2、圆锥的表面展开图是由一个（侧面）和一个圆（底面）
组成，其中扇形的半径长是圆锥母线（即圆锥底面圆
周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆
锥底面圆的周长。
长方体和正方体的展开图
（3）继续挑战书P14的第6题。
要动动脑筋哦！
2.交流：
（1）收集学生中有代表性的展开图
（2）作业交流：借助学具验证
三、巩固应用，拓展延伸
1．书P14的第7题，说说判断的理由。
2．笑笑制作了一个如下列图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（）。
3．思考题：
（1）首先考虑正方体：2种。
（2）接着考虑长方体，需要测量内个图形的长和宽，然后再决定围成什么样的长方体。
四、总结全课：
1.还有什么疑问？
2.学会了什么？全一样，并且每组相对的面不一样，所以学生找起来比较快。
培养学生的推理水平。
作业设计：
1、完成书上第14页6、7题和思考题
2、补充习题上第12页
错点分析：学生空间想象水平欠缺，需增强训练，尤其是222型，231型这4种展开图，让学生去找相对的面时有些许困难。
教学反思：
通过完成本课的预习作业，学生在实践操作中经历了从立体图到展开图的理解过程。
这是学生在学习过程中想象把正方体展开或还原过程的实践基础。
在课上，我先用课件演示正方体剪开、展开的过程，然后观察能折成正方体和长方体的展开图，小组交流这些展开图的特征并实行还原操作；再观察不能折成长方体和正方体的展开图的特征，分析不能折成的原因。
在这个环节上，我花了较长的时间，重点引导学生学会寻找相对的面，让学生充分观察、思考、交流，借助多媒体演示和对展开图特征的归纳补充学生空间观点较差的缺乏。
展开与折叠
展开与折叠注意：展成一个平面是指正方体中的 6 个平面展成平面图形，所得的6 个正方形中每一个至少有一条边和其它正方形的某条边相连。
议一议：怎样把所得到的正方体表面展开图进行分类？★把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，能得到哪些平面图形？第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
将相对的两个面涂上相同的颜色，正方体的平面展开图共有以下11种：以上是一个立方体的11 种平面展开图。
虽然一个立方体可能还会有更多的展开图，但从上面这些图中，我们基本可以看出它的规律：1 、一个立方体的表面展开图必定6 个正方形连接组成，缺一不可，多一个也不对，展开图折叠后，必须覆盖立方体的 6 个表面。
2 、展开图沿横、竖方向展开时，一个方向必定由4 个正方形组成，而另一个方向必须是3 个正方形( 一种例外) 。
3.、相对的面不相连。
想一想：下列的图形都是正方体的展开图吗？★把一个长方体的盒子沿棱剪开，想一想：它的展开图是什么样子？下图中的那些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒，先想一想，再折一折。
下列图形哪个不是长方体的表面展开图？考考你1、如果“你”在前面，那么谁在后面？2、“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？3、如下图是一个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F ：前面；R ：右面；D ：下面。
试判定另外三个面A 、B 、C 在正方体中的位置。
4、如下图是一个正方体的展开图，每个面内部都标注了字母，请根据要求填空：如果D 面在左面，那么F 面在（）如果B 面在后面，从左面看是D 面，那么上面是（）5、把下图折起来，它会变成正方体（）6、探究：先想一想，再动手操作确认，下列图形经过折叠后能否围成一个正方体？。
展开与折叠
+ # d + e
# -
-
7.下图的（1）、（2）、（3）是三个正方体 的表面展开图，A、B、C是由展开图折成的 正方体，用短线将展开图和能折成的正方体 连接起来。
（1）
（2）
（3）
小结：今天我们学习的主要内容有：
• 1 正方体的11种展开图、展开图的三种 分类、各类型的规律. • 2 圆锥、圆柱的侧面展开图和表面展开 图的形状、特征.
探究1:
把一个正方体的表面 沿某些棱剪开，展成一 个平面图形，能得到哪 些平面图形？请与同伴 进行交流。
考考你的想象力
• 这里有老师画的两个正方体的表面展开成的平面 图形，请发挥你的想象力，判断老师做的对吗？
1 3 4 5 2 6
5 1 2 6 3 4
点图演示
• 各小组同学铺开刚才剪开的立方体纸盒，先想象 折叠的过程，再动手试一试。
操作：将一个正方体沿某些 棱剪开，再展成平面图形.
思考:在展成平面图形的过程 中,你一共剪了几条棱?
把同一个正方 体的表面沿某些棱剪 开,展开所得到的平面 图形是否一样?
总结规律: 中间四个面 上、下各一面 中间三个面 中间两个面 中间没有面 一、二隔河见 楼梯天天见 三、三 连一线
思考： .如果将它的表面展开，会变成什么样的图形？
B
3.在图（1）~（4）的四个展开图中，哪一个 是（5）的展开图？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.下列哪些是正方体的展开图？
A
B
C
D
E
F
5.下图中的图形经过折叠后形成哪些立体图形？
长方体
圆锥体
正方体
6.（1）~（6）是两个正方体的展开图，哪些 是一伙的？ + #