常微分方程证明题及答案

证 明 题（每题10分）

1、设函数f (t)在[,)0+∞上连续且有界，试证明方程

dx

dt

x f t +=()的所有解均在[,)0+∞上有界.

证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t 0)=x 0,t 0∈[0+∞)

由一阶线性方程的求解公式有

y x y e

f s e ds x x s x x x

()()()

()=+---⎰000

现只证x(t)在[t 0,+∞)有界，设|f(t)|≤M ,t ∈[0+∞) 于是对t 0≤t<+∞有

||||()y y e M x x ≤+

--00|()|()f s e ds M s t x

x -⎰

≤|x 0|+Me -t

e ds s

t t

⎰

≤|x 0|+M[10--e t t ()

]

≤|x 0|+M 即证

2、设函数f (x),p(x)在[,0+∞）上连续，且

b x f a x p x <>=+∞

→|)(|0)(lim 且(a,b ,为

3、设函数f (x)在[,0+∞）上连续，且lim ()x f x b →+∞

=又a >0

4、设函数y (x)在[,)0+∞上连续且可微，且lim['()()]x y x y x →+∞

+=0试证lim ()x y x →+∞

=0

5、若y 1(x ),y 2(x )为微分方程0)()()(21=+'+''x p x y x p y 的两个解，则它们的朗斯基

行列式为w y y ke p x dx

(,)

()121==⎰

-其中k 为由y 1(x ),y 2(x )确定的常数

6、求微分方程()()'x y xyy x 2

2

2

12-'-=的通解 7、解方程xdx x y dx x y dy

x y

+

+--+=()()22

0 8、解方程()()'x y xyy x 2

2

2

12-'-= 9、解方程xdx x y dx x y dy

x y +

+--+=()()22

10、解方程2

3

()()0yy y y ''''-+=

11、已知()f x 是连续函数。

（1）求初值问题0

'()

|0x y ay f x y =+=⎧⎨=⎩的解()y x ，其中a 是正常数。

（2）若|()|f x k ≤（k 为常数），证明当0x >时有|()|(1)ax

k y x e a

-≤-。

12、已知当1x >-时()f x 具有一阶连续导数，且满足()01()()01(0)1

x f x f x f t dt x f ⎧

+-=⎪+⎨⎪=⎩⎰

（1）求'()f x ；

（2）证明：当0x ≥时有()1x

e f x -≤≤。

13、设12(),()y x y x 是方程'()()y p x y q x +=的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒

等式：

121()()

()()

y x y x K y x y x -=- （K 为常数）

14、当x -∞<<∞时，()f x 连续且|()|f x M ≤。证明：方程

'()y y f x += （1）

在区间x -∞<<∞上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数()f x 是以ω为周期的周期函数，则这个解也是以ω为周期的周期函数。

15、设函数(),()f u g u 连续可微，且()()f u g u ≠，试证方程孙()()0yf xy dx xg xy dy += 有积分因子 1

[(()())]xy f xy g xy μ-=-

16、证明方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=具有形如[(,)]x y μμϕ=的积分因子的充要条件为

1

[(,)]M N N M f x y y

x x y ϕϕϕ-⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂--= ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，并求出这个积分因子。

17、证明贝尔曼（Bellman ）不等式。设k 为非负常数，()f t 和()g t 是区间t αβ≤≤上的

非负连续函数，且满足不等式 ()()(),

t

f t k f s

g s ds α≤+⎰t αβ≤≤

则有 ()

()exp

()t

f t k

g s ds α

≤⎰

， t αβ≤≤。

18、设在方程"()'()0y p x y q x y ++=中，()p x 在某区间I 上连续且恒不为零，试证：它

的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数。

19、假设1()0x t ≠是二阶齐次线性方程 12()()0x a t x a t x ++= 的解，这里1()a t 和

2()a t 是区间[,]a b 上的连续函数。试证：2()x t 为方程的解的以要条件是12112[,][,]0W x x a W x x +=。其中12[,]W x x 表示12(),()x t x t 的朗斯基行列式。

20、在方程"3'2()y y y f x ++=中，()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()0x f x →+∞

=。试证明：

已知方程的任一解()y x 均有lim ()0x y x →+∞

=。

21、设()f x 为连续函数，且满足0

()sin ()()x f x x x t f t dt =-

-⎰

。求证：

1()sin cos 22

x

f x x x =+.