第一章 矢量分析
第1章矢量分析
第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。
二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(r u u =)(r A A =时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。
),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。
在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。
矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。
例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。
(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。
矢量场)(r A 在点M 处的散度记作A div，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zu y u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇(2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 11223、散度的性质(1)散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源； 0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。
第1章 矢量分析
§1 .2 标量场的梯度
1 场的概念
在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的， 在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区 域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电 流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该 场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如 果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上 看，场是定义在空间区域上的函数。
矢量的乘积包括标量积和矢量积。 B
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
θ
(Scalar Product) 是一个标
量，它等于两个矢量的大小
Bcos θ
A
与它们夹角的余弦之乘积，
记为
A·B=ABcosθ
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量的乘积
2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积是一 个矢量，矢量积的大小等于两个 矢量的大小与它们夹角的正弦之 乘积，其方向垂直于矢量A与B组 成的平面，记为 C=A×B=enAB sinθ en=eA×eB （右手螺旋）
�� �� ���
���
���
A + B = ex (Ax + Bx ) + ey (Ay + By ) + ez (Az +Bz )
�� �� ��
�ey (Ay − By ) + ez (Az − Bz )
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量的乘积
3 方向导数
设一个标量函数场u(x, y, z)在P点可微,则u在P点沿
任意� 方向的方向导数为 ∂u / ∂l 。它的值与所选取的方
向 l 有关, 若
� l
=
x�
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
第一章 矢量分析
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
2. 圆柱坐标系
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez 位置矢量 线元矢量
r e ez z
dl e d e d ez dz
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
电子科技大学编写 高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
3. 标量场的梯度（ gradu 或 u ） 概念：
u u el |max l
，其中el u l
取得最大值的方向
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电子科技大学编写
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度
1.5 矢量场的环流和旋度
1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
写成行列式形式为
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A B
A B B A 若 A B ，则 A B AB
若 A // B ，则 A B 0
电子科技大学编写
B
0
e
第一章：矢量分析法
f ( x, y , z ) f ( , , z) f ( r , , )
点，平行与Z 轴的方向。
r
O
ˆ
Y
X
矢量场的圆柱坐标系分量
ˆ 圆柱坐标轴单位矢量
ˆ
ˆ z
ˆ : 以Z为轴，半径为 的园柱面在 ( , , z ) 点的外法
线方向。
Z
ˆ : 垂直于Z轴及( , , z )
点组成的平面，沿 增大一侧的方向。
ˆ z
ˆ
P( , , z )
ˆ z : 在 ( , , z )
矢量分析法直角坐标系场点的坐标位置xyz圆柱坐标系圆球坐标系12直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系cossinsincossinarctanarctanxxyyzz垂直于z轴及点组成的平面沿增大一侧的方向
第一章：矢量分析法
1.2 三种坐标系
直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z) 圆柱坐标系 ( , , z ) 圆球坐标系 (r , , )
r xx yy zz
f (r )
距离矢量
R r r n ( x x n)dx ( y y n)dy ( z z n)dz
R r r' ( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z' ) 2
直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系
x cos y sin z z
x 2 y 2 y arctan x zz
第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)
例:已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求: (1) 该矢量场的旋度; (2) 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分, 如图所 示, 验证斯托克斯定理.
y B r=3
O
A x
四分之一圆盘
第 7,8 学时 , 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度 标量的方向导数和梯度 一个标量场u可以用一个标量函数来表示.在直角坐标 系中, 可将u表示为 u=u(x, y, z) 令 u(x, y, z)=C, C为任意常数.该式在几何上一般表示 一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标(x, y, z)不同, 但函数值相等,称此曲面为标量场u的等值面 等值面. 随着C 等值面 的取值不同,得到一系列不同的等值面,如下图所示. 同理,对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场, 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线.
S → P
∫ lim
l
A dl
S
称固定矢量R为矢量A 的旋度 旋度,记作 旋度 rotA=R 上式为旋度矢量在n方 向的投影,如图所示, 即
rotA 旋旋旋
n
P l
S → P
∫ lim
l
A dl
S
= rotn A
旋度及其投影
矢量场的旋度 旋度仍为矢量 矢量.在直角坐标系中,旋度的表达式为 旋度 矢量
C C=A× B an aA A (a)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B
B A
θ
(b)
矢量积又称为叉积 叉积(Cross Product),如果两个不为零的 叉积 矢量的叉积等于零,则这两个矢量必然相互平行,或者 说,两个相互平行矢量的叉积一定等于零.矢量的叉积 不服从交换律,但服从分配律,即 A×B= -B×A × × A×(B+C)=A×B+A×C × × ×
第一章 矢量分析
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
第一章 矢量分析
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
工程数学---------矢量分析与场论
极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。
实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。
那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
例如温度场就由T 描述，只要知道了场中各点T 的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度E 是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。
在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。
§1.1 矢量的概念1.1.1 标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。
如电荷、电位和能量等。
这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。
电荷0.5库伦（C ），电位220伏特（V ）等都是标量的例子。
1.1.2 矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。
力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。
一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图 1.1(a)所示。
其中，R 代表一个从O 点指向P 点的矢量。
图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它们都代表同一个矢量。
一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。
一个大小为1的矢量称为单位矢量。
一个矢量A 可以表示为A Aa = (1.1)其中A 是A的大小，称为模，由式(1.2)表示||A A = (1.2)a 是A 的单位矢量，即方向与A 的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示||A a A =(1.3)§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。
如：电压、温度、时间、电荷等。
矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。
如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。
常矢：矢量的模和方向都不变。
如：x e 、y e 、z e。
变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。
如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。
物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。
2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。
手写 模和方向均表示出。
表示A 的方向(模为1)。
A 表示矢量A 的模。
▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。
0▪单位矢量：模为1的矢量。
如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。
也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。
如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
第一章 矢量分析
1
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 三种常用的坐标系
1.2
1.3 1.4 1.5
矢量函数的微积分
标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度
第1章 矢量分析
3
1.1 三种常用的坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
第1章 矢量分析 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
20
F ( x, y , z )
n
S
0
d F dS F n 0dS
S
dS
面积元矢量
其中： dS n 0dS ——面积元矢量； 0 ——面积元的法向单位矢量；
sin
ey
sin cos
ez
0
sin cos 0
ex sin cos
sin
0
e
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
er
e
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
d S y e y d l x d l z e y d xd z
d d xd yd z
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
d S z e z d l x d l y e z d xd y
体积元
第一章 矢量分析
(
)
( )
( )
(
)
(
)
16
导矢的物理意义 M0
z
s
M
dr dr ds 导矢： 导矢： = ⋅ l dt ds dt o y dr : 点M 处的单位切向矢量τ x ds ds 处质点的速度大小， : 点M 处质点的速度大小，用v 表示 dt dr 质点M 质点M 的速度矢量 = vτ = v dt dv d 2 r w= = 2 质点M 质点M 的加速度矢量 dt dt
d dA dB d A± B = ± C = 0, C为常矢 dt dt dt dt d dA d du dA kA = k , k为常数 uA = A+u dt dt dt dt dt d dB dA d 2 dA A⋅ B = A⋅ + ⋅B 特例： A = 2 A ⋅ dt dt dt dt dt d dB dA A× B = A× + ×B dt dt dt dA dA du = ⋅ 若有复合函数 A＝A ( u ) dt du dt
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第一章
第二节 矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数 定义 设矢性函数 A ( t )在点 t的某一邻 的某一邻 域内有定义， 域内有定义，并设 t +△t 也在这邻域内。 △ 也在这邻域内。 若
M
A (t ) A′ ( t )
∆A
N l
其极限存在， 在 ∆t → 0 时，其极限存在，则称此极限 ∆A=A ( t +∆t ) -A ( t ) 为矢性函数 A ( t ) 在点 处的导数（简称 导数（ 在点t 处的导数 导矢）， ），记作 导矢），记作 dA/dt 或 A′ ( t ) 。
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1矢量分析1.在球面坐标系中，当ϕ与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。
2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。
3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。
4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。
5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。
6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。
任一矢量的旋度的散度恒为（）。
7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以是个（），而是个（），是个（）。
8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。
9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标|10. 标量：（）。
如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。
11. 矢量：（）。
如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。
例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。
13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。
例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
14. 旋度为零的矢量场叫做（）15. 标量函数的梯度是（），如静电场16．无旋场的（）不能处处为零17. 散度为零的矢量场叫做（）18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场19．无散场的（）不能处处为零%20．一般场：既有（），又有（）21．任一标量的梯度的旋度恒为（）22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。
23．给定三个矢量和：求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)在上的分量：(6)；(7)；(8)和。
24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。
<(1) 判断是否为一直角三角形。
(2) 求三角形的面积。
25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。
26．给定两矢量和，求在上的分量。
27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设为一矢量，，而，和已知，试求。
28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。
29．用球坐标表示的场，(1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；(2) 求与矢量构成的夹角。
*30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。
证明和间夹角的余弦为提示：，在直角坐标中计算。
31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。
32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。
33．求(1)矢量的散度；(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。
35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。
再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
36．求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。
37．证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。
;38．一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。
此方向由单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。
41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。
42．方程给出一椭球族。
求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。
43． 现有三个矢量场问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示（2）求出这些矢量的源分布。
44． 利用直角坐标证明：45． 证明：(46． 利用直角坐标证明：47． 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。
48．求数量场φ =(x+y)2-z 通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。
49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez 的矢量线方程50．求数量场22x y u z +=在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数。
51．设标量函数r 是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez 的模， 即222r x y z =++，证明：.rgradr r r ==︒52．求r 在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数53．已知位于原点处的点电荷q 在点M(x, y, z)处产生的电位为4qr ϕπε=，其中矢径r 为r=xex+yey+zey ，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E 。
54．已知矢量场r=xex+yey+zez ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H 所围封闭曲面的通量。
55．在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为2(,,)4y z q rD r r ye ze r r r r r π=︒===︒=求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量[56．原点处点电荷q 产生的电位移矢量2344q qD r r r r ππ=︒=，试求电位移矢量D 的散度。
57．球面S 上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez ，求 S r dS ⋅⎰⎰ 58．求矢量A=-yex+xey+cez(c 是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量 59．求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez 在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez 方向的环量面密度。
60．在坐标原点处放置一点电荷q ，在自由空间产生的电场强度为33()44x y z q qE r xe ye ze r r πεπε==++求自由空间任意点(r ≠0)电场强度的旋度▽×E 。
61．在一对相距为l 的点电荷+q 和-q 的静电场中，当距离r>>l 时，其空间电位的表达式为20(,,)cos 4qlr r ϕθφθπε=求其电场强度E(r, θ, φ)。
62．已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：B（1） 该矢量场的旋度;（2） 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分， 如图所示， 验证斯托克斯定理。
|63．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设A 为一已知矢量p A X =⋅P A X =⨯p 和P 已知，试求X 64．点电荷q 在离其r 处产生的电通量密度为2221/23ˆˆˆ,,()4==++=++qD r r xx yy zz r x y x r π求任意点处电通量密度的散度▽·D ，并求穿出r 为半径的球面的电通量65．1(())()(2)(())()(3)(())()d f r f r dfdAA f r f r dfdAA f r f r dfϕϕ∇=∇∇=∇∇⨯=-⨯∇证明（）66．证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面67．)(2))A A A A A Aϕϕϕϕϕϕ∇=∇+∇∇⨯=∇⨯+∇⨯求证：（1）((68．2)()())()()A A A A A A Aϕϕϕϕϕϕϕ∇⨯∇⨯=∇⨯∇⨯-∇+∇∇+∇⨯∇⨯+∇∇-∇∇（（69．ˆ()SlnAdS A dl ⨯∇⨯=-⨯⎰⎰证明： 70. 证明:其中：A 为一常矢量|71. 现有三个矢量场 A, B, C问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示； （2）哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示； （3）求出这些矢量的源分布。
72. (1) 求矢量 的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
73. 求矢量 沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。
再求 对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
74. 给定矢量函数 ，试计算(1) 沿抛物线x ＝2y2；（2）沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E 是保守场吗75．已知A 、B 和C 为任意矢量，若C A B A ⋅=⋅，则是否意味着B 总等于C 呢试讨论之；试证明：()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅。
；76． 给定三个矢量A 、B 和C 如下：z y x a a a A 32-+=z y a a B +-=4zx a a C 25-=求（1）矢量A 的单位矢量A a ； （2）矢量A 和B 的夹角AB θ； （3）B A ⋅和B A ⨯（4）()C B A ⨯⋅和()C B A ⋅⨯； （5）()C B A ⨯⨯和()C B A ⨯⨯。
77． 有一个二维矢量场()()()x y y x a a r F +-=，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
78． 直角坐标系中的点()4,1,31-P 和()3,2,22-P ，直角坐标系中写出点1P 、2P 的位置矢量1r 和2r ；求点1P 到2P 的距离矢量的大小和方向，求矢量1r 在2r 的投影。
79． 写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。
80． 求数量场()222ln z y x ++=ψ通过点()1,2,3P 的等值面方程。
—81． 用球坐标表示的场225r r a E =，求（1）在直角坐标系中的点()5,4,3--处的E 和z E ； （2）E 与矢量z y x a a a B +-=22之间的夹角。
82． 试计算⎰⋅S S r d 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为立方体表面上任一点的位置矢量。
83． 求标量场()z e y x z y x +=326,,ψ在点()0,1,2-P 的梯度。
84． 在圆柱体922=+y x 和平面0=x 、0=y 、0=z 及2=z 所包围的区域，设此区域的表面为S ，求（1）矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，矢量场A 的表达式为()()x z z y x z y x -+++=3332a a a A（2）验证散度定理。
85．计算⎰⋅C l A d 从()0,0,0P 到()0,1,1Q ，其中矢量场A 的表达式为2144y x y x a a A -= 曲线C 沿下列路径：（1）t x =，2t y =；:（2）沿直线从()0,0,0沿x 轴到()0,0,1，再沿1=x 到()0,1,1；（3）此矢量场为保守场吗86． （1）若矢量场()z r a A 2162+=，在半径为2和20πθ≤≤的半球面上计算⎰⋅S SA d 的值； （2）若矢量场z a A ϕ2cos 10=，求穿过xy 平面上半径为2的圆面的通量⎰⋅S S A d 。