函数的单调性和周期性
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2.函数奇偶性和周期性的应用
已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．
1．判断周期函数的一般方法
(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记．
(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.
2.①若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则2a为f(x)的周期(a＞0)；同理，②f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，均可推得2a为f(x)的周期(a＞0)．
A.B.C.D.
4．()设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝
A.B.C．0D．－
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的()
A．既不充分也不必要的条件B．充分不必要的条件C．必要不充分的条件D．充要条件
(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．
判断下列函数的奇偶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋；(5)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．
()判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝
类型二 利用函数性质求解析式
已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)，在(－1，1)上又是减函数，且满足f(2x－1)＋f＜0，则x的取值范围为______________．
类型四 函数周期性和奇偶性的应用
1.借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题，在周期未明确指出的情况下，注意运用对称性与周期性的关系等先确定周期．
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2.当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝()
A．335B．336 C．1 678 D．2 015
7．已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，且g(b)＝a，则f(2)的值为______
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋…＋f(2016)的值．
11．()设常数a≥0，函数f(x)＝.根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由．
2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)进行判断．
3．判断函数奇偶性的方法通常有
(1)定义法：根据定义判断．
(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．
类型三 奇偶性与单调性的综合
解题中要注意以下性质的灵活运用
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上
设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________________．
()若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
()已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()
A．(－1，4)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)
课后作业：
1．()下列函数为奇函数的是()
()奇函数f(x)的定义域R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()
A．－2B．－1C．0 D．1
8．()已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
9．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：
①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.
(1)判断函数f(x)是否为周期函数；(2)求f(5.5)的值．
§2.3
类型一 函数奇偶性的判断
1．判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．
已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
已知函数f(x)，x∈R的图象关于y轴对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，同时f(x＋2)＝f(x)，求f(x)．
A．2x－B．x3sinxC．2cosx＋1D．x2＋2x
2．()设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．()已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f成立的x的取值范围是()
已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．
1．判断周期函数的一般方法
(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记．
(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.
2.①若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则2a为f(x)的周期(a＞0)；同理，②f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，均可推得2a为f(x)的周期(a＞0)．
A.B.C.D.
4．()设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝
A.B.C．0D．－
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的()
A．既不充分也不必要的条件B．充分不必要的条件C．必要不充分的条件D．充要条件
(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．
判断下列函数的奇偶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋；(5)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．
()判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝
类型二 利用函数性质求解析式
已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)，在(－1，1)上又是减函数，且满足f(2x－1)＋f＜0，则x的取值范围为______________．
类型四 函数周期性和奇偶性的应用
1.借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题，在周期未明确指出的情况下，注意运用对称性与周期性的关系等先确定周期．
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2.当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝()
A．335B．336 C．1 678 D．2 015
7．已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，且g(b)＝a，则f(2)的值为______
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋…＋f(2016)的值．
11．()设常数a≥0，函数f(x)＝.根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由．
2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)进行判断．
3．判断函数奇偶性的方法通常有
(1)定义法：根据定义判断．
(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．
类型三 奇偶性与单调性的综合
解题中要注意以下性质的灵活运用
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上
设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________________．
()若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
()已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()
A．(－1，4)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)
课后作业：
1．()下列函数为奇函数的是()
()奇函数f(x)的定义域R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()
A．－2B．－1C．0 D．1
8．()已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
9．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：
①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.
(1)判断函数f(x)是否为周期函数；(2)求f(5.5)的值．
§2.3
类型一 函数奇偶性的判断
1．判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．
已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
已知函数f(x)，x∈R的图象关于y轴对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，同时f(x＋2)＝f(x)，求f(x)．
A．2x－B．x3sinxC．2cosx＋1D．x2＋2x
2．()设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．()已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f成立的x的取值范围是()