构造判断矩阵的讲解(层次分析法)
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于多准则决策的数学模型和方法。
它是由美国管理学家托马斯·L·赛蒙在20世纪70年代提出的。
AHP方法能够帮助决策者在多个准则和多个选择之间进行有效的决策，通过定量和定性的方式来对选择进行评估和比较。
在AHP方法中，决策问题被分解成一个层次结构，其中包含目标层、准则层和选择层。
每个层次都有不同的准则和可能的选择。
决策者需要对每个层次中的准则和选择进行配对比较，从而确定它们之间的重要性和权重。
通过对一系列两两比较的判断矩阵求权值，最终得到每个准则和选择的权重，进而做出最终决策。
下面是一种求解AHP中矩阵权值和进行一致性检验的程序：1. 建立判断矩阵：根据决策问题的结构，建立一个判断矩阵。
判断矩阵的大小是n×n，其中n是比较对象的数量。
矩阵的每个元素(a_ij)表示第i个对象相对于第j个对象的重要性或影响程度。
2. 进行两两比较：对矩阵的每个元素(a_ij)，决策者需要进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
比较的结果可以使用系数1-9进行量化，其中1表示相等重要性，9表示绝对重要性的差异。
3.归一化判断矩阵：将比较得到的判断矩阵归一化，使得每一列的元素之和等于1、这可以通过将每个元素除以其所在列的元素之和来实现。
4.求解权值：通过归一化后的判断矩阵，可以计算每个对象的权重。
权重可以通过计算每一行的元素之和来得到。
5.计算一致性指标：在AHP方法中，一致性是指判断矩阵中的数值是否在合理范围内。
为了检验一致性，需要计算一致性指标。
一致性指标的计算方法是通过求解最大特征值和一致性比率来得到。
6.进行一致性检验：计算一致性指标后，需要将其与预先给定的随机一致性指标进行比较。
如果计算得到的一致性指标小于预先给定的一致性指标，则认为判断矩阵中的数值具有一致性。
层次分析法判断矩阵的构成方法及比较
数值比较法
$
排序
#,
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1
简易表格法
$
排序
&2,01&
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-
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’
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%
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.
&2&(0.
1
（’）从定性角度考虑，简易表格法稍优： !简易表格法转换矩阵时，它利用的是一个指标
与另一个指标相比，其重要性等级相差的级数为信息；
而数值比较法只是利用数值的比值为信息。
"345要求填写矩阵时采用“,$0”之间的正整 数及其倒数，简易表格法满足该特点；而数值比较法构 造的阵中万存方在数非据正整数倒数。
优序图（567879787:;"6*，简称 5:）是美国人 5<=< >??9+,01’年首次提出的，在我国目前尚未推广。它 也是建立在两两比较的基础之上，调查表中表格的设 计与原始矩阵相同，只是不采用“,$0”标度。它用“,” 表示行比列相对重要，用“&”表示行比列相对不重要， 用“&!.”表 示 行 与 列 同 等 重 要。 金 新 政〔%〕在《 优 序 图 和层次分析法在确定权重时的比较研究及应用》一文 中，详细阐述了优序图的优点，即省时、省力、易操作。 他也同时提到，由于优序图中只有“,，&，&!.”三个数字 来表示何者为优，对程度描述不足，因此适合于大样本 的调查。
层次分析法步骤及案例分析
层次分析法步骤及案例分析层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行决策的方法。
它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代初提出，并逐渐应用于各个领域。
本文将介绍层次分析法的步骤，并通过一个实际案例来进行分析。
一、层次分析法的步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。
将问题划分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。
例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。
2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较进行判断。
判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。
对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是1/A。
3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层次中各个因素的权重向量。
通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。
一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。
通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。
5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。
在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。
二、案例分析为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。
假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。
我们可以按照以下步骤进行决策：1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。
2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。
层次分析法AHP之判断矩阵经典讲解
判断比较
实用文档
两种水果的判断比较
V
实用文档
三种水果的判断比较
实用文档
三种水果的判断比较
绝对强 明显强
强
AAppppllee Apple
绝对强 绝对强
明显强 明显强
强 强
99
77
55
975
AAppppllee Apple
绝对强 绝对强 绝对强
明显强 明显强 明显强
强 强
V强
99
77
Apple
a111 a231 a131/5
Banana
1a1/23 a122
Cherry
a135 a237
1a3/27 a313
实用文档
判断矩阵的一致性（下次课）
A
Apple
Apple
1
Banana
1/3
Cherry
5
Banana
3
1
7
Cherry
…
…
…
不一致
a213(BA) 一致比较 a135(AC)
信息分析与预测 档案系
实用文档
AHP之判断矩阵
实用文档
旅游的层次结构模型
目标层
选择旅游地
准则层
景色
费用
饮食
居住
旅途
方案层
桂林
黄山
北戴河
实用文档
就业选择的层次结构模型
目标层
工作选择
地工 发 声工 生
准则层
理资 展 位待 前
作活 环环
置遇 途 誉境 境
方案层
可供选择的单位P1、 P2 、 Pn
实用文档
方
案 层
构造判断矩阵的讲解
构造判断矩阵的讲解层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于处理决策问题的定量方法。
它通过将问题分解为一系列相互关联的准则和备选方案，并使用判断矩阵来定量评估它们之间的相对重要程度，从而帮助决策者进行决策。
一、构造判断矩阵的基本思想判断矩阵是用于量化准则和备选方案之间相对重要程度的工具。
构造判断矩阵的基本思想是通过比较两个元素之间的重要程度，将其转化为一个数值。
这个数值被称为重要性权重。
二、判断矩阵的构建过程1.确定准则和备选方案：首先，需要明确决策问题的准则和备选方案。
准则是衡量备选方案优劣的标准，备选方案是实施决策的可行选择。
2.构建层次结构：将准则和备选方案按照层次结构组织起来。
层次结构由若干层次组成，最顶层是目标层次，下一层是准则层次，最底层是备选方案层次。
3.定义判断矩阵：对于每一对元素，决策者根据其重要程度来填写判断矩阵的元素。
判断矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是准则或备选方案的个数。
4.判断矩阵的填写：对于准则层次的判断矩阵，决策者评价不同准则之间的相对重要程度，从1到9进行评分，其中1表示两个准则同等重要，9表示一个准则远远重要于另一个准则。
对于备选方案层次的判断矩阵，决策者评价不同备选方案之间的相对重要程度。
5.判断矩阵的一致性检验：进行一致性检验是为了保证判断矩阵的可靠性。
通过计算判断矩阵的最大特征值和一致性指标，确定判断矩阵是否通过一致性检验。
三、判断矩阵的数学原理判断矩阵是根据相对重要程度进行填写的。
根据AHP的原理，假设第i个准则对于第j个准则的相对重要程度为A(i,j)，那么相对重要程度满足以下两个条件：1.A(i,j)=1/A(j,i)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则i的重要程度互为倒数。
2.A(i,j)×A(j,k)=A(i,k)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则k的重要程度的乘积等于准则i相对于准则k的重要程度。
层次分析法步骤介绍
层次分析法整个计算过程包括以下五个部分。
(1)建立递阶层次结构应用AHP解决实际问题，首先明确目标；接下来分析影响目标决策的各个因素，并将它们之间的关系条理化、层次化；最后，用线将各个层次、各个因素间的关系连接起来就构成了递阶层次结构。
[25]通常，递阶层次结构包括以下三个基本层次：1.目标层：通过分析，明确目标是什么，将其作为最高层的元素，必须是唯一的，如：选择最合适的供应商2.准则层：即中间层，元素包含所有可能影响目标实现的准则，且会随着问题的复杂程度增多。
这时，需要详细分析各准则元素间的相互关系（是同级关系还是隶属关系）。
如果是隶属关系，则需要构建子准则层甚至更下一层准则。
3.措施层：即方案层。
分析解决问题的方案有哪些，并将其作为最底层因素。
(2)构造判断矩阵并赋值1.构造判断矩阵：将每一个具有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。
2.填写判断矩阵：最常用的方法是咨询专家，将两个元素两两比较，按照重要性程度表赋值（见下表）。
表3 重要性标度含义表设填写后的判断矩阵为A=(a ij)n×n，判断矩阵具有如下三个性质：1.a ii=12.a ji=1/a ij3.a ij>0(3)层次单排序与检验1.层次单排序利用数学方法将专家填写后的判断矩阵进行层次排序。
层次单排序是将每一个因2素对于其准则的重要性进行排序，实际就是计算权向量。
计算权向量有特征根法、和法等，以下详细介绍特征根法的计算方法。
A. 计算判断矩阵每一行元素的乘积∏==nj ij i a M 1 (3.2)式中：M i 第i 行各元素的乘积a ij 第i 个元素与第j 个元素的关系比值B. 计算Mi 的n 次方根n i i M W = (3.3)式中：W i 第i 行各元素的乘积的n 次方根M i 第i 行各元素的乘积C. 对向量正规化（归一化处理）∑==ni i ii W W W 1 (3.4)式中：i W 特征向量W i 第i 行各元素的乘积的n 次方根D. 计算判断矩阵的特征根 j nj ij i W a ∑-=1λ (3.5) 式中：λi 第i 个特征根 a ij 第i 个元素与第j 个元素的关系比值W j 第j 个特征向量E. 计算判断矩阵的最大特征根∑=⨯=n i i iW n 1max λλ (3.6) 式中：λmax 最大特征根λi 特征根n 判断矩阵的阶数W 特征向量2. 层次单排序一致性检验需要特别注意：在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序
function［w，CR]=mycom（A,m,RI）［x，lumda]=eig(A）;r=abs（sum（lumda));n=find（r==max(r)）;max_lumda_A=lumda(n,n);max_x_A=x（：，n);w=A/sum（A）;CR=(max_lumda_A—m）/（m-1)/RI；end本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。
其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。
m为A的维数RI为判断矩阵的平均随机一致性指标:根据m的不同值不同。
当CR<0。
1时符合一致性检验,判断矩阵构造合理。
下面是层次分析法的简介,以及判断矩阵构造方法。
一.层次分析法的含义层次分析法（The analytic hierarchy process)简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T。
L。
Saaty）正式提出.它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
二.层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。
（1）层次分析法的原理层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。
这里所谓“优先权重"是一种相对的量度,它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标,标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
层次分析法-判断矩阵的构造-德尔菲法
德尔菲法的具体实施步骤
1 组成专家小组。按照课题所需要的知识范围，确定专家。专家人数的多 少，可根据预测课题的大小和涉及面的宽窄而定，一般不超过20人。 2 向所有专家提出所要预测的问题及有关要求，并附上有关这个问题的所 有背景材料，同时请专家提出还需要什么材料。然后，由专家做书面答复 3 各个专家根据他们所收到的材料，提出自己的预测意见，并说明自己是 怎样利用这些材料并提出预测值的。 4 将各位专家第一次判断意见汇总，列成图表，进行对比，再分发给各位 专家，让专家比较自己同他人的不同意见，修改自己的意见和判断。也可 以把各位专家的意见加以整理，或请身份更高的其他专家加以评论，然后 把这些意见再分送给各位专家，以便他们参考后修改自己的意见。 5 将所有专家的修改意见收集起来，汇总，再次分发给各位专家，以便做 第二次修改。 逐轮收集意见并为专家反馈信息是德尔菲法的主要环节。 收集意见和信息反馈一般要经 过三、四轮。在向专家进行反馈的时候， 只给出各种意见，但并不说明发表各种意见的专家的具体姓名。这一过程 重复进行，直到每一个专家不再改变自己的意见为止。 6 对专家的意见进行综合处理。
中位数预测： 用中位数计算，可将第三次判断按预测值高低 排列如下： 最低销售量： 300 370 400 500 550 最可能销售量： 410 500 600 700 750 最高销售量： 600 610 650 750 800 900 1250 最高销售量的中位数为第四项的数字，即750。 将可最能销售量、最低销售量和最高销售量分 别按0.50、0.20和0.30的概率加权平均，则预测平 均销售量为： 600*0.5+400*0.2+750*0.3=695
德尔菲法与其他决策法相比较
效果标准/决策方法 体法 德尔菲法 观点的数量 低 观点的质量 低 社会压力 高 财务成本 低 互动群体法 电子会议法 中等 高 中等 高 低 中等 低 低 脑力激荡法 名义群 高 高 低 低 高 高 低 高
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在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的 结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出： 一致矩阵法，即：
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸 因
判素断相矩互阵比是较表的示困本难层，所以有提因高素准针确对度上。一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，· · · ，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
计算权重 系数的方 法
和积法
精品课件
方根法
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
bijbij/ nbk.j...i.,j. .1 .,2 .,(.n .)., k1
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义 一致性指标C.I.为：
CI max n
n1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使用 随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出了 500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层
不要超过9个因素。
精品课件
建立判断矩阵
例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：
P1
P2
P3
功能强
P1 1
1/3
2
价格低
P2 3
1
5
P3 1/2
1/
1
5
易维修
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
bij=bik/bjk
为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一 致性检验。
精品课件
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 1
Ci :Cj aij
选 择
C1
旅 C2
C1
1+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi 0, wi 1 . 则w , w ,..., w
叫各因素
对于目标Z的权重i 1，
1
2
n
w = ( w1 , w2 ,..., wn ) T
叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性
w
w~ij (
w1
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T
i1
，即为近似特征根（权向量
d.
计算
1 n
n(
i1
Aw) i wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
é0.587ù
1.769
归一化 êê0.324úú=w Aw 0.974
êë0.089úû
0.268
l =1(1.769+ 0.974+ 0.268) =3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.精3品2课2件,0.090)T, max=3.009
C3 C4
A 1/ 4
1/ 3
C5
1/ 3
A(aij)nn,aij
C2
C3
C4
0,a ji C5
aij
1/ 2 4 3 3 A~成对比较阵
1
7
5
5
1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 A是正互反阵
1/ 5 1/ 5
2 3
1 1
1
1
稍加分析就发 现上述成对比
要由A确定C1,… , Cn对精O品课的件权向量
之类。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
…
精品课件
小石块Wn
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a. 将A的每一列向量归一化 w~ij aij / n aij
bc得.. 将对：w~w~i ij归一按化行w求i 和w~得i /：wn~iw~i ,
n j 1
2. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
n
wi bij.....i. ..1.,2(,..n .), j1
③ 对向量wi (w1,w2T,归.一.w .化n ,：)
n
w iw i/wj.....i..1,.2.,(..n.), j1
所得的 w(w 1,w 2,..w .n),T即为所求得特征向量，亦即
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数） 精品课件
平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24精品1.3课2件1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
基本概念
什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性 CI接近于0，有满意的一致性 CI 越大，不一致越严重精品课件
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI。方法为
随机构造500个成对比较矩阵 A1,A2,L,A500
定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当
=n时A为一致阵
精品课件
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的
不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作 为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其 不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以