河北衡水中学数学中心教研室 数学学科课件2016
第4讲 函数的概念及其表示最新衡水中学校内自用精品电子课件
3
3
真题在线
3．[2015· 陕西卷] 设 f(f(－2))＝( A．－1 1 B.4 ) 1 C.2 3 D.2
lt;0，
[解析] C f(f(－2))＝f(2 ) 1 1 1 ＝f( )＝1－ ＝ . 4 4 2
2
[解析] 令 3－2x－x ≥0 可 2 得 x ＋2x－3≤0，解得－ 3≤x≤1， 故所求函数的定 义域为[－3，1]．
2
[答案] －2
1
真题在线
2．[2016· 浙江卷] 设函数 f(x)＝x ＋3x ＋1.已 2 知 a≠0，且 f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a) ，x∈R， 则实数 a＝________，b＝________．
北师大版
函数的概念及其表示
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第4讲 PART 02
考试说明 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示 函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
[解析] D y＝10 ＝x， 定义域与值域均为(0， ＋ ∞)，只有选项 D 满足题 意．
lg x
真题在线
2 ． [2015·全 国 卷 Ⅰ] 已 知 函 数 f(x) ＝
x－1 2 －2，x≤1， 且 －log2（x＋1），x>1，
f(a)＝－3，则 f(6－a) 1 D．－ 4
课前双基巩固
2．函数的三要素 值域 和对应关系三个要素构成，在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫作 函数由________ 定义域 、________ 自变量，x 的取值范围 A 叫作函数的________ 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________ 值域 ． 3. 函数的表示法 解析法 、________ 图像法 、________ 列表法 ． 函数的常用表示方法有：________ 4．分段函数 对应关系 ，这样 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的____________ 的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
数学学科课件
3.实际情境型 （1）读题理解
（2）抽象建模 （3）求解模型 （4）评价作答
第一部分：能力立意——13高考能力分析
三、高考能力分析——抽象概括能力
第一部分：能力立意——13高考能力分析
三、高考能力分析——抽象概括能力
高考这样考查： 4.知识多元型
法一：
An +1 Cn Bn
An
法二：取特值
an 4, b1 3, c1 5
高考这样考查： 3．考查运算求解的熟练性
y
.P
M N -1 O 1 x
第一部分：能力立意——13高考能力分析
三、高考能力分析——运算求解能力
高考这样考查：
3．考查运算求解的熟练性
注重总结运算技能与技巧
第一部分：能力立意——13高考能力分析
三、高考能力分析——运算求解能力
我们这样备考： 1.重视三角运算的合理性
2.重视解析几何运算的简洁性
第一部分：能力立意——13高考能力分析
三、高考能力分析——运算求解能力
解析几何中的运算方法技巧
巧用定义——动圆圆心轨迹 曲 线 系——含参数的几何问题 设而不求——点差法 类比结论——合情推理 向量工具——垂直平行 弦长公式——避免重复运算……
AB 1 k
P的轨迹必过垂心
[0,)
AB AC ) P的轨迹必过外心 4. PB PC ( | AB | cos B | AC | cosC
动圆M过定点A与定圆C相切 动圆M与定直线l 和定圆C相切 动圆M与定圆C和定圆D相切
第一部分：能力立意——13高考能力分析
二、13课标卷Ⅰ分析
4.试卷特点
D.差异中缩小分差
第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新衡水中学校内自用精品电子课件
150 [ 解析 ] (1) － 150 °＝－ 180 5 ³π ＝－6π . 3 3 (2) 10 π rad ＝ 10 ³ 180 °＝ 54° .
课前双基巩固
对点演练
3．[教材改编] 半径为 120 mm 的圆上长为 144 mm 的 弧 所 对 圆 心 角 α 的 弧 度 数 是 ________．
(2)公式： 角 α 的弧 度的绝对 值 角度与弧 度的换算 弧长公式 扇形面积 公式 l |α|＝r(弧长用 l 表示) π ①1°＝180 rad，②1 rad＝ 180 π ° |α|r 弧长 l＝________ 1 1 2 S＝ lr＝ |α |r 2 2
课前双基巩固
[答案]
5π π 3π 0， ∪ ， 4 4 2
[
解
析
]
由
题
意
得
sin tan
α －cos α <0， ∴ α 的取值范 α >0，
5π ∪ 4
π 围为0， 4
3π . ， 2
[解析] C ＝
因为 sin 2α ＝
2sin αcos α 2 2 sin α＋cos α
2tan α >0，所以选 C. 2 1＋tan α
真题在线
2．[2011· 课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重 合， 始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ ＝( ) 4 A．－ 5 3 B．－5 3 C.5 4 D. 5
考例
考查热度 ★☆☆
三角函数的定义
扇形的弧长及面积公 式
单位圆、三角函数线、 2011· 新课标全国卷7 三角函数值的符号
冀教版九年级数学上册28.1《圆的概念及性质》 课件 (共19张PPT)
小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ） 叫做优弧。
B
O·
A
C
同心圆
圆心相同，ห้องสมุดไป่ตู้径不同的
两个圆叫做同心圆。
等圆
半径相同，圆心不同的两个
圆叫做等圆。
能够完全重合的两条弧叫做等弧。
A B
o C
D
运用新知 巩固自测
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)半圆是最长的弧； (5)直径是最长的弦； (6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
圆的性质
1.圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线， 圆有无数条对称轴；
2.圆是中心对称图形，对称中心是圆心； 3.圆有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度 后都与自身重合。
与圆有关的概念
弦
O·
A
连接圆上任意两点的线段 （如图AC）叫做弦，
B
经过圆心的弦（如图中 的AB）叫做直径．
C
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆。
B
O·
A
C
劣弧与优弧
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 6:49:11 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
第46讲 椭圆最新衡水中学校内自用精品电子课件
椭圆
第46讲 PART 08
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
掌握椭圆的定义、 几何图形、 标准方程及简单几何性质 （范围、 对称性、 顶点、 离心率） ．
教学参考
考情分析
考点 考查方向 考例 考查热度 椭圆的定 椭圆的定义、焦 2013· 新课标全国卷Ⅰ21 ★★☆ 义 点三角形 全国卷Ⅰ5、2015· 全国卷Ⅱ20、 椭圆的标 椭圆的标准方程， 2015· ★★☆ 2013· 新课标全国卷Ⅰ21 准方程 待定系数法 2016· 全国卷Ⅰ5、2016· 全国卷Ⅲ12、 椭圆的简 2015· 全国卷Ⅰ5、2014· 新课标全国卷 ★★★ 单几何性 范围、离心率 Ⅱ20、2013· 新课标全国卷Ⅱ5、2012· 质 课标全国卷4、2011· 课标全国卷4
2 2
真题在线
解： (1)根据 c＝ a －b
2 2
2 b 2 及题设知 M c， a ， 2b
＝3ac. 2 2 2 2 将 b ＝a －c 代入 2b ＝3ac， c 1 c 解得 a ＝ 或 a ＝－ 2( 舍 2 去) ． 1 故 C 的离心率为2.
(2)由题意知， 原点 O 为 F1F2 的中点， MF2∥y 轴， 所以直线 MF1 2 b 2 与 y 轴的交点 D(0， 2)是线段 MF1 的中点， 故 a ＝4， 即 b ＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设 N(x1，y1)，由题意知 y1<0，则 3 2（－c－x1）＝c， x1＝－ c， 2 即 －2y1＝2， y1＝－1. 2 9c 1 代入 C 的方程，得4a2＋b2＝1.② 2 9（a －4a） 1 2 2 将①及 c＝ a －b 代入②得 ＋ ＝ 1 ， 2 4a 4a 解得 a＝7，b ＝4a＝28，故 a＝7，b＝2 7.
第10讲 函数的图像最新衡水中学校内自用精品电子课件
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2．[2015· 全国卷Ⅱ] 如图 14，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是 AB 的 中点．点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P 到 A，B 两点距 离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图像大致为( )
真题在线
[解析] B 当 P 在 BC 边上时，PB＝OB· tan x＝tan x，PA＝ AB ＋PB ＝ tan x＋4，所以
2
|x|
[ 解析 ] D 易知该函数为偶函 数，只要考虑当 x≥0 时的情况 2 x 即可，此时 y＝f(x)＝2x －e ，则 x f′(x)＝4x－e ， f′(0)<0， f′(1)>0， f′(x) 在(0， 1)上存在零点， 即 f(x)在(0， 1)上存在极值，据此可知，只可 能为选项 B，D 中的图像．当 x 2 ＝2 时，y＝8－e <1，故选 D.
[解析] D
函数
y＝|f(x)|， y＝ax 的图像如
图所示，问题等价于直线 y＝ax 不在函数 y＝|f(x)|图像的上方，显然 a>0 时，y＝ln(x＋1) 2 的图像不可能恒在直线 y＝ax 的上方，故 a≤0；由于直线 y＝ax 与曲线 y＝x －2x 均过坐 2 标原点，所以满足条件的直线 y＝ax 的极端位置是曲线 y＝x －2x 在点(0，0)处的切线，y′ ＝2x－2，当 x＝0 时 y′＝－2.所以－2≤a≤0.
变换 类型 变换前函数 变换方法 变换后函数
a>0，右移 a 个单位； a<0，左移|a|个单位 平移变换 y＝f(x) 的图像 b>0，上移 b 个单位；b<0， 下移|b|个单位 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 y＝f(x) 的图像 关于原点对称 对称变换 y＝a (a>0 且 a≠1) 的图像
高2019届高2016级河北省衡水中学高三总复习数学课件4-1
第20页
高考调研 ·高三总复习·数学(理)
A．39°
B．141°
C．－39°
D．－141°
答案 D
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学(理)
3．若sinα <0且tanα >0，则α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
答案 C 解析 由选择项知角α的终边不落在坐标轴上，由sinα<0知α 为第三或第四象限角；由tanα>0知α为第三或第一象限角，故α为 第三象限角．
第7页
高考调研 ·高三总复习·数学(理)
任意角的三角函数定义 (1)设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点(非顶点)P 的坐 标是(x,y),它与原点的距离为 r,则 sinα ＝yr，cosα ＝xr，tanα ＝yx． (2)三角函数在各象限的符号是：
sinα cosα tanα Ⅰ __＋__ __＋__ __＋__ Ⅱ __＋__ __－__ __－__ Ⅲ __－__ __－__ __＋__ Ⅳ __－__ __＋__ __－__
方法二：令角 α 与角 β 均在区间(0，π)内，故角 α 与角 β 互 补，得 sinβ＝sinα＝13.
方法三：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α) ＝sinα＝13(k∈Z)．
第18页
高考调研 ·高三总复习·数学(理)
2016年衡水高考数学一轮复习备考策略心中存司南 笔下有方圆170ppt.ppt (1)
（一）试题结构
第一部分
研究篇——明确方向
二、研考题，定方向
1.15年课标1卷整体的试题特点 （2） 形式灵活 考察能力
（一）试题结构
第一部分
研究篇——明确方向
二、研考题，定方向
1.15年课标1卷整体的试题特点 （2） 形式灵活 考察能力
第一部分
研究篇——明确方向
对照生成法
考纲内容 教材知识 题型归类 总结技巧 落实提升
一、研考纲，明思路
考纲、知识
考点 知识点 提升点 能力点 得分点
第一部分
研究篇——明确方向
以三视图为例
一、研考纲，明思路
考点： 能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二侧法画出它们的直观图.
（一）试题结构
第一部分
研究篇——明确方向
（2） 形式灵活 考察能力
数形结合 转化与化归 极限的思想 解三角形
F
第一部分
研究篇——明确方向
（2） 形式灵活 考察能力
数形结合 转化与化归 极限的思想 解三角形
第一部分
研究篇——明确方向
1.15年课标1卷整体的试题特点 （3）回归课本 适度创新
第一部分
能力 空间想象能力 数据处理能力 推理论证能力 题号与分值 T6 ,T11, T18 T9,T10,T19 T3，T18，T20， 总分 约22分 共22分 约22分
运算求解能力
T1,T2，T4,T5， T7,T8,T12， T13,T14,T15,T16 ,T18,T21
T4,T6,T19 T12，T19
知识点：（1）柱、锥、台、球的三视图 （2）简单组合体的三视图 （3）空间几何体的直观图
衡水中学自用精品课件第一章 4数学归纳法
1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋2k成立. k＋1 k＋2
那么当n＝k＋1时，＋ －2k＋ － 2k－1 2k＋1－1 2k＋1
1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋2k＋ － k＋1 k＋2 2k＋1 2k＋1
例1 用数学归纳法证明
nn＋12n＋1 1 ＋2 ＋…＋n ＝ (n∈N＋). 6
2 2 2
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
1×1＋1×2×1＋1 右边＝ ＝1， 6 等式成立.
探要点·究所然
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即
kk＋12k＋1 1 ＋2 ＋…＋k ＝ ， 6 那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.
(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命
题成立”为条件.
填要点·记疑点
探要点·究所然
情境导学
多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌， 若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下 .只要推倒第一
答 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题 P(n) ，可按下
列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(递推是关键)假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证 明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立，其中，利用假设是证题的核心.
2 2 2
kk＋12k＋1 2 ＝ ＋ ( k ＋ 1) 6
kk＋12k＋1＋6k＋12 ＝ 6
探要点·究所然
k＋12k2＋7k＋6 ＝ 6
k＋1k＋22k＋3 ＝ 6
衡水中学高三数学教学策略研讨 主讲：王战普第一部分
函数
猜想：14年出现的逻辑题，替代了一个立体几何 13年一个数列题替代了线性规划试题。
2012年 算法 三视图 三角 双曲线 函数图像 立体几何
函数图像 平面向量 线性规划
概率 数列
题号 6 7 8
9 10 11
12 13 14 15 16
2016年
2015年
2014年
三视图 圆锥的体积 三角函数
三角函数图像
逻辑推理能力、创新意识
向量
数形结合思想
二项式定理
运算求解能力
数列
运算求解能力
线性规划
应用意识
考查的能力或者思想
运算求解能力
数形结合思想 空间想象能力 逻辑推理能力 数据处理能力
应用意识
考查的章节 复数
三角函数恒等变形 数列
解析几何 解三角形 二项式定理
函数 平面向量 解析几何 线性规划 立体几何 函数与导数 平面几何选讲 概率与统计 概率与统计
精研考题 科学备考
高三数学高考备考策略
河北衡水中学 王战普
近三年我校文理平均分与全省平均分对比
年份
衡水中学 理科
全省 平均分
衡水中学 文科
全省 平均分
2016 2015 2014
125.05分 126.99分 132.06分
80.1分 81.7分 82.58分
118分 122.61分 124.19分
数列
函数图像
第三组基本模式是（10-12）： 解析几何，立体几何，函数与导数
题号 2016
2015
2014
13 平面向量 平面向量
二项式
14 二项式定理 二项式定理
15
数列
冀教版七年级上册数学全册课件
解：负数有－3，－3 1 ，－80%，－8. 2
知2－练
2 【中考·天水】四个数－3，0，1，π中的负数
3
是A( )
4
A．－3 B．0 C．1 D．π
5 3 【中考·深圳】下列各数中，最小的正数是C
()
6
A．－1 B．0 C．1 D．2
知识点 3 0的意义
知3－讲
0具有如下意义： 1.正数与负数的交界点 2.它是一个整数.还是一个最小的自然数，但是它不是
正数：{ 4
…}；
5
7
负数：{ 整数：{
5，43
，3.14，9 2 ， …}5；
自然数：－{ 3，－0….37}3；737…
，
6 7
…}； ，
负分数：5{，－3，0，
…}．
5，0，
－0.373 737… ， 6 ，
7
2 在有理数中，不存在( C ) A．既是整数，又是负数的数 B．既不是正数，也不是负数的数 C．既是正数，又是负数的数 D．既是分数，又是负数的数
徐伟说：“以铁塔顶为基准，记为0米，则芳芳所在 的位置高为－58米，小林所在的位置高为－38米．”
芳芳说：“徐伟的位置比我高58米．” 他们说的数有一个统一的名称吗？
知识点 1 有理数及相关概念
知1－讲
正数中的“＋”可以省略不写，如＋1.8可以写成1.8，
＋1 200可以写成1 200, 等等.
引入负数以后，我们学过的数可以分为：
知识点 1 相反意义的量
知1－导
知1－导
数是根据人们的实际需要而产生的，随着社会的 发展，小学学过的数已不能满足实际的需要，比如一 些具有相反意义的量：盈利8 000元和亏损3 000元，零 上6℃和零下2℃等，它们不但意义相反，而且表示一 定的数量，怎样表示它们呢?我们把一种意义上的量规 定为正的，把与它意义相反的量规定为负的．
高2019届高2016级河北省衡水中学高三总复习数学课件选修4-4-1
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高考调研 ·高三总复习·数学(理)
6．(2017·北京，理)在极坐标系中，点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ － 4ρsinθ ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为 ________．
答案 1 解析 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2＋y2－2x－4y ＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1，2)，半径 r＝1.因为点 P(1，0)到圆心的距离 d＝ （1－1）2＋（0－2）2＝2>1，所以点 P 在圆外，所以|AP|的最小值为 d－r＝2－1＝1.
高考调研 ·高三总复习·数学(理)
选考部分 选修系列4
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高考调研 ·高三总复习·数学(理)
选修4－4 坐标系与参数方程 第1课时 坐 标 系
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高考调研 ·高三总复习·数学(理)
…2018 考纲下载… 1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换． 2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极 点的圆)的方程．
第17页
高考调研 ·高三总复习·数学(理)
授人以渔
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高考调研 ·高三总复习·数学(理)
题型一 平面直角坐标系下图形的变换 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸 缩变换xy′′＝＝23xy，后的图形的方程． (1)2x＋3y＝0； (2)x2＋y2＝1.
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高考调研 ·高三总复习·数学(理)
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R) ρcosθ ＝a ρsinθ ＝b
ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0) ρ＝r
ρ＝2acosθ ρ＝2asinθ
衡中教学课件：2.1 有理数(共21张PPT)
2.1
有理数
有理数
1.理解有理数的意义，会将有理数进行正确分类. 2.理解正、负数的意义，会判断一个数是正数还 是负数. 3.能用正负数表示生活中具有相反意义的量，理解相反
意义的量的含义.
4.能举出相反意义的量的实例.
小学时，已经学过哪些数？它们是怎样产生并发展起来的呢？ 为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了什么数？ 为了表示“没有”，引入了数0.
0 负有理数
分数
正分数: 如 1 ， 1 ，5.2 … 2 3
负分数：如
1 5
，-3.5，
5 … 6
整数和分数统称有理数.
【例题】
【例2】把下列各数填在相应的集合内： 13 1 -3，2， ，-1，-0.58，0，-3.141 592 6， ， 9 4 0.618，10．
负数集合：{ －3，－ 1，－1，－0.58，－3.141 592 6 } 4 13 分数集合：{－ 1，－0．58，－3.141 592 6， ，0.618 } 4 9 整数集合：{ －3，2，－1，0，10 } 非负数集合：{ 2，0，
2.过去学过的那些数（零除外），像10，3，500， 1.2这样的数是正数. 正数的表示法，+5与5一样吗？ 3.零既不是正数，也不是负数.
一样
【例题】
【例1】（1）在知识竞赛中,如果用+10分表示加10分，
那么扣20分怎样表示？ （2）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了 5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质
2.（安徽·中考）在-1，0，1，2这四个数中，既不是正
数也不是负数的是（ A．-1 B ．0 ） C．1 D．2
弧长及扇形的面积 衡水中学内部资料 精品教学课件
（1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？ 1o的圆心角所对的弧长是 2R R 360 180
R
A O B
（2）no的圆心角所对的弧 长是多少？
no的圆心角所对的弧长是 n 2R nR 360 180
弧长公式
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l 是
2R nR l n 360 180
no
n 2 m 40
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢?
• 一条弧和经过这条弧 的端点两条半径所组 成的图形叫做扇形 • 扇形的周长是 2R+L
圆的面积是πR2, 那么1 圆心角所对的扇形的面积是 no圆心角所对的扇形的面积是
o
R 2
360
nR 2 360
S扇形
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
小结
• 知识点：弧长、扇形面积的计算公式 • 能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法
n R 弧长l 180
S扇形
n R 2 1 lR 360 2
课后作业
（1）必做题 ：P142 习题3.10
（2）选做题：如图，在半径为1的圆中，有 一弦长AB= 3 的扇形，求此扇形的周长及面 积. A C B
120 解：AB的长 12 25.1 cm 180 120 2 2 S扇形 12 150.7 cm 360 因此，AB的长约为25.1 cm ，
扇形AOB的面积约为 150.7 cm2 .
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= π
，扇形面积=
2π
.
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则 o 该扇形的圆心角为 . 300 3. 已知扇形的元宵节为120o，半径为6，则扇形的 弧长是 （ B） A. 3π B.4π C.5π D.6π
1mjt-衡水中学高中数学-第1讲 函数及其表示
第1讲函数及其表示◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母 不等于零 .(2)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R. (5)y ＝tan x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z}．(6)函数f (x )＝x 0的定义域为 {x |x ∈R ，且x ≠0} .[知识感悟]1．辨明两个易误点(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数解析式的四种常用求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[知识自测]1．(2018·潍坊模拟)下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )[解析] 由选择支知A 值域不是[0,1]，B 定义域不是[0,1]，D 不是函数，只有C 符合题意．故选C.[答案] C2．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0，sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，∴|x |＝x sgn x . [答案] D3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝ ________ . [解析] 令t ＝1x ，∴x ＝1t ，∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)． [答案]5x ＋1x 2(x ≠0)题型一 函数的概念(基础拿分题，自主练透)有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x ＜0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是 ________ .[解析] 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，－1(x ＜0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③. [答案] ②③方法感悟两个函数是否相同判断方法1．定义域和对应法则都相同，则两个函数表示同一函数．2．即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为定义域、值域不能唯一地确定函数的对应法则．3．两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关． 【针对补偿】1．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x[解析] 由y ＝10lg x 定义域值域均为(0，＋∞)，与D 符合．故选D. [答案] D2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 [解析] A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A. [答案] A题型二 求函数的定义域(高频考点题，多角突破)考向一 求给定函数解析式的定义域 1．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为 ________ .[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． [答案] (0,2]2．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是 ________ . [解析] 3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，因此定义域为[－3,1]． [答案] [－3,1]考向二 求抽象函数的定义域3．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100]D ．[0，lg 2][解析] 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.[答案] C4．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )的定义域[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域为______．[解析] 因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，32. [答案] ⎣⎡⎦⎤12，32考向三 由定义域确定参数问题5．(2018·合肥模拟)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为 ________ .[解析] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.[答案] [－1,0]方法感悟函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． 3．抽象函数：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【针对补偿】3．(2018·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y 1＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8][解析] 由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则使函数y 1＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x －1＞0，解得1＜x ≤2，所以定义域为(1,2]，故选B. [答案] B4．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为 ________ . [解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，x ≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，x 2≤1，x ≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，－1≤x ≤1，x ≠0，解得0＜x ≤1，所以定义域为(0,1]．[答案] (0,1]题型三 求函数解析式(重点保分题，共同探讨)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝ ________ .(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝ ________ . (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝ ________ . [解析] (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t ＞1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)．(2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x －1， 将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 可求得f (x )＝23x ＋13.[答案] (1)lg 2x －1(x ＞1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13方法感悟函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，使得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【针对补偿】5．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝ ________ . [解析] 令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．[答案] x 2－1(x ≥1)6．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝______，b ＝______.[解析] f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2， (x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3a 2＋2ab ＝0－a 2b ＝－a 3－3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.[答案] －2；17．已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，则f (x )的解析式为__________． [解析] ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 解方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)． [答案] f (x )＝23x －x3(x ≠0) 题型四 分段函数问题(高频考点题，共同突破) 考向一 分段函数的求值问题 1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12[解析] ∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. [答案] C考向二 解方程式解不等式问题2．(2017·课标Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足的f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是_______．[解析] 令g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12， 当x ≤0时，g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋32， 当0＜x ≤12时，g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋x ＋12， 当x ＞12时，g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝(2＋1)2x －1， 写成分段函数的形式：g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋32，x ≤02x＋x ＋12，0＜x ≤12，(2＋1)2x －1，x ＞12函数g (x )在区间(]－∞，0，⎝⎛⎦⎤0，12，⎝⎛⎭⎫12，＋∞三段区间内均单调递增， 且：g ⎝⎛⎭⎫－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1 ， 据此x 的取值范围是： ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. [答案] ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 考向三 求最值或值域问题3．(2016·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为______；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是______.[解析] (1)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－3，x ≤0，－2，x ＞0，当x <－1时，f ′(x )>0，此时函数为增函数， 当x >－1时，f ′(x )<0，此时函数为减函数， 故当x ＝－1时，f (x )的最大值为2.(2)f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－3，x ≤a ，－2，x ＞a ，令f ′(x )＝0，则x ＝±1，若f (x )无最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，－2a ＞a 3－3a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，－2a ＞a 3－3a －2a ＞2.解得a ∈(－∞，－1)． [答案] (1)2 (2)(－∞，－1) 考向四 图象及应用4．(2018·北京顺义二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1][解析] 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D. [答案] D方法感悟分段函数应用的常见题型与求解策略整合．【针对补偿】8．(2018·唐山统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74[解析] 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.[答案] D9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[]0，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[)1，＋∞[解析] 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C.[答案] C10．(2018·山东省济宁市二模试卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，x ∈[0，π]log 2 017xπ，x ∈(π，＋∞)若存在三个不相等的实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为______．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤πlog 2 017xπ，x ＞π， 作出f (x )的函数图象如图所示：∵存在三个不相等的实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ，则0＜a ＜π2，π2＜b ＜π， 令log 2 017xπ＝1得x ＝2 017π，∴π＜c ＜2 017π，∵f (x )在[0，π]上的图象关于直线x ＝π2对称，∴a ＋b ＝π，∴a ＋b ＋c ∈(2π，2 018π)． 故答案为(2π，2 018π)． [答案] (2π，2 018π)◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(四)[A 基础巩固练]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.[答案] B2．(2018·南昌模拟)函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12，且x ≠1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12，且x ≠1[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x ＞－12且x ≠1，故选D.[答案] D3．(2018·黑龙江大庆实验中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥3f (x ＋1)，x ＜3，则f (2＋log 32)的值为( )A ．－227 B.154 C.227D ．－54[解析] ∵2＋log 31＜2＋log 32＜2＋log 33，即2＜2＋log 32＜3 ∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32) 又3＜3＋log 32＜4∴f (3＋log 32)＝⎝⎛⎭⎫133＋log 32＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫13log 32＝127×(3－1)log 32＝127×3－log 32＝127×3log 312＝127×12＝154∴f (2＋log 32)＝154.故选B. [答案] B4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x ＞0，则不等式f (x )＜f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)[解析] f (－1)＝3，f (x )＜3, 当x ≤0时，x 2＋4x ＋6＜3，解得x ∈(－3，－1)； 当x ＞0时，－x ＋6＜3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.[答案] A5．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3[解析] 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.[答案] B6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①[解析] 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. [答案] B7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝ ________ ，函数f (x )的值域是________ .[解析] f (2)＝12，则f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－52， 当x ＞1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时， f (x )∈[－3，＋∞)，∴f (x )∈[－3，＋∞)． [答案] －52；[－3，＋∞)8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为______． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x ＜1，即定义域是[0,1)．[答案] [0,1) 9．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ________ .[解析] 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)． [答案] [0,3)10．(1)如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，求f (x )的解析式；(2)动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．[解] (1)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)； 当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)； 当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3＜x ≤4)； 综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52.[B 能力提升练]1．(2018·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. [答案] C2．(2018·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋2，x ＞ax 2＋3x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－ax ，恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫16，3－22B.⎝⎛⎭⎫16，32C ．(－∞，3－22)D ．(3－22，＋∞)[解析] 函数g (x )有3个零点，等价于函数f (x )与y ＝ax 有3个不同的交点，如图，y ＝ax 与y ＝16x ＋2有一个交点，需a ＞16，若与抛物线有2个交点，需计算相切的时候的斜率，x 2＋3x ＋2＝ax ，Δ＝(a －3)2－8＝0，解得：a ＝3－22或a ＝3＋22(舍)，所以16＜a ＜3－22，故选A.[答案] A3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤2)，f (x －2)(x ＞2)则f (log 27)＝ ________ .[解析] f (log 27)＝f (log 27－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 274＝2log 274＝74. [答案]744．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝______.[解析] 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2 得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. [答案] 75．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. [C 尖子生专练](2018·长沙二模)某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m (m ∈N *)个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋4)，0＜x ≤5，6x －2， x ＞5，当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围．[解] (1)从题设，投放的药剂质量为m ＝6，渔场的水质达到有效净化⇔6f (x )≥6⇔f (x )≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤5，log 3(x ＋4)≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，6x －2≥1⇔0＜x ≤5或5＜x ≤8，即0＜x ≤8，所以如果投放的药剂质量为m ＝6，水质达到有效净化一共可持续8天． (2)由题设，∀x ∈(0,8]，6≤mf (x )≤18，m ＞0， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋4)，0＜x ≤5，6x －2， x ＞5，∴∀x ∈(0,5]，6≤m log 3(x ＋4)≤18，且∀x ∈(5,8]， 6≤6mx －2≤18，∴⎩⎪⎨⎪⎧m log 34≥6，2m ≤18 且⎩⎪⎨⎪⎧m ≥6，2m ≤18⇔5≤m ≤9且6≤m ≤9， ∴6≤m ≤9，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9]．。
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研 究 篇
146个考点
46个考点
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 部 考查基础知识的同时，注重考查能力 分
研 究 篇
大稳定，小创新，重思维，考运算
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 部 （1）注重基础保稳定 分
（2）区分度高选人才
（3）形式灵活考能力
个性品质是指考生个体的情感、态度 价值观。要求考生具有一定的数学视野， 认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数 学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体 会数学的美学意义。 要求考生克服紧张情绪，以平和的心 态参加考试，合理支配考试时间，以实事 求是的科学态度解答试题，树立战胜困难 的信心，体现锲而不舍的精神。
研 究 篇
在知其然，而在知其所以然；不在知其所 以然，而在知何由以知其所以然。” 一是知其然， 二是知其所以然； 三是知何由以知其所以然。
考题研究 第 （二）试题特点：备考建议 一 （2）思维严谨重规范 部 分 一轮复习：准确把握中等题，碾压简单题
研 究 篇
数学高 分法宝
认真
会做的 全做对
考题研究 第 （二）试题特点：备考建议 一 （3）注重课堂提能力 部 备课要充分 分
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （3）形式灵活考能力 部 1.在基础中考能力，变化多样 分
研 究 篇
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （3）形式灵活考能力 部 2.在综合中考能力，注重考查数学思想 分
研 究 篇
考题研究 第 一 部 分
数形结合
133
13
潜 心 研 究 卓 越 备 考
研 讨 分 两 部 分
考纲研究 一：研究篇 考题研究
明确思路 层层递进 二：策略篇 周密计划 脚踏实地 细致做法 实战攻坚
第 一 部 分
把握脉搏、明确方向
考纲研究 考题研究
研 究 篇
考纲研究 第 一 部 分
《考试大纲》既是命题的准绳，更是复习 的依据。
课程标准实验版
研 究 篇
提问要有效 方法讲到位 思想要深挖
小题要重视
考题研究 第 （三）考查特点： 一 部 第一个方面：知识的考查特点 分 第二个方面：数学思想的考查特点 研 究 篇
考题研究 第 （三）考查特点： 知识的考查特点 一 以解析几何为例 部 分
研 究 篇
直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准 方程、几何性质等是支撑解析几何的基石， 也是高考命题的基本元素．
研 究 篇
百校联盟文数
考题研究
第 （三）考查特点： 知识的考查特点 一 ③与圆锥曲线定义和性质有关的问题 部 分
研 究 篇
y A
P F1 F x
考题研究
第 （三）考查特点： 知识的考查特点 一 ③与圆锥曲线定义和性质有关的问题 部 分
研 究 篇
考题研究
第 （三）考查特点： 知识的考查特点 一 ④与曲线有关的最值、存在性、定值定点问题 部 分
考纲研究 第 一 部 分
在日常教学中如何应用考纲 指导我们的教学呢？
考点
考纲内容 教材知识 题型归类 总结技巧 落实提升 个性品质
研 究 篇
考 纲 知 识 对 照 生 成
知识点 提升点
能力点
得分点 成长点
考纲研究 第 一 部 分
以等差数列和等比数列为例
研 究 篇
考点——考纲内容： （1）理解等差数列，等比数列的概念 （2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前N项和公式 （3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关 系，并能用有关知识解决相应问题 （4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关 系 知识点——（1）等差数列，等比数列的概念（会判定） （2）等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式的推导和记忆 （3）等差数列、等比数列的性质
研 究 篇
考纲研究 第 一 部 分
以等差数列和等比数列为例
得分点——（1）通过训练增强学生的能力 （2）反思错误点，失误点，修正学生思维 （3）总结方法，不断提高得分能力 （4）体会函数与方程的数学思想
研 究 篇
成长点——（1）体会数列中数学的规律之美 （2）在学习数列的过程中找到成就感 （3）形成对任何事物都规矩严格审慎的态度
考纲研究 第 一 部 分
以等差数列和等比数列为例
提升点——（1）认识不同的通项公式和递推公式 （2）通过等差等比数列求和公式的推导，总结 出倒序相加求和，错位相减求和 （3）能够利用等差数列、等比数列的性质解决 实际问题 能力点——（1）能够通过观察找到数列中的规律，培养 观察归纳的能力 （2）能够进行通项公式和前n项和公式的相互 转化 （3）能够利用好倒序相加，错位相减，裂项相 消求数列的前n项和
研 究 篇
考题研究 （三）考查特点： 知识的考查特点 第 ②曲线的位置关系 一 （直线与圆，直线与圆锥曲线，圆与圆，点与曲线） 部 分 研 究 篇
考题研究 （三）考查特点： 知识的考查特点 第 ②曲线的位置关系 一 （直线与圆，直线与圆锥曲线，圆与圆，点与曲线） 部 分 研 究 篇
第 一 部 分
研 究 篇
考纲研究 第 一 部 分
2、能力要求 高考这样考查：
（1）考查运算求解的简捷性
研 究 篇
考纲研究 第 一 部 分
2、能力要求 高考这样考查：
（2）考查运算求解的合理性
研 究 篇
概念清楚,熟练掌握公式、法则
考纲研究 第 一 部 分
2、能力要求 高考这样考查：
（3）考查运算求解的熟练性
研 究 篇
研 究 （三）将课标卷及地方卷汇总归类纵向研究 篇
（二）综合研究近3年的地方卷试题
考题研究 第 （一）重点知识：小题和大题的考点分布 一 （二）试题特点：15年课标1卷整体的试题 部 分 特点分析以及由此产生的一轮备考建议
研 （三）考查特点：各考点的考查方式、规律， 究 考查的题型、方法，数学思想等 篇
E A M D
转化与化归
极限的思想 解三角形
B
研 究 篇
2
C
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （4）回归课本找源头 部 分
研 究 篇
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （4）回归课本找源头 部 分
研 究 篇
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （4）回归课本找源头 部 分
考纲研究 第 一 部 分
《考试大纲》中命题的指导思想为： 坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推 进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体 现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将 知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学 素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考 生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度， 考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平， 以及进入高等学校继续学习的潜能.
研 究 篇
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （4）回归课本找源头 部 分
研 究 篇
考题研究 第 （二）试题特点：15年新课标1卷试题特点 一 （5）传统文化提亮点 部 分
研 究 篇
考题研究 第 （二）试题特点：备考建议 一 （1）用好课本夯基础 部 分 数学教育家傅种孙先生言：“几何之务不
2、能力要求 考纲对能力立意的解读
研 究 篇
①以数学内容为基点，以基本的推理能力和思维 能力为立足点，突出考查一般能力的具体表现， 定量的测量学生的学习能力。 ②以多元化、多途径、开放式的设问背景，全面 测量学生的观察、试验、联想、猜想、归纳、类 比、推广等思维活动的水平，激发学生探求精神， 求异创新的新思维，体现“过程与方法”的思想。 ③以能力考查为核心，测量学生的可持续学习的 能力。
研 究 篇
考题研究 第 （一）重点知识：2、大题考点分布 一 部 文科17题 分
研 究 篇
考题研究 第 （一）重点知识：2、大题考点分布 一 部 理科18、19题 分
研 究 篇
考题研究 第 （一）重点知识：2、大题考点分布 一 部 文科18、19题 分
研 究 篇
考题研究 第 （一）重点知识：2、大题考点分布 一 部 六年的考题对主干知识进行重点考查， 分 即重点知识重点考查，高频考点突出。
研 究 篇
概率统计（2个小题，排列组合，概率统 计，二项式定理；文科1个,古典概型， 2012回归分析，2010随机数模拟（几何 概型））
考题研究 第 （一）重点知识：1、小题考点分布 一 部 分 非主干知识考点：复数、程序框图、
研 究 篇
平面向量、线性规划、集合与简易逻辑
Hale Waihona Puke 考题研究 第 （一）重点知识：2、大题考点分布 一 部 理科17题 分
2016年高考一轮复习备考策略
河北衡水中学数学中心教研室
康彦华
衡 水 中 学 数 学 高 考 成 绩
理科衡中平均分126.99分，全省81.7分 文科衡中平均分122.61分 ，全省63.9分
数学理科满分61人，全省共95人 数学文科满分6人， 全省共8人
高分段人数
衡 水 中 学 数 学 高 考 成 绩
考题研究 第 （三）考查特点： 知识的考查特点 一 1.高考对解析几何内容的考查类型： 部 ①求曲线方程 分 ②曲线的位置关系
研 究 篇
（直线与圆，直线与圆锥曲线，圆与圆，点与曲线）
③与圆锥曲线定义和性质有关的问题
④与曲线有关的最值、存在性、定值定点问题
⑤与曲线有关的几何证明 (平行，垂直，对称，四点共圆等)
知识
研 究 篇
考纲
能力
个性品质
考纲研究 第 一 部 分
1、知识要求 （1）分为三个层次：了解、理解和掌握；