复变函数习题答案第3章习题详解
复变函数习题三参考答案
习题三 3.1计算积分2Cz dz ⎰，其中C 是：（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。
解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t tit =+=+≤≤()2dz i dt =+于是()()()2221222113Ci i d z d t i z t +++==⎰（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z tt =≤≤，2C 参数方程为()201z itt =+≤≤()()122212222122113CC C z dz z dz z dz t dt id it i t +=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z itt =≤≤，2C 参数方程为()02z t it =+≤≤()()()12212222212113CC C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=+++==⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2设C 是,i z e θθ=是从π-到π的一周，计算： （1）()Re Cz dz ⎰；（2）()Im Cz dz ⎰；（3）Czdz ⎰解：cos sin i z e i θθθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+（1）()()Re cos sin cos Cz dz i d i ππθθθθπ-=-+=⎰⎰；（2）()()Im sin sin cos Cz dz i d ππθθθθπ-=-+=-⎰⎰；（3）()()cos sin sin cos 2Czdz i i d i ππθθθθθπ-=--+=⎰⎰3.3计算积分Cz zdz ⎰，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭曲线。
解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθθπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，()()1211cos sin sin cos CC C z zdz z zdz z zdzx xdx i i d iπθθθθθπ-=+=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰3.5沿下列指定曲线的正向计算积分()21C dzz z +⎰ 的值：（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3:2C z i -=。
复变函数第3篇习题课
y
C2
解 设C1 : z x, x : 1 1
C1 1 O
|z|z dz C1
0 1
1
x
|x|x dx
1
C2 : z ei t , t : 0 d z eit i d t
|z|z dz
C2
ei
t
e i
t
i d t
idt i
0
0
i 原式= | z | z d z | z | z d z
解(C解3i1C)Cg自C22C：1CC：1z原C11zz2z：：C22点d1dzzCz3沿xz2虚3ix•iy3iy轴,,0,1,03yx(至(i3yx::x::0i0,00i再yi))1水223dd13平((x3C至1 zCi3i21y)zd)2izd6z3019(ii原y032原)3式x62 式d2i=(d=i6yx)6232962363ii i
故 被积函数 在 | z | 1 上 处处解析
积分结果为0. 6
49页8 直接得到下列积分的结果，并说明理由
Ñ (3) ez (z2 1) d z |z|1
解 结果为 0 , 因为 被积函数 ez (z2 1) 在 | z | 1上 处处解析， 所以 积分结果为0.
Ñ (4)
|z| 1 2
1 (z2 1) (z3 1)
dz
解 结果为 0 , 由 (z2 1) (z3 1) 0 得到
z 1, z 1 3 i
2 这2些点都在圆 | z | 1 的外部。
故
被积函数
在
|
z
|
1
上
2
处处解析
2
积分结果为0. 7
49页9 沿指定曲线的正向计算下列积分
复变函数 高等教育出版社 课后习题详解 第三章
G
0
’ ( ## #C A ( ) -"
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$ 1
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$ 1
0
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小结 ! 找出实部虚部分别计算 % 8.%利用在单位圆周上#C ! 的性质 ! 及柯西积分公式说明 # A #C # 0
G
其中 0 为正向单位圆周 F ! $ #FC !% & $ 解 ! 注意到复积分 -" 在 ## # 中积分变量# 始终限制在; 上变化 ! A
.
5 6 ! C4 1 " , 7 8 1 " C6
$ 1 $ )A 1 5 6 ?4 " # 1 1B$ 1 6 6 7 8 2 1 4 5 6 C$ 4 ?5 1 A 1D 4 1 1 A 1C $ $" , 6 6 6 7 8 C$ 4 ?5 ?5 ( $ * +’ ## #C 6 8 1 $ )A 1 A -" G ?7 8 4 5 6 81 1 1 A 1D 6 A 1 CD$ $" , C$ 6 ?7 ?7
复变函数 西安交通大学 第四版 高等教育出版社 课后答案
-$ 7 & 沿下列路线计算积分? #% 8!% , #A # 自原点至 -$ $ 的直线段 & !
课后习题全解 !!!
& # 自原点沿实轴至 -! 再由 - 沿直向上至 -$ $ & 自原点沿虚轴至$ 再由$ 沿水平方向向右至 -$ # ! $ % 解 !! 所给路线的参数方程为 % 起点参数1 # # ! -$ ## " $ 1 1 # ,( (!! 由复积分计算公式 % 终点参数1 #!% ,!
复变函数第三章习题答案
第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
复变函数习题解答(第3章)
[,]．
因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到的单射，而z(t)是[,]到D内的单射，故f(z(t))是[,]到内的单射．
因在D内有f’(z)0，故在[,]上，|f’(z(t))z’(t) |= |f’(z(t)) | ·|z’(t) |
x2
=v
y2
，v
x2
=u
y2，故w
xx+w
yy= 2 (u
x2
+v
x2
+u
y2
+v
y2
) = 4 (u
x2
+v
x2
) = 4 |f(z) |2；即(2
/x2
+2
/y2
) |f(z) |2
= 4 |f’(z) |2．
18.设函数f(z)在区域D内解析，且f’(z)
0．试证ln |f’(z) |为区域D内的调和函数．
xx+v
yy)v= 0；
由于u,v满足Cauchy-Riemann方程，故u
x2
=v
y2
，v
x2
=u
y2
，u
xv
x+u
yv
y= 0，因此(u
xu+v
xv)2
+ (u
yu+v
yv)2
=u
x2
u2
+v
x2
v2
+ 2u
xuv
xv+u
y2
u2
+v
y2
v2
+ 2u
yuv
复变函数习题答案第3章习题详解.docx
第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。
解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。
解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
《复变函数》第四版习题解答第3章
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
=0
（8）由 Cauchy 积分公式， （9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =33033023233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++i dz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()ii i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
复变函数答案 钟玉泉 第三章习题全解
即 Φ′(x) = 0, Φ( x) = C ,故
f (z) = e x (x cos y − y sin y) + i( xex sin y + e x y cos y + C)
又因 f (0) = 0, 故 f (0) = iC = 0 ⇒ C = 0 ,所以
f (z) = ex ( x cos y − y sin y) + i(xex sin y + e x y cos y)
′(
x)
= 0.
所以ϕ( x) = C ,故
x
y
f (z) = − x2 + y2 + C + i x2 + y2
又因为 f (2) = 0 ,所以 C = 1 ,故 2
x1
y
f (z) = − x2 + y2 + 2 + i x2 + y2
17.证明：设 f (z ) = u + iv ⇒ 4 f ′( z) 2 = 4(ux2 + vy2 )
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πi(2z 2 − z +1) = 4πi
z ≤2 z −1
z =1
(2)可令 f (z) = 2z 2 − z +1,则由导数的积分表达式得
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πif ′(z) = 6πi
z =2 (z − 1) 2
z =1
sin π zdz
∫ v = (xex cos y − e x y sin y + e x coy)dy
∫ = xex sin y + e x sin y − e x y sin ydy
复变函数与积分变换中国石油大学华东崔俭春张高民第三章答案
1
1
= e(1+i )t = e1+i − e0 = e1+i − 1
0
1
3． 积分
(x ∫ c
2
+ iy )dz ，其中 c 为
（2）沿
（1）沿 y
y = x 2 从 0 到1 + i 解：（1）积分曲线的方程为 z = x + iy = t + ti ， t : 0 → 1 ，
代入原积分表达式中，得
z dz = ∫ 1 ⋅ (cosθ + i sin θ )′dθ = ∫ (− sin θ + i cosθ )dθ
π π
= (cosθ + i sin θ ) π = 2
5． 估计积分
0
dz 的模,其中 c 为+1 到-1 的圆心在原点的上半圆周。 2 ∫ z + 2 c
z =1，因而由积分估计式得
1
解：在 c 上，
1 1 1 dz ds ds = ∫ ds = c 的弧长 = π ≤ ≤ 2 2 ∫ ∫ ∫ 2 z z 2 2 + + c c c 2− z c
6． 用积分估计式证明：若
R →+∞
lim
cR
∫
f ( z ) 在整个复平面上有界，则正整数 n > 1 时 f ( z) dz = 0 zn
记dzdsdsds因此上式两端令r取极限由夹比定理得zedz为任意整数5被积函数处处解析无奇点不难看出上述奇点的模皆大于1即皆在积分曲线之外从而在积分曲线内被积函数解析因此根据柯西基本定理以上积分值都为0
习题三答案
1． 计算积分
∫ ( x − y + ix
复变函数与积分变换第三章习题解答
fc Re[f (z)}Lz= s:·T Re[产�/0 = J�os0(- sin0+icos0}10= 冗 i-:t:O
、
f clm[J(z)}lz=
1 单位圆上 z=- 的性质 ， 及柯西积分公式说明 4. 利用
s::r
il) i(J lm[e �e = fo�in0(-sin0+icos0}10 =- -:t:O
宣
(4) (5) ( 6)由柯西基本定理知 ： 其结果均为0
1 正气衣 =f 一 (z+iXz +4) 如fz+il: lz 气 z +j z- J 3
2
I
1
=2冗i
(8)由
Cauchy 积分公式，
(9)由 高阶求导公式， (10)由高阶求导公式
fc ,'�"�『心 �2 i(sin,)
兀
f sinzdz =2
I。
: z 由=JJ3r +i t)\3+i肋
+I 2
(2)
I:
打
/dz = �··(. 止+f c, z油+f C2/dz•
2
l。
1 I 26. I =...:.(3+i)3 t3 1 =-(3+i)1=6+—I 3 3 3 0
=(3 + i)3
I
t d,
2
C3
{
x = 3, y =t,
(Ost 釭）； c, 之参数方程为{ y = t,
-4 -
故 Re [
共部分为 B 。 如果 f伈）在B1 -B 与B2 -B内解析 ， 在 证明
1 3. 设 cl 与 C 2为相交干 M、N两点的简单闭曲线
复变函数第三章答案
∫
C
1 dz ： ( z − 1) 2
由于
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 − ， 所以， 由复积分的牛顿—莱布尼茨公式， 2 ( z − 1) z −1
I2 = ∫
再计算 I1 = 由于
C
1 1 3 1 1 1 dz = − = − = 。 2 ( z − 1) z −1 2 1− 3 1 − 2 2
1 1 I = ∫ zdz = ∫ ( −1 + 2t ) 2dt = 2 ( −t + t 2 ) = 0 。 C 0 0
���� �
���� �
（ 2） −1 到 1的上半单位圆周 z = 1 的参数方程为： z = e （ 0 ≤ θ ≤ π ） ，所以，
iθ
I = ∫ zdz = ∫ e − iθ ie iθ dθ = ∫ idθ = −π i 。
同情况分四种情形来证明结论： Ⅰ：积分路线 C 如第 6 题图（1） 情形 情形Ⅰ ，
补充有向直线段 1, 0 ，显然 C + 1, 0 构成简单闭曲线，并且 ± i 既不在 C + 1, 0 的内部也不在
���
���
���
��� C + 1, 0 上，所以
理
��� 1 在 C + 1, 0 所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定 1+ z2
I1 = ∫
C
� � 构成闭曲线（非简单） ，此时 C + 3, 2 可分解成两个简单闭曲线 2 MA2 和 3 AN 3 ，类似于上面的情
形，有
��� �
∫
∫
于是由复积分的曲线可加性
� 2 MA 2
� 3 AN 3
最新复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++idz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
复变函数第三章习题参考答案
工程数学（复变函数） 第三章复习题参考答案
湖南大学数学与计量经济学院
一、判断题（每题2分，5题共10分）
1、 f ( z ) 为定义在区域 D 内的解析函数，则其导函数 f ( z ) 也是解析函数. （ 若 2、 f ( z ) 在区域 D 内解析， 若 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 f ( z )dz 0 （ .
t t z
1
(1 i)e (1 i)e it (cos t i sin t sin t i cos t ) (e ieit ) 2 2 0 0
t t
1
1
e
(1i ) t 1 0
e1i e0 e1i 1 .
7、解： （1） c 的方程为 z x ，代入，得
1
c2
e
ei (cos y i sin y )dy e 1 ei (sin y i cos y ) 0
0
e 1 ei (sin1 i cos1 i) e(cos1 i sin1) 1 e1i 1；
2）从 0 到1 i 的直线段的方程为 z x iy t ti ， t : 0 1 ， 代入积分表达式中，得
n 2
2、证明： u x2 y2 xy ux 2x y, uy 2 y x
2u 2u 2 2 2 2 0 u 是调和函数. x y
v( x, y)
( x, y )
(0,0)
复变函数习题解答-3
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
iη θ ie θ 1 1 1 π 2i cosη d dx d dη . （分子分母同乘以 1 + e −2iη ） ζ = + η = + ， 关。则 ∫ ∫0 1 + x 2 ∫0 1 + e2iη ∫ 0 1+ ζ 2 0 4 2 + 2 cos 2η
3π i 2z
=0
−π i
2）
∫π ch 3zdz = 3 sh 3z |π
6 i
0
1
0 i/6
= −i/3
3） 4） 5） 6）
∫ π sin
- i
1
πi
2
zdz = ∫
1 − cos 2 z z sin 2 z π i 1 dz = ( − ) |-π i = (π − sh 2π )i -π i 2 2 4 2
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
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第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1)自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()3333123230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3)自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2xy =算出积分()⎰++idz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22 ()dx i dz +=∴1()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
问()[]0=⎰Cdz z f Re ，()[]0=⎰Cdz z f Im 是否成立如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如：()z z f =，ϑi e z C =：，πϑ<≤0()[]()i i d dz z f Cπϑϑϑπ=+=⎰⎰sin cos cos Re 20()[]()πϑϑϑπ-=+=⎰⎰sin cos sin Im i d dz z f C204． 利用在单位圆上z z 1=的性质，及柯西积分公式说明i dz z Cπ2=⎰，其中C 为正向单位圆周1=z 。
解：011-==z z z ()i f dz z dz z CCππ20201==-=∴⎰⎰ 5． 计算积分⎰Cdz zz的值，其中C 为正向圆周： 1) 2=z ；解：在2=z 上，ϑi e z 2= ()[]i i id e d e dz z z i i Cπϑϑπππϑϑ422222202020====⎰⎰⎰-2) 4=z解：在4=z 上，ϑi e z 4= ()[]i i id e d e dz z z i i Cπϑϑπππϑϑ844444202020====⎰⎰⎰-6． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么C 是正向的圆周1=z 。
1)⎰-Cz dz2解：()21-=z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02=-⎰Cz dz 2)⎰++Cz z dz422解：()()2221421+=++=z z z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0422=++⎰C z z dz3)⎰Cz dzcos 解：()z z f cos 1=在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=⎰Cz dz cos 4)⎰-Cz dz 21解：()1=z f 在C 内解析，210=z 在C 内，i if z dzCππ221221=⎪⎭⎫⎝⎛=-⎰5)⎰Czdz ze解：()z ze z f =在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=⎰Cz dz ze6)()⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-C z i z dz22 解：()()21+=z z f 在C 内解析，20iz =在C 内，()22122222i ii if z i z dz C +=⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰ππ 7． 沿指定曲线的正向计算下列各积分：1)⎰-Czdz z e 2，C ：12=-z 解：2=z 在C 内，()ze zf =在C 解析，根据柯西积分公式：222ie dz z e Czπ=-⎰2)⎰-Caz dz22，C ：a a z =-解：a z =在C 内，()az z f +=1在C 解析，根据柯西积分公式：i dz a z az a z dzCCπ=-+=-⎰⎰222213)⎰+Cizdz z e 12，C ：232=-i z 解：i z =在C 内，()i z e z f iz +=在C 解析，根据柯西积分公式：⎰⎰=-+=+CizCizedz i z i z e dz z e π12 4)⎰-Cdz z z3，C ：2=z 解：3=z 不在C 内，()3-=z zz f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：03=-⎰Cdz z z 5)()()⎰--C z z dz1132，C ：1<=r z 解：()()()11132--=z z z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：()()01132=--⎰C z z dz 6)⎰Czdz z cos 3，C ：为包围0=z 的闭曲线 解：()z z z f cos 3=在C 解析，根据柯西—古萨定理：03=⎰Czdz z cos7)()()⎰++Cz z dz 4122，C ：23=z 解：i z =在C 内，()()()412++=z i z z f 在C 解析，根据柯西积分公式：()()⎰++Cz z dz 41228)⎰Cdz z zsin ，C ：1=z 解：0=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据柯西积分公式：002==⎰sin sin i dz z zCπ 9)⎰⎪⎭⎫⎝⎛-Cdz z z22πsin ，C ：2=z解：2π=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据高阶导数公式：02222==⎪⎭⎫⎝⎛-⎰πππ'sin sin i dz z zC10) ⎰C zdz ze 5，C ：1=z解：0=z 在C 内，()ze zf =在C 解析，根据高阶导数公式：()()!!4204245if i dz ze C z ππ==⎰ 8． 计算下列各题：1)⎰-iiz dz e ππ32解：()02121263232=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---⎰ii ii z ii ze e e dz e ππππππ 2)⎰063izdz ch π；解：320313313066i i sh z sh zdz ch i i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πππ3)⎰-iizdz ππ2sin ；解：πππππππππ222412212212sh i i z i dz z zdz iiii ii -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=---⎰⎰sin cos sin4)⎰1zdz z sin ；解：[]⎰⎰⎰+-=+-=-=101101011sin cos cos cos cos sin zdz z z z zd zdz z5)()⎰--izdz ei z 0；解：()()()[]()i i i i ziz iz izie e e i dz eei z de i z dz e i z -------=--=+--=--=-⎰⎰⎰10006)⎰+idz z tgz121cos （沿1到i 的直线段）。
解：()12112121112212112tg tg i tg tgi z tg tgz dtgz tgz dz z tgz ii i--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+⎰⎰cos 9． 计算下列积分：1)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++Cdz i z z 2314，（其中C ：4=z 为正向）； 解：()i i dz i z dz z dz i z z CCC ππ1434223142314=+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎰⎰⎰ 2)⎰+Cdz z i122，（其中C ：61=-z 为正向）； 解：()()()()()()022*******=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+++-=-+=+-==⎰⎰⎰⎰i z i z C CC C i z i i z i i dz i z i z idz i z i z idz i z i z idz z i π3)⎰+=213C C C dz zzcos ，（其中1C ：2=z 为正向，2C ：3=z 为负向）； 解：()3z z z f cos =在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：0213=⎰+=C C C dz z z cos 4)⎰-Ci z dz ，C ：1=z （其中C 为以21±，i 56±为顶点的正向菱形）； 解：在所给区域内，()i z z f -=1有一孤立奇点，由柯西积分公式：i i z dz Cπ2=-⎰ 5) ()⎰-C zdz a z e 3，（其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z 为正向）。
解：当a z ≥，()()3a z e z f z-=在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：()03=-⎰C zdz a z e 当a z ≤，()z e z f =在所给区域内解析，根据高阶导数公式：()i e e i dz a z e a a C z ππ==-⎰!223 10． 证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，012=⎰Cdz z。
证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：012=⎰Cdz z ； 当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：()00212==⎰'if dz zCπ； 11． 下列两个积分的值是否相等积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到为什么1)⎰=2z dz z z 2)⎰=4z dz z z 解：1）0222202==⎰⎰-=πϑϑϑϑd ie ee dz z zi i i z ； 2）0444204==⎰⎰-=πϑϑϑϑd ie ee dz z z i i i z 由此可见，1）和2）的积分值相等。