矩阵练习题
高等代数矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.错.2. 如果20,A =则0A =.错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠ ⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n .5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形.7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB =正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵.2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵；(B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵；(C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零；(C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =(C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C =(D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）.(A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠；(B) 当m n >时，必有行列式0AB =(C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠；(D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++. （C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0n A =(B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A)1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A)若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA =(B)若A 是可逆矩阵，则必有AB BA =(C)若0A ≠，则从AB AC =可推出B C =(D)若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ）(A)ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E =14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；(B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A)A (B) 2A (C) 3A (D) 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A) 1n jk ki k a A =∑ (B) 1n kj ki k a A =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL LL L, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随(D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ )(A)**ACB⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)**A ACB B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)**B ACA B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)**A B ACA B B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E=验证.19．已知46135,12246A B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ）(A)A B+ (B)A B- (C)AB (D)AB BA-20．设,A B是两个m n⨯矩阵，C是n阶矩阵，那么（ D ）21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA=，那么B是一个（Ｃ）(A)对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且0A=，那么A的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（B）只有一个为零（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A-=（ D ）(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（B）131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D）121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P=（ B ）(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLLL L L L LL，若矩阵A的秩为1，则a必为（A ）(A)1 （B）-1 （C）11n-（D）11n-矩阵A的任意两行成比例.26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
矩阵的秩练习题
矩阵的秩练习题一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，若r(A)=2，则A的行向量组（）。
A. 线性相关B. 线性无关C. 可以构成空间D. 不能确定2. 若矩阵A的秩为r，则A的行秩和列秩（）。
A. 相等B. 不相等C. 大于rD. 小于r3. 设矩阵A为m×n矩阵，若r(A)=m，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性相关C. A为满秩矩阵D. A为可逆矩阵4. 设矩阵A为n阶方阵，若r(A)=n，则A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 对角线元素全为0D. 对角线元素全为1二、填空题1. 设矩阵A为4×5矩阵，若r(A)=3，则矩阵A的列向量组中线性无关的向量个数为______。
2. 若矩阵A为3×4矩阵，r(A)=2，则矩阵A的行向量组中线性相关的向量个数为______。
3. 设矩阵A为5阶方阵，若r(A)=4，则矩阵A的秩的补为______。
4. 若矩阵A为2×3矩阵，且r(A)=2，则矩阵A的列空间维数为______。
三、计算题1. 已知矩阵A如下，求矩阵A的秩：A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8& 9 \end{bmatrix}\)2. 设矩阵B如下，求矩阵B的秩：B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0& 1 \end{bmatrix}\)3. 已知矩阵C如下，求矩阵C的秩：C = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}\)4. 设矩阵D如下，求矩阵D的秩：D = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)四、应用题1. 设矩阵E为3×4矩阵，r(E)=3，证明E的列向量组线性无关。
矩阵运算新练习题
（2 ）
( z 3.2)( z 2.6) H ( z) z 5 ( z 8.2)
9.假设描述系统的常微分方程为
y (t ) 13 y(t ) 4 y(t ) 5 y(t ) 2u(t )
(3)
请选择一组状态变量并将此方程在MATLAB工 作空间中表示出来，并求出系统的传递函数和零 极点模型。（提示：几阶微分方程就选几个状态 变量） 10.假设系统的状态空间方程为
6 8 0 A 5 3 2 1 4 3
1 4 2 2 1 2 和B 0 3 1
3 p ( x ) x 2 x 4的根 2.求多项式
3.已知多项式的根分别为1、2、3、4、5，试求此根 的多项式。 4.求多项式 p( x) x5 15x4 85x3 225x2 274x 120 在点x=9处的值。 2 3 2 q ( x ) 2 x x5 5.分别求多项式 p( x) 3x 2x x 8与 的导数及p( x)* q( x) 和 p( x) / q( x) 的导数，并求出p(2) 和 q(2)的值 6.求线性方程的解：要求分别用直接法和LU分解法 求线性方程的解。
11.假设系统由下面的传递函数矩阵给出，试将其输 入到MATLAB工作空间。 0.72 s
0.252e (1 3.3s)3 (1 1800 s) G ( s) 0.0435 3 (1 25.3 s ) (1 360 s)
线性代数练习题-矩阵
线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。
6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
矩阵论练习题
练习一一﹑选择题1、对于()212,x x R ∀∈，下列变换是2R 上的线性变换的是 ( D )．(A) ()()21212,,T x x x x =； (B) ()()21212,,T x x x x =；(C) ()()1212,,0T x x x x =； (D) ()()1212,,T x x x x =-. 2、设()(),A B λλ为两个n 阶λ-矩阵，则 ( D ).(A) 若()A λ满秩，则()A λ必可逆； (B) ()A λ可逆当且仅当()0A λ≠；(C) 若()A λ与()B λ秩相等，则()A λ与()B λ等价；(D) 若()A λ与()B λ等价，则()A λ与()B λ具有相同的不变因子. 3、设()n n ij A a C ⨯=∈，则下列不能构成矩阵范数的是( A )．(A) ,max ij i ja ； (B) ,max ij i jn a ⋅； (C) 1max nij ij a =∑； (D) 1max nij j i a =∑.4、设n n A C ⨯∈，H A 为A 的共轭转置矩阵，()A ρ为A 的谱半径，A 为A 的范数，则下列说法不正确的是( C )．(A)()[]()kk A A ρρ=； (B) ()()H H A A AA ρρ=；(C) 若()1A ρ<，必有E A -可逆； (D) 若A 为收敛矩阵，必有()1A ρ<. 5、设V 为酉空间，C λ∈，,V αβ∈且(),αβ为α与β的內积，则下列说法不正确的是( B )．(A) ()(),,λαβλαβ=； (B) ()(),,αλβλαβ=； (C) ()()(),,,αβγαβαγ+=+； (D) ()()(),,,βγαβαγα+=+.二﹑填空题1、已知100231120012233002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则A 的LDU 分解为 .2、设sin ()2cost t t te A t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0()x A t dt ⎰=21cos 1sin x x x xe e xx ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.3、设矩阵2242t tt At tt t e te te e te e te ⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦ ，则矩阵A =1143-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、矩阵100110111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相对于矩阵范数∞ 的条件数为 6 .5、设11122122⎛⎫=⎪⎝⎭x x X x x ，(),A a b =，则()d AX dX =0000a a b b ⎛⎫⎪⎝⎭. 6、已知101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则543258884A A A A A E -+-+- =001102002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.7、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A ，则A 的正奇异值的个数为 2 .三、计算题已知 1(1,3,2,1)T α=-，2(1,0,0,2)T α=，1(0,1,1,3)T β=，2(3,2,1,6)T β=--， 且112{,}V span αα=，212{,}V span ββ=，求12V V +与12V V 的基和维数. 解：因为1212{,}V V span αα+=+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ而12121103100130120102(,,,)2011001112360000ααββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 由于121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ且21212βααβ=--. 由行最简形知12dim()2,dim()2,V V ==又121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+- 故12dim()1V V =311100222110201236001212A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由21212βααβ=--得()12121223,3,2,3TV V ξααββ=-=+=--∈所以()3,3,2,3T--为12V V 的一组基。
线性代数第二章练习题
第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。
矩阵相关练习题
矩阵相关练习题矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面将给出几道矩阵相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用矩阵的性质和运算。
1. 矩阵的基础运算给定矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。
2. 矩阵的乘法设矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，矩阵C = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求矩阵B和矩阵C的乘积BC。
3. 矩阵的逆给定方阵D = [[2, 1], [4, 3]]，求矩阵D的逆。
4. 矩阵的行列式设矩阵E = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵E的行列式。
5. 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵F = [[3, -1], [4, -2]]，求矩阵F的特征值与特征向量。
6. 矩阵的奇异值分解给定矩阵G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，对矩阵G进行奇异值分解。
7. 矩阵的广义逆设矩阵H = [[1, -2], [3, -6]]，求矩阵H的广义逆。
8. 矩阵的转置与共轭转置给定复数矩阵I = [[1+2i, 3-4i], [5+6i, 7-8i]]，求矩阵I的转置和共轭转置。
9. 矩阵的正交性给定矩阵J = [[1, 0], [0, -1]]，判断矩阵J是否是正交矩阵。
10. 矩阵的对称性设矩阵K = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]]，判断矩阵K是否是对称矩阵。
这些练习题可以帮助读者巩固对矩阵性质和运算的理解，并提升解决实际问题时的能力。
希望读者能够认真思考并合理应用矩阵的知识，进一步拓展线性代数的应用领域。
高中数学矩阵练习题及讲解
高中数学矩阵练习题及讲解1. 矩阵的加法设矩阵A和矩阵B如下：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵A和B的和，并验证加法的交换律。
2. 矩阵的数乘给定矩阵C：\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 求矩阵C与标量2的乘积。
3. 矩阵的乘法设矩阵D和矩阵E如下：\[ D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \]求矩阵D和E的乘积。
4. 矩阵的转置给定矩阵F：\[ F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]求矩阵F的转置。
5. 矩阵的行列式给定矩阵G：\[ G = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵G的行列式。
6. 矩阵的逆给定矩阵H：\[ H = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \] 求矩阵H的逆矩阵，如果H不可逆，请说明原因。
7. 线性方程组的矩阵表示考虑以下线性方程组：\[ \begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 1\end{align*} \]将此方程组转换为矩阵形式，并求解。
8. 特征值和特征向量给定矩阵I：\[ I = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] 求矩阵I的特征值和对应的特征向量。
高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案.docx
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。
矩阵练习题
矩阵练习题一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵是矩阵A的转置？A. [a11 a12]B. [a21 a22][a21 a22] [a12 a11]2. 矩阵A和矩阵B可进行矩阵乘法的条件是：A. A的行数与B的列数相等B. A的列数与B的行数相等C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数3. 矩阵的行列式是：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵元素的乘积D. 矩阵的行与列的乘积4. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0]B. [0 1][0 1] [1 0]5. 若矩阵A的秩为1，则矩阵A的行向量或列向量：A. 线性相关B. 线性无关C. 垂直D. 正交二、填空题1. 矩阵的______是指矩阵中所有元素的和。
2. 若矩阵A的元素满足aij=aji，则称矩阵A为______矩阵。
3. 矩阵的______是指矩阵中不为零的元素的个数。
4. 矩阵的______是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
5. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量和列向量中，线性无关的向量最多有______个。
三、简答题1. 简述矩阵的可逆性的条件。
2. 描述矩阵的初等行变换和初等列变换。
3. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量。
四、计算题1. 给定矩阵A=[2 1; 3 4]，求矩阵A的转置。
2. 已知矩阵B=[1 2; 3 4]和矩阵C=[1 0; 0 1]，计算矩阵B与矩阵C 的乘积。
3. 计算以下矩阵的行列式：D=[1 -2; 3 4]。
4. 若矩阵E=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵E的秩。
5. 给定矩阵F=[1 0; 0 1]，求矩阵F的逆矩阵。
五、证明题1. 证明若矩阵A可逆，则矩阵A的转置也是可逆的，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T。
2. 证明矩阵的行列式与矩阵的转置的行列式相等。
六、应用题1. 某公司有三个部门，每个部门有四个员工。
矩阵矩阵运算 练习题(三)
矩阵、矩阵运算练习题（三）一、判断题1. 设B A,均为n 阶矩阵，则BA AB =. （ ）2. 若AC AB =，则C B =. （ ）3. 设B A ,均为可逆矩阵，则AB 也可逆且111)(---=B A AB . （ ）4. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有BA AB =. （ ）5. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有B A B A +=+.（ ） 6. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有()T T T B A AB =. （ ）7. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有()2222B AB A B A ++=+ （ ）8. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有)()(BA AB r r =. （ ）9. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有若02=A ，则0=A . （ ）10. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有若0=A A T ，则0=A . （ ）11. 设方阵A 满足A AA =，则必有0=A 或E A =. ( )12. 设B A ,是不可逆的同阶方阵，则B A =. ( )13. 设*A 为n 阶方阵()2≥n A 的伴随矩阵，若A 为满秩方阵，则*A 也是满秩方阵.( )14. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是：当0≠X 时,0≠AX ,其中.),,,(21T n x x x =X ( )15. B A ,均为三阶阵,且0=AB 则00==B A 或. ( ) 16. )()(A A r r ≤*, A A 是*的伴随矩阵. ( )二、选择题1. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b b a b b b a A ，已知伴随矩阵*A 的秩为1，则必有( ).(A) 02≠+≠b a b a 且； (B) 02=+≠b a b a 且；(C) 02≠+b a b a 或＝； (D) 02=+=b a b a 或2. 则，且，阶方阵为设)()(B A B A,r r n =( ). (A) 0)(=-B A r ； (B) )(2)(A B A r r =+；(C) )(2)(A B ，A r r =； (D) )()()(B A B ，A r r r +≤。
矩阵的练习题
矩阵的练习题矩阵是线性代数重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在学习矩阵的过程中，我们需要通过大量的练习题来加深对矩阵的理解和掌握。
下面，我将为大家提供一些矩阵的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
练习题一：矩阵的基本操作1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：矩阵A的转置矩阵是矩阵A的行和列互换得到的矩阵。
所以，矩阵A的转置矩阵为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 已知矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：要求矩阵B的逆矩阵，需要满足矩阵B与其逆矩阵相乘的结果为单位矩阵。
对于3阶方阵的逆矩阵，可以使用伴随矩阵法求解。
经过计算，矩阵B的逆矩阵为：[0 0.333 -0.167; -0.667 0.333 0.333; 0.333 -0.667 0.333]。
练习题二：矩阵的乘法1. 已知矩阵C = [1 -2; 3 4]，矩阵D = [5 6; -7 8]，求矩阵C和矩阵D的乘积。
解答：矩阵的乘法是按行乘以列再求和的运算。
根据定义，矩阵C和矩阵D的乘积为：[1*-2+(-2)*(-7) 1*6+(-2)*8;3*-2+4*(-7) 3*6+4*8] = [-9 -10; -34 42]。
2. 已知矩阵E = [2 3; -1 4; 0 1]，矩阵F = [-2 1 5; 3 4 -2]，求矩阵E和矩阵F的乘积。
解答：矩阵E是一个3×2矩阵，矩阵F是一个2×3矩阵。
根据定义，矩阵E和矩阵F的乘积为：[2*-2+3*3 2*1+3*4 2*5+3*(-2);-1*(-2)+4*3 -1*1+4*4 -1*5+4*(-2);0*(-2)+1*3 0*1+1*4 0*5+1*(-2)] = [5 14 4; 14 15 -15; 3 -2 -10]。
练习题三：矩阵的行列式1. 求矩阵G = [2 1; 3 4]的行列式。
矩阵练习
1. 在R 22⨯中求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3021A 在基123111111,,,111000E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41000E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的坐标。
2. 试证：在R 22⨯中矩阵123411111110,,,11011011αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性无关，并求⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。
3. 在R 22⨯空间中，线性变换T ：()221240,2114T X X X R ⨯-⎡⎤⎡⎤=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求T 在基123101111,,,000010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵表示。
4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换，它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512301321A （1）求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示； （2）求T 在基123,,ααα下的核与值域。
5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----211212112 , （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2000120010201012. 6. 已知矩阵310121013A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。
7. 已知3阶矩阵1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量 （1）求,x y ；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵； （3）求A 的谱分解表达式。
8. 已知矩阵011101110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。
9. 已知矩阵024********2A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦验证A 是单纯矩阵，并求A 的谱分解表达式。
大学数学二年级上册 矩阵运算 专项练习题(100道题)
大学数学二年级上册矩阵运算专项练习题(100道题)一、选择题 (共15题)1. 下列矩阵中，不满足可逆条件的是:A) $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{pmatrix}$2. 设 $A$ 是一个非零矩阵，并且 $AB=0$，则 $B$ 是一个：A) 零矩阵B) 单位矩阵C) 可逆矩阵D) 非零矩阵3. 已知矩阵 $A=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$，则 $A^{-1}$ 等于：A) $\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$4. 设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^2$ 等于：A) $\begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 28 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 10 & 15 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 7 & 15 \\ 15 & 33 \end{pmatrix}$...二、填空题 (共15题)1. 已知 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $A+B$ 等于______________。
矩阵_练习题
矩阵 练习题1、设 f (x) = x 2 - 3x + 2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3121A ，求 f (A ) 。
2、计算下列矩阵的乘积（其中 m ，k ，n 均为正整数）：nk m⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110010001101010001100011001。
3、已知矩阵 A = BC ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121B ，C = ( 2, -1, 2 ) ，求 A 100 。
4、设向量 α = ( 1 , 2 , 3 , 4 )，β = ( 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 )，且 A = αT β，求 A 10 。
6、求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001001101111111A 的逆矩阵。
7、设三维列向量 α = ( 1 , 0 , -1 )T ，三阶方阵 A = 3E - ααT，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 A -1 。
8、（1）设分块矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A B H 0可逆，其中 A 、 B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，求 H -1 ；（2）利用（1）的结果，计算下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31132225110012H 。
9、当 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2/12/32/32/1A 时，A 6 = E ，求 A 11 。
13、求解矩阵方程 AX = B ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121112110A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100142B 。
14、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101410311A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120002011B 。
求矩阵方程 X - XA = B 。
15、已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102210011，三阶矩阵X 满足A 2 X = 2E + AX ，求矩阵X 。
16、已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ，且 A 2 - AB = E （其中 E 为三阶单位矩阵），求矩阵B 。
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一、填空题:
１．若A ,B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是 . ２. 若n 阶方阵A ，B ,C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵,则1-C ＝ ．
3. 设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，若⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=00A B C , 则1-C ＝ . 4. 设A ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝ ． 5. 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=111111A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=432211B .则=+B A 2 . ６.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300020001A ,则1-A ＝
7.设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，T A 为A 的转置，则B A T = ．
8. ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵,则AB 的秩等于 .
二、判断题
1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 k k k B A AB =)(（ｋ为正整数).……………（ ）
2． 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111C B A ---=.……………………………（ )
3． 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆,则,A B 都不可逆．……………………… ( )
4. 设B A 、为n 阶方阵,且0AB =,其中0A ≠,则0B =．……………………… ( )
5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵,且I CA I AB ==,,则C B =．……………………( ）
6． 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =,则B 也是n 阶对角矩阵．…（ ) ７． 两个矩阵A 与B ,如果秩（A )等于秩（B ），那么A 与B 等价. …………（ ) ８． 矩阵A 的秩与它的转置矩阵T
A 的秩相等． ……………………………………( )
三、选择题
1．设A 为3×4矩阵,若矩阵A 的秩为2，则矩阵T A 3的秩等于( B )
(A) 1 (Ｂ） 2 （C) 3 (Ｄ） 4
２． 已知B A 、为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）
(A ） BA AB = (B ） )()(BC A C AB =
(C) BC AC C B A +=+)( (Ｄ) CB CA B A C +=+)(
３． 设I PAQ =,其中P 、Q 、A 都是n 阶方阵，则（ )
（Ａ)111---=Q P A （B ）111---=P Q A （C ）PQ A =-1 (D ）QP A =-1 ４． 设n 阶方阵A ,如果与所有的n 阶方阵B 都可以交换，即BA AB =,那么A 必定是
( )
(A)可逆矩阵 (B ）数量矩阵 (C ）单位矩阵 (D ）反对称矩阵
５. 两个n 阶初等矩阵的乘积为（ )
（A ）初等矩阵 （Ｂ）单位矩阵 （Ｃ）可逆矩阵 (D)不可逆矩阵
6. 有矩阵
23⨯A ,32⨯B ,33⨯C ）
(A ）AC (B ）BC （C)ABC （D ）C AB -
7． 设A 与B 为矩阵且AC CB =，C 为m n ⨯的矩阵，则A 与B 分别是什么矩阵( )
（A) n m m n ⨯⨯ (B ） m n n m ⨯⨯ (Ｃ) n n m m ⨯⨯ （D ） m m n n ⨯⨯
8. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列不正确的是 （ )
(A) 1A -可逆 (Ｂ) I A +可逆 (C) 2A -可逆 (D) 2A 可逆
9.B A ,均n 阶为方阵,下面等式成立的是 ( ）
（A ） BA AB = （Ｂ)T T T B A B A +=+)(
（C) 111)(---+=+B A B A (D ）111)(---=B A AB
10. 设B A ,都是n 阶矩阵,且0=AB ,则下列一定成立的是( ）
(A) 0=A 或0=B （B ）B A ,都不可逆
(C ）B A ,中至少有一个不可逆 (D ）0=+B A
1１. 设B A ,是两个n 阶可逆方阵,则()
[]1-T AB 等于（ ） （A)()1-T A ()1-T B (B) ()1-T B ()
1-T A （C ）()T B 1-T A )(1- （D ）()T B 1-()1
-T A 12. 若B A ,都是n 阶方阵,且B A ,都可逆，则下述错误的是（ ）
(A)B A +也可逆 (B)AB 也可逆 （C ）1-B 也可逆 (D ）11--B A 也可逆
１3． B A ,为可逆矩阵,则下述不一定可逆的是 （ )
(A ）AB （B)B A + （Ｃ)BA （D)BAB
14.设B A ,均为n 阶方阵,下列情况下能推出A 是单位矩阵的是 （ )
（A ）B AB = (Ｂ)BA AB = (C)I AA = (Ｄ）I A =-1 1５. 若B A 与均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则( )
（A ）n A R <)( (B ）n A R =)( (C ）0)(=A R （Ｄ）0)(=B R
四、解答题:
１. 给定矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=443312111A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321B ，求A B T 及1-A 2． 求解矩阵方程=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X 110011101⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛521234311
3. 求解矩阵方程B XA =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011220111A ,⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112011111B ４． 求解下面矩阵方程中的矩阵X :⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X
5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B ,使其满足矩阵方程B A AB 2+=.
五、证明题
１. 若A 是反对称阵，证明2A 是对称阵.
2.设矩阵,A B 及A B +都可逆，证明11A B --+也可逆．
3.已知B A ,为n 阶方阵，且B A B A B B A A +=-==2
22)(,,，
证明：0=+BA AB
4. A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵, 证明:AB 是反对称矩阵的充要条件是BA AB =.。