3.1单纯形法的矩阵描述 PPT课件
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单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
单纯形法的矩阵描述
σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。
第五章 单纯形法ppt课件
➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
《单纯形方法》课件
04
最优解的确定
检查终止条件
在迭代过程中或迭代结束后，检查是 否满足终止条件。
确定最优解
如果满足终止条件，则当前最优解即 为所求的最优解；否则继续迭代。
CHAPTER 04
单纯形方法的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
线性规划问题，目标是最大化利润，约 束条件包括生产能力、市场需求等。
VS
详细描述
02 它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数 。
03 通过构建单纯形表格，可以方便地表示线性规划 问题的数学模型。
单纯形迭代
1
单纯形迭代是求解线性规划问题的主要方法之一 。
2
该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
3
在每次迭代中，根据当前解的情况，通过一系列 计算找到下一个迭代点，直到达到最优解或满足 终止条件。
CHAPTER 02
单纯形方法的原理
线性规划问题
01
线性规划是数学优化技术的一种，用于在有限的资 源下，寻找一组变量的最优解。
02
线性规划问题通常表示为在一组线性不等式约束下 ，最小化或最大化一个线性目标函数。
03
线性规划问题广泛应用于生产计划、资源分配、投 资组合优化等领域。
单纯形表格
01 单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格 形式。
改进的方法与策略
混合整数规划
将整数规划与线性规划相结合，以处理包含 整数约束的优化问题。
并行计算
利用多核处理器或多计算机系统，加快单纯 形方法的计算速度。
全局优化
通过引入新的算法和策略，以实现全局最优 解，而不仅仅是局部最优解。
自适应算法
根ห้องสมุดไป่ตู้问题的特性，动态调整算法参数，以提 高求解效率。
最优解的确定
检查终止条件
在迭代过程中或迭代结束后，检查是 否满足终止条件。
确定最优解
如果满足终止条件，则当前最优解即 为所求的最优解；否则继续迭代。
CHAPTER 04
单纯形方法的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
线性规划问题，目标是最大化利润，约 束条件包括生产能力、市场需求等。
VS
详细描述
02 它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数 。
03 通过构建单纯形表格，可以方便地表示线性规划 问题的数学模型。
单纯形迭代
1
单纯形迭代是求解线性规划问题的主要方法之一 。
2
该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
3
在每次迭代中，根据当前解的情况，通过一系列 计算找到下一个迭代点，直到达到最优解或满足 终止条件。
CHAPTER 02
单纯形方法的原理
线性规划问题
01
线性规划是数学优化技术的一种，用于在有限的资 源下，寻找一组变量的最优解。
02
线性规划问题通常表示为在一组线性不等式约束下 ，最小化或最大化一个线性目标函数。
03
线性规划问题广泛应用于生产计划、资源分配、投 资组合优化等领域。
单纯形表格
01 单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格 形式。
改进的方法与策略
混合整数规划
将整数规划与线性规划相结合，以处理包含 整数约束的优化问题。
并行计算
利用多核处理器或多计算机系统，加快单纯 形方法的计算速度。
全局优化
通过引入新的算法和策略，以实现全局最优 解，而不仅仅是局部最优解。
自适应算法
根ห้องสมุดไป่ตู้问题的特性，动态调整算法参数，以提 高求解效率。
单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件
或确定无界解。
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
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s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
单纯形法的矩阵描述课件PPT
单纯形法的基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的 算法。
它通过迭代的方法，不断寻找最优解 ，直到找到最优解或确定无解为止。
单纯形法的步骤
01
初始化
设置初始单纯形表格，选择一个初始基可行解。
02 03
迭代
通过迭代的方式，不断寻找最优解。在每次迭代中，根据单纯形表格进 行相应的操作，包括进基、离基、换基等步骤，直到找到最优解或确定 无解。
初始解选择
选择合适的初始解，避免 陷入循环的可能性。
算法终止条件
设置合适的终止条件，在 循环发生之前提前结束算 法。
启发式搜索策略
引入启发式搜索策略，指 导算法跳过可能导致循环 的解。
处理特殊情况的方法
异常处理
针对特殊情况，如输入数据错误、 矩阵奇异等情况，设计异常处理 机制。
边界情况处理
对算法边界情况进行特殊处理，确 保算法的正确性和稳定性。
生产调度
通过单纯形法，企业可以优化生 产调度，合理安排生产任务，提
高生产线的协同作业能力。
在金融投资组合中的应用
投资组合优化
单纯形法可用于优化金融投资组合，帮助投资者 选择最佳的投资组合方案，降低投资风险。
风险控制
在金融投资中，单纯形法可以帮助投资者控制风 险，通过分散投资降低资产波动。
收益最大化
单纯形法的矩阵描述课件
目 录
• 单纯形法简介 • 单纯形法的矩阵描述 • 单纯形法的实现 • 单纯形法的改进与优化 • 单纯形法的应用 • 总结与展望
01 单纯形法简介
线性规划问题
01
线性规划问题是在一组线性不等 式约束下，最大化或最小化一个 线性目标函数的问题。
02
线性规划问题在运筹学、经济学 、管理学等领域有广泛的应用。
运筹学-单纯形法ppt课件
基本解中最多有m个非零分量。
基本解的数目不超过
C个nm。
n!
m!n
m!
定义 在线性规划问题的一个基本可行解中，如果所有的基变量都取正值，则 称它为非退化解，如果所有的基本可行解都是非退化解。称该问题为非退化的 线性规划问题；若基本可行解中，有基变量为零，则称为退化解，该问题称为 退化的线性规划问题。
Cnm
上述结论说明: 线性规划的最优解可通过有限次运算在基可行解中获得.
；.
8
2 单纯形法
(1)单纯形法的引入 例1
Max Z=40X1 +50X2
X1 +2X2 +X3
=30
3X1 +2X2 +X4 =60
2X2 X1 … X5 0
+X5 =24
；.
9
解：(1)、确定初始可行解
B = ( P3 P4 P5 ) = I
表
示
0 10 I C N B C -1 B N B -1 N-C B B -B 1-1 -C B B -B 1b -b 1
BN I b
CB CN 0
0
I
B-1N
B-1
B-1b
0
CN -CB B-1N
-CB B-1
CBB-1b
；.
27
对应I 式的单纯形表—— I 表(初始单纯形表)
价值系数cj
a2m1
amm1
a1m2 a2m2
amm2
a1n a2n amn
非 基 向 量
X B x1 x2 xm T
X N xm1 xm2 xn T
基变量
非基变量
；.
3
AX b
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
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注意:在初始单位矩阵的位置,在各运算表中就是B-1的所在位置
最优基矩阵B=(p3,p1,p2)
cj 7 15 0 0 0
二、单纯形法矩P阵ag描e 1述0
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 bi θi
的应用
0 x3 1 1 1
0 x4 1 2 0
0 x5 0 1 0
σj
7 15 0
0 x3 1 0 1 0 x4 1 0 0
Page 3
§3.1 单纯形法的矩阵描述
§3.1 单纯形法的矩阵描述 Page 4
设线性规划的矩阵形式为
max z CX
AX b
X
0
标准化
max z CX CS X S
AX IXS b
X
,
XS
0
(3 1)
这里I为m阶单位阵,b≥0. 设基变量XB=XS，系数矩
阵(A,I)=(B,N)，其中B、N分别是基变量和非基变
量的系数矩阵,则
(
X
,
XS
)
XB XN
，(C ,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法的矩阵描述 Page 5
目标函数
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
约束条件
(
B,
N
)
X X
B N
BX B NX N
b
(3 3)
非负条件 X B，X N 0
• (1) 基变量的检验数：(CB CBB1B) 0 非基变量的检验数：(CN CBB1N ) c j z j ( j 1, 2,L , n) 迭代后松弛变量： 为基变量：检验数(CB CBB1B) 0 为非基变量：检验数(CS CB B1I )= CB B1 c j z j 故所有检验数可表示 C CB B1 A与 CB B1
令 XN 0, 得 XB B1b, 有
基可行解X (1) (B1b, 0)T，目标函数值 z CBB1b
最小规则的表达式是
min i
( B1b)i ( B1Pk )i
( B1Pk )i
0
( B1b)l ( B1Pk )l
4）非基矩阵: B-1N
§3.1 单纯形法的矩阵描述 Page 7
1 1 11 6
b B(B1b) 0 1 2 2 8
0 0 1 3 3
故：
max z = 7x1 + 15x2 x1 + x2 ≤6 x1 +2x2 ≤8 x2 ≤3 x1, x2 ≥ 0
3 验证对某个问题解的性质的假设是否正确
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是以下线性规划问题的最优解。
1 1 1 1 1 1
1
2
0
1
2
p3
p1
0 1 0 0 1
松弛变量的价值系数为0 x1、x2的价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
N
B(B1N )
0
1
2 1
2 1
0
p4
p5
0 0 1 0 1 0 1
§3.1 单纯形法的矩阵描述 Page 8
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
由（3 - 5)、（3 - 6)式知 X B +B1NX N B1b
-z (CN CB B1N ) X N -CB B1b
上两式用矩阵表示为
0 1
1 0
B 1 N CN CB
B 1 N
z XB XN
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算 §3.3 对偶问题的提出 §3.4 线性规划的对偶理论 §3.5 影子价格 §3.6 对偶单纯形法 §3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
N 1
3
4 1
3
0 4
01/12
0 1
2 1
1 2
10
1 3 0 4 2 2
3 1 2
b.求基矩阵的 逆矩阵；
c.求检验数。
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点： 1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
Page 14
The end,thank you!
(3 4)
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B1b B1NX N
上式代入(3 - 2)式得
(3 5)
z CB (B1b B1NX N ) CN X N =CB B1b (CN CB B1N ) X N (3 6)
§3.1 单纯形法的矩阵描述 Page 6
B1b
C
B
B1b
(3 7)
§1 单纯形法的矩阵描述 Page 9
初 系数 始 矩阵
表
检验 数
迭 系数 代 矩阵
后
检验 数
基变量XB
非基变量XN
RHS
XS
B
N
I
b
CB
CN
0
(-z)=0
XB
I=B-1B
B-1N
B-1I= B-1
B-1b
CB-CBB-1B CN-CBB-1N -CBB-1 (-z)= -CBB-1b
检验数：
N CN CB B1N
0
0 0
7
15
1 0
1 1
1 0 21
0 0
0 0 1 0 1
0
0 0
7
15
1 1
1 2
0 0 7 1 7 1
0
1
常数项：
1 1 1 6 1
X B B1b 0 1 28 2
0 0 1 3 3
目标函数值：
z CB B1b
max z = x1 + 4x2 + 3x3
1）验证是否是可行解
2x1 + 2x2 + x3 ≤ 4
2）验证是否满足最优性条件
x1 + 2x2 + 2x3 ≤6
x1, x2, x3 ≥ 0
a.确定哪些变
解： 易证，X满足约束，是可行解
B p2
p5
2 2
10
B 1
1/12
10
量是基变量， 从而确定基矩 阵；
0 0 6 6/1 1 检查计算是否正确
1 0 8 8/2 例1来自0 1 3 3/1max z = 7x1 + 15x2
x1 + x2 ≤6
00
0
b x1 +2x2 ≤8
0 -1 3 3/1
x2 ≤3
1 -2 2 2/1
x1, x2 ≥ 0
15 x2 0 1 0 0 1 3 — 单位矩阵
σj
7 0 0 0 -15
0
7
15
1 2
59
3
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12
为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 0
x1 1
x2 0
σj
0
解：
1
B
( B 1 ) 1
0
0
0 1 -1 1 1 0 0 1 -2 2 10 01 3 0 0 -7 -1
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵的逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵的逆矩阵：
1 1 1
B1
0
1
2
0 0 1