第1章行列式讲解

第1章 n 阶行列式

n 阶行列式理论是线性代数中最基本的内容之一，它产生于线性方程组求解公式——克

莱姆法则，又自成体系，形成了自己的核心内容：定义、性质、计算方法.本章重点要掌握行列式定义和计算方法——化三角形法.学习的困难之处在于行列式的定义的理解和展开性质的应用.

第1节 二、三阶行列式

在中学，大家学习了线性方程组的加减消元法和代入消元法求方程组的解.例如，解二元线性方程组

347,

5611,

x y x y +=⎧⎨

+=⎩

就可以这样解：

64,⨯-⨯得

76114

3654

x ⨯-⨯=

⨯-⨯，

53,⨯-⨯得

7511311375

45633654

y ⨯-⨯⨯-⨯=

=

⨯-⨯⨯-⨯， 现在的问题是：怎样记住解,x y 的分子、分母呢？

首先从,x y 变形以后的分母看到：3654、、、就是方程组中,x y 的系数，因此，我们能想到规定记号

34

=36-5456

⨯⨯， 这样，我们就有了一种新的方法：例如，

2325-4310-12-245

=⨯⨯==，

-32-37-52-21-10-315

7

=⨯⨯==（）.

其次，观察,x y 的分子，我们看到

x 的分子74

76-114=

116

⨯⨯是用常数项“取代”了分母中的x 的系数；

y 的分子37

113-75=

511

⨯⨯是用常数项“取代”了分母中的y 的系数. 显然，对于一般的二元一次方程组

11121

21222

a x a y

b a x a y b +=⎧⎨

+=⎩ 的解，规定公分母为

1112

112212212122

-a a a a a a a a = （1.1）

当1112112212212122

-a a a a a a a a =则成立如下求解公式 1122221222121112112212212122b a b a b a b a x a a a a a a a a -==-，

1112122111211112112212212122

a b a b b a b a y a a a a a a a a -==-.

同样，我们也可以运用消元法求出三元一次方程组

111122133121122223323113223333

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩ 的解.其公分母为

111213

21

22

231122331223311321321123321221331322313132

33

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- （1.2） 就可得到如下求解公式

112132

22

23

33233

111121*********

32

33

b a a b a a b a a x a a a a a a a a a =

，

1111321

223

31333

211121*********

32

33

a b a a b a a b a x a a a a a a a a a =

，

1112121222313233111213212223

31

32

33

a a

b a a b a a b x a a a a a a a a a =.

我们已经看到了新的解法（1.1）式和（1.2）式中的记号的作用.我们分别把这种记号称为二阶行列式和三阶行列式.

大家可能很想继续再解出四元、五元、、一次方程组的解的公分母而规定四阶、五阶、、行列式.那么，一方面，每次找公分母的工作量巨大；另一方面，由于我们的消元法每一步只能消去一个未知量——1元，对于一般的n 元一次方程组，消元法就完成不了了.因为我们只有消去了1n -个元后只剩下1元才能求解！我们不能消去1n -个元！

另外，我们规定的n 阶行列式还必须满足如下要求：n 个方程n 元一次方程组的解的公分母就是n 阶系数行列式，而每个未知量的分子就是用常数项“取代”分母中它的系数而得的n 阶行列式！

习题1.1

1.计算下列行列式 （1）cos sin sin cos D θθθ

θ

=

- ；

（2）23

1

D λλ

=

；

（3）1

242

2

1342D =－－－－；

（4）10

1

0411

a D a =. 2.解线性方程组 12123212

21

x x x x -=⎧⎨

+=⎩.

第2节 排列及其对换

为了定义n 阶行列式，我们先给出n 级排列的概念. 定义1.1 由数字1,2,3,

,n 组成的有序数组123n i i i i 称为一个n 级排列，简称为排列.

特别地，n 级排列123n 称为n 级自然排列或标准排列.

对于一个n 级排列中的两个数字，以它们在标准排列中的位置次序为“标准”给出它们在这个排列中的“序关系”如下：

定义1.2 在一个n 级排列12

s t n i i i i i 中（s t <）的两个数字,s t i i ，如果s t i i >，

则称它们构成一个逆序.排列123

n i i i i 中全部逆序的总个数称为排列的逆序数，记作

123()n N i i i i .

例1.1 求排列514362的逆序数.

解 该排列中，5后面有1432、、、，4个比5小；1后面有0个比1小；4后面有32、

，2个比4小；3后面有2，1个比3小；6后面有2，1个比6小，这是全部构成逆序的数字，共有402118++++=对，因此(514362)8N =.

一般地，求排列的逆序数的方法如下： 对排列123

n i i i i ，数出每个数字t i 后面比t i 小的数字的个数,1,2,

1t N t n =-. 则

123n i i i i 的逆序数1

123

1

()n n t t N i i i i N -==∑.

定义1.3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

例如，1234的逆序数是偶数0，是偶排列，4123的逆序数是奇数3，是奇排列. 定义1.4 在排列1

s t n i i i i 中，如果对调其中的两个数字s i 与t i 的位置，其它数字的位置不变，得到一个新排列1t

s

n i i i i ，称这样的变换为对换，记作(,)s t i i .对换过程

记作(,)

1

1

s t i i s t n t s n i i i i i i i i →.如果对调的两个数字的位置是相邻的，称这样的对

换为相邻对换.

例1.2 将排列52134经对换变成标准排列12345.

解 (5,1)

(5,3)

(5,4)

52134125341235412345→→→. 一般地，任何一个n 级排列12

n i i i 都可经过一系列这种“归位”对换：第1位置数字与

1对换，

，再对新排列中的第2位置数字与2对换，、、、、、、逐步将数字k 移到第k 位置而变成标准的排列.

关于对换与排列奇偶性之间的关系，有如下性质