序言;§1.1 随机试验与随机事件

A6 “: 三 人 均 未 命 中 目 标:”A B C
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随机试验的例
E1: 抛一枚硬币,分别用“H” 和“T” 表示出现正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次, 考虑正反面出现的情况; E3: 将一枚硬币连抛三次, 考虑正面出现的次数; E4: 掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数; E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数; E6: 在一批灯泡中任取一只, 测试其寿命; E7: 记录某地一昼夜的最高温度与最低温度.
A B {甲产品和乙产品都不合格}.
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1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
随 机
基本事件 复合事件
事 件
必然事件
不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系
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甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、 B、C的运算关系表示下列事件：
(1) AB C; (2) ABC; (3) ABC; (4) A B C; (5) A B C;
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(6) 不多于一个事件出现;
(6) ABC ABC ABC ABC;
(7) 不多于两个事件出现;
(7) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC, 或 ABC;
S B
A
n
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生, 记作 I Ai
i 1
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4. 差事件：A－B 称为A与B的差事件，表示事件A发 生而B不发生.
S B
A
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5. 互不相容（互斥）事件：AB＝ .
S B
A
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6. 互逆的事件（对立事件）： A∪B＝ S 且 AB＝,
概率论与数理统计
Probability and Statistics
淮海工学院理学院应用数学系
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概率论的重要而迷人的主题开始于17世纪，通
过费马和帕斯卡等数学家的努力，回答了涉及赌
博机遇的问题。
直到20世纪，它仍未有建立在公理、定义上的
严格的数学理论。随着时间的迁移，人们发现概
率论有许多应用，不仅在工程、科学和数学方面
理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题 作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动 提供依据和建议的数学分支学科。
概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概
率论的一种应用。但是它们是两个并列的数学分
支学科，并无从属关系。
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“概率论的诞生,虽然渊源于靠碰运气取胜的游戏,但 在今天,却已成为人类知识的最重要的一部分.”
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生现象称为 确定性现象.
实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征
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条件完全决定结果
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2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象， 称为随机现象.
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1.1.2 样本空间与随机事件
1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合 称为样本空间，记为S；
2、样本点: 样本空间的元素即试验的每一个结果 称为一个样本点.
3、基本事件：由一个样本点组成的单点集.
EX 给出 E1-E7 的样本空间.
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4、随机事件： 试验中可能出现的情况叫随机事件, 简称事件. 记作A、B、C等. 任何事件均可表示为样本空间的某个子集.
A1 “: 至 少 有 一 人 命 中 目 标”: A B C A2 “: 恰 有 一 人 命 中 目 标:”ABC ABC ABC A3 “: 恰 有 两 人 命 中 目 标:”ABC ABC ABC A4 “: 最 多 有 一 人 命 中 目 标”: BC AC AB
A5 “: 三 人 均 命 中 目 标:” ABC
事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.
5、两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.
例1将下列事件均表示为样本空间的子集.
(1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反 面出现的情况),随机事件:
A ={HHH, HHT, HTH, A = “至少出现一次正面” THH, HTT, THT, TTH}
4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
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例2 设A, B, C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A, B, C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
记作 B A，称为 A的对立事件.
S
A
A
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易见 A B AB .
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1.1.4 事件的运算律
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA. 2、结合律：(A∪B) ∪C＝A∪ (B∪C)，
(AB)C＝A(BC).
3、分配律：(A∪B)C＝(AC) ∪(BC)， (AB) ∪ C＝(A ∪ C)(B ∪ C).
实例4 从一批含有正品和 次品的产品中任意抽取一 个产品.
其结果可能为: 正品 、次品.
随机现象的特征
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条件不能完全决定结果
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说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的.
问题 什么是随机试验?
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3. 随机试验 (简称“试验”)
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验 称为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行;（可重复性） 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确
试验的所有可能结果;（全部结果已知性） 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. （试验前结果未定性）
1. 包含关系：“A发生必导致B发生”,记为A B.
S B
A
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A＝B A B 且 B A.
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2. 和事件:“事件A与B至少有一个发生”,记作A∪B.
S B
A
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
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n
U Ai
i 1
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3. 积事件: “A与B同时发生”，记作 A∩B或AB.
(8) 三个事件至少有两个出现;
(8) ABC ABC ABC ABC;
(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (9) ( A B)C;
(10) A, B, C 中恰好有两个出现.
(10) ABC ABC ABC .
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例3 设A {甲产品合格}，B {乙产品合格}，试 说明 A B, A B 表示的事件. 解 A B {甲产品合格或乙产品不合格}；
B =“三 次出现同一面” B ={HHH, TTT}
C =“恰好出现一次正面” C ={HTT, THT, TTH}
答 S2 = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
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(2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其 寿命), D = “灯泡寿命超过1000小时”
➢ 随机试验与随机事件 ➢ 频率与概率 ➢ 古典概型与几何概型 ➢ 条件概率 ➢ 事件的独立性
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§1.1 随机试验与随机事件
➢ 随机现象与随机试验 ➢ 样本空间与随机事件 ➢ 事件之间的关系和运算 ➢ 事件的运算律 ➢ 小结 ➢ 练习
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1.1.1 随机现象与随机试验
答 D ={x: x > 1000 (小时)}
注意:同一样本空间中，不同的事件之间有一定的
关系。如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以 说事件A (至少出现一个正面)和B(三 次出现同一面)同时
发生了；但事件B和C(恰好出现一次正面)在任何情况
下均不可能同时发生。
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1.1.3 事件之间的关系和运算
，而且在保险统计、农业、商业、医药和心理学
等范围，有许多例子说明应用自身贡献了理论的
进一步发展。
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统计比概率起源更早，它主要是处理收集、组
织和用表格或图表表示资料。随着概率论的出现
，人们明白了统计能够提取有用的结论，在资料
分析的基础上做出有道理的决策，比如抽样理论
和预测或预报。 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 抛掷一枚骰子，观察 出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
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实例3 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.