相交弦定理与切割线定理
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解南江石 2018年4月7日星期六圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。
圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。
弦是割线的部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。
公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理 几何原理共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点共割线上任意一点到圆的4个切线的长度相等，4切点共圆共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。
点对圆的幂P 点对圆O 的幂定义为22R OP FB性质点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PBPTPT PA =PB PA PT ∙=2 222Am Pm PT -=割线定理（切割线定理的推论）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222Cn Pn Am Pm -=-相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222A Pn Cn Pm m -=-垂径定理（相交弦定理推论）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
相交弦定理和切割线定理 人教四年制版
相交弦定理和切割线定理一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】[例1] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。
证明：作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4∵∴[例2] 已知PT解：设TD=x ，即(43=⨯由切割线定理，BP AP PT⋅=2由勾股定理，222TD PT PD +=∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y∴ cm y 20=[例3] 两圆交于A 、AE=6，DE=2，求AC 长。
解：连AB ，DF ∵∴ ∠1=∠C ∴ED AE EF CE=由相交弦定理得由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例4] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PB PA PC ⋅=2（2）若CM=MO=3，证明：（1）延长CP 交⊙O 于 由相交弦定理，解：（2）易知21=OC PM 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，6128±-=x （舍负）[例5] 解：设⊙O 由AB ∴ )6(3)25(622a r +=-- ②由②—①得：018522=--r r ，291=r ，22-=r （舍） ∴ 32)2529(6222=--=AB ，AB=24。
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理2第八讲 圆幂定理一、 知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
即：如图，P A ·PC=PB ·PDC2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
即：如图，PA 2=P B ·PCP3、 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B 、C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD 。
3二、 要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值），即）定值（22r OP PB PA -=⋅2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。
3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
三、 例题讲解：例1、已知：如图，在ABC ∆中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN例2、如图，⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=E D·EG例3、在Rt ABC中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：A D⊥BF45例4、如图，AB 是⊙O 中任意一弦，M 为AB 的中点，过M 任作两条弦CD 、EF,连接CE 、DF 分别交AB 于G 、H,求证：MG=MH (蝴蝶定理) A BMCDE F G H6例5、ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD ⊥AC,AC 与BD 的交点为E,点F 在DA的延长线上，连接BF,点G 在BA 的延长线上，使得DG ∥BF,点H 在GF 的延长线上,CH ⊥GF,证明：B 、E 、F 、H 四点共圆。
2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
中公教育——给人改变未来的力量2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
切线性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线判定定理：一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。
它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角。
它是圆中证明角相等的重要定理之一。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508(最新整理)
图3 解：∵PC 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线，且 PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴
，
∴ ∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm） 设圆心 O 到 AB 距离为 d cm， 由勾股定理，得
故应填 。
例5.如图4，AB 为⊙O 的直径，过 B 点作⊙O 的切线 BC，OC 交⊙O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D，（1）
图4
【试题答案】
文档
实用标准文案
一、选择题 1. A 2. C
3. A
4. B
5. B
6. A
二、填空题 7. 90
8. 1
9. 30
10.
三、解答题： 11.由切线长定理得△BDE 周长为4，由△BDE∽△BAC，得 DE＝1cm 12.证明：连结 AC，则 AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1 ∵PC 为⊙O 的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2， ∴BC 平分∠DCP 13.设 BM＝MN＝NC＝xcm
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定
⊙O 中，AB、CD 为弦，交 PA·PB＝PC·PD. 连结 AC、BD，证：△APC∽
理
于 P.
△DPB.
相交弦定 理的推论
文档
⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB PC2＝PA·PB. 于 P.
（特殊情况）
用相交弦定理.
实用标准文案
切割线定 理
∴ ∴∠C＝∠EDC ∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE 是△ABC 的中位线 ∴BC＝2OE
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理也称为割线定理，是圆的性质之一，它表明一个圆上的两个相交弦的长度乘积等于这两个弦所夹的两个弧的长度乘积。
具体地说，设两条相交弦AB和CD在圆O上相交于点E，则有：
\[AE \cdot BE = CE \cdot DE\]
切割线定理，又称为弦切线定理，是圆的性质之一。
它表明如果有一条切割线与一条给定的直径相交于一点E，那么这点E
将把切割线分成两段，其中一段的长度是另一段的长度的平方。
具体地说，如果切线与圆的切点为A，圆的中心为O，则有：\[AE^2 = BE \cdot CE\]
相交弦定理和切割线定理都是在圆的几何性质中应用较广的定理，常用于证明和解决与圆相关的问题。
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【初中数学】圆幂定理
【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。
我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。
1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。
园幂定理
圆幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理: 在图(1)中⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD切割线定理: 在图(2)中 PAB为⊙O的割线；PT为⊙O的切线，则PA·PB＝PT2割线定理：在图(3)中，PAB、PCD为⊙O的两条割线，则PA·PB＝PC·PD 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.【例题求解】练习1 已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝BC.如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长.练习2 如图7-175，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB 的延长线于N.求证：PN 2＝NM ·NQ.【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (成都市中考题)思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) (全国初中数学联赛题)A ．3B ．4C ．415D ．516思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5， AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值． (北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长． (成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．拓展练习：1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．如下图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如上图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ；(2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．⌒⌒⌒9．如上图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆 与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2B ．a 1C ．2aD ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ， 若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．114．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC． (太原市竞赛题)15．已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O 于E、H、F三点，连结OF．(1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求BH:HC (四川省中考题)16．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．(国家理科实验班招生试题)。
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆幂定理及其证明
1 / 1圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
图１ 图２图３ 图４一、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅）．1、证 明：如图１，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以AP PDAP BP PC PD PC BP=⇒⋅=⋅ 2、练习：如图２，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．二、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
（如图，PT 是O 的切线，PB 是O 的割线，则有PT ２＝ＰＡ ＰＢ）1、证明：如图３，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以2PT PAPT PA PB PB PT=⇒=⋅ 2、练习 如图４，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径长= ，:CD DP =__________．三、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
（从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD ）1、证明：这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅2、练习如下图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3B ．7.5C ．5D ．5.5。
第一章 §2 2.4 & 2.5 切割线定理 相交弦定理
2．4&2.5 切割线定理 相交弦定理对应学生用书P23]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析] (1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB.②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知＝，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝ .解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用[例2]O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析] 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用[例3]，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED ∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得PA2＝PB·PC.∴PA2＝×.∴PA＝.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明：(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是»DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝.即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC，即＝.又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试] (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：选B 设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )A． B．2C． D．解析：选B 设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.故选A.二、填空题5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3，则BD的长为．解析：由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.答案：46．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．解析：记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，所以R＝＝2.答案：27．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝ .解析：由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5；易知＝＝，又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，＝.在直角三角形ABD中，BD＝＝，∴CE＝＝＝2.答案：5 28.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，AE＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝×＝，所以CE＝.答案：三、解答题9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即＝，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长．(2)求∠ABE＋2∠D的度数．(3)求的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以＝＝.11.如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)若∠E＝30°，求证：BC·BD＝r·ED.(2)若BD＝3，DE＝4，求AE的长．解：(1)证明：取AB的中点为O，△ABC是直角三角形，AB是斜边，O是外接圆的圆心，连接CO，所以BO＝CO，∠BCO＝∠OBC，因为BC是∠DBE的平分线，所以∠DBC＝∠CBA，所以∠OCB＝∠DBC，所以OC∥DB(内错角相等，两直线平行)，所以＝，把比例式化为乘积式得BD·CE＝DE·OC，因为OC＝r，所以BD·CE＝DE·r.因为∠D＝90°，∠E＝30°，所以∠DBE＝60°，所以∠CBE＝∠DBE＝30°，所以∠CBE＝∠E，所以CE＝BC，所以BC·BD＝r·ED.(2)过点C作CH⊥OE，垂足为H.BD＝3，DE＝4，根据勾股定理，BE＝5，OC＝OA ＝r，因为OC∥DB，所以△OCE∽△BDE，所以＝＝，即＝＝，解得OE＝r，CE＝r.CH＝＝r，因为BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，所以BH＝BD＝3，则HE＝2.在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CH2＋EH2＝CE2，即2＋22＝2，解得：r＝，则AE＝BE－2r＝5－＝.。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
相交弦定理切割线定理1
2
D. x 8 x 15 0
2
4.如图:⊙O的弦AB,CD相交于 P,PA=4,PB=3,PC=6,EA切⊙O 于点A,AE与CD的延长交于点 E,AE=2 5,求PE的长?
B
E D P A C
5.如图:⊙O的两条弦AB与CD相交 于点M,且OM⊥CD,作ON⊥AB,N 为垂足,已知CD=6,BM=9,ON= 11 , 求⊙O的半径和OM的长.
D P E O F A C
B
1、过⊙O外一点P的一条割线 PAB交⊙O于A、B两点，PO交 ⊙O于C，且AB=7，PA=4，设 ⊙O半径为10，求PO的长
P
A
C
B
O
●
2.P为⊙O内一点,OP=3, ⊙O的半 径5,则过P点的最短的弦长是多少?
3. ⊙O中弦AB和CD相交于 P,CP=2.5,PD=6,AB=8,那么AP,PB的长是 那个一元两次方程的两个根( ) 2 2 x 8 x 15 0 x 8 x 15 0 A. B.
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来，俺享老福了！她又是为了什么啊！她能再等，俺更应该等！”耿正激动地紧紧抱住秀儿，忘情地再次深深地亲吻了 她„„28第百十四回 乡情话罢疑窦生|（儿时好友话乡情，闲话怪事疑窦生；家人还话家常事，别番疑窦复又生。）大伙儿出 了粉坊后继续溜达着往家走去。还没有走出几步，迎面就碰上了三个人。见大伙儿走来了，这仨人目光诡异地往道路的一侧让 了让，然后继续往北去了。耿正清楚地认出来，他们还是那三个人！远远望见耿老爹家的门前站着两个人，并且他们正朝这边 张望呢！董妞儿眼尖，大声叫起来：“你们快看哪，那不是二狗哥和大头哥吗！”耿兰也说：“可不是嘛，是他俩耶！”二壮 看了也说：“是他俩！”秀儿说：“他们肯定是知道耿伯伯他们回来了，在门口等呢！”于是，大家加快了步伐。二狗和大头 老远就迎了上来，争着和大家打招呼：“老爹叔，终于回来了！”“老爹叔，盼着你们哪！”“耿正哥、耿英、小直子！”耿 直赶快把尚武拉过来，说：“这是俺们的三弟，他叫李尚武！”又转头对尚武说：“三弟，这是二狗哥，这是大头哥！”尚武 赶快弓身施礼，说：“见过两位哥哥！”二狗说：“这小兄弟真好！还斯斯文文的呢。”大头说：“你别说，真像小直子的弟 弟呢！可你们三个的变化挺大的，不是印象中的模样儿了！”耿正说：“快十年了，你们也都长成大人了啊！”二狗说：“可 不是耶，大头已经娶媳妇了，很快就要当爹了呢！”大头憨憨地笑了笑，说：“这个二狗子，你不也册了日子要娶亲的嘛！” 耿老爹高兴地说：“好哇，小娃娃们都长大成人了，俺们‘三六九镇’后继有人啊！”耿正问：“你俩可等了有一会儿了？” 大头说：“有一会儿了！”二狗说：“可真怪了，刚才和你们打了照面的那三个人，俺俩是看着他们从大街那边过来的。看到 他们在咱这儿附近一直转悠，俺就问他们找谁。你猜他们怎么说？”耿正问：“他们怎么说了？”“那个大个子说‘我们找客 栈！’”“有这事儿？”“俺不相信自己的耳朵，就又问了一句‘你说什么啊？你们找哪里？’”“另一个又说‘客栈！客栈 在哪里？’”“你们怎么说？”“俺觉得太好笑了，就说：‘你们不就是从大街那边下来的吗？客栈在十字大街附近啊，这儿 哪里有什么客栈！’”“他们还说什么啦？”“他们没有再说什么，就又往北面去了，这不正好和你们打了个照面！”大头也 说：“是啊，难道说他们大睁着眼，就看不见你舅舅家饭铺对面那个老大的客栈招牌吗？真是怪事儿！”耿正说：“谁知道呢， 大概是外地的山里人，‘三娃子进了城’，给转晕头了哇！”耿老爹却认真地问：“你俩听他们的口音，像是咱们这一带的人 吗？”俩人都摇摇头。大头说：“不像是咱们邻村上下的人！”耿正
圆幂定理及其证明
圆幂定理圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22OP R -所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
（1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以 AP PD AP BP PC PD PC BP=⇒⋅=⋅ （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以2PT PA PT PA PB PB PT=⇒=⋅ （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 则有 PA·PB=PC·PD。
这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅进一步升华（推论）：过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D 。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ⋅=-⋅+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P 到圆O 的幂。
（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=-故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。
（这就是“圆幂”的由来）。
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有什么关系？
相交弦定理 圆内的两条相交弦，被
交点分成的两条线段长的积 相等。（经过圆内一点引两 条弦，各弦被这点所分成的 两段的积相等）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
•
几何语言： ∵PT是⊙O切线，
PBA，PDC是 O的割线 ∴PD·PC=PA·PB
• 从以上两个定理可以发现： • 不管C如何变化，CDCG、CECF
• 及 r 2 AC2 这三个值都相等。
• 即乘积的值与圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ半径的平方减去 • 圆心A到点C的距离的平方的绝对值 • 相等。