切割线定理PPT课件
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切割线定理课件
切割线定理的应用场景
解题应用
切割线定理在几何题目中应用广泛，特别是在涉及圆和圆外 一点的问题中，可以利用切割线定理来求解线段长度或角度 等问题。
实际应用
在现实生活中，切割线定理也有很多应用场景，比如建筑设 计、机械制造等领域，可以通过应用切割线定理来优化设计 或提高制造精度。
02
切割线定理的证明
切割线定理ppt课件
contents
目录
• 切割线定理的概述 • 切割线定理的证明 • 切割线定理的推论 • 切割线定理的应用实例 • 总结与思考
01
切割线定理的概述
切割线定理的定义
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长与割线长度的比等于圆外 一点与圆心连线的线段长度与圆 半径的比。
几何意义
03
切割线定理的推论
推论一：切线长定理
总结词
切线长定理描述了切线与割线的长度关系。
详细描述
切线长定理指出，对于圆上的任意一点P，过点P作圆的切线，则切线与割线（即 过点P的割线）的长度相等。这个定理是切割线定理的一个重要推论，它揭示了 切线和割线之间的长度关系。
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系揭示了切线与半径之间的垂直关系。
。
THANKS
感谢观看
切割线定理揭示了圆外一点与圆 上两点形成的线段之间的长度关 系，是平面几何中一个重要的定 理。
切割线定理的证明
证明方法
通过相似三角形性质和勾股定理进行 证明，证明过程需要用到基本的几何 知识。
证明过程
通过构造辅助线，将问题转化为相似 三角形问题，再利用相似三角形的性 质和勾股定理推导出切割线定理。
证明的思路
切割线定理课件
推论三：切线和切平面的性质
总结词
切线和切平面的性质
详细描述
切线和切平面的性质是切割线定理的最后一个重要推论。这个定理指出，过圆外一点作圆的切线，则 该点和圆心的连线与切点的连线垂直于过该点和圆心的平面。这个性质在三维几何中尤其重要，因为 它涉及到平面和空间的关系。
04 切割线定理的应用实例
应用实例一：求圆的切线方程
证明方法三：利用向量积的性质
总结词
通过向量运算和向量的外积性质，证明切割线定理。
详细描述
第三种证明方法是利用向量运算和向量的外积性质。首 先，我们需要理解向量的外积性质，即两个向量的外积 等于它们所夹的平行四边形的面积的两倍。在切割线定 理的情境中，我们可以将切割线视为一个向量，并利用 向量的外积性质来计算它与半径之间的比例关系。通过 适当的数学推导，我们可以证明切割线定理。这种方法 基于向量运算和向量的外积性质，通过向量运算来证明 定理。
范围，我们可以发现更多有趣的应用场景。
对切割线定理的进一步研究与探索
深入研究切割线定理的细节
虽然我们已经对切割线定理有了基本的理解，但还有 很多细节值得深入研究。例如，我们可以探索不同条 件下切割线定理的表现形式，或者研究这个定理在其 他几何图形中的应用。通过深入研究，我们可以更深 入地理解这个定理的本质。
切割线定理的几何意义
证明相似三角形
通过切割线定理，可以证明两个三角形相似，从而用于解决 几何问题。
Hale Waihona Puke 计算线段长度利用切割线定理，可以计算出给定条件下某条线段的长度。
切割线定理的应用场景
建筑设计
在建筑设计领域，切割线定理常被用 于确定建筑物的位置和尺寸，以确保 建筑物的外观和结构符合设计要求。
初中数学课件《切割线定理
通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的边长比例关系，推导出切割线定 理的结论。
证明方法二
总结词
利用勾股定理证明
详细描述
根据勾股定理，结合切割线与切线的关系，推导出切割线定理的结论。
证明方法三
总结词
利用面积法证明
详细描述
通过比较切割线与切线所围成的三角形面积，利用面积公式，推导出切割线定理的结论。
提高习题2
已知一个圆内接四边形， 其对角线互相垂直且平分 ，求该四边形的面积。
提高习题3
一个圆与两条直线相切于 两点，求这两点间的距离 。
挑战习题及答案
挑战习题1
一个圆经过圆外三点，求过这三 点的最短弦的长度。
挑战习题2
已知一个圆内接六边形，其对角 线互相平分且相等，求该六边形 的面积。
06
总结与回顾
本节课的难点解析
理解切割线定理的推导过程
பைடு நூலகம்对于一些学生来说，理解切割线定理的证明过程可能存在困 难，需要老师进行详细的解释和引导。
掌握切割线定理的应用技巧
应用切割线定理需要一定的技巧和经验，学生需要在练习中 不断摸索和总结。
下节课预告
• 下节课将学习与圆相关的另一个重要定理——相交弦定理。通 过学习相交弦定理，我们将进一步了解圆和三角形之间的关系 ，并解决更多与圆相关的问题。
本节课的重点回顾
切割线定理的定义
切割线定理是关于三角形和其外接圆 的定理，它描述了三角形的一边和其 外接圆上一点所形成的线段与另一条 切割线之间的关系。
切割线定理的证明
切割线定理的应用
通过实例演示了切割线定理在解题中 的应用，包括求角度、线段长度等问 题。
通过构造辅助线和利用相似三角形的 性质，证明了切割线定理的正确性。
证明方法二
总结词
利用勾股定理证明
详细描述
根据勾股定理，结合切割线与切线的关系，推导出切割线定理的结论。
证明方法三
总结词
利用面积法证明
详细描述
通过比较切割线与切线所围成的三角形面积，利用面积公式，推导出切割线定理的结论。
提高习题2
已知一个圆内接四边形， 其对角线互相垂直且平分 ，求该四边形的面积。
提高习题3
一个圆与两条直线相切于 两点，求这两点间的距离 。
挑战习题及答案
挑战习题1
一个圆经过圆外三点，求过这三 点的最短弦的长度。
挑战习题2
已知一个圆内接六边形，其对角 线互相平分且相等，求该六边形 的面积。
06
总结与回顾
本节课的难点解析
理解切割线定理的推导过程
பைடு நூலகம்对于一些学生来说，理解切割线定理的证明过程可能存在困 难，需要老师进行详细的解释和引导。
掌握切割线定理的应用技巧
应用切割线定理需要一定的技巧和经验，学生需要在练习中 不断摸索和总结。
下节课预告
• 下节课将学习与圆相关的另一个重要定理——相交弦定理。通 过学习相交弦定理，我们将进一步了解圆和三角形之间的关系 ，并解决更多与圆相关的问题。
本节课的重点回顾
切割线定理的定义
切割线定理是关于三角形和其外接圆 的定理，它描述了三角形的一边和其 外接圆上一点所形成的线段与另一条 切割线之间的关系。
切割线定理的证明
切割线定理的应用
通过实例演示了切割线定理在解题中 的应用，包括求角度、线段长度等问 题。
通过构造辅助线和利用相似三角形的 性质，证明了切割线定理的正确性。
切割线定理PPT教学课件
系 运
>
大于
算 >= 大于或等于
符=
等于
a<=b a>b a>=b a=b
<>
不等于
a<>b
逻 AND 辑 运 OR 算 符 NOT
且
x<5 AND x>1
或
x<0 OR x>3
非
NOT x>a
数学表达式
a<b b
a>b b
a=b b
1<x<5
x<0 或 x>3
a
六、QBASIC 的标准函数
➢常用数学函数见下表 ➢不能随意造函数 ➢自变量部分必须用圆括号括起来 ➢自变量可以是常量、变量或表达式 ➢三角函数的自变量应为弧度
DO
m=(x1+x2)/2
f=m^2-2
IF f=0 THEN
解 法 二
PRINT m:END ELSE
IF f<0 THEN
X1=m
ELSE
X2=m
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(x1-x2)<c
PRINT m
END
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
m=(x1+x2)/2
f=m^2-2
S T
A C
. O
D
B
讲解的主要内容及流程
一、知识结构 二、BASIC语言的发展 三、QBASIC 上机指导 四、QBASIC语言的基本字符 五、QBASIC 的算术表达式 六、QBASIC 的标准函数 七、质数判断
八、二分法
九、闰年问题
《切割线定理》课件
掌握这些性质和特点，可以帮助我们在解决问题和应用中更加灵活和准确地 使用切割线。
切割线的应用领域
切割线在各个领域都有广泛的应用，如建筑设计、地理学、艺术和工程等。它们可以帮助我们理解和解决与形 状和空间相关的问题。
通过学习切割线的应用领域，我们可以将数学和几何知识与实际情境相结合，培养创造性思维和解决问题的能 力。
《切割线定理》课件
欢迎来到本次《切割线定理》的课件！在这个课件中，我们将一起探索切割 线的定义和原理，并了解其在数学和几何中的重要性。
切割线的定义和原理
切割线是指在平面上两个或多个形状之间切割的直线。它们可以将不同的区 域或形状分割开来，从而产生新的图形。
通过研究切割线的定义和原理，我们可以深入了解它们在几何学中的重要性 和应用。
结论和要点
通过本课件，我们对《切割线定理》有了全面的了解。切割线的定义和原理、性质和特点、应用领域、计算方 法以及实验验证，都是我们学习和探索的重点。 希望这些知识对你掌握切割线的概念和应用有所帮助，并启发你在数学和几何领域的研究和实践。
切割线的重要性
切割线在数学和几何中起着关键的作用。它们帮助我们分析和理解各种形状之间的关系，解决问题，并推动数 学和几何的发展。 熟练掌握切割线的基本概念和性质，能够帮助我们在实际生活中应用几何学的知识。
切割线的性质和特点
切性质 可以帮助我们更好地理解切割线的行为和影响。
切割线的计算方法
在具体应用中，我们需要计算切割线的长度、角度和位置等参数。通过掌握 计算方法，我们可以准确地确定切割线的属性。
学习切割线的计算方法有助于我们在实际问题中应用几何学的知识，解决相 关的计算和设计难题。
切割线的实验验证
通过实验验证，我们可以观察和验证切割线的性质和特点。通过亲身体验，我们可以更加深入地理解切割线的 行为和应用。 实验验证也是巩固和应用几何学知识的重要方法，让我们深入探索切割线的奥秘。
切割线的应用领域
切割线在各个领域都有广泛的应用，如建筑设计、地理学、艺术和工程等。它们可以帮助我们理解和解决与形 状和空间相关的问题。
通过学习切割线的应用领域，我们可以将数学和几何知识与实际情境相结合，培养创造性思维和解决问题的能 力。
《切割线定理》课件
欢迎来到本次《切割线定理》的课件！在这个课件中，我们将一起探索切割 线的定义和原理，并了解其在数学和几何中的重要性。
切割线的定义和原理
切割线是指在平面上两个或多个形状之间切割的直线。它们可以将不同的区 域或形状分割开来，从而产生新的图形。
通过研究切割线的定义和原理，我们可以深入了解它们在几何学中的重要性 和应用。
结论和要点
通过本课件，我们对《切割线定理》有了全面的了解。切割线的定义和原理、性质和特点、应用领域、计算方 法以及实验验证，都是我们学习和探索的重点。 希望这些知识对你掌握切割线的概念和应用有所帮助，并启发你在数学和几何领域的研究和实践。
切割线的重要性
切割线在数学和几何中起着关键的作用。它们帮助我们分析和理解各种形状之间的关系，解决问题，并推动数 学和几何的发展。 熟练掌握切割线的基本概念和性质，能够帮助我们在实际生活中应用几何学的知识。
切割线的性质和特点
切性质 可以帮助我们更好地理解切割线的行为和影响。
切割线的计算方法
在具体应用中，我们需要计算切割线的长度、角度和位置等参数。通过掌握 计算方法，我们可以准确地确定切割线的属性。
学习切割线的计算方法有助于我们在实际问题中应用几何学的知识，解决相 关的计算和设计难题。
切割线的实验验证
通过实验验证，我们可以观察和验证切割线的性质和特点。通过亲身体验，我们可以更加深入地理解切割线的 行为和应用。 实验验证也是巩固和应用几何学知识的重要方法，让我们深入探索切割线的奥秘。
九年级教学数学切割线定理-新版.ppt
切 割推 线 定论 理
PT2 =PA·PB=PC·PD= d 2 r 2
B A
P
d
C
O
D
r
精选
T
再见
精选
二手货车评估残值是由数年来的市场数据反映所决定，但对于新车的未来残值评估并不能完全基于这种数据。因为二手货车市本身变化很大， 极易受到政策和货运行业方面的影响。 ； https:/// 二手货车交易市场 jch47kcf 因此，如何在一般情况下大致估算二手货车残值率就成了关键问题。对于非专业的汽车评估人员来说，判断一辆车的残值率应该遵循如下步 骤
C •
D
P
A
T(C , D) P
C •
D A
B PA•PB=PC•PD 吗?
B
精选
PT2 =PA·PB 吗?
已知：如下图，点P是⊙o外一点，PT是切线，T是切点， PA是割线 , 点A和B是它与⊙o的交点。
求证：PT2 =PA ·PB
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例
切割线定理
加油！
精选
已知：线段a，b． 求作：线段c，使c2＝ab．
反思：这个作图题是作两
已知线段的比例中项的问 题，可以当作基本作图加 以应用．请同学们想一想， 这到题还有别的作法吗？
A
D
c
Aa
Bb C
C
c
O Db B a
精选
相交弦定理： 圆内的两条相交弦，
被交点分成的两条线段长的积相
等．
PA·PB = PD·PC
切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到
推论
每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等. 即 PA·PB = PC·PD =PT2
初中数学课件《切割线定理》
B O A C P
E D
解：（1）由切割线定理，得 PE2=PC ∙ PD=PA ∙ PB ∵AB=3cm,PA=2cm ∴PB=AB+PA=5（cm） ∵CD=4cm ∴PD=PC+CD=PC+4 ∴PC（PC+4）=2X5 化简，整理得：PC2+4PC−10=0
解得： PC 2
14
（ 负数不合题意，舍去）
B
已知：（如图）点P为⊙O外一点，PC切 ⊙O于点C，割线PBA 交⊙O于A、B 求证：PC2=PA∙PB
C P A O B
切割线定理： 从圆外一点引圆的两切线和条割线，切 线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长 的比例中项。
证明： 连接AC、BC， ∵PC切⊙O于点C ∴∠B= ∠PCA， 又 ∠P=∠P ∴ △PCA∽ △ PBC ∴ PC ：PA=PB ：PC ∴PC2= PA∙PB
A B
P
割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B => PA∙PB=PC∙PD
已知：（如图）过⊙O外一点P作两条割线，分别交 ⊙O 于点A、B和C、D，再作⊙O的切线PE，E为切点， 连接CE、DE。 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的长 （2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE。
T A B O C D P
PA∙PB=PC∙PD=PT2
复习： 1、如图在⊙O中弦AB、CD相交于点P，则有 怎样的结论？ 答：PA ∙ PB=PC ∙ PD 怎样证明上述结论？ 答：连接BC、AD证明 A △PBC∽ △ PDA 2、设OP=d、 ⊙O 的半径为r 则PA ∙ PB=PC ∙ PD的值 D 为多少？ 答：PA ∙ PB=PC ∙ PD=r2—d2
E D
解：（1）由切割线定理，得 PE2=PC ∙ PD=PA ∙ PB ∵AB=3cm,PA=2cm ∴PB=AB+PA=5（cm） ∵CD=4cm ∴PD=PC+CD=PC+4 ∴PC（PC+4）=2X5 化简，整理得：PC2+4PC−10=0
解得： PC 2
14
（ 负数不合题意，舍去）
B
已知：（如图）点P为⊙O外一点，PC切 ⊙O于点C，割线PBA 交⊙O于A、B 求证：PC2=PA∙PB
C P A O B
切割线定理： 从圆外一点引圆的两切线和条割线，切 线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长 的比例中项。
证明： 连接AC、BC， ∵PC切⊙O于点C ∴∠B= ∠PCA， 又 ∠P=∠P ∴ △PCA∽ △ PBC ∴ PC ：PA=PB ：PC ∴PC2= PA∙PB
A B
P
割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B => PA∙PB=PC∙PD
已知：（如图）过⊙O外一点P作两条割线，分别交 ⊙O 于点A、B和C、D，再作⊙O的切线PE，E为切点， 连接CE、DE。 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的长 （2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE。
T A B O C D P
PA∙PB=PC∙PD=PT2
复习： 1、如图在⊙O中弦AB、CD相交于点P，则有 怎样的结论？ 答：PA ∙ PB=PC ∙ PD 怎样证明上述结论？ 答：连接BC、AD证明 A △PBC∽ △ PDA 2、设OP=d、 ⊙O 的半径为r 则PA ∙ PB=PC ∙ PD的值 D 为多少？ 答：PA ∙ PB=PC ∙ PD=r2—d2
《切割线定理》课件
VSΒιβλιοθήκη 详细描述切线经过切点，并且仅经过该点。这是切 线定义的基本性质，也是切割线定理的重 要推论之一。这个性质说明了切点是唯一 一个点，使得经过该点的切线与圆相切。
05
切割线定理的应用练习
练习一：求切线的长度
01
02
03
总结词
利用切割线定理计算切线 的长度
详细描述
通过已知的圆心到切点的 距离和切割线与半径的夹 角，利用切割线定理计算 切线的长度。
总结词
利用切割线定理计算切线的斜率
详细描述
通过已知的圆心到切点的距离和 切割线与半径的夹角，利用切割
线定理计算切线的斜率。
公式
切线斜率 = (圆心到切点的距离 / 半径) × cos(切割线与半径的夹
角)
06
总结与回顾
本节课的重点与难点
重点
理解切割线定理的推导过程和实际应用。
难点
掌握如何运用切割线定理解决实际问题，特 别是涉及到几何图形的问题。
03
切割线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过比较三角形之间的边长和角度关系，证明切割线 定理。
详细描述
首先，根据题目已知信息，画出两个相似三角形。然后，根据相似三角形的性 质，证明切割线与两条割线之间的角度相等，从而得出切割线定理的结论。
证明方法二：通过面积关系证明
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系描述了切线和半径之间的角度关系。
详细描述
根据切线的性质，切线和经过切点的半径是垂直的。这意味着切线和半径之间的角度是90度。这个关系是几何学 中一个重要的基础概念，用于证明和解决各种几何问题。
人教版九年级数学课件：切割线定理
作
业
PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PT =PB· BA × PA· = PD· AB CD
2
PC· =PA· PD PB
切 割 推 线 定 论 理
×
作业 P132
11 ， P133 12 ，13．
PT2 =PA· PB
PC· =PA· PD PB
练习二：
1.
过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6．则CD= ? CD = 4.4 2．
已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
PB = 4
法二： 连接CD ,射影定理． A D •O
BC2=BD•BA
Rt△ABC中 AC=3; BC=4. BD=3.2 (cm) AB=5 BC=4
B
C
提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是
PA的中点，DC交圆O于E． 求证：1）PD2=DE•DC；2） ∠1= ∠C．
分析： 1. PD=DA
PA· = PM· PB PN
P
PM· =PC2 PN
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上．过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D．求证：PC =PD．
B o1 • A C
o2
•
D
P
提示：PC = PD = PE …
B o1 • A D E P o2 • o3•
P P
D 1
E
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C
【数学课件】切割线定理
课题：切割线定理
问题思考：
填空：1、如图1，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，
则有PA·PB = _________；根据是___________；
在图2中，如果AB是圆O的直径，CD⊥AB于P 则有
PC =________；PC2 =___________。
D
C
A
P
O
BA
OP B
C
图1
图2D
问题：当图1做如下变化时，请观察和猜想你能得到怎样的结论？ （将点P移到圆外，将弦CD绕点P旋转到与圆相切的位置。）
猜想论证：
如图2：已知：点P是
⊙O外一点，PF是切 A
线，F是切点，PBA是
割线，点A，B是它与
F B P
⊙O的交点
如图3
求证：PF2 =PA·PB
结论归纳：
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
表达式：如图3
PF 是⊙O切线，F 是切点 PA是割线
PF2=PA·PB
F A
OB P
如图3
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等。
表达式：如图4
PBA，PCD是⊙O的割线
PA·PB = PC·PD
F A
D
B C
P
如图4
例题示范：
已知：如图5，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B， PA =6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
问题思考：
填空：1、如图1，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，
则有PA·PB = _________；根据是___________；
在图2中，如果AB是圆O的直径，CD⊥AB于P 则有
PC =________；PC2 =___________。
D
C
A
P
O
BA
OP B
C
图1
图2D
问题：当图1做如下变化时，请观察和猜想你能得到怎样的结论？ （将点P移到圆外，将弦CD绕点P旋转到与圆相切的位置。）
猜想论证：
如图2：已知：点P是
⊙O外一点，PF是切 A
线，F是切点，PBA是
割线，点A，B是它与
F B P
⊙O的交点
如图3
求证：PF2 =PA·PB
结论归纳：
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
表达式：如图3
PF 是⊙O切线，F 是切点 PA是割线
PF2=PA·PB
F A
OB P
如图3
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等。
表达式：如图4
PBA，PCD是⊙O的割线
PA·PB = PC·PD
F A
D
B C
P
如图4
例题示范：
已知：如图5，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B， PA =6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
初中数学课件《切割线定理》
切割线定理的相关概念介绍
为了帮助大家更好地理解切割线定理，我们在这里先来介绍一下它的相关概念。
扇形
扇形是圆心角对应的圆弧及其 圆心所组成的图形，它是切割 线重要概念。
弓形
弓形指的是圆上一个扇形所截 下来的圆弧部分，是能够帮助 我们理解切割线定理的重要概 念。
弦长
弦是连接圆上两点的线段，弦 长是线段长度，是切割线定理 中常用的量。
解决切割线定理中的常见错误和误区
学习切割线定理的时候，常见错误和误区包括对图形理解不够溜，计算公式没有掌握好，套路不熟练等 等，下面是一些错误率较高的问题。
• 画图不规范，不能很好地说明切线、割线、交点的位置关系 • 公式记忆不清，导致计算错误 • 理解不深刻，只会套用公式，难以发挥应有的思考能力
切割线定理在各国数学教育中的地位
切割线定理作为数学中非常重要的一个知识点，它在不同国家的数学教育中都占据着重要地位，是不容 忽视的。下面介绍几个国家中切割线定理的教学情况。
• 中国：在初中阶段的几何课程中必须学习切割线定理。 • 美国：在高中阶段的几何学里也会涉及切割线定理的知识点。 • 日本：从小学到高中，切割线定理都是几何学习的重点。
具体表述
具体来说，若AB与CD是两条割线，交于点E，那么∠AEB=∠CED，∠BEC=1/2∠BAD。
套路示范
判断两条线段是否相互垂直的时候，可以用切割线定理进行证明。
切割线定理的含义和意义
切割线定理是数学中一条很重要的定理。它在几何解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理 解和应用各种几何概念。
切割线定理的进阶应用
掌握好了切割线定理的基础知识之后，还可以进一步拓展应用，例如： • 推导出更复杂的几何公式 • 应用切割线定理解决更高级的几何问题 • 将切割线定理与其他定理的知识点相关联，挖掘其更多潜力
高中数学 1.2.4 切割线定理课件 北师大版选修41
由勾股定理，AC2＋AB2＝BC2， 即 x2＋(3x)2＝402， 得 x＝4 10，x＝－4 10(舍去)． 如图，连接 BD，在△PAB 和△ADB 中，∠PAB＝∠D， ∠P＝∠BAD， ∴△PAB∽△ADB. ∴AADP＝APBB， ∴AD＝APP·BAB＝15×54 10＝12 10.
由①知 5×12＝PC(PC＋11)， ∴PC＝4 或 PC＝－15(舍去)， ∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15. 由②得BADC＝155＝13， 即 AC∶BD＝1∶3.
1．本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依 据是切割线定理的推论．
2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应 用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．
图 1－2－64
【解析】 由切割线定理知 CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，
即(2 7)2＝BD2＋3BD，解得 BD＝4 或 BD＝－7(舍去)．
∵∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴△CAD∽△BCD，
∴CBDD＝ABCC，即2 4 7＝A3C，
解得
AC＝32
7 .
【答案】
37 2
定理的综合应用 如图 1－2－67，P 是⊙O 的直径 CB 的延长线上 一点，PA 和⊙O 相切于 A，若 PA＝15，PB＝5. (1)求 tan∠ABC 的值； (2)弦 AD 使∠BAD＝∠P，求 AD 的长．
图 1－2－67
【思路探究】 求 tan∠ABC 可利用△ABC 中边角关系 求出；而 AD 的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似 三角形，建立边长关系求出．
图 1－2－62
1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？ 【提示】 只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其 推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是 指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．
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(3)
O
A
P
D P
B
已知：（如图）过⊙O外一点P作两条割线，分别交 ⊙O 于点A、B和C、D，再作⊙O的切线PE，E为切点， 连接CE、DE。 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.
（1）求PC的长 （2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE。
B O
D
A
P
解：（1）由切割线定理，得
C
PC ∙ PD=PA ∙ PB
小试身手：
1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D
T
(1)已知PB=5,PA=8,PC=4, A
PD=10 PT=
(2)已知PA=5,PB=8,PO=7
半径R= 3
B O
C
D
2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D, 连结AC,BD,下面各比例式中成立的有: C
(1)
(2)
A
∴ △PBD∽ △ PCA
割线定理：
∴ PD ：PA=PB ：PC
从圆外一点引圆的两 ∴ PA∙PB=PC∙PD
条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条
线段的乘积相等
C
B
C 点P从圆内移动到远外
P
P
O
D
O
A
A B
PA∙PB=PC∙PD
PC2=PA∙PB
C
D P
O B
A
PA∙PB=PC∙PD
C
T
A
B
P
O C
D
复习：
1、如图在⊙O中弦AB、CD相交于点P，则有 怎样的结论？ 答：PA ∙ PB=PC ∙ PD
怎样证明上述结论？ 答：连接BC、AD证明
A △PBC∽ △ PDA O C
P
D
B
已知:PT是⊙O的切线,且 PT=500km, 直径AB=10500km,求PA=?
P
500
A T
A
PBC是⊙O的割线，
已知⊙O的半径为8，
P
O
PB=4，PC=9求PA及点
B
到圆心的距离PO
C
3、如图：A、B两点在x轴上原 点的右边，点A在点B的左边， 经过A、B两点的⊙C与y轴相切 于点D（0，-3），果AB=4 （1）求A、B两点的坐标 （2）求圆心C的坐标
课堂小结
1、这节课我们学习了切割线定理及推论（割线定理）， 要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。
2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。
3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与 代数、几何等知识的联系及应用
∵AB=3cm,PA=2cm
∴PB=AB+PA=5（cm） ∵CD=4cm
E
∴PD=PC+CD=PC+4
∴PC（PC+4）=2X5
化简，整理得：PC2+4PC−10=0
解得：
（ 负数不合题意，舍去）
B O
(2)由(1)得PE²=PA∙PB=10
∴PE=
由弦切角定理,得∠CEP=∠D
A
又P∵ ∠CPE=∠EPD ∴△CPE∽△EPD
P
BDO
C PC=PD • PO,而由切割线定理有PA2=PB •
PC只需再证PA2=PD • PO，PA为切线所以
连接PO由射影定理 得到。
大展才干：
1、如图：过点A作⊙O的两条
E
割线分别⊙O交于B、C和D、E。 D
已知AD=4， DE=2, CE=5，A
AB=BC，求AB、BD
A B
C
2、如图：PA切⊙O于A，
PA∙PB=PC∙PD
已知：点P为⊙O外一点，割线PBA、PDC分别
交⊙O于A、B和C、D（如下图）
求证：PA∙PB=PC∙PD 证明：
C
连接AC、BD，
D
几∵何四语边言形描A述B:DC为
O
P ∵⊙ ∴P∠AOPB的D,PB内C=D接∠是四A⊙，边O形的割线
B
∴ 又PA∠∙PPB==∠PPC∙PD
=> PA∙PB=PC∙PD
已知:PT是⊙O的切线,且 PT=500km, 直径AB=1050km,求PA=?
P
∵PＴ是⊙O 的切线
A
∴ PＴ²=PA∙PB
设PA＝x，则500²=x(x+1050) T
(x+1250)(x-200) =0
O
x=200或x=-1250(舍去）
B
这也是今后做题的一个基本图形
A
得到∵P∴C∠是B⊙= ∠OPC的A切，线
O
又 ∠P=∠P
B
切割线定理：
∴ P∴C△²=PPCAA∙P∽B△ PBC
∴ PC ：PA=PB ：PC ∴PC2= PA∙PB
从圆外一点引圆的切线和条割线切线长
是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比
例中项。
C
C
P
O
A
D
P O
B
A B
答：PC2=PA∙PB
思考：从这几个定理的结论里
O
大家能发现什么共同点？
A
P
B
C
D
AB交CD于点 => PA∙PB=PC∙PD
结论都为乘积式
P
O
A
几条线段都是从同一点出发
B
C
PC切⊙O于点C点
=> PA∙PB=PC²
都是通过三角形相似来证明 （都隐含着三角形相似）
D
O
A
P
我们学过的定理中还有结论 为乘积式的吗？
B
割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B
1050
B
已知：（如图）点P为⊙O外一点，PC切 ⊙O于点C，割线PBA 交⊙O于A、B
C
P
O
A
B
答：PC2=PA∙PB 怎样证明结论？
已知：（如图）点P为⊙O外一点，PC切
⊙O于点C，割线PBA 交⊙O于A、B
求证：PC2=PA∙PB
证明：
C
图P形这几利也何连∵用是P语接△C今A言切P后CC⊙描、A做O∽述B于题C△:点，的PC一BC个基本
C
∴
E
∴
D
∴
例2：（如图）A是⊙O上一点，过A切线交直径CB 的延长线于点P，AD⊥BC，D为垂足。求证： PB ：PD=PO ：PC。
A
分析：要证明PB ：PD=PO ：PC 很明显
PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接
用相似证明，且在圆里的比例线段通常化
为乘积式来证明，所以可以通过证明PB •