(完整)三次样条插值的C程序(很全啊)
三次样条插值算法C++实现
三次样条插值算法C++实现三次样条插值算法1 总体说明三次样条插值算法是⼀种计算量和效果都⽐较理想的插值算法。
关于三次样条插值算法的原理这⾥不做过多的解释，下⾯的代码是我在⽹上收集了两种C++实现版本的基础上⾃⼰整合的⼀个版本。
由于本⼈刚接触C++不久，⽔平有限。
没有使⽤模板机制将代码做的更通⽤。
关于算法实现有下⾯⼏点说明。
1. 所有有关的类都被包含到SplineSpace命名空间中。
2. SplineSpace中⼀个有三个类分别是异常类(SplineFailure),接⼝类(SplineInterface)和实现类(Spline)。
有⼀个枚举类型说明边界条件(BoundaryCondition),取值为：GivenFirstOrder和GivenSecondOrder。
分别对应I型边界条件和II型边界条件。
3. 接⼝类定义了Spline在实现的过程中必须要有的三个⽅法：单点插值、多点插值和⾃动⽣成插值序列。
4. 异常类是可能被实现类抛出的类，如果在实现类的运⾏过程中出现了已知数据过少构造失败、使⽤了外插值、设定输出点数过少等⾏为会抛出该类。
因此应该将插值的过程⽤try...catch(SplineFailure sf)包裹起来。
如：double x0[2]={1,2};double y0[2]={3,4};try{SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,2);//...}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}上⾯代码就会抛出异常并显⽰“构造失败,已知点数过少”。
2 插值⽅法调⽤2.1单点插值调⽤⽅法如下：#include <iostream>#include "Spline.h"using namespace std;using namespace SplineSpace;int main(void){//单点插值测试double x0[5]={1,2,4,5,6}; //已知的数据点double y0[5]={1,3,4,2,5};try{//Spline sp(x0,y0,5,GivenSecondOrder,0,0);SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,5); //使⽤接⼝，且使⽤默认边界条件double x=4.5;double y;sp->SinglePointInterp(x,y); //求x的插值结果ycout<<"x="<<x<<"时的插值结果为:"<<y<<endl;}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}getchar(); //程序暂停}此时屏幕会输出"x=4.5时的插值结果为2.71107"。
三次样条曲线推导过程
三次样条曲线推导过程三次样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过一系列已知控制点来生成平滑的曲线。
下面是推导三次样条曲线的基本过程：1.整理控制点：给定一组已知控制点P0, P1, P2, ..., Pn，其中每个点Pi的坐标为(xi, yi)。
我们的目标是找到一个曲线函数C(t)，其中t的范围在[0, 1]之间。
2.定义曲线段：将整个插值范围[0, 1]划分为一系列曲线段，每个曲线段由相邻的两个控制点构成。
我们有n个控制点，则会有n个曲线段。
3.插值求解：对于每个曲线段，我们希望找到一条插值曲线，使得该曲线通过两个相邻控制点，并且在相邻曲线段的连接处保持平滑。
4.建立方程：为了推导每个曲线段的曲线方程，我们需要定义一些参数。
引入参数t，其中t的范围为[0, 1]。
假设我们有一个曲线段的控制点Pi和Pi+1。
我们需要定义两个参数h和u，其中h = xi+1 - xi，u = (t - xi) / h。
5.插值方程：通过插值方法，我们可以得到曲线段的插值方程。
一个典型的三次样条曲线方程为： C(t) = (1 - u)^3 * P_i+ 3 * (1 - u)^2 * u * P_i+1 + 3 * (1 - u) * u^2 * P_i+2 + u^3 *P_i+3这个方程表示了在t范围内从Pi到Pi+3的曲线。
对每个相邻的控制点对应的曲线段都应用相同的方法，然后将它们拼接在一起，就可以得到整个三次样条曲线。
请注意，以上是三次样条曲线的简化推导过程，实际的推导可能会涉及更多的数学推导和符号表示。
详细讲解三次样条插值法及其实现方法PPT共61页
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！Βιβλιοθήκη 61详细讲解三次样条插值法及 其实现方法
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值是一种插值方法，用于通过一组离散点的数据生成连续的曲线。
三次样条插值算法可以通过三转角方程来实现。
三转角方程是指在每个节点处，曲线的一阶导数和二阶导数与相邻插值段的一阶导数和二阶导数相等。
该方程可以用来计算插值段的系数，从而得到连续的曲线。
三次样条插值的算法设计包括以下步骤：
1. 确定插值节点，即给定一组数据点{x_i, y_i}。
2. 计算相邻插值段的一阶导数和二阶导数。
3. 根据三转角方程，计算每个节点的插值段系数。
4. 通过插值段系数，得到连续的三次样条曲线。
三次样条插值算法的优点是可以减少插值误差，同时保持曲线的平滑性。
该算法在数值分析、计算机图形学和工程设计等领域得到广泛应用。
在实现三次样条插值算法时，需要注意以下问题：
1. 插值节点的选择会影响插值曲线的精度和平滑性。
2. 计算导数时需要使用数值差分或解析方法。
3. 三转角方程的求解可能存在线性方程组求解的问题。
总之，三次样条插值算法是一种重要的插值方法，可以用来生成平滑的曲线，具有广泛的应用前景。
三次样条插值
三次样条插值C++数值算法（第二版)3.3 三次样条插值给定一个列表显示的函数yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。
特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。
该区间的线性插值公式为(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。
因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。
三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。
做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。
如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。
进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。
可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。
使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数因为x=xj是A=1，x=x(i+1)时A=0，而B正相反，则(3.3.6)式表明y"恰为列表函数的二阶导数。
而且该二阶导数在两个区间(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是连续的。
现在唯一的问题是，假设yj"是已知的。
而实际上并不知道。
然而，仍不要求从(3.3.5)式算出的一阶导数在两个区间的边界处是连续的。
三次样条的关键思想就在于要求这种连续性，并用它求得等式的二阶导数yi"。
数值分析_三次样条差值
一．实验要求二．算法描述三．实验代码//三次样条差值#include<iostream>using namespace std;int main(){int n,type;//节点个数,边界类型double xx;//给定点double*x,*y,*h,*aa,*bb,*a,*b,*m;//cout<<"------三次样条差值计算------\n";cout<<"请输入节点个数:";cin>>n;x=new double[n]; y=new double[n]; h=new double[n-1];aa=new double[n];bb=new double[n]; a=new double[n];b=new double[n]; m=new double[n+1];cout<<"请依次输入Xi，Yi:\n";for(int i=0;i<n;i++)cin>>x[i]>>y[i];//输入节点cout<<"请输入边界类型(1或2--1为已知两端点微商,2为已知两端点二阶微商为0):\n"; cin>>type;for(int i=0;i<n-1;i++)h[i]=x[i+1]-x[i];//计算h[i]if(type==1)//边界类型为第一类{cin>>m[0]>>m[n-1];//输入m[0],m[n-1]aa[0]=0; bb[0]=2*m[0];aa[n-1]=1; bb[n-1]=2*m[n-1];}else if(type==2)//边界类型为第二类{aa[0]=1; bb[0]=3*(y[1]-y[0])/h[0];aa[n-1]=0; bb[n-1]=3*(y[n-1]-y[n-2])/h[n-2];;}else{cout<<"类型不存在\n";exit(0);}for(int i=1;i<n-1;i++){aa[i]=h[i-1]/(h[i-1]+h[i]);bb[i]=3*((1-aa[i])*(y[i]-y[i-1])/h[i-1]+aa[i]*(y[i+1]-y[ i])/h[i]);}a[0]=0-aa[0]/2; b[0]=bb[0]/2;for(int i=1;i<n;i++)//计算a[i],b[i]{a[i]=0-aa[i]/(2+(1-aa[i])*a[i-1]);b[i]=(bb[i]-(1-aa[i])*b[i-1])/(2+(1-aa[i])*a[i-1]);}m[n]=0;for(int i=n-1;i>=0;i--)//计算m[i]{m[i]=a[i]*m[i+1]+b[i];}cout<<"请输入所求点xx:"; cin>>xx;int i=0;for(i=0;i<n-1;i++)if(xx-x[i]>=0&&xx-x[i+1]<0)break;double temp1 = (xx - x[i]) / (x[i+1] - x[i]);double temp2 = (xx - x[i+1]) / (x[i] - x[i+1]);double s = (1 + 2 * temp1)*temp2*temp2*y[i] + (1 + 2 * temp2)*temp1*temp1*y[i+1] +(xx - x[i])*temp2*temp2*m[i] + (xx -x[i+1])*temp1*temp1*m[i+1];cout<<"s("<<xx<<")="<<s<<endl;delete []x; delete []y; delete []h; delete []aa;delete []bb; delete []a; delete []b; delete []m;return 0;}四．实验结果。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
数值计算中完备三次样条插值程序
C++程序# include <iostream.h>int s(intn,double *x,double b){int t;for (inti=0;i<9;i++){if(b<=x[i+1]&&b>x[i])t=i;}return t;}void main(){int n;cout<<"输入待求阶数：";cin>>n;double *x,*fx,*h,*m,*b,*d,dfa,dfb;x=new double[n+1];fx=new double[n+1];h=new double[n];b=new double[n];d=new double[n+1];m=new double[n+1];cout<<"输入x：";for(inti=0;i<(n+1);i++)cin>>x[i];cout<<"输入fx：";for(i=0;i<(n+1);i++)cin>>fx[i];cout<<"输入dfa与dfb：";cin>>dfa>>dfb;for(i=0;i<n;i++)h[i]=x[i+1]-x[i];for(i=0;i<n;i++)b[i]=(fx[i+1]-fx[i])/h[i];d[0]=b[0]-dfa;d[n]=dfb-b[n-1];for(i=1;i<n;i++)d[i]=b[i]-b[i-1];double*A1,*A2,*A3,*A4;double *a,*e,*c,*t,*p,*q,*y;a=new double[n+1];c=new double[n+1];e=new double[n+1];t=new double[n+1];p=new double[n+1];q=new double[n+1];y=new double[n+1];a[0]=0;e[0]=2*h[0];c[0]=h[0];for(i=1;i<n;i++){a[i]=h[i-1];e[i]=2*(h[i-1]+h[i]);c[i]=h[i];}a[n]=h[n-1];e[n]=2*h[n-1];c[n]=0;if(e[0]==0) cout<<"Method failed";else{p[0]=e[0];q[0]=c[0]/e[0];for(i=1;i<n;i++){p[i]=e[i]-a[i]*q[i-1];if(p[i]==0) {cout<<"Methgodfailed";break;}else q[i]=c[i]/p[i];}p[n]=e[n]-a[n]*q[n-1];if(p[n]==0) cout<<"Method failed";else{y[0]=d[0]/p[0];for(i=1;i<(n+1);i++)y[i]=(d[i]-a[i]*y[i-1])/p[i];t[n]=y[n];for(i=(n-1);i>=0;i--)t[i]=y[i]-q[i]*t[i+1];}}for(i=0;i<(n+1);i++){m[i]=6*t[i];cout<<"m["<<i<<"]="<<m[i]<<" ";}cout<<endl;A1=new double[n];A2=new double[n];A3=new double[n];A4=new double[n];for(i=0;i<n;i++){A1[i]=fx[i];A2[i]=b[i]-h[i]*(m[i+1]+2*m[i])/6;A3[i]=m[i]/2;A4[i]=(m[i+1]-m[i])/6*h[i];}for(i=0;i<n;i++)cout<<"A1["<<i<<"]="<<A1[i]<<" ";cout<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<"A2["<<i<<"]="<<A2[i]<<" ";cout<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<"A3["<<i<<"]="<<A3[i]<<" ";cout<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<"A4["<<i<<"]="<<A4[i]<<" ";cout<<endl;cout<<"输入待测x个数：";int o;cin>>o;double *X;X=new double[o];for (i=0;i<o;i++){int k;cout<<"X["<<i<<"]=";cin>>X[i];k=s(n,x,X[i]);cout<<"f("<<X[i]<<")="<<(A1[k]+A2[k]*(X[i]-x[k])+A3[k]*(X[i]-x[k])*(X[i]-x[k])+A4[k]*(X[i]-x[k])*(X[i ]-x[k])*(X[i]-x[k]))<<endl;}deletea;deletec;deletee;deletep;deleteq;deletet;deletey;deletefx;deleteh;deletem;deleteb;deleted;dele te A1;delete A2;delete A3;delete A4;delete X;}样例输入待求阶数：3输入x：1 2 4 5输入fx：1 3 5 2输入dfa与dfb：1 -4m[0]=3.14286 m[1]=-0.285714 m[2]=-3.71429 m[3]=-1.14286 A1[0]=1 A1[1]=3 A1[2]=5A2[0]=1 A2[1]=2.42857 A2[2]=-1.57143A3[0]=1.57143 A3[1]=-0.142857 A3[2]=-1.85714A4[0]=-0.571429 A4[1]=-1.14286 A4[2]=0.428571输入待测x个数：2X[0]=1.5Sc(1.5)=S0(1.5)=1.82143X[1]=3Sc(3)=S1(3)=4.14286Press any key to continue。
三次样条插值（CubicSplineInterpolation）及代码实现（C语言）
三次样条插值（CubicSplineInterpolation）及代码实现（C语⾔）样条插值是⼀种⼯业设计中常⽤的、得到平滑曲线的⼀种插值⽅法，三次样条⼜是其中⽤的较为⼴泛的⼀种。
本篇介绍⼒求⽤容易理解的⽅式，介绍⼀下三次样条插值的原理，并附C语⾔的实现代码。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是⼀个分段定义的公式。
给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条⽅程满⾜以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是⼀个三次多项式。
b. 满⾜（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，⼆阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每⼀分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到⼆阶连续d. 左右两端点处特性（⾃然边界，固定边界，⾮节点边界）根据定点，求出每段样条曲线⽅程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：, 其中 i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中 i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带⼊样条曲线的条件：a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出由此可得：d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带⼊可得：c. 将bi, ci, di带⼊ (i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。
要想求解该⽅程组，还需另外两个式⼦。
所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。
三次样条插值c++代码实现及注释
一、引言在计算机编程和数据处理领域，插值是一种常见的数值分析方法，用于在已知数据点之间估算未知点的数值。
而三次样条插值是插值方法中的一种重要技术，它可以在使用较少插值节点的情况下，实现更为平滑和精确的插值结果。
本文将着重探讨三次样条插值的原理和C++代码实现，并给出详细的注释和解释。
二、三次样条插值的原理三次样条插值是一种分段插值方法，它将整个插值区间分割为若干个小区间，每个小区间内采用三次多项式进行插值。
这样做的好处是可以在每个小区间内实现更为细致和精确的插值，从而提高插值的准确性和平滑性。
而三次样条插值的核心在于确定每个小区间内的三次多项式的系数，一般采用自然边界条件进行求解。
在具体实现中，我们需要先对给定的插值节点进行排序，并求解出每个小区间内的三次多项式系数。
最终将这些系数整合起来，就可以得到整个插值区间的三次样条插值函数。
三、C++代码实现及注释接下来，我们将给出使用C++语言实现三次样条插值的代码，并对每个关键步骤进行详细注释和解释。
```cpp// include necessary libraries#include <iostream>#include <vector>using namespace std;// define the function for cubic spline interpolationvector<double> cubicSplineInterpolation(vector<double> x, vector<double> y) {// initialize necessary variables and containersint n = x.size();vector<double> h(n-1), alpha(n), l(n), mu(n), z(n), c(n), b(n), d(n);vector<double> interpolatedValues;// step 1: calculate the differences between x valuesfor (int i = 0; i < n-1; i++) {h[i] = x[i+1] - x[i];}// step 2: calculate alpha valuesfor (int i = 1; i < n-1; i++) {alpha[i] = (3/h[i]) * (y[i+1] - y[i]) - (3/h[i-1]) * (y[i] - y[i-1]); }// step 3: calculate l, mu, and z valuesl[0] = 1;mu[0] = 0;z[0] = 0;for (int i = 1; i < n-1; i++) {l[i] = 2*(x[i+1] - x[i-1]) - h[i-1]*mu[i-1];mu[i] = h[i]/l[i];z[i] = (alpha[i] - h[i-1]*z[i-1])/l[i];}l[n-1] = 1;z[n-1] = 0;c[n-1] = 0;// step 4: calculate coefficients for the cubic polynomials for (int j = n-2; j >= 0; j--) {c[j] = z[j] - mu[j]*c[j+1];b[j] = (y[j+1] - y[j])/h[j] - h[j]*(c[j+1] + 2*c[j])/3;d[j] = (c[j+1] - c[j])/(3*h[j]);}// step 5: interpolate values using the cubic polynomials for (int i = 0; i < n-1; i++) {double xi = x[i];while (xi < x[i+1]) {double dx = xi - x[i];double interpolatedValue = y[i] + b[i]*dx + c[i]*dx*dx + d[i]*dx*dx*dx;interpolatedValues.push_back(interpolatedValue);xi += 0.1; // adjust the step size for finer interpolation }}return interpolatedValues;}// main function for testing the cubic spline interpolation int main() {vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};vector<double> y = {3, 6, 8, 10, 15};vector<double> interpolatedValues = cubicSplineInterpolation(x, y);for (int i = 0; i < interpolatedValues.size(); i++) {cout << "Interpolated value " << i << " : " << interpolatedValues[i] << endl;}return 0;}```四、总结与展望通过本文的学习，我们了解了三次样条插值的原理和C++代码实现。
4.4三次样条插值(共70张PPT)
解 做差商表(P111),由于是等距离(jùlí)节点,
hi xi xi1 0.15 i 1,2,3,4
i
hi hi1 hi
1 2
,
i
hi1 hi1 hi
1 2
第二十六页，共七十页。
由第二类边界条件得
2 1
M0 5.86667
0.5
2
0.5
M
1
5.14260
0.5
x1 6
] f
[
xi
1
,
xi
,
xi
1
]
（i 1,2,..., n 1）
M
n
1
2Mn
6
f [xn1, xn , xn ]
第二十二页，共七十页。
三次(sān cì)样条插值
第二类边界条件 s'' (x0 ) f '' (x0 ) M 0 , s'' (xn ) f '' (xn ) M n 同理可得
yi xi
yi1 xi1
2 (6 Mi
1 6 M i1)(xi
xi1)
(2)
因为s( x)连续，所以（1）（2）即
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6
M
i 1
)( xi
xi1)
记hi xi xi1
i
hi hi1 hi
则法方程为其中xedx1008731273130873127313169030903平方误差为06277452对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于fx插值问题要想提高精度就要增加节点因此多项式的次数也就太高计算量过大而节点少多项式的次数低但误差精度不能保证为了消除误差干扰取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示fx这就是曲线拟合问题
三次样条插值
其中c1=b1-(1-a1)m0, cn-1=bn-1-an-1)mn
2011-1-1
光电学院 肖慧敏----数值计算
例1. 给定数据 x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 求 f (x)的自然(边界条件)3次样条插值函数， 并求f (3)和f(4.5)的近似值。 解： 记 x0 = x 1 -2，x2 = 4， 3 =5，则 x
一、三次样条插值简介
样条插值是一个基于工程方法的用语，三次样条插 值就是对一般的多项式插值问题，在每个小区间上 采用标准的三次样条函数而形成的方法。 在实际操作过程中，我们是利用三次Hermit分段插 值的原理形成三次样条插值，所以我们是借用样条 这个名词。 大家要记住，以计算函数值为目标的插值方法的重 要性已经大为降低，而“捡便宜”式的插值方法的 应用以突显其重要意义。 所以目前大体了解一下三次样条插值方法，真正在 工程总要用到它时，在花些时间研究一下，编出计 算程序也不太难。
2011-1-1 光电学院 肖慧敏----数值计算
二、三次样条插值（问题与思路）
对于一般的n个基点的插值问题（同样假定 a=x0<x1<…<xn=b），假设基点处的导数值分别为 m0,m1,…,mn,利用分段三次Hermit插值方法，记第 Si(t)为第i个区间[xi-1,xi]上的三次Hermit插值函数 Si(t)=y0 ϕ0(t)+y1ϕ1(t)+himiψ0(t)+himi+1ψ1(t) 其中hi=xi+1-xi,t=(x-xi)/hi 假如m0和mn是已知的，对于0<i<n,我们可以利用 Si-1(t)和Si(t)在x=xi处的二阶导数值相等来组织n-1个 方程，由此确定m1,m2,…,mn-1,从而形成一个完整的 方法。
基于VC++的三次样条插值
三次样条插值本程序在VC++6.0中，利用MFC程序窗口的View类的OnDraw函数绘制函数图像。
VC++源程序（程序名(空间)：Spline.dsw）：在CSplineView.cpp源文件中定义数组长度：#define MAX_NUMBER 20 //定义数组长度在CSplineView.h头文件中的CSplineView类中初始化两端点导数值df0，dfn及绘制函数时描点步长x0：df0=0.8;dfn=0.2;x0=0.1;在CSplineView.cpp源文件中的OnDraw函数体中添加如下代码：double h[MAX_NUMBER],f[MAX_NUMBER],lamda[MAX_NUMBER],miu[MAX_NUMBER],e[MAX_NUMBER],b[MAX_NUMBER],*m,A[MAX_NUMBER][MAX_NUMBER];//定义步长h，差分f，λ，μ，e，b，m及解m值的矩阵Adouble d[MAX_NUMBER],u[MAX_NUMBER],l[MAX_NUMBER];//定义追赶法中的变量d，u，ldouble x[MAX_NUMBER]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};//初始化x变量double y[MAX_NUMBER]={2.51,3.30,4.04,4.70,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80};//初始化y变量int n=10,i,j; //n同公式中的nfor(i=0;i<n;i++) //初始化h,f{h[i]=x[i+1]-x[i]; //步长f[i]=(y[i+1]-y[i])/h[i]; //差分}for(i=1;i<n;i++) //初始化lamda,miu,e,b{lamda[i]=h[i]/(h[i-1]+h[i]);miu[i]=h[i-1]/(h[i-1]+h[i]);e[i]=3*(lamda[i]*f[i-1]+miu[i]*f[i]);if(i>1&&i<(n-1))b[i]=e[i];}b[1]=e[1]-lamda[1]*df0;b[n-1]=e[n-1]-miu[n-1]*dfn;for(i=1;i<n;i++) //初始化m系数矩阵Afor(j=1;j<n;j++){if(i==j)A[i][j]=2;else if(i-j==1)A[i][j]=lamda[i];else if(j-i==1)A[i][j]=miu[i];elseA[i][j]=0;}m=spline.Thomas(n,d,u,b,l,A); //将追赶法算出的值附给数组m（以指针形式）m[0]=df0;m[n]=dfn;//下面将插值函数s(x)各插值点导数值（m）写入文件ofstream table1;table1.open("c:\\table_m.txt");for(i=0;i<=n;i++){table1<<m[i]<<" ";}//以下为程序中使用到的函数定义//追赶法（Thomas方法)函数double *CSplineView::Thomas(int n, double *d,double *u,double *b,double *l,double (*A)[MAX_NUMBER]) //各参数名与主程序变量名一一对应{static double x[MAX_NUMBER];double y[MAX_NUMBER];int i=0,j=0;u[1]=*(*(A+1)+1);y[1]=b[1];for(i=1;i<n;i++) //追{d[i]=*(*(A+i)+i+1);l[i+1]=*(*(A+i+1)+i)/u[i];u[i+1]=*(*(A+i+1)+i+1)-l[i+1]*d[i];y[i+1]=b[i+1]-l[i+1]*y[i];}for(i=n-1;i>0;i--) //赶x[i]=(y[i]-d[i]*x[i+1])/u[i];x[n-1]=y[n-1]/u[n-1];return x;}//样条插值函数(分段)double CSplineView::s(int k,double X,double x[MAX_NUMBER],double h[MAX_NUMBER],double y[MAX_NUMBER],double m[MAX_NUMBER]){double s;s=(X-x[k+1])*(X-x[k+1])*(h[k]+2*(X-x[k]))*y[k]/(h[k]*h[k]*h[k])+(X-x[k])*(X-x[k])*(h[k ]+2*(x[k+1]-X))*y[k+1]/(h[k]*h[k]*h[k])+(X-x[k+1])*(X-x[k+1])*(X-x[k])*m[k]/(h[k]*h[k])+(X -x[k])*(X-x[k])*(X-x[k+1])*m[k+1]/(h[k]*h[k]); //定义样条插值函数return s;}此处忽略VC++中绘制函数的代码，运行程序后绘制的图如下：打开“c:\table_m ”，发现m 的值为：0.8 0.771486 0.704056 0.612289 0.386786 0.360566 -0.149051 -0.184361 0.256496 0.0583759 0.2求方程x 3-3x-1=0在2附近的根1、 Newton 迭代法在VC++6.0中用WIN32控制台程序，输入以下代码：#include "stdafx.h"#include "math.h"#include "iostream.h"double f(double x); //声明需求根的方程f(x)int main(int argc, char* argv[]){double x0=2,xk,yk; //迭代初值2,yk 为前一次迭代值double e=0.01; //保证精确到4位有效数字的e 的取值int i=0;xk=x0; //赋迭代初值yk=x0-2*e; //将yk 赋一初值使下面初始循环条件满足while(fabs(xk-yk)>=e) //迭代循环{yk=xk; //将前一次的xk 值赋给ykxk=xk-f(xk)/(3*xk*xk-3); //Newton 迭代 插值后绘制样条连接插值点的折线插值函数与折线的重叠效果i++; //迭代次数计数器cout<<xk<<" "<<f(xk)<<endl; //输出迭代过程}cout<<"结果为:"<<endl<<xk<<endl; //输出迭代结果cout<<"迭代次数:"<<endl<<i<<endl; //输出迭代次数return 0;}double f(double x) //定义求根函数f(x)=x3-3x-1 {return pow(x,3)-3*x-1;}运行结果如下：2、弦割法在VC++6.0中用WIN32控制台程序，输入以下代码：#include "stdafx.h"#include "iostream.h"#include "math.h"double f(double x);int main(int argc, char* argv[]){double x0=2,x1=1.9,xk,xk_1,temp;//定义初始值x0,x1及迭代过程中需要的变量xk，xk_1，tempdouble e=0.01; //保证精确到4位有效数字的e的取值int i=0;xk=x1; //初始化xkxk_1=x0; //初始化xk_1while(fabs(xk-xk_1)>e) //迭代循环{temp=xk; //以下3行为弦割法算法xk=xk-f(xk)/(f(xk)-f(xk_1))*(xk-xk_1);xk_1=temp;i++; //迭代次数计数器cout<<xk<<" "<<f(xk)<<endl; //输出迭代过程}cout<<"计算结果为:"<<endl<<xk<<endl; //输出计算结果cout<<"迭代次数为:"<<endl<<i<<endl; //输出迭代次数return 0;}double f(double x) //定义求根函数f(x)=x3-3x-1 {return pow(x,3)-3*x-1;}运行结果如下：。
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三次样条插值 C/C++程序（自己整理的) 具体推导看书<<数值分析〉〉 code:#include <iostream> using namespace std;(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)const int MAXN = 100;int n； double x[MAXN］, y[MAXN］; //下标从 0。
n double alph［MAXN], beta[MAXN]， a[MAXN］， b[MAXN］； double h［MAXN]; double m［MAXN]; //各点的一阶导数；inline double sqr（double pa） { return pa * pa;｝double sunc(double p, int i) {［i]return (1 + 2 ＊ (p — x[i］) / (x[i + 1] - x［i］)） ＊ sqr((p - x[i + 1]) / (x[i + 1] — x［i］）） ＊ y+ （1 + 2 ＊ (p — x[i + 1]) / （x［i］ - x［i + 1]）） * sqr（(p - x［i]) / (x［i + 1] — x ［i］)) * y［i + 1]+ (p - x［i］) ＊ sqr（(p — x[i + 1］） / (x［i] - x［i + 1］)) ＊ m［i] + (p — x[i + 1]） ＊ sqr（(p — x［i]) / (x［i + 1］ — x［i])) * m[i + 1]； }int main() { int i, j；double xx;(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)freopen（"threeInsert.in"， "r"， stdin)；scanf(”％d"， &n）；for （i = 0； i <= n； i++） scanf（”%lf％lf”, &x［i］, ＆y[i］）；// scanf（"％lf%lf”, ＆m［0］, &m[n］)；for （i = 0; i <= n - 1； i++) h[i］ = x[i + 1］ - x[i];//第一种边界条件//alph［0］ = 0； alph［n］ = 1； beta［0］ = 2 * m［0]； beta［n］ = 2 ＊ m[n］；//第二种边界条件alph［0］ = 1； alph［n] = 0； beta[0] = 3 * （y[1] — y［0］） / h［0]; beta［n］ = 3 * （y［n] - y[n — 1］ / h ［n — 1]）;for （i = 1； i 〈= n - 1； i++） ｛ alph[i］ = h［i — 1] / (h［i - 1] + h[i]）； beta［i] = 3 * （（1 - alph[i］) * (y［i］ — y［i — 1］） / h[i - 1］ + alph［i］ * （y[i + 1］ — y［i］） / h［i])；｝ a［0］ = — alph［0] / 2; b[0］ = beta[0］ / 2;for (i = 1； i <= n； i++) { a[i］ = — alph［i］ / （2 + （1 — alph[i］) * a[i — 1］）; b［i] = （beta［i] - （1 — alph[i］) * b［i - 1］) / (2 + （1 - alph［i]) ＊ a[i — 1］);} m［n + 1］ = 0；for (i = n; i 〉= 0; i--) ｛ m[i] = a［i］ * m[i + 1］ + b［i］;} scanf（"％lf”, &xx)；for (i = 0; i < n； i++) { if （xx 〉= x［i] ＆＆ xx <= x[i + 1］) break;｝ printf(”%lf\n", sunc(xx， i));return 0； }(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)#include<iostream〉 ＃include<iomanip〉 using namespace std；const int MAX = 50; float x［MAX］, y[MAX］, h[MAX]；//变量设置：x 为各点横坐标；y 为各点纵坐标；h 为步长 float c[MAX], a［MAX］, fxym［MAX］;float f(int x1, int x2， int x3）/＊＊**＊＊＊*********＊求差分函数(含三个参数）**** ＊**＊**＊＊**＊＊*＊＊＊＊＊**＊＊*＊/ {float a = （y[x3] — y［x2]） / (x[x3］ — x[x2］); float b = (y［x2] — y［x1］) / (x[x2] - x［x1]); return （a - b）/(x[x3］ — x［x1］)； }void cal_m（int n)/＊*＊＊＊＊*＊＊＊＊***＊***＊**＊＊用追赶法求解出弯矩向量 M…… ＊*****＊＊＊＊*＊*＊*＊＊**＊＊*＊**＊*/ ｛float B［MAX]； B[0］ = c[0］ / 2;for(int i = 1; i 〈 n; i++）(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)B［i] = c［i] / (2 - a[i]＊B[i-1］);//fxym［0] = fxym［0] / 2; for（i = 1; i 〈= n； i++）fxym[i] = (fxym[i] - a［i]*fxym[i-1]） / (2 - a[i］＊B［i-1])； for（i = n—1； i >= 0; i--)fxym[i］ = fxym[i］ — B［i］＊fxym[i+1]； } void printout（int n);int main(）｛int n,i; char ch;do{cout〈〈"请输入已知断点个数：”;cin〉>n；for(i = 0; i 〈= n； i++）{cout<<"Please put in X"〈〈i〈〈’:’；cin〉>x[i］;//cout<<endl;cout〈<"Please put in Y”<〈i<〈’：’；cin>>y[i］; //cout<〈endl;}(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)for(i = 0； i < n； i++) //求步长；其数组值较之 x，y 个数少一 h[i] = x［i+1］ - x[i];cout<<”Please 输入边界条件\n 1: 已知两端的一阶导数\n 2：两端的二阶 导数已知\n 默认：自然边界条件\n”；int t； float f0， f1； cin>〉t； switch（t） ｛ case 1：cout<<"Please put in Y0\' Y”<〈n<〈”\'\n"；//显示数据为 Y0' 至 Yn’，即断点的一阶导数cin>>f0>〉f1； c[0] = 1； a[n］ = 1; fxym［0］ = 6*(（y[1] - y[0]) / （x［1］ - x［0］） - f0) / h[0］; fxym［n］ = 6＊（f1 — （y［n] - y［n—1］) / （x［n］ - x［n—1］)) / h［n—1］； break； case 2:cout〈<”Please put in Y0\" Y”<〈n<〈"\”\n”;//显示数据为 Y0” 至 Yn”，即断点的二阶导数 cin>>f0>>f1; c[0] = a［n］ = 0； fxym[0] = 2*f0; fxym[n] = 2*f1; break； default:cout<<"不可用\n"；//待定｝;//switch(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)for（i = 1; i 〈 n; i++)fxym[i］ = 6 * f（i—1， i， i+1）；//调用差分函数（only！）for（i = 1; i < n; i++）{a［i] = h［i—1] / (h［i] + h[i-1]);c[i] = 1 — a［i］；｝a[n] = h［n—1] / （h[n—1] + h[n]);cal_m（n）；//调用弯矩函数（only！）cout〈<"\n 输出三次样条插值函数：\n”;printout(n）；//调用求解三次样条插值函数;函数输出cout〈<"Do you to have anther try ？ y/n :"； cin〉>ch； ｝ while(ch == ’y' ｜｜ ch == ’Y’）； return 0； } void printout（int n）/＊＊＊＊＊**＊＊＊*＊*＊＊求三次样条插值函数（因已知断点个数 而异)＊＊*＊*＊＊*＊**＊*＊*＊**＊＊＊＊*/ { cout〈〈setprecision（6）;//通过操作器 setprecision()设置有效位数；其为头文件 〈iomanip。
h〉所包含；括号内为参数。
(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)for(int i = 0； i 〈 n； i++）//所输出函数个数由所设断点个数而定 {cout〈<i+1<〈”： ［”<<x[i］<<” ， ”<<x[i+1]〈<”］\n”〈<”\t"；float t = fxym［i］/(6＊h[i］); if（t > 0） cout〈〈t<<"＊("<〈x［i+1］<<" - x）^3"; else cout〈〈—t〈<"*(x - ”<〈x[i+1]<<”)^3”; t = fxym［i+1］/(6＊h［i]); if（t 〉 0) cout〈<” + "〈〈t〈〈”*（x — ”<<x[i]〈〈”)^3"； else cout〈〈” — "<<—t<〈”*(x - ”<<x［i]〈〈”)^3”； cout〈〈”\n\t"; t = (y[i] - fxym[i］*h［i］＊h［i］/6）/h[i］； if（t 〉 0） cout<〈”+ "〈<t〈〈”*(”〈<x[i+1]〈<” - x）”; else cout<〈”- "〈〈—t〈〈”＊（"<〈x[i+1］<〈” - x）"; t = (y［i+1] — fxym[i+1］＊h［i]*h[i］/6)/h[i］； if(t 〉 0) cout〈〈” + "〈〈t〈<”*（x - "〈〈x［i］〈<”）”; else(完整)三次样条插值的 C 程序(很全啊)cout<〈” — "<<—t〈〈”*（x — ”〈<x［i]<<”)"; cout<〈endl〈<endl；｝ cout<〈endl; }/＊＊**＊＊***＊***＊＊*提供测试数据:（来自课本 55 页例 5清华大学出版社第四版）*＊＊＊**＊＊**＊//＊输入327.74。