完整的圆锥曲线轨迹方程求法

圆锥曲线轨迹方程的解法

目录

一题多解 (2)

一．直接法 (3)

二. 相关点法 (6)

三. 几何法 (10)

四. 参数法 (12)

五. 交轨法 (14)

六. 定义法 (16)

一题多解

设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。

一．直接法

设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设

OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41

(x ≠0)，即点P 的

轨迹方程是（x －21）2+y 2=41

(0＜x ≤1)。

二．定义法

⊥⊥OPC =90°，⊥动点P 在以M （0,2

1

）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点

O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41

(0＜x ≤1)

三．相关点法

设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0,

⊥x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ⊥(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0,

⊥x ≠0,即（x －21）2+y 2=41

(0＜x ≤1）

四．参数法

①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1，

即（1+k 2）x 2－2x =0,⊥.12

221k x x +=+

设点P （x,y ），则2

2211],1,0(112k k

kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x －

21）2+y 2=4

1

(0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )，

则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+=

y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4

1

(0＜x ≤1）

一．直接法

课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、

y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。 例题1

等腰三角形的定点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。

练习一

1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→

→

。求点P 的轨迹方程。

2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？

3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即：2=PB PA

）

。 求动点P 的轨迹方程？

4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到 顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？

﹡5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

⊥7.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足⊥APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。

8.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

二. 相关点法

利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

例题2

已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。

练习二

1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。

2.设P 为双曲线14

22

=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中

点。求点M 的轨迹方程。

y

Q O

x

N

P

3.设)0,1(F ，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且→→=MP MN 2，→PM ⊥→

PF ， 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程。

4.已知△ABC 的顶点)8,3(-B ，)6,1(--C ，顶点A 在曲线x y 42=上运动， 求△ABC 重心G 的轨迹方程。

5.已知A 、B 、D 三点不在同一条直线上，且)0,2(-A 、)0,2(B ，2=→

AD ，

)(21→→

→

+=AD AB AE ，求E 点的轨迹方程。

6.△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长成等比数列，且AC AB >，点B 、C 坐标分别为)0,1(-、)0,1(，求定点A 的轨迹方程。

7.已知点)0,2(-A ，P 是圆O ：422=+y x 上任意一点，P 在x 轴上的射影 为Q ，→

→

=QG QP 2，动点G 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程。

8.已知椭圆19

42

2=+y x 上任意一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，

点M 在PQ 上，且→

→=MQ PM 2，点M 的轨迹为C ，求曲线C 的方程。