章末综合测评(二) 三角恒等变换

章末综合测评(二) 三角恒等变换

(满分：150分 时间：120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π

2－2x ＝( ) A ．1925 B ．1625 C ．1425 D ．7

25

D [cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－1825＝7

25.] 2．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－2

5，那么tan(β－2α)的值为( )

A ．－3

4

B ．－112

C ．－98

D ．98

B [tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)

1－tan αtan (α－β)

＝－12－251＋12×25＝－

112

.] 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π

2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A ．1

5

B ．

55

C ．

33

D ．255

B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55

，故选B ．] 4．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－4

5，则sin β等于( )

A ．0

B ．0或24

25

C ．24

25

D ．0或－24

25

C [因为0＜α＜π2＜β＜π，sin α＝3

5，

cos(α＋β)＝－4

5

，

所以cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－3

5

.

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝24

25或0.

因为π2＜β＜π，所以sin β＝2425.]

5．已知A ，B 均为钝角，sin A ＝55，sin B ＝1010

，则A ＋B 的值为( ) A ．7π4

B ．3π

2

C ．5π4

D ．3π4

A [因为π2＜A ＜π，π

2＜B ＜π，

所以cos A ＝－255，cos B ＝－310

10.

所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝2

2.

又因为π＜A ＋B ＜2π，所以A ＋B ＝7π4.]

6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π

4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－1

2

D ．12

C [因为sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，

所以tan α＋1tan α－1＝12，

所以tan α＝－3. 所以tan ⎝⎛⎭

⎫α＋π4 ＝tan α＋tan

π41－tan αtan

π4

＝－3＋11－(－3)＝－1

2

.]

7．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A ．3

5

B ．45

C ．

74 D ．34

D [因为θ∈⎣⎡⎦⎤

π4，π2， 所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ≤0，

所以cos 2θ＝－1－sin 22θ ＝－

1－⎝⎛⎭

⎫

3782

＝－18.

又cos 2θ＝1－2sin 2θ，

所以sin 2θ＝1－cos 2θ

2＝1－⎝⎛⎭⎫－1

82＝916，

所以sin θ＝3

4

.]

8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A ．π6

B ．5π6

C ．π6和5π6

D ．π3和2π3

A [由已知可得(3sin A ＋4cos

B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.

所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝1

2.

所以C ＝π6或C ＝5π

6.

又1－3cos A ＝4sin B ＞0， 所以cos A ＜1

3.

又13＜12

， 所以A ＞π3，所以C ＜2π

3，

所以C ＝5π

6不符合题意，

所以C ＝π

6

.]

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9．已知向量m ＝()sin x ，－3，n ＝()cos x ，cos 2x ，函数f (x )＝2m ·n ＋3＋1，下列命题中正确的是( )

A ．f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝2－f (x )

B ．f ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象关于x ＝π

4对称 C ．若0

2

，则f (x 1)

D ．若x 1，x 2，x 3∈⎣⎡⎦⎤

π3，π2，则f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3) BD [函数f ()x ＝2m·n ＋3＋1＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3＋1， 对于A ：当x ＝0时，f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝f ⎝⎛⎭⎫

π6＝1,2－f ()x ＝2－f ()0＝1＋3，故A 错；

对于B ：f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝2sin ()－2x ＋1，当x ＝π

4时，对应的函数值取得最小值为－1，所以B 正确；

对于C ：x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x －π

3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 ，所以函数f ()x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1在⎝⎛⎭⎫0，π2不单调，故C 错；

对于D ：因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2π

3， ∴f (x )∈[]3＋1，3，

又2()3＋1>3，即2f (x ) min >f (x ) max ，x 1，x 2，x 3∈⎣⎡⎦⎤

π3，π2，f (x 1)＋f (x 2) >f (x 3)恒成立，故D 对．

故选BD.]

10．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6，下列命题中正确的是( ) A ．f (x )的最大值为2 B ．f (x )的最小正周期是π

C ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤

π24，13π24上是减函数

D. 将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π

24个单位长度后，与函数y ＝f (x )的图象重合

ABCD [f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦

⎤π

2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝

⎛⎭⎫2x －π3－2

2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴函数f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故A 、B 正确；