圆的一般方程PPT课件
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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
圆的一般方程ppt课件
标准方程：x a2 y b2 r2
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
圆的一般方程PPT课件
复习提问： 1、说出圆心坐标是（a，b）,半径为r的 圆的标准方程. 2、把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2 展开，那么它可以写成哪种形式的方程？
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
问题1:形如(1)的方程都表示圆吗?
(1)
(0, 0) ,(1 ,-1),且圆心在直线x+y-3=0上,
求圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径.
想一想:
已知圆在两坐标轴上的四个截距之和为2, 且经过点P(4,2) 、Q(-1,3).求圆的方程.
课本:P101 例4
Good bye……
作业:P102 9,10
练 习
4
-6
-3
2或-2
例1. △ABC的三个顶点坐标为A (4, 3)、B (5, 2)、 C (1, 0)，求其外接圆的方程. 比一比:若设出标准方程,再代入三点坐标,好不 好? 练一练:求过点O(0,0) 、M(1,1) 、N(4,2)的圆 的方程.
例2.若圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0过点
①当D2+E2－4F>0时，方程表示以（ 圆心、 为半径的圆.
②当D2+E2－4F=0时，方程表#43;E2－4F<0时，方程不表示任何曲线.
问题2:圆的标准方程与一般方程各有什么优 缺点? 圆的标准方程的优点在于图形特征一目了 然:可由方程直接读出圆心和半径. 圆的一般方程突出了方程形式上的特点： （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy 这样的二次项.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
问题1:形如(1)的方程都表示圆吗?
(1)
(0, 0) ,(1 ,-1),且圆心在直线x+y-3=0上,
求圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径.
想一想:
已知圆在两坐标轴上的四个截距之和为2, 且经过点P(4,2) 、Q(-1,3).求圆的方程.
课本:P101 例4
Good bye……
作业:P102 9,10
练 习
4
-6
-3
2或-2
例1. △ABC的三个顶点坐标为A (4, 3)、B (5, 2)、 C (1, 0)，求其外接圆的方程. 比一比:若设出标准方程,再代入三点坐标,好不 好? 练一练:求过点O(0,0) 、M(1,1) 、N(4,2)的圆 的方程.
例2.若圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0过点
①当D2+E2－4F>0时，方程表示以（ 圆心、 为半径的圆.
②当D2+E2－4F=0时，方程表#43;E2－4F<0时，方程不表示任何曲线.
问题2:圆的标准方程与一般方程各有什么优 缺点? 圆的标准方程的优点在于图形特征一目了 然:可由方程直接读出圆心和半径. 圆的一般方程突出了方程形式上的特点： （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy 这样的二次项.
圆的一般方程课件
的位置分别有什么特点？
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
高一数学圆的一般方程PPT 课件
装修公司完成的部分包括：基础装修、设计部分和相应的水电改造费用。当前，这一部分的支出，消费者只需多找几家不同类型的装修公司，
通过比较它们的报价来确定适合自己价位的装修公司。基础装修，这是家居装修必须进行的项目，这部分只占家装总费用的一小部分；设计部
分，是体现风格和品位的项目，但是也不能一味地增加设计项目；一 般来说 ，新 房水电改造少一些，旧房就多一些，越旧的也越多。
思考6:方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
圆心为( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F
22
2
思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的位置分别
思考4:方程 x2 y2 Dx Ey F 0 可化
为 (x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F ，
2
2
4
它在什么条件下表示圆？
思考5:当D2 E2 4F 0或 D2 E2 时4F， 0 方程 x2 y2 Dx Ey F表示0 什么图 形？
有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
成都装修公司 成都装修公司
圆的一般方程.ppt -优质课
（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
a=4
解得
b=-3
r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25
圆的一般方程.ppt -优质课
圆的一般方程.ppt -优质课
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
D2 +E2 -4F r=
为半径的圆;
2
( 2 ) 当 D2＋E2－4F＝0 时 ， 方 程 表 示 一 个 点 (- D ,- E ) ；
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
方程都表示的曲线是圆呢？ 下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
将 x2+y2+D+ xEy +F=0 左边配方，得
(x+D)2+(y+E)2=D 2+E2-4F
2
2
4
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
圆的一般方程.ppt -优质课
圆的一般方程.ppt -优质课
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
圆的一般方程(共25张PPT)
2 2
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
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第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
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2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
标准方程(圆心,半径)
展开
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
-
(用配方法求解16)
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (或x2 + y2 +Dx+Ey+F =0)
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0
是 圆心（1，-2）半径3 是 圆心（3，-1）半径 10
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
-
8
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
D2 +E2 -4F r=
为半径的圆;
2
-
5
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方 程 表 示 一 个
点 (- D ,- E ) ； 22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不 表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
求半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， -写出标准方程（或一般方程1）7
巩固：
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
方法一： 几何方法
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
圆心：两条弦的中垂线的交点
-
半径：圆心到圆上一点12
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
方法三：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ( D 2 + E 2 - 4 F 0 )
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0
D+E+F+2=0
4D+2E+F+20=0
所求圆的方程为:
F=0
解得
D=-8
E=6
x2+y2-8x+6y=0 即（-x-4）2+（y+3）2=2145
2.2 圆的一般方程
-
1
复习
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
-
2
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
2
故 它 表 示 以 （ - 1 ， 3 ） 为 圆 心 ,为圆心，a 为半径的圆
42 为半径的圆. 2
-
10
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配方
展开
标准方程
圆 (- D 心 ,- E )半 , 1径 D 2+ E 2- 4 F
22
2
-
11
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并ห้องสมุดไป่ตู้出这个圆的半径和圆心坐标.
(1 )2 x2+2y2+4 x- 1y 2 - 1=0
(2)x2+y2+2ax=0(a0)
解 ： (1 )由 2 x 2+ 2 y2+ 4 x- 1 2 y- 1 = 0(2)由x2 +y2 +2ax=0
得 x2+y2+2x-6y-1=0 2
得（x+a)2 +y2 =a2 0
即 ： （ x+1)2+(y-3)2=21 故它表示以（-a,0）
半径为4,则D,E,F分别等于
D
(A)4,-6,3
(B)-4,6,3
(C)-4,6,-3
(D)4,-6,-3
2. 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
( A)a 1 2
(B)a 1 2
1
(C)a=
1 2
(D)a 2
D
-
9
例2：下列方程各表示什么图形?若是圆则求出 圆心、半径.
小结二
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
-
15
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F0
-
6
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
D2 +E2 -4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
-
7
例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若 能写出圆心与半径
方程都表示的曲线是圆呢？ 2.下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
-
4
将 x2+y2+D x+E y+F=0
左边配方，得
(x+D)2+(y+E)2=D 2+E2-4F
2
2
4
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
a=4
解得
b=-3
r=5
即（x-4）2-+（y+3）2=25 13
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a, b, r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E ,a 2 + b 2 - r 2= F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
-
3
思考
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0