人教版九下数学之反比例函数全章复习与巩固(基础)知识讲解

x

) 可以写成

反比例函数全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析

式 y =

k

(k ≠ 0) ，能判断一个给定函数是否为反比例函数；

x

2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 y =

析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】

k

(k ≠ 0) 的性质，能利用这些性质分

x

【要点梳理】

【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念

一般地，形如 y =

k

( k 为常数，k ≠ 0 )的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量， y

x

是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.

要点诠释： 在 y = k x

中，自变量 x 的取值范围是

， y = k

(

(

)的形式，也可以写成

的形式.

要点二、反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 y =

k

x

中，只有一个待定

系数 k ，因此只需要知道一对 x 、y 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，

从而确定其解析式.

要点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数 y = k (

k ≠ 0) 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、

x

三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点，

即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

要点诠释：

③y=和y=-(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.

x

-

观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①y=

k

x

(k≠0)的图象是轴对称图形，对称轴为y=x和y=-x两条直线；

k

②y=(k≠0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

x

k k

x x

k

注：正比例函数y=k x与反比例函数y=2，

1

当k⋅k<0时，两图象没有交点；当k⋅k>0时，两图象必有两个交点，且这两1212

个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

当k>0时，

x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，

x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.

（2）若点(a，b)在反比例函数y=

k

的图象上，则点（-a，b）也在此图象上，故反比

x

例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

正比例函数反比例函数

解析式

图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）

位置k>0，一、三象限；k>0，一、三象限

②过双曲线y=(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的

反比例函数y=n+5

过点（2，3）．∴3=,∴n1=．

增减性k<0，二、四象限k<0，二、四象限

k>0，y随x的增大而增大k>0，在每个象限，y随x的增大而减小k<0，y随x的增大而减小k<0，在每个象限，y随x的增大而增大

（4）反比例函数y＝中k的意义

①过双曲线y=k

(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k. x

k

x

k

面积为.

2

要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

【典型例题】

类型一、确定反比例函数的解析式

1、已知函数y=(k+2

)x k-3是反比例函数，则k的值为.

【答案】k=2

【解析】根据反比例函数概念，k-3＝-1且k+2≠0，可确定k的值.

【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.

举一反三：

【变式】反比例函数y=n+5

x图象经过点（2，3），则n的值是（）.

A.-2

B.-1

C.0

D.1【答案】D；

n+5

x2

x

(

类型二、反比例函数的图象及性质

2、已知，反比例函数 y = 4 - 2m

的图象在每个分支中 y 随 x 的增大而减小，试求

x

2m -1 的取值范围．

【思路点拨】由反比例函数性质知，当k ＞0 时，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，由此

可求出 m 的取值范围，进一步可求出 2m -1 的取值范围． 【答案与解析】

解：由题意得： 4 - 2m > 0 ，解得 m < 2 ，

所以 2m < 4 ，则 2m -1 ＜3．

【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键． 举一反三：

【变式】已知反比例函数 y = k - 2

，其图象位于第一、第三象限内，则 k 的值可为________

x

（写出满足条件的一个 k 的值即可）． 【答案】3（满足 k ＞2 即可）.

3、在函数 y = - | k |

（ k ≠ 0 ， k 为常数）的图象上有三点(－3， y )、(－2， y )、

1 2

(4， y )，则函数值的大小关系是（

）

3

A ． y < y < y

1

2

3

B ． y < y < y

3 2 1

C ． y < y < y

2 3 1

D ． y < y < y

3 1

2

【答案】D ； 【解析】

∵ | k |＞0，∴ －| k |＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，

y 随 x 增大而增大，(－3， y )、(－2， y )在第二象限，(4， y )在第四象限，∴

它们

1 2

3

的大小关系是： y < y < y ．

3 1

2

【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不

能一概而论，本题的点(－3， y 1 )、 －2， y 2 )在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，

所以 y 1 < y 2 ，点(4， y 3 )在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．

举一反三：

【变式 1】（2014 春•海口期中）在同一坐标系中，函数 y = 和 y=kx+3（k≠0）的图象大致是

（ ）.