【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔=++;

若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==故0OC OB OA =++;

1()3

PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.

2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;

若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：

：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++

3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2

2

2

==)

若O 是ABC ∆的外心

则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：

：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++

4）O 是内心ABC ∆的充要条件是

|

CB ||

CA ||

BC ||

BA |AC

|

AB |(

=-

⋅=-

⋅=-

⋅

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是

ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分

线所在直线)；

二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例1

．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+

+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

B

C

H

A

图6

解析：因为

AB

AB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先

AB

AB 是什么？没见过！想想，一个非零

向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,

同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.

即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

变式：若H 为△ABC 所在平面内一点，且2

22222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心

证明: 2

2

2

2

BC CA HB HA -=-

BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0

即=•+BA HC HC )(0

HC AB ⊥∴

同理HB AC ⊥，HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.