反比例函数与一次函数的交点问题(1)

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反比例函数与一次函数交点问题

自学指导3:(3分钟)
例数:y如2=图x,+反2比得例图函象数交y于1 点mxM(m、≠N0,)M得(图1,象3)与,求一次函
△MON得面积、
y
H
∟ ∟
(0,2) A M (1,3)
3
∟ ∟
(-2,0)H B
1
oG
x
G
N (-3,-1)
变式:如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数 y=kx+b得图象与反比例函数y＝m/x得图象交于A(2,3)、B(-3,n)两点、 (1)求一次函数与反比例函数得解析式; (2)直接写出一次函数值不小于反比例函数值得自变量x得取值范围;
D (1 ,4)E
(4 ,1)
C
(3)求△OPQ得面积、 y
P(1,4)
Q (4 ,1) E
0C D
x
(1 ,4) (4 ,1)
E F(5,0)y=-x+5
变式:如图,一次函数y1=kx+b得图象与反比例函数y2= m/x(x＞0)得图象交于A(1,6),B(a,2)两点、 (1)求一次函数与反比例函数得解析式;
x
自学指导2:(3分钟)
例y1、如k2图,得正图比象例相函交数于y=Ak、1xB与两反点比,其例中函点数 A得 x坐标为(2,4)
(1)分别写出这两个函数得表达式;
(2)您能求出点B得坐标吗？
您就是怎样求得？
y
oA
x
B
思考12:如正果比正例比函例数函y=数k1与x反与比反例比函例数函图数象有交y=点k2,则/x有交几点个,?则而k交1与点k坐2应标满有足什什么么特条点件? ?
x
直角坐标系中得图象可能就是D :

一次函数与反比例函数的交点问题

一次函数与反比例函数的交点问题一次函数与反比例函数的交点问题，是许多学习数学的人都会遇到的一个难题。

今天，我将从理论和实践两个方面来探讨这个问题，并希望能够给大家带来一些启示和帮助。

我们来看一下一次函数和反比例函数的基本概念。

一次函数是指形式为f(x)=ax+b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。

反比例函数是指形式为g(x)=k/x的函数，其中k是常数，x是自变量。

这两种函数都有一个共同点，那就是它们的图像都是一条直线或曲线。

尽管一次函数和反比例函数在图像上看起来很相似，但它们在求交点的问题上却有着很大的不同。

对于一次函数来说，只要已知它的斜率和截距，就可以轻松地求出它与任意一条直线的交点；而对于反比例函数来说，即使知道了它的定义域和值域，也无法直接求出它与任意一条直线的交点。

这是因为反比例函数的图像是一个双曲线，而不是一条直线。

因此，要解决一次函数和反比例函数的交点问题，就需要采用一些特殊的方法。

其中一种比较常用的方法是“代入法”。

具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后将这条直线代入到反比例函数中去，得到一个关于x的一元二次方程。

接下来再解这个一元二次方程，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。

这种方法虽然比较繁琐，但在实际应用中却非常方便和有效。

除了“代入法”之外，还有一种比较简单且易于理解的方法叫做“待定系数法”。

具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后根据这条直线与反比例函数的图像相交的条件，列出一组关于a、b、k的方程组。

最后再解这个方程组，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。

这种方法不仅简单易懂，而且可以推广到其他类型的函数之间求交点的问题上。

一次函数和反比例函数的交点问题虽然看起来比较复杂，但只要掌握了一些基本的方法和技巧，就可以轻松地解决它。

希望大家在学习数学的过程中能够多多思考和探索，不断提高自己的能力和水平。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题1．阅读材料：已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝4x（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.（1）方方给出了下列解答：﹣x+b＝4 xx2﹣bx+4＝0∵两个函数有交点∴△＝b2﹣16≥0但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；此时，圆圆提供了另一种解题思路；第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝▲ ；第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是▲ .应用：如图，Rt△ABC中，△C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12.（2）求y关于x的函数表达式；（3）设x+y＝m，求m的取值范围.2．若反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式.3．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD△x轴于D．（1）求这两个函数的解析式：（2）求△ADC的面积．4．如图，直线y=45x−45交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，EA的延长线交直线y=45x−45于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+5的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为52.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB 向下平移了几个单位长度？6．如图，点A在反比例函数y=k x(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB=3．（1）求反比例函数y=k x(x>0)和一次函数y=32x+b的表达式：（2）求DE的长．7．在平面直角坐标系中，反比例函数y= k x（k>0，x>0）图象上的两点（n，3n）、(n+1，2n).（1）求n的值；（2）如图，直线l为正比例函数y=x的图象，点A在反比例函数y= kx（k>0,x>0）图象上，过点A作AB△l于点B，过点B作BC△x轴于点C，过点A作AD△BC于点D，记△△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1-S2的值.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+1(m≠0)与反比例函数y=nx(x<0)的图象交于点A(−1,2)，与x轴交于点B.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C是反比例函数图象上一点，过点C作x轴的平行线CD交直线AB于点D，作直线AC交x轴于点E，若S△ACD:S△AEB=1:4，求点E的坐标.9．如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y= 14x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较△PAQ与△PBQ的大小，并说明理由．10．如图，一次函数y=−12x+52的图像与反比例函数y=k x(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.11．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y= k x（k≠0，且k为常数）的图象过点E，且S△AOE=3S△OBE．（1）求k的值；（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y= 12x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y= kx（x＜0）的图象于点N，求N点坐标．12．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=k x(x>0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(−2,0) .（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标.13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b(k＜0)，经过点(6，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝mx(x＞0)的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W．①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．14．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=4x；由周长为m，得2(x+y)=m，即y=−x+m2.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.（2）画出函数图象函数y=4x(x>0)的图象如图所示，而函数y=−x+m2的图象可由直线y=−x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=−x.（3）平移直线y=−x，观察函数图象①当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为▲ ；②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.15．如图，直线y=−x+3与反比例函数y=2x(x>0)的图象交于A，B两点.（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE=45°，求AEEC的值；（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y=2x(x>0)的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值.16．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=−8x的图象交于A(−2，b)，B两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.答案解析部分1．【答案】（1）解：4；函数图象如图1所示：；b≥4（2）解：∵Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC 的长为x ，AC 的长为y ，且 S △ABC =12 ， ∴12⋅x ⋅y =12 ， ∴y =24x(x >0) （3）解：∵x+y=m ， ∴m =x +24x， ∴x 2-mx+24=0 ∴m 2-96≥0 ∵m ＞0 ∴m ≥4√62．【答案】（1）解：∵反比例函数y= m x 的图象经过点（-2，-1）， ∴-1= m−2 ，解得：m=2，∴反比例函数的解析式：y= 2x ；（2）解：当x=1时，y= 21=2，∴一次函数y=kx+b 的图象经过点（1，2）（-2，-1）， ∴{−2k +b =−1k +b =2 ，解得 {k =1b =1 ，∴一次函数的解析式：y=x+1.3．【答案】（1）解：∵反比例函数y= k x的图象过B （4，﹣2）点，∴k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=﹣ 8x；∵反比例函数y= k x 的图象过点A （﹣2，m ），∴m=﹣ 8−2=4，即A （﹣2，4）．∵一次函数y=ax+b 的图象过A （﹣2，4），B （4，﹣2）两点， ∴{−2a +b =44a +b =−2 ，解得 {a =−1b =2∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）解：∵直线AB ：y=﹣x+2交x 轴于点C ， ∴C （2，0）．∵AD△x 轴于D ，A （﹣2，4）， ∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4， ∴S △ADC = 12 •CD•AD= 12×4×4=8．4．【答案】（1）解：求得直线 y =45x −45与 x 轴交点坐标为M （1，0），则OM ＝1，而S 矩形OMAE ＝4，即OM·AM ＝4， ∴AM ＝4， ∴A （1，4）；∵反比例函数的图象过点A （1，4）， ∴k =4 ，∴所求函数为 y =4x(x >0) ；（2）解：∵点D在EA延长线上，∴直线AD：y=4，求得直线y=45x−45与直线y=4的交点坐标为D（6，4），∴AD＝5；设B（x，0），则BM＝|x−1|，Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，∴BM＝3，即|x−1|＝3，则x1=−2，x2=4，∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）．5．【答案】（1）解：作BF⊥OC令y=0，−x+5=0，x=5∴C(5，0)，即OC=5∵S△OBC=52∴12BF⋅OC=52∴BF=1∴B点的纵坐标为1令y=1，−x+5=1，x=4∴B(4，1)将B点坐标代入y=kx(k>0)中，得k=4×1=1∴反比例函数表达式：y=4 x（2）解：设平移a个单位长度则平移后直线解析式为y =−x +5−a ∵两个图象只有1个交点 ∴{y =−x +5−a y =4x，整理，得−x 2+(5−a)x −4=0，此方程有两个相等的实数根 ∴Δ=0∴(5−a)2−4×(−1)×(−4)=025−10a +a 2−16=0a 2−10a +9=0 (a −1)(a −9)=0∴a −1=0，a −9=0 a =1或a =96．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ k x（x ＞0）的图象上，AB△x 轴，∴S △AOB ＝ 12 |k|＝3，∴k ＝6，∴反比例函数为y ＝ 6x，∵一次函数y ＝ 32x+b 的图象过点B （3，0），∴32 ×3+b ＝0，解得b ＝ −92 ， ∴一次函数为 y =32x −92；（2）解：∵过C （5，0）作CD△x 轴，交过B 点的一次函数y ＝ 32x+b 的图象于D 点，∴当x ＝5时y ＝ 6x ＝ 65 ； y =32x −92=3 ，∴E （5， 65），D （5，3），∴DE ＝3﹣65=95． 7．【答案】（1）解：将（n ，3n)和（n+1,2n)代入y= k x 得：3n= k n，2n= k n+1∴3n 2=2n(n +1)解得n=2或n=0（舍去）， ∴n=2（2）解：由（1）得：点（2，6）在反比例函数y= kx（k>0，x>0)的图象上，将点（2，6）代入y= kx，得k=12.反比例函数为y= 12 x设OC=a，又点B在直线y=x，.点B(a，a).又BC△x轴，∴△BOC为等腰直角三角形。

反比例函数与一次函数的交点问题-初中数学知识点

1 / 1 反比例函数与一次函数的交点问题
1．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数1y k x = 和反比例函数2k y x
= 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当1k 与2k 同号时，正比例函数1y k x = 和反比例函数2k y x
=在同一直角坐标系中有2 个交点； ②当1k 与2k 异号时，正比例函数1y k x = 和反比例函数2k y x =
在同一直角坐标系中有0 个交点．。

一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用

一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用当一次函数与反比例函数的图象相交时(如图1)，学生通过各种方法的探究与演练，可熟练地计算AOB S ∆.接下来，我们继续观察图象，不难发现，只要一次函数与反比例函数的图象有交点，无论这条直线怎么变化，AOC ∆和BOD ∆的面积大小看似相当，分不出大小.那么，AOC S ∆和BOD S ∆是否相等呢?一、探求结论我们要证明AOC BOD S S ∆∆=，只需证明AC BD =即可.如图2，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，AH x ⊥轴于点H .过点B 作BG y ⊥轴于点G ，交AH 于点I ，BF x ⊥轴于点F ，连结,,AG BH GH .由反比例系数的几何意义，可知AHOEBGOF S S =矩形矩形， ∴AIGE BIHF S S =矩形矩形，∴AIG BIH S S ∆∆=，∴AHG BGH S S ∆∆=.又AHG ∆和BGH ∆同底GH ，∴//GH AB .∵//,//BH DH AH CG∴四边形ACGH 和四边形BGHD 均为平行四边形，∴AC GH BD ==.通过以上探究，我们得到以下结论:设直线l 与抛物线c 相交于,A B 两点，与x 轴和y 轴分别交于点D 和C (如图2)，则AC BD =.二、应用举例例1 (2019年长沙中考题)如图3，函数k y x=( k 为常数，0k >)的图象与过原点O 的直线相交于,A B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，连结BM 分别交x 轴，y 轴于点,E F .现有以下四个结论:①ODM ∆与OCA ∆的面积相等;②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒;③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+④若25MF MB =，则2MD MA =. 其中正确的结论的序号是 .(只填序号)本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及平行线分线段成比例定理等知识.其中，序号①在本题中相对较难判断，但利用本文所得结论，问题就迎刃而解了.例 2 如图4，反比例函数k y x=( 0k >)与矩形OABC 相交于D ,D G 两点，则AD CG BD BG=. 证明连结DG 交x 轴，y 轴于,E F 两点.∵//,//AB OE OA BC ，∴FADGBD GCE ∆∆∆， ∴AD FD BD GD =，CG GE BG GD=，又∵FD GE=，∴AD CG BD BG=.可见，利用本文得到的结论，我们可有效地解决反比例函数与一元函数或矩形相交的有关问题.。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2= k−1x的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．（1）求k和n的值；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，双曲线L：y= k x(x>0)过点A(a，b)(0<a<2)、B(2，1)。

过点A作AC△x轴，垂足为C。

（1）求L的解析式；（2）当△ABC的面积为2时，求点A的坐标；（3）点P为双曲线L上A，B之间(包括A，B两点)的动点，直线l1：y=mx+1过点P。

在(2)的条件下，若y=mx+1具有y随x的增大而增大的性质，请直接写出m的取值范围(不必说明理由)。

3．如图，已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P(2，3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．（2）当点D的纵坐标为9时，求ΔAEP的面积．（3）若直线OD上存在一点M，点M的横坐标为m，ΔAEM的面积为S，直接写出S关于m的解析式，并写出定义域．4．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx(m>0、x>0)、y=n x(n<0、x<0)于点M、N，（1）若m=4，MN△x轴，S△MON=6，求n的值；（2）若a=5，PM=PN，点M的横坐标为3，求m-n的值；（3）如图，若m=4，n=-6，点A（d,0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB=4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx(m>0、x>0)、y=nx(n<0、x<0)都有交点，求d的范围.5．如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0，x＜0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求sin△ABO的值；（3）当x＜0时，比较y1与y2的大小．6．如图，已知反比例函数y1＝k x的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A（1，4）和点B（m，－2）．（1）求这两个函数的关系式；（2）如果在x轴上找一点C使△ABC的面积为18，求点C坐标．7．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k x的图象交于A(2,2)，B(4,1)两点.（1）求这两个函数的表达式；（2）在反比例函数y=k x第三象限的图象上有一点P，且点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标.8．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－8x的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y =k x（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C.（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积.10．如图，已知直线y=mx+b（m≠0）与双曲线y= k x（k≠0）交于A（﹣3，﹣1）与B（n，6）两点，连接OA、OB．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）求△AOB的面积．11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知△ACB=90°，A（0，2），C（6，2）.D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC.反比例函数y1=k x（k≠0）的图象经过点D.（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB所在直线解析式为y2=ax+b(a≠0)，当y1>y2时，求x的取值范围.12．若反比例函数y＝k x与一次函数y＝2x－4的图象都经过点A(a，2)．（1）求反比例函数y＝kx的表达式；（2）当反比例函数y＝kx的值大于一次函数y＝2x－4的值时，求自变量x的取值范围．13．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=k x（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．14．如图，直线y1=mx与双曲线y2=k x交于点A、B，过点A作AP△x轴，垂足P点的坐标是(−2，0)，连接BP，且S△ABP=4．（1）求正比例函数y1=mx和反比例函数y2=k x的解析式．（2）当y1<y2时，求x的取值范围．15．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝4x（x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．（1）求一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出kx＋b－4x>0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．16．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于A（﹣3，2），B（2，n）．（1）求反比例函数y=k x的解析式；（2）求一次函数y=ax+b的解析式；（3）观察图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上．∴-6=3n-5，解得：n= −1 3．∴B（−13，-6）；∵反比例函数y=k−1x的图象也经过点B（−13，-6），∴k-1=-6×( −13)=2，解得：k=3；（2）解：设直线y=3x﹣5分别与x轴，y轴相交于点C，点D，当y=0时，即3x﹣5=0，x= 5 3，∴OC= 5 3，当x=0时，y=3×0-5=-5，∴OD=5，∵点A（2，m）在直线y=3x﹣5上，∴m=3×2-5=1，即A（2，1）．∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=12×(53×1+53×5+13×5)=356（3）解：由图象可知y1＞y2时自变量x的取值范围为：−13<x<0或x＞2．2．【答案】（1）解：将B(2，1)代入y= k x，得k=2，∴L的解析式为y= 2 x（2）解：∵点A(a，b)在反比例函数上，∴b= 2 a，∵S△ABC= 12b(2-a)=2，即12b(2−2b)=2，∴b=3，点A的坐标为( 23，3)（3）解：m的取值范围为0<m≤3提示：当点P与点A重合时，把( 23、3)代入y=mx+1，解得m=3∵y=mx+1具有y随x的增大而增大的性质，∴m>0，∴m的取值范围为0<m≤33．【答案】（1）解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P(2，3)，∴3=2k1，3=k22，∴k1=32，k2=6，∴正比例函数解析式为y=32x ，反比例函数解析式为y=6x；（2）解：当y=9=6x时，x=23，∴A(23，9)，把x=23代入y=32x，得y=1，∴E(23，1)，∴AE=9−1=8，∴S△AEP=12⋅AE⋅|x P−x A|=12×8×|2−23|=163；（3）解：由题意得，S△AEM=12⋅AE⋅|x M−x E|=12×8×|m−23|，∴S关于m的解析式为S={4m−83(m>23)−4m+83(m<23)．4．【答案】（1）解：点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），则S△MON=6= 12×MN×OP= 12×（4a- na）×a解得：n=-8（2）解：点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），∵PM=PN，则ma=-na，解得：m=-n，若a=5，点M的横坐标为3，则点M（3，5），故m=3×5=15=-n，故m-n=30（3）解：点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，4），设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，- 6d）、（d+4，4d+4），若正方形ABCD与y= mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，即{4+6d≥04−4d+4≥0，且d＜0，d+4＞0，解得：-3≤d≤ −3 2，故d的范围为：-3≤d≤ −3 2 .5．【答案】（1）解：把A(－3，1)代入y2＝mx得m＝xy＝－3×1＝－3，∴反比例函数的解析式为y＝−3x.过点A做AD△y轴于D，∵A(－3，1)，∴AD＝3.∵S△AOB＝12OB•AD，∴12OB•3＝6，OB＝4.∴B(0，4).把A(－3，1).B(0，4)代入y1＝kx＋b得{−3k＋b＝1b＝4，∴{k＝1b＝4,.∴一次函数的解析式为y＝x＋4（2）解：∵在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝BO－OD＝4－1＝3∴△ABO＝45°∴sin△ABO＝sin45°＝√22（3）解：由{y＝−3xy＝x＋4得{x1＝−1y1＝3，{x2＝−3y2＝1.∴C(－1，3).∴当x<－3或－1<x<0时，y2> y1当－3<x<－1时， y 2 > y 16．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x的图象过点A(1，4)， ∴4=k 1， ∴k=4，即y 1=4x，又∵点B(m ，-2)在y 1=4x的图象上， ∴m=-2，∴B(-2，-2)，又∵一次函数y 2=ax+b 的图象过A ，B 两点，∴{−2a +b =−2a +b =4，解之得{a =2b =2， ∴y 2=2x+2．综上可得y 1=4x，y 2=2x+2．（2）解：设直线AB 交x 轴于点D ，易求D （-1 ，0）设C(x ，0)，∵s ΔABC =s ΔADC +s ΔBCD ，∴12y A |x +1|+12|y B ||x +1|=18， 12×4×|x +1|+12×2×|x +1|=18 3|x+1|=18，解得：x=5或x=-7，∴C(5，0)或(-7，0)．7．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为 y =k x，将点 A(2,2) 代入 y =k x中，得 k =4 ， ∴反比例函数的表达式为 y =4x；设一次函数的表达式为 y =kx +b ，将点 A(2,2) ， B(4,1) 代入 y =kx +b 中，得 {2k +b =24k +b =1，解得 {k =−12b =3， ∴一次函数的表达式为 y =−12x +3 （2）解：如图，作直线 AB 的平行线，当其与反比例函数的图象只有一个交点 P 时，此时点 P 到直线 AB 的距离最短，设直线 PM 的解析式为 y =−12x +n ，则 4x =−12x +n ，去分母，得 x 2−2nx +8=0 ，由题意得， Δ=0 ，∴4n 2−32=0 ，解得 n 1=−2√2 ， n 2=2√2 （不合题意，舍去）.∴x 2+4√2x +8=0 ，解得 x 1=x 2=−2√2 ，∴在 y =4x中，当 x =−2√2 时， y =−√2 . ∴点 P 的坐标为 (−2√2,−√2) .8．【答案】（1）解：令反比例函数y=- 8x中x=-2，则y=4， ∴点A 的坐标为（-2，4）；反比例函数y=- 8x 中y=-2，则-2=- 8x，解得：x=4， ∴点B 的坐标为（4，-2）． ∵一次函数过A 、B 两点， ∴{4=−2k +b −2=4k +b ，解得： {k =−1b =2， ∴一次函数的解析式为y=-x+2 （2）解：设直线AB 与y 轴交于C ，令为y=-x+2中x=0，则y=2， ∴点C 的坐标为（0，2），∴S △AOB = 12 OC•（x B -x A ）= 12×2×[4-（-2）]=6 （3）解：观察函数图象发现：当x ＜-2或0＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围为x ＜-2或0＜x ＜4．9．【答案】（1）解：把点 A(2，6) 代入 y =k x， k =2×6=12 ， ∴ 反比例函数的解析式为 y =12x， ∵ 将点 A 向右平移2个单位，∴x =4 ，当 x =4 时， y =124=3 ， ∴B(4，3) ，设直线 AB 的解析式为 y =mx +n ，由题意可得 {6=2m +n 3=4m +n，解得 {m =−32n =9， ∴y =−32x +9 ，当 x =0 时， y =9 ，∴C(0，9) ；（2）解：由（1）知 CD =9−5=4 ，∴S ΔABD =S ΔBCD −S ΔACD =12CD ⋅|x B |−12CD ⋅|x A |=12×4×4−12×4×2=4 .10．【答案】（1）解：把（﹣3，﹣1）代入y= k x 得k=3，则反比例函数的解析式是y= 3x；把（n ，6）代入y= 3x 得n= 12．根据题意得： {−3m +b =−112m +b =6 ，解得： {m =2b =5，则一次函数的解析式是y=2x+5（2）解：在y=2x+5中，令x=0，解得y=5，则S △AOB = 12 ×5×（ 12 +3）= 35411．【答案】（1）解：∵A （0，2），C （6，2），∴AC=6，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC=6，∵S △ABC =3S △ADC ，∴BC=3DC ，∴DC=2，∴D （6，4），∵反比例函数y 1=k x（k≠0）的图象经过点D ， ∴k=6×4=24，∴反比例函数的解析式为y 1=24x；（2）解：∵C （6，2），BC=6，∴B （6，8），把点B 、A 的坐标分别代入y 2=ax +b 中，得{6a +b =8b =2，解得：{a =1b =2， ∴直线AB 的解析式为y 2=x +2，解方程x+2=24x，整理得：x 2+2x-24=0，解得：x=4或x=-6，∴直线y 2= x+2与反比例函数y 1=24x的图象的交点为（4，6）和（-6，-4）， ∴当y 1>y 2时，0<x<4或x<-6.12．【答案】（1）解：将A （a ，2）代入一次函数y=2x-4中得：2=2a-4，即a=3， ∴A （3，2），将x=3，y=2代入反比例解析式得：k=6，则反比例解析式为y= 6x；（2）解：联立两函数解析式得： {y =6x y =2x −4，解得： {x =3y =2 或 {x =−1y =−6 ，即两函数的两交点分别为（3，2），（-1，-6），作出两函数图象，如图所示：则由函数图象得：反比例函数y= 6x的值大于一次函数y=2x-4的值时，自变量x 的取值范围为x ＜-1或0＜x ＜3．13．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b 与双曲线y=k x（x ＞0）交于A （1，3）， ∴k=1×3=3，∴y=3x， ∵B （3，y 2）在反比例函数的图象上，∴y 2=33=1， ∴B （3，1），∵直线y=ax+b 经过A 、B 两点，∴{a +b =33a +b =1解得{a =−1b =4， ∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P （4，0）（2）解：如图，作AD△y 轴于D ，AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，BG△y 轴于G ，AE 、BG 交于H ，则AD△BG△x 轴，AE△BF△y 轴，∴CD OC =AD OP ，PF PE =BF AE =PB PA， ∵b=y 1+1，AB=BP ，∴1y 1+1=x 16， PF PE =BF AE =12， ∴B （6+x 12，12y 1） ∵A ，B 两点都是反比例函数图象上的点，∴x 1•y 1=6+x 12•12y 1，解得y 1=2，代入1y 1+1=x 16，解得x 1=2， ∴A （2，2），B （4，1）．（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x 1，x 2，x 0之间的关系为x 1+x 2=x 0．14．【答案】（1）解：过点B 作BD△AP 于点D ，交y 轴于E ，∵点P 的坐标为（-2，0），∴OP=2，根据题意得点A 、B 关于原点对称，∴BE=DE=OP=2，∴BD=4，又S △ABP =4，∴12AP ⋅4=4， ∴AP=2，∴点A 的坐标为（-2，-2），代入y 1=mx ，得m=1；代入y 2=k x，得k=4，∴正比例函数的解析式为y 1=x ，反比例函数y 2=k x的解析式为y 2=4x ；（2）解：由（1）可知点B 的坐标为（2，2），由图象可知，当x<-2或0<x<2时y 1<y 2．15．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ 4x 上，∴4m＝4.解得m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4）．又∵点B 也在反比例函数y ＝ 4x 上，∴42＝n ，解得n ＝2，∴点B 的坐标为（2，2）．又∵点A ，B 在y ＝kx ＋b 的图象上，∴{k +b =42k +b =2 解得 {k =−2b =6∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6 （2）解：由图象可得，当 1<x<2 时，直线在双曲线的上方，∴这时 kx ＋b> 4x,即kx ＋b － 4x>0 ,∴ x 的取值范围为1<x<2 . （3）解：∵直线y ＝－2x ＋6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0）．∴S △AOB ＝S △AON －S △BON ＝ 12 ×3×4－ 12×3×2＝3. 16．【答案】（1）解：把A （﹣3，2）代入反比例解析式得：k=﹣6，则反比例解析式为 y =−6x（2）解：把B （2，n ）代入反比例解析式得：n=﹣3，即B （2，﹣3），把A （﹣3，2）与B （2，﹣3）代入y=ax+b 中得： {−3a +b =22a +b =−3，解得：a=﹣1，b=﹣1，则一次函数解析式为y=﹣x+1 （3）解：∵A （﹣3，2），B （2，﹣3），∴结合图象得：不等式ax+b ＜ k x的解集为﹣3＜x ＜0或x ＞2。

反比例函数与一次函数交点问题-习题及详解

反比例函数与一次函数交点问题1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；S△PAC=S△AOB？（3）在y轴上是否存在一点P，使若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．2018年05月16日157****9624的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）的图象1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；K3：三角形的面积．【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；（2）当0＜x＜1或x＞3时，；（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD所以S△AOB=×4×8﹣×8×1﹣×4×2=8．2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点∴，∴∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D∵S△OBM=2，∴，∴∴n=4（5分）∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，∴m=3∵M（3，4）在双曲线上，∴，∴k2=12∴反比例函数的表达式为（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）∴在Rt△PDM中，，∴PD=2MD=8，∴OP=OD+PD=11∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=；如图，作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，，解得k1=﹣，b=﹣，∴；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×2×+×2×3=；（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x＜﹣4或0＜x＜2．（4）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，令x=0，则y=﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，∴y=2x，又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），∴B（1，2），（2）∵k=2，∴≥kx为≥2x，根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y=的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即≥2x．（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA=OC，设C（t，）（t＜0），∵A（﹣1，﹣2）∴OA=∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，t2=4，t=﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时AC=，AC≠AO，∴不存在符合条件的点C．5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t，t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，（3）过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴，∵，∴，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．。

专题12 反比例函数与一次函数交点类问题(提优)-冲刺2021年中考数学(原卷版)

专题12 反比例函数与一次函数交点类问题（提优）1．如图，直线y ＝kx +b 与反比例函数y =12x相交于A （﹣2，m ）B （n ，3）．（1）连接OA 、OB ，求△AOB 的面积；（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12x ＞kx +b 的解集．2．如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y =m x （m ≠0）在第一象限的图象交于A （3，4）和B 两点，B 点的纵坐标是2，与x 轴交于点C ．（1）求一次函数的表达式；（2）若点D 在x 轴上，且△ACD 的面积为12，求点D 的坐标．3．如图，反比例函数y =k x （x ＞0）与直线AB ：y =12x −2交于点C （2√3+2，m ），点P 是反比例函数图象上一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，连接OP ，OQ ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 在反比例函数图象上运动，且点P 在Q 的上方，当△POQ 面积最大时，求P 点坐标．4．如图，直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x交于C （4，m ），D 两点，与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B 两点，且OA =√33OB ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点E 与点B 关于x 轴对称，连接DE ，EC ，求△CDE 的面积．5．已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，点A 在x 轴上，∠B ＝90°，点B 的坐标为（1，2）．反比例函数y =k x 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax +b 的图象经过A ，C 两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）直接写出不等式组0＜ax +b ≤k x 的解集．6．如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y=mx的图象的两个交点．（1）写出一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b−mx=0的解；（3）观察图象，直接写出kx+b−mx＜0的解集；（4）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象交于A、B两点，已知A（1，2），B（m，1）．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）结合图象，当k1x+b＞k2x时，求自变量x的取值范围；（3）若点P是直线AB上的一动点，将直线AB向下平移n个单位长度（0＜n＜3），平移后直线与x 轴、y轴分别交于点D、E，当△PED的面积为1时，求n的值．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点，与y轴相交于点C．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使|P A﹣PB|的值最大，求满足条件的点P的坐标及△P AB的面积．9．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点（c，p）和（n，q）是反比例函数y=mx图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求q−ppq的值．（3）若点M（x1，y1）和N（x2，y2）在直线AB（不与A、B重合）上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜﹣3，0＜x2＜1，当x1x2＝﹣3时，判断四边形NFEM的形状．并说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出−12x＞kx的解集；（3）将直线l1：y=−12x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．11．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使P A +PB 最小．12．如图，一次函数y 1＝﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y 2=k x 图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y 2＞y 1时，求x 的取值范围；（3）求点B 到直线OM 的距离．13．如图，反比例函数y =k x 与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣2，6）、点B （n ，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．（3）将一次函数y ＝ax +b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位，使平移后的图象与反比例函数y =k x 的图象有且只有一个交点，求n 的值．14．如图，已知A （﹣4，12），B （﹣1，m ）是一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y =n x 图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ．（1）求m 的值及一次函数解析式；（2）P 是线段AB 上的一点，连接PC 、PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 坐标．15．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y=kx（k≠0）交于点A（4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．16．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=32，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接ED，求△ADE的面积．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b−k1x＞0的解集．18．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M（﹣3，1），N（1，n）两点．（1）求这两个函数的表达式．（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．19．如图，反比例函数y=−8x的图象与一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值．20．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y=k2x图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．。

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作轴于点F ,过点B 作轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。

中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案

中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案一、单选题1．如图直线y1＝x+1与双曲线y2＝k x交于A （2，m）、B（﹣3，n）两点.则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣3或0＜x＜2B．﹣3＜x＜0或x＞2C．x＜﹣3或0＜x＜2D．﹣3＜x＜22．如图，点A1,A2,A3⋯在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1,B2,B3⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1,B2A2⊥B1A2,B3A3⊥B2A2⋯，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．(2√n,0)B．(0,√2n+1)C．(0,√2n(n+1))D．(0,2√n)3．如图，已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是()A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）4．如图，函数y1=x﹣1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞25．如图，直线y= 23x与双曲线y= k x（x＞0）交于点A，将直线y= 23x向右平移3个单位后，与双曲线y= kx（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AOBC=2，则k=（）A．83B．4C．6D．43 6．一次函数y=2x﹣1与反比例函数y=﹣x﹣1的图象的交点的情况为（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不能确定7．如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例函数y= y x(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤88．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B,D在反比例函数y=k x（k>0）的图象上，对角线BD过原点O，延长BA交反比例函数的图象于点E，连接DE，若A为BE 的中点，且点A的坐标为(−1,2)，则k的值为（）A．163B．329C．92D．49．函数y= 1−kx的图象与直线y=﹣x没有交点，那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＞﹣1D．k＜﹣110．如图，已知动点P在函数y= 12x（x＞0）的图象上运动，PM△x轴于点M，PN△y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）A．4B．2C．1D．1211．如图，反比例函数y=kx（k＞0）与一次函数y=12x+b的图象相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB交y轴与C，当|x1－x2|=2且AC = 2BC时，k、b的值分别为（）A．k＝12，b＝2B．k＝49，b＝1C．k＝13，b＝13D．k＝49，b＝1312．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与y=2x的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在y=2x图象上，下列说法正确的是（）A．当x1=x2< 2时，y1< y2B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2二、填空题14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x的图象交于两点，当kx+b−6x>0时x的取值范围是．15．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6x（x＞0）图象于点E，连接DE，则△DCE的面积为.16．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t,0)，B(0,-2t)，C(2t,4t)三点，其中t>0，函数y=t 2x的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB-S△PQB=t，则t的值为．17．如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= 1x，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－4x的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝8x的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为.三、综合题19．已知反比例函数y1=k x的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.20．如图，过双曲线y= k x在直角坐标系第二象限上点A作直线分别交x轴和双曲线于点C、B，点A的坐标为（﹣1，6）．（1）若tan△ACO=2，试求点C的坐标；（2）若AB=2BC，连接OA、OB，求△OAB的面积．21．如图，一次函数y=x−3的图像与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=−2x(x>0)的图像分别交于C、D两点.（1）动点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N.当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；（2）在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k x的图象交于A、B两点，过点A作AC 垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，直线y1=﹣x+4，y2= 34x+b都与双曲线y= k x交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．24．如图，已知直线y=﹣x和反比例函数y=k x（k＞0），点A（m，n）（m＞0）在反比例函数y= kx上．（1）当m=n=2时①直接写出k的值；②将直线y=﹣x作怎样的平移能使平移后的直线与反比例函数y=k x只有一个交点．（2）将直线y=﹣x绕着原点O旋转，设旋转后的直线与反比例函数y=k x交于点B（a，b）（a＞0，b＞0）和点C．设直线AB，AC分别与x轴交于D，E两点，试问：ABAD与ACAE的值存在怎样的数量关系？请说明理由．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】－1414．【答案】2<x <3 或 x <0 15．【答案】12−6√2 16．【答案】417．【答案】√2或√2218．【答案】1219．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x图象过点A(1，4)∴k=4，即y 1= 4x又∵点B(m ，−2)在y 1=4x上，∴m=−2∴B(−2，−2)又∵一次函数y 2=ax+b 过A.B 两点则{a +b =4−2a +b =−2，解得{a =2b =2 ∴y 2=2x+2综上可得y1=4x ，y 2=2x+2；（2）解：x<−2或0<x<1.20．【答案】（1）解：过点A 作AD△x 轴，交x 轴于点D ．∵点A 的坐标为（﹣1，6） ∴AD=6，OD=1． ∵tan△ACO=2∴CD=AD÷tan△ACO=6÷2=3 ∴OC=4∴点C 的坐标为（﹣4，0）（2）解：∵点A 的坐标为（﹣1，6）∴反比例函数的解析式为y=﹣ 6x．设B （x ，﹣ 6x），C （c ，0）∵{(x +1)2+(−6x )2=2(c −x)2+2(−6x )26+6x −1−x =6−1−c，解得x=﹣4，x=﹣3 ∴C （﹣4，0）∵S △AOC =12×4×6=12又∵AB=2BC∴△OAB 的面积= 23 S △AOC = 23 ×12=8．故答案为：（1）（﹣4，0）；（2）821．【答案】（1）解：如下图，对于函数y =x −3当x=0时，y=-3，当y=0时，x=3∴A(3，0)，B(0，−3)∵动点P在线段AB上∴设点P（a，a-3），a>0，a-3<0，即0<a<3∴PN=a，PM=3−a∵矩形OMPN的面积为2∴a(3−a)=2，即a2−3a+2=0解得a=2或a=1∴点P(2，−1)或P(1，−2)（2）解：如下图∵A(3，0)，B(0，−3)∴OA=OB=3∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=3√2联立一次函数与反比例函数可得{y=x−3 y=−2x解得{x=1y=−2或{x=2y=−1∴C(1，−2)，D(2，−1)∴BC=√12+(−2+3)2=√2设E(x，0)，AE=3−x以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO=∠BAE=45°∴ABOB=AEBC或ABBC=AEOB∴3√23=3−x√2或3√2√2=3−x3解得x=1或x=−6∴E(1，0)或E(−6，0).22．【答案】（1）解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA=OB ，∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=2÷2=1，又∵A 是反比例函数 y =k x图象上的点，且AC△x 轴于点C ，∴△AOC 的面积= 12|k| ，∴12|k|=1 ，∵k ＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为 y =2x（2）解：x 轴上存在一点D ，使△ABD 为直角三角形．将 y =2x 与 y =2x联立成方程组得： {y =2x y =2x ，解得： {x 1=1y 1=2 ， {x 2=−1y 2=−2 ，∴A （1，2），B （﹣1，﹣2） ①当AD△AB 时，如图1设直线AD 的关系式为 y =−12x +b ，将A （1，2）代入上式得： b =52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x +52，令y=0得：x=5，∴D （5，0）； ②当BD△AB 时，如图2设直线BD 的关系式为 y =−12x +b ，将B （﹣1，﹣2）代入上式得： b =−52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x −52，令y=0得：x=﹣5，∴D （﹣5，0）； ③当AD△BD 时，如图3∵O为线段AB的中点，∴OD= 12AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA=√OC2+AC2= √5，∴OD= √5，∴D（√5，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（−√5，0）；故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（√5，0）或D（−√5，0）．23．【答案】（1）解：把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= kx，可得k=1×3=3∴y与x之间的函数关系式为：y= 3 x（2）解：∵A（1，3）∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1（3）解：y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0）把A（1，3）代入y2= 34x+b，可得3= 34+b∴b= 94，∴y2=34x+94，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分∴CP= 14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74= 94∴P（﹣54，0）或（94，0）24．【答案】（1）解：①当m=n=2时，A（2，2），把点A（2，2）代入反比例函数y=k x（k＞0）得：k=2×2=4；②设平移后的直线解析式为y=﹣x+b1，由{y=−x+by=k x可得，−x+b1=4x，整理可得：x2﹣b1x+4=0当Δ=(−b1)2−4×1×4=0，即b1=±4时，方程x2﹣b1x+4=0有两个相等的实数根，此时直线y=﹣x+b1与反比例函数只有一个交点∴只要将直线y=﹣x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与反比例函数只有一个交点（2）解：ACAE±ABAD=2，理由如下：分两种情况讨论：由反比例函数的对称性可知，C（﹣a，﹣b）①当点A在直线BC的上方时，如图所示：过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H则OF=n，OG=OH=b∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b∵AF△BG△x轴∴ABAD=FGFO=n−bn∵AF△x轴△CH∴ACAE=FHFO=n+bn∴ACAE+ABAD=n−bn+ n+bn=2；②当点A在直线BC的下方时同理可求：ABAD=b−nn，ACAE=n+bn∴ACAE﹣ABAD=n+bn﹣b−nn=2；综上所述，ACAE±ABAD=2．。

中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数交点问题

2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数交点问题1．如图，反比例函数y=k x(k≠0)与直线l：y=23x−1相交于A，B两点，过点A作AC⊥x 轴，垂足为点C，且AC=1 .（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，求出不等式23x−kx>1的解集.2．在平面直角坐标系xOy中，函数y=k x（x>0）的图象G经过点A（4，1），直线l∶y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．3．如图，反比例函数y= k x（x＞0）的图象与一次函数y=3x的图象相交于点A，其横坐标为2．（1）求k的值；（2）点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3．过点B作CB∥OA，交x轴于点C，直接写出线段OC的长．4．如图，已知反比例函数y=k x与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，3），点B（－3，3），过点A的直线y=12x+m（m为常数）与直线x＝1交于点P，与x轴交于点C，直线BP与x轴交于点D。

（1）求点P的坐标；（2）求直线BP的解析式，并直接写出△PCD与△PAB的面积比；（3）若反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象与线段BD有公共点时，请直接写出k的最大值或最小值。

6．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x−1与双曲线y=k x相交于点A(2，m) .（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；（2）若直线l与x轴交于点B，点P在反比例函数的图象上，当△OPB的面积为1时，求点P的坐标.7．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= k x（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH= 43，点B的坐标为（m，﹣2）．求：（1）反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝mx（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．9．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= mx图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣ mx ＞0的解集．10．如图，已知一次函数y ＝ax + b （a ，b 为常数，a≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且与反比例函数 y =kx（k 为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C ，作CD ⊥x 轴于点D ，若OA＝OD ＝ 34OB ＝3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax + b≤ k x的解集．11．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数y 1=x+m 与反比例函数y 2= k x的图象相交于A（2，1），B （n ，﹣2）两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数解析式和点B 坐标；（2）当x 的取值范围是时，有y 1＞y 2．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： y =x +b 与x 轴交于点A （-2，0），与y 轴交于点B ．双曲线 y =kx与直线l 交于P ，Q 两点，其中点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 的横坐标为2时，求k 的值；（3）连接PO ，记△POB 的面积为S ，若 13≤S ≤1 ，直接写出k 的取值范围．13．已知一次函数y=k 1x+b 与反比例函数y= k2x的图象交于第一象限内的P （ 12 ，8），Q （4，m ）两点，与x 轴交于A 点.（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）直接写出不等式k 1x+b≥ k2x的解集；（3）M 为线段PQ 上一点，且MN ⊥x 轴于N ，求△MON 的面积最大值及对应的M 点坐标.14．如图，反比例函数 y =4x(x >0) 的图像与一次函数 y =kx −3 的图像在第一象限内相交于点 A(4，n) ．（1）求 n 的值及一次函数的解析式；（2）直线 x =2 与反比例函数和一次函数的图象分别交于点 B ， C ，求 △ABC 的面积．15．已知，如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y=x+b 的图象交于点A （1，4），点B （m ，-1），（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出不等式x+b＞kx的解．16．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k x(x>0)的图象与直线y=x−1交于点A(3,m)（1）求k的值；（2）已知点P(n,0)(n>0)，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=x−1于点B，交函数y=k x(x>0)于点C．①当n=4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；②若PC⩽BC，结合图象，直接写出n的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵ AC=1 ，∴点A的纵坐标为1，则23x−1=1，解得x=3，故点 A（3，1） .将点A的坐标代入y=k x得，1=k3，解得 k=3，故反比例函数的表达式为y=3 x .联立{y=3xy=23x−1，解得： x1=3 ， y1=1；x2=−32，y2=-2，∴点B的坐标为（−32，-2）.（2）解：观察函数图象知，不等式23x−kx>1的解集为−32<x<0或x>3【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】对于（1），首先根据AC的值得到点A的纵坐标，然后代入直线解析式中求出x 的值，进而可得点A的坐标，接下来将点A坐标代入反比例函数解析式中可得其解析式，最后联立直线与反比例函数解析式即可求出点B的坐标；对于（2），找出直线在反比例函数图象上方部分对应的x的范围即可.2．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在y=k x（x>0）的图象上．∴k4=1，∴k=4．（2）解：① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②a．当直线过（4，0）时：14×4+b=0，解得b=−1b．当直线过（5，0）时：14×5+b=0，解得b=−54c ．当直线过（1，2）时： 14×1+b =2 ，解得 b =74d ．当直线过（1，3）时： 14×1+b =3 ，解得 b =114∴综上所述： −54≤b <−1 或 74<b ≤114【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入y =kx即可求出k 的值，（2）①当 b = − 1 时直线的解析式为y =14x −1，根据直线与坐标轴交点的坐标特点得出其与坐标轴轴交点的坐标为（4.0）（0，-1），与双曲线的交点为（2+2√5，√52-1），从而得出区域 W 内的整点为（1，0），（2，0），（3，0）；② a .当直线过（4，0）时： 14× 4 + b = 0 ，解得 b = − 1 b.当直线过（5，0）时： 14×5+b =0 ，解得 b =−54；c .当直线过（1，2）时：14 × 1 + b = 2 ，解得 b = 74；d .当直线过（1，3）时：14 ×1 + b = 3 ，解得 b = 114；又双曲线不会与坐标轴相交综上所述即可得出b 的取值范围为： − 54≤ b < − 1 或 74 < b ≤114。

反比例函数与一次函数的交点问题

扬起希望之帆，向金色的六月起航...
【知识回顾】比较一次函数和反比例函数的区别
y= kx-1 ( k≠0) xy=k (k≠0)
函数解析式
图象
k>0
性质
k<0
一次函数
y=kx+b ( k≠0 )
直线
y （k>0,b>0时)
ox 增减性：
y随x的增大而增大
y
（k>0,b>0时) 增减性：
ox
y随x的增大而减小
（2）看到求交点坐标，想到联立两个函数解析式解方程组. （3）看到求面积，想到三角形面积公式，不规则图形的面积要转化为和它有关的规则图形的面积来求解. （4）看到比较函数值的大小，想到函数值大的图象在上方，函数值小的
图象在下方.
真题演练
【真题演练•层层推进】
1、(2014贵港T10•3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B 两点．若y1＜y2，则x的取值范围
举例讲解
【对应精练】
例题
如图，已知反比例函数
y1

2 x
与一次函数y2=kx+1的图象相交于P、Q两点，
并且点P的坐标是(1, 2)，直线y2=kx+1与x轴、y轴分别交于M、N两点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求点Q的坐标；
解：（1）把P( 1，2)代入y=kx+1，得 k = 1
所以，这个一次函数的解析式为 y=x+1 .
（3）求ΔPOQ的面积.
（4）若y1<y2, 根据图象，直接写出自变量x的取值范围.
解：（3）直线y=x+1与y轴交于点N，则点N为(0，1)，

探究一次函数与反比例函数图像交点的一个规律

探究一次函数与反比例函数图像交点的一
个规律
一次函数和反比例函数的图形的交点是一个很重要的主题，学习
它可以更好地理解和应用图形和函数之间的关系。

一次函数是一种线
性函数，它定义为y=ax+b，其中a是斜率，b是一次函数的截距。

反
比例函数定义为y=a/x，其中a为系数。

在反比例函数的图形中，有两个反对称的对称轴，在这两个轴的两侧，其曲线的斜率是相反的。

当一次函数和反比例函数的图像相交时，有一个明显的特征和规律：两个函数的斜率是相等的。

可以将一次函数的斜率表示为a，反比例函数的斜率表示为b，则a=b。

交点处，也就是x=a/b，因此，整个
过程就结束了。

这里有一个简单的例子来解释这个规律：一次函数定义为y=2x+1，反比例函数定义为y=3/x，由此可以得知两个函数的斜率相同，即
a=2=b。

据此，可以得出它们的交点x=2/3。

函数的交点可以用以上的
规律来求出，这里的规律是：的两个函数的斜率是相等的，则它们的交点为x=a/b。

以上，就是一次函数和反比例函数图像交点的规律。

学会这一规律后可以帮助我们更好地应用函数图形，也可以更方便地求解交点的位置。

了解规律有助于更好地快速求解。

专题1：反比例函数与一次函数交点问题

4.（2012•益阳）反比例函数y＝k/x的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是 .
5.已知反比例函数y=k/x 和一次函数y=kx+b的图象都经过点（2，1） (1)分别求出这两个函数的解析式; (2)试判断点A（-2， -1）在哪个函数的图象上; (3) 求两个函数图象的另一个交点坐标。
点拨（1分钟)
解:(1)把A点坐标（2，4）分别代入y=k1x和y= k2/x
解得:k1=2.k2=8
y 2x (2)B点的坐标是两个函数组成的方程组 y 8 x 的另一个解.解得x=±2
8 ∴所求的函数表达式为:y=2x,和y=— x
x 2, y 4. B(2,4)
自学检测2:（10分钟） 1.（2013•茂名）如图，反比例函数y＝6/x的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于两点A （m，3）和B（-3，n）．（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围． (3) 求△OAB的面积。
2.（2013•衢州）如图，函数y1=-x+4的图象与函数y2= k2/x（x＞0）的图象交于A（a，1）、 B（1，b）两点． (1)求函数y2的表达式； (2)观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小． (3) 求△OAB的面积。
3.（2012•赤峰）存在两个变量x与y，y是x 的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是（写出一个即可）．
4.（2006•盐城）已知反比例函数y=k/x的图象分布在第二、四象限，则一次函数y=kx+b 中，y随x的增大而 .